為什麼用配方法解最值問題

A. 用配方法求代數式最大值 最小值的方法

配方法的應用配方法的地位：判斷一個式子的值的正負是比較大小、判斷一元二次方程根的情況等很多數學問題常要用到的，基本途徑是①因式分解，②配方，特別是配方法在初中數學中涉及二次的問題時應用非常廣泛。除了判斷正負，配方法還解決了最值、不大於（或不小於）一個常數等等問題。因此學會配方法及有意識地應用配方法將式子變形，從而解決問題在初中階段非常重要。教學目標：1. 理解用配方法變形成a(x+m)2+n的式子可以求其取值范圍、判斷其符號進而得到其最值；2. 配方法解決問題的多樣性，開拓了學生的視野，打開了一個神奇的數學之窗。教學重點： 解決判斷式子符號、求最值等問題。教學難點：1.理解如何判斷型如a(x+m)2+n的式子的取值范圍； 2.理解可以用判斷型如a(x+m)2+n的式子的取值范圍來解決不同的問題。 教學過程：一、復習引入：（設計意圖：復習配方法，比較解方程時配方和代數式的配方的異同點，學生易犯的錯誤是代數式的配方中將二次項系數象解方程那樣除掉）1. 用配方法解方程：2x2-4x+16=02. 將2x2-4x+16配方得 二、典型例題：（設計意圖：使學生理解並掌握配方後判斷符號的方法）例1. 不論x取任何實數，證明：代數式x2-4x+13的值恆大於零。學生易想到x2-4x+13=x2-4x+4+9 =（x-2)^2+9 ———學生上手很快，但很多並未意識到這就是在應用配方法強調為什麼（x-2)^2+9恆大於零，格式： ∵（x-2)^2≥0 ———非負數的性質 ∴（x-2)^2+9≥9 ———得到取值范圍 ∴（x-2)^2+9>0 ———判斷正負 即x2-4x+13的值恆大於0歸納總結：配方後，可以判斷a(x+m)2+n的值的范圍，從而進一步判斷值的正負。 例2. 設M=x2-8x+22，N= -x2+6x-3，比較M與N的大小關系。方法一（比差法）：M-N=( x2-8x+22)-( -x2+6x-3)=2x2 -14x+25 ———判斷正負的途徑：因式分解或配方=2（x-7/2)^2+1/4 ———配方同例1一樣分析，得M-N>0，———得到取值范圍，判斷正負從而M>N.方法二：∵M=x2-8x+22=（x-4）2+6 N= -x2+6x-3= -（x-3）2+6 ———配方同例1一樣分析，得M，N的取值范圍：M≥6,N≤6———判斷取值范圍但當x=4時M=6;x=3時，N=6,因此，不可能同時M=N ∴M>N例3. 關於x的一元二次方程x2-(k+2)x+2k-1=0，試證明無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數根。 三、變式訓練：（設計意圖：舉一反三）1. 求證：方程（m2+1）x2-2mx+(m2+4)=0沒有實數根，2. 若t是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，則判別式⊿=b2-4ac和完全平方式M=(2at+b)2的關系是（ ）（A）⊿=M (B)⊿>M (C)⊿ (D)大小關系不確定3.證明：3x2 -2x+4的值不小於11/3。———分析例1中得到的取值范圍（x-2）2+9≥9 幫組學生理解此題，並為拓展做准備四、拓展提高：（設計意圖：學生還沒有學二次函數，因此求最值應該是難點，理解取值范圍所表達的意義，也為二次函數的學習做准備）1. 已知x為實數。求y= x2-6x+15的最小值。2. 已知x為實數，x= 時，y= -x2-4x+10有最大值。3. 用24米長的籬笆材料，一邊利用牆，牆的最大可利用長度為12米，圍成一個中間有隔斷（隔斷垂直於牆）的矩形倉庫，假設矩形垂直於牆的一邊為x米，（1） 用含x的代數式表示矩形的面積；（2） 什麼時候矩形的面積等於45平方米？（3） 你能用非負數的性質和配方法確定什麼時候矩形有最大面積嗎？五、課堂總結：用配方法將一個二次三項式寫成型如a(x+m)2+n的式子，可以用非負數的性質得到取值范圍a(x+m)2+n≥n,a>0(或a(x+m)2+n≤n,a<0)，從而可判斷符號，解決最值等問題。六、作業： 雖然剛學配方法，但涉及到的數學問題已成系列。牢牢抓住「配方」和用非負數得到的「取值范圍」這兩個點去分析典型例題，先重點突破判斷符號問題，在變式訓練中又加入第3題，進一步分析用非負數得到的「取值范圍」的意義，再進一步思考拓展最小值與「取值范圍」的關系，達到一題多練的效果。

B. 到底什麼是配方法，一元二次方程用配方法怎樣解

配方法是指將一個式子（包括有理式和超越式）或一個式子的某一部分通過恆等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法。這種方法常常被用到恆等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一。

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

1、把原方程化為的形式；

2、將常數項移到方程的右邊；方程兩邊同時除以二次項的系數，將二次項系數化為1；

3、方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方；

4、再把方程左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數；

5、若方程右邊是非負數，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個負數，則判定此方程無實數解。

例： 解方程：3

（變形：方程左邊分解因式，右邊合並同類項；）

x＋4/3=± 5/3（開方：根據平方根的意義，方程兩邊開平方；）

x＋4/3=5/3 或 x＋4/3=－5/3（ 求解：解一元一次方程；）

所以x1=1/3， x2=－3 （ 定解：寫出原方程的解）

(2)為什麼用配方法解最值問題擴展閱讀

1、配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方。

2、配方法關鍵的一步是「配方」，即在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方。

3、配方法的理論依據是完全平方公式。

配方法的應用

1、用於比較大小

在比較大小中的應用，通過作差法最後拆項或添項、配成完全平方，使此差大於零（或小於零）而比較出大小。

2、用於求待定字母的值

配方法在求值中的應用，將原等式右邊變為0，左邊配成完全平方式後，再運用非負數的性質求出待定字母的取值。

3、用於求最值

「配方法」在求最大（小）值時的應用，將原式化成一個完全平方式後可求出最值。

4、用於證明

「配方法」在代數證明中有著廣泛的應用，我們學習二次函數後還會知道「配方法」在二次函數中也有著廣泛的應用．

C. 初三數學怎樣用配方法求最大值和最小值

使用配方法。就是把這個分式化成（）*n+、、、、、
應該說一個分式只有最大值或者最小值，因為例如
把x^2+2x+3配方
=x^2+2x+1+2
=（x+1)^2+2
由這個配方後的結果來看。這個分式只有最小值，因為(x+1)^2隻有最小值，而「+2
」是不得變的。
即當x=-1時，也是此分式的最小值，就是2。
無論這個分式是怎樣的。只要根據完全平方的思路去化，化出一個完全平方後再加一串的東東數字，使他等於原分式。

D. 解初中競賽最值問題常用到的方法和定理大神們幫幫忙

1、配方法 所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。 3、換元法 換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。 4、判別式法與韋達定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。 韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。 5、待定系數法 在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。 6、構造法 在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。

E. 配方法可以解決三類問題

答：
1）
3x²+6x-5
=3(x²+2x+1)-3-5
=3(x+1)²-8
>=0-8
=-8
最小值為-8
2）利用配方法可以解決最小值或者最大值問題、解方程問題、解不等式問題,等等
3）
-x²-2x-2
=-(x²+2x+1) -1
=-(x+1)²-1

F. 求函數最值問題常用的10種方法，高考填空，大題每年

一、 配方法主要運用於二次函數或可轉化為二次函數的函數解題過程中要注重自變數的取值范圍．例1已知函數y=(ex-a)2+(e-x-a)2(a∈R,a≠0,求函數y的最小值. 分析:將函數表達式按ex+e-x配方,轉化為關於為變數ex+e-x的二次函數解：y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e-x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2, 令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2， ∵t≥2,∴f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定義域[2,∞),∵拋物線y=f(t)的對稱軸為t=a, ∴當a≤2且a≠0時,ymin=f(2)=2(a-1)2當a>2時,ymin=f(a)=a2-2．評注:利用二次函數的性質求最值要注意到自變數的取值范圍.和對稱軸與區間的相對位置關系. 二. 不等式法運用不等式法求最值必須關注三個條件即」一正二定三相等」．例2 求函數y=(ax2+x+1)/(x+1)(x>-1且a>0)的最小值. 解:y=(ax2+x+1)/(x+1)=ax+a/(x+1)+(1-a)=a(x+1)+ a/(x+1)+1-2a≥2+1-2a=1當a(x+1)=a/(x+1),即x=0時等號成立,∴ymin=1．三. 換元法主要有三角換元和代數換元換兩種.用換元法時,要特別關注中間變數的取值范圍．四. 數形結合法主要適用於具有幾何意義的函數,通過函數的圖象求最值. 例5 已 知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值. 分析:本題已知條件轉化為(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代換轉化為三角函數最值問題處理,也可藉助幾何圖形數形結合處理. 解:作x2+y2-2x+4y-20=0的圖形,它是圓心在P(1,-2)半徑為5的圓,依題意有x2+y2=2x-4y+20,設x2+y2=z,則z=2x-4y+20即y=x/2 + (20-z)/4,其圖形是斜率為1/2且與已知圓相交的一簇平行線,於是求z的最值問題就是求這簇平行線中在y軸的截距最大或最小問題.由平面幾何知識知,圓心P(1,-2)到切線2x-4y+20-z=0的距離小於或等於半徑,即≤5即|30-z|≤10故30-10≤z≤30+10,故z1=30-10為最小值,z2=30+10為最大值．即x2+y2最大值為30+10，最小值為30-10．五.函數的單調性法先判明函數給定區間上的單調性,而後依據單調性求函數的最值．例6 已知函數f(x)定義域R,為對任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x>0時f(x)<0,f(1)=-2試判斷在區間[-3,3] 上f(x)是否有最大值和最小值?如果有試求出最大值和最小值,如果沒有請說明理由. 解:令x1=x2=0,則f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0, 令x1=x, x2=-x則f(x)+f(-x)= f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x), ∴f(x)為奇函數. 設x1,x2∈R,且x10, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,∴ f(x2)0對一切x∈R均成立.函數表達式可化為(y-1)x2+(3y+3)x+4y-4=0,當y≠1時∵x∈R,上面的一元二次方程必須有實根,∴△=(3y+3)2-4(y-1)(4y+4)≥0 解得:1/7≤y≤7,(y≠1)當y=1時,x=0.故ymax=7,ymin=1/7 例8 求函數y=x+的最大值和最小值七. 導數法設函數f(x)在[a,b]上連續在(a,b)上可導,則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值應為f(x)在(a,b)內的各極值與f(a),f(b)中的最大值和最小值例9 動點P(x,y)是拋物線y=x2-2x-1上的點,o為原點,op2當x=2時取得極小值,求,op2的最小值祝學習進步@

G. 用配方法求代數式的最大或最小值

用配方法求代數式的最值,通常是對一元二次多項式而言的,即滿足ax^2+bx+c（a,b不等於零）的形式.基本思路就是根據完全平方公式找到一個完全平方式,使之展開之後滿足其中的一次項和二次項.舉一個簡答的例子就明白了：
例如：求x^2-4x+9的最小值
因為x^2-4x=(x-2)^2-4
所以原式=(x-2)^2-4+9
=(x-2)^2+5
因為（x-2）^2為非負數,所以原式在x=2時取得最小值為0+5=5
對於復雜的式子同樣適用,例如：求3x^2-7x-5的最值
因為3x^2-7x=(√3x)^2-2*√3x*[7/(2√3)]+ [7/(2√3)]^2-[7/(2√3)]^2
=[√3x-7/(2√3)]^2-[7/(2√3)]^2
所以原式=[√3x-7/(2√3)]^2-[7/(2√3)]^2-5
顯然當√3x=7/(2√3)即x=7/6時,原式有最小值為0-[7/(2√3)]^2-5=-109/12

H. 配方法怎麼解最小值和最大值

一，二次項系數<0，求最大值
先將多項式合並同類向後按降冪排列，提出二次項負號後的二次項和一次項。在括弧里加上一次項系數一半的平方，再減去二次項系數一般的平方，進行配方。。例如：求-x^2+6x+8的最大值。
原式=-(x^2-6x)+8
=-(x^2-6x+9-9)+8
=-(x^2-6x+9)+9+8
=-(x-3)^2+15
因為-（x-3）^2≤0
所以當x=3時，sax原式=15
二，二次項系數＞〇，求最小值
合並同類項，按降冪排列。加上再減去一次項系數一半的平方，進行配方，由任何實數的平方都大於等於0得最小值、
例如：求x^2+6x+8的最小值
解：原式=x^2+6x+9-9+8
=(x+3)^2-1
∵（x+3）^2≥0
∴當（x+3）^2=0時，原式最小=-1
還要注意在括弧前是負號時括弧里要變號~

I. 怎麼用配方法解函數y=x+1/x（x＞0）的最小值啊（初三內容）

因為x>0所以配方的時候要使得完全平方內的數為x減去一個正數，這樣就使得x為這個數值的時候有最小值了，方法如下：
y=x+1/x=(√x)^2+(1/√x)^2=(√x)^2-2+(1/√x)^2+2=(√x-1/√x)^2+2
所以當√x=1/√x,即是x=1的時候，有最小值2
回答完畢，謝謝！

J. 初三數學怎樣用配方法求最大值和最小值

（1）首先要有二次函數的一般式y=ax²+bx+c（a≠0），如果沒有，則要先列出原始解析式，並整理得到二次函數的一般式y=ax²+bx+c（a≠0）；
（2）通過「配方法」將二次函數的一般式y=ax²+bx+c（a≠0）變成頂點式y=a（x-h）²+k；
（3）從頂點式y=a（x-h）²+k中得到產生最值的條件和最值：當x=h時，y最大或最小=k。
例如：
y=（2+x）（100-10x）【原始解析式】
=200-20x+100x-10x²
=-10x²+80x+200【整理成一般式y=ax²+bx+c（a≠0）】
=-10（x²-8x）+200
=-10（x²-8x+4²-4²）+200
=-10【（x-4）²-4²】+200
=-10（x-4）²+160+200
=-10（x-4）²+360【配方法變成頂點式y=a（x-h）²+k】
則：當x=4時，y最大=360。【得到產生最值的條件「x=h」和最值「y最大或最小=k」】