如何用配方法求二次函數的最值

A. 如何求二次函數的最大值或最小值

二次函數一般式為：y=ax*x+bx＋c

x=-b/(2a)可以使y取得最大或最小值

1、當a>0時，拋物線的開口向上，y有最大值．

2、當a<0時，拋物線的開口向上，y有最最值．

將x=-b/(2a)代入2次函數一般式即可求得y的極值(這是一般的做法)

另一種做法是配方法

把y表示成y=(kx+b)*(kx+b)+h或y=-(kx+b)*(kx+b)+h

當kx+b=0時，明顯看出第一種取得最小值，第二種取得最大值

(1)如何用配方法求二次函數的最值擴展閱讀：

拋物線與x軸交點個數：

1、Δ=b²-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

2、Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

3、Δ=b²-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。

系數表達的意義

a決定拋物線的開口方向和大小.當a>0時,拋物線向上開口；當a<0時,拋物線向下開口。

b和a共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時（即ab>0）,對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0）,對稱軸在y軸右。

c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交於（0,c）。

B. 怎樣求初中二次函數的最值

二次函數:y=ax＾2+bx+c
(a.b.c是常數.且a不等於0)
a＞0開口向上
a＜0開口向下
a.b同號.對稱軸在y軸左側.反之.再y軸右側
|x1-x2|=根號下b＾2-4ac除以|a|
與y軸交點為(0.c)
b＾2-4ac＞0.ax＾2+bx+c=0有兩個不相等的實根
b＾2-4ac＜0.ax＾2+bx+c=0無實根
b＾2-4ac=0.ax＾2+bx+c=0有兩個相等的實根
對稱軸x=-b/2a
頂點(-b/2a.(4ac-b＾2)/4a)
頂點式y=a(x+b/2a)＾2+(4ac-b＾2)/4a
函數向左移動d(d＞0)個單位.解析式為y=a(x+b/2a+d)＾2+(4ac-b＾2)/4a.向右就是減
函數向上移動d(d＞0)個單位.解析式為y=a(x+b/2a)＾2+(4ac-b＾2)/4a+d.向下就是減
當a＞0時.開口向上.拋物線在y軸的上方(頂點在x軸上).並向上無限延伸,當a＜0時.開口向下.拋物線在x軸下方(頂點在x軸上).並向下無限延伸.|a|越大.開口越小,|a|越小.開口越大.
4.畫拋物線y=ax2時.應先列表.再描點.最後連線.列表選取自變數x值時常以0為中心.選取便於計算.描點的整數值.描點連線時一定要用光滑曲線連接.並注意變化趨勢.
二次函數解析式的幾種形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c
(a.b.c為常數.a≠0).
(2)頂點式:y=a(x-h)2+k(a.h.k為常數.a≠0).
(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2).其中x1.x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標.即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根.a≠0.
說明:(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2+k.拋物線的頂點坐標是(h.k).h=0時.拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上,當k=0時.拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上,當h=0且k=0時.拋物線y=ax2的頂點在原點.
(2)當拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點時.即對應二次方程ax2+bx+c=0有實數根x1和
x2存在時.根據二次三項式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2).二次函數y=ax2+bx+c可轉化為兩根式y=a(x-x1)(x-x2).
求拋物線的頂點.對稱軸.最值的方法
①配方法:將解析式化為y=a(x-h)2+k的形式.頂點坐標(h.k).對稱軸為直線x=h.若a＞0.y有最小值.當x=h時.y最小值=k.若a＜0.y有最大值.當x=h時.y最大值=k.
②公式法:直接利用頂點坐標公式(-
.
).求其頂點,對稱軸是直線x=-
.若a＞0.y有最小值.當x=-
時.y最小值=
.若a＜0.y有最大值.當x=-
時.y最大值=
.
6.二次函數y=ax2+bx+c的圖像的畫法
因為二次函數的圖像是拋物線.是軸對稱圖形.所以作圖時常用簡化的描點法和五點法.其步驟是:
(1)先找出頂點坐標.畫出對稱軸,
(2)找出拋物線上關於對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等),
(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來.

C. 怎麼求二次函數的最大值和最小值

2次函數一般式為：y=ax*x+bx＋c
x=-b/(2a)可以使y取得最大或最小值
(1)當a>0時，拋物線的開口向上，y有最大值．
(2)當a<0時，拋物線的開口向上，y有最最值．
將x=-b/(2a)代入2次函數一般式即可求得y的極值(這是一般的做法)
另一種做法是配方法
把y表示成[1]y=(kx+b)*(kx+b)+h或[2]y=-(kx+b)*(kx+b)+h
當kx+b=0時，明顯看出〔1〕取得最小值，〔2〕取得最大值
其實配方法的本質就是第一種做法．

D. 利用配方法求二次函數最值的方法

E. 如何用配方法求出二次函數最大值，最小值。求過程加講解

＝-x²+4x-4-4
＝-（x-2）²-4≤-4
當x＝2時，最大值-4

F. 二次函數如何配方，求最值，值域

一．觀察法通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。例1求函數y=3+√(2－3x)的值域。點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函數的知域為.點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函數法當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為)四．判別式法若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。點撥：將原函數轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。五．最值法對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。點撥：根據已知條件求出自變數x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為（）A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）（答案：D）。六

G. 二次函數的最大值，最小值問題怎麼求二次函數最大值

可以用配方法，也可以用導數法來計算二次函數最大值。
1、配方法：
y=ax²+bx+c
=a(x²+b/a*x)+c
=a(x²+b/a*x+b²/(4a²))+c-b²/(4a)
=a(x+b/(2a))²+(4ac-b²)/(4a)
當x=-b/(2a)時，有極值存在。極值是(4ac-b²)/(4a)。

2、導數法：
y'=2ax+b，令y'=0，得x=-b/(2a)。
即當x=-b/(2a)時，有極值存在。
把x=-b/(2a)代入二次函數，可得函數極值是(4ac-b²)/(4a)。

極值可以是函數最大值，也可以是函數最小值，要根據函數圖像開口向下還是向上而定。

H. 怎麼求二次函數的最大值和最小值

二次函數的一般式是y=ax的平方+bx+c,當a大於0時開口向上,函數有最小值。

當a小於0時開口向下,則函數有最大值.而頂點坐標就是（-2a分之b,4a分之4ac-b方）這個就是把a、b、c分別代入進去,求得頂點的坐標.4a分之4ac-b方就是最值。

。

注意：「變數」不同於「未知數」，不能說「二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數」。「未知數」只是一個數（具體值未知，但是只取一個值），「變數」可在一定范圍內任意取值。

在方程中適用「未知數」的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別。

I. 二次函數求最值的方法有幾種

二次函數簡單的最值求法第一步肯定是算對稱軸，在R上的最值就是對稱軸對應的函數值，如果有范圍限制，對稱軸在范圍內，那麼兩個端點有一個是最值或者沒有另一個最值，對稱軸不在范圍內那麼其中一個端點是最值。
第二種求法是配方法，將x配成二項式，那麼剩下的常數項就是最值。
第三種是求導數判斷函數增減。