A. 數理方程：波動方程
參考：
[1] 顧樵，數學物理方法.
假設：我們默認[公式]。
一、一維波動方程的通解
沒有邊界條件的一維波動方程一般形式為[公式]，我們來計算它的通解。
其特徵方程為[公式]，於是可以進行變數替換[公式]，從而得到標准形式[公式]。積分兩次後，我們得到[公式]，其中[公式]是任意函數。最後通過變數替換回來，得到[公式]。實際上，我們還得到結論[公式]的通解為[公式]。
例子1
要解Dirichlet問題[公式]，其中[公式]。
將問題轉換為[公式]，進行變換[公式]，則[公式]，原問題轉化為[公式]。從第一個方程中得到[公式]，設定[公式]，得到[公式]。令[公式]，得到[公式]。聯立可得[公式]。為了求得[公式]的值，令[公式]，即有[公式]。將變數代回去，得到[公式]。
二、D'Alembert公式
定解問題[公式]的解即是D'Alembert公式。我們已知[公式]，接下來根據後兩個條件確定[公式]即可。令[公式]，得到[公式]。對[公式]求偏導，得到[公式]（注意到[公式]都是關於一元函數的求導，所以直接使用撇是沒問題的，但要記得[公式]與[公式]求偏導的區別）。令[公式]，得到[公式]。對[公式]求積分，得到[公式]，即[公式]。實際上，我們並不需要解出[公式]的確切值，只需聯立[公式]即可得到[公式]和[公式]，因此有[公式]。
三、一階PDE的特徵線法
考慮一階偏微分方程[公式]。這里[公式]不含[公式]的函數，我們可以找出一組曲線，在這些曲線上解出[公式]的值，然後合並得到整個區域上的[公式]值，這就是特徵線法。
為什麼要講這個方法呢？因為下一節我們需要將二階的PDE分解為兩個一階的進行求解，而特徵線法求解一階PDE是非常簡單的。下面介紹特徵線方法：
將[公式]視為[公式]的函數。我們還什麼都沒做。接下來，我們決定[公式]是什麼樣子。
記[公式]，則[公式]。由此可以看出，如果令[公式]，那麼在這條線上就滿足[公式]。另外，初值滿足[公式]（根據特徵線的具體形狀而定）。這樣，我們就把PDE的求解轉化為了ODE。我們就把這條線[公式]稱為該PDE的特徵線。
例子2
要解方程[公式](其中[公式])。
容易寫出特徵線為[公式]，即[公式]，並可得特徵線的起點[公式]。特徵線上滿足的ODE為[公式]，它是一個常數，因此[公式]。□
四、含一階偏導的雙曲型方程
如果方程包含一階導數，我們可以使用類似因式分解的方法，將方程化為兩個一階PDE進行求解。回到上一節的例子：
例子4
要解方程[公式]的通解。
當[公式]時，方程變為[公式]，這時設定[公式]，則[公式]。這可以直接解得[公式]，從而得到[公式]。當[公式]時，使用類似方法，因式分解得到[公式]。令[公式]，則分解成兩個一階PDE：
接下來，使用特徵線法求解，先解第一個方程，特徵線為[公式]，即[公式]，反解出起點[公式]，原問題對應的ODE為[公式]。解得[公式]，從而得到[公式]。這里[公式]是任意函數。再解[公式]，特徵線為[公式]，即[公式]，起點為[公式]，對應的ODE為[公式]。解得[公式]，從而得到[公式]。（因為[公式]是任意函數，所以我們寫成[公式]，實際上每一步之間可能有一點變化）。
五、齊次化原理
本節我們學習如何解非齊次的波動方程[公式]。首先利用迭嘉原理，將[公式]分解為兩個子問題[公式]和[公式]。顯然[公式]的解加上[公式]的解（這里指的是通常的加法）就是[公式]的解。對於[公式]，我們已經有D'Alembert公式，故只需研究[公式]的求解。
定理1：齊次化原理
設[公式]是[公式]的解，則[公式]是[公式]的解。
證明：直接驗證[公式]是解即可。首先，利用含參積分求導，可得[公式]。顯見[公式]和[公式]，因此[公式]。再求一次導，有[公式]。最後顯然有[公式]。綜上，即得[公式]是[公式]的解。□
現在只需解[公式]。令[公式]，則[公式]就化為[公式]。接下來使用D'Alembert公式，得到[公式]。再代回去，即得到[公式]的解為[公式]。其積分區域是一個三角形，由過[公式]的兩條斜率為[公式]的直線和[公式]軸圍成。最後，我們就可以寫出[公式]的解為[公式]。
例子5
要解定解問題[公式]。
寫出[公式]，然後代公式即可得到[公式]。□
六、三維波動方程的球對稱法
本節學習三維波動方程定解問題[公式]的求解。首先我們在沒有定解條件的情況下，在一類比較特殊的情形下求[公式]的通解，我們利用球坐標系來完成這件事：令[公式]，反變換為[公式]。可以計算出[公式]在球坐標系下的Laplace為[公式]（實際上我沒有計算）。於是，三維波動方程在球坐標系下轉化為[公式]。假設[公式]，則方程被化簡為（即在一個球面上的函數值都相等，注意這里只是假設，[公式]不一定符合這樣的性質）[公式]。進一步寫，有[公式]。故[公式]滿足波動方程[公式]，可以寫出其通解[公式]。於是，[公式]被稱為三維波動方程的球對稱解。
需要注意的是，一般來說，[公式]並不是球對稱的，但可以先固定[公式]，然後考慮以[公式]為球心，[公式]為半徑的球面上的平均值，這個平均值就是[公式]的函數。將其具體寫出來，設這個球面為[公式]，則[公式]在此球面上的平均值為[公式]。取極限即得到[公式]。我們可以通過解一個微分方程來獲得[公式]，但書中給出了一個更簡單的方法，盡管看起來更像一種嘗試性的推廣，但結果是對的，而且這樣類比來記也比較好記。
回憶一維波動方程定解問題的D'Alembert公式[公式]，它可以寫為[公式]。如果引進區間上的平均值，則我們可以寫[公式]。這個結果很容易類比到三維，即[公式]。其中[公式]。代入回去，得到[公式]。可以驗證，這確實是[公式]的解。我們把[公式]稱為[公式]的Poisson公式。
例子6
在[公式]中，取[公式]，求解定解問題[公式]。
直接用公式即可，利用對稱性，立即得到[公式]，從而得到[公式]。□
七、二維波動方程的降維法
本節我們考慮二維波動方程的定解問題[公式]。我們求解思路是將其視為三維波動方程[公式]的退化情況。這里，可以將[公式]看作是一個三維問題，但[公式]與[公式]無關。於是我們只需在Poisson公式[公式]中消去[公式]，即設法將關於球面[公式]的積分轉化為關於圓域[公式]的積分即可。
由於兩個積分具有相同的形式，我們只以[公式]為例。首先注意到對稱性，[公式]。因為[公式]與[公式]無關，故在一條豎線上的取值都是一樣的，這樣我們就可以很方便地將球面積分轉化為圓域上的積分。
因為在這條豎線上恆有[公式]，故現在只需再對面積元做一個轉換。我們有[公式]，其中[公式]是它們法線方向的夾角。根據幾何關系容易求出[公式]。最終，這個積分就轉化為[公式]。記[公式]，則寫出[公式]的解為[公式]。
例子7
設[公式]，求解定解問題[公式]。
套公式就行，唯一的困難是需要計算積分[公式]。為此，令[公式]，變換的Jacobian行列式為[公式]，故得到[公式]。涉及到的計算細節較多，需要一些簡單的基本功。
稍微做些說明：
等號[公式]中，相乘後有許多項消掉了，這是因為[公式]等函數在[公式]上的積分結果直接等於零，因此可以不必考慮；
等號[公式]中，使用了變數代換[公式]，由於[公式]從[公式]，故[公式]從[公式]；
等號[公式]中，使用了Wallis公式：[公式]。
最後，套公式即求得[公式]。□
B. 十九世紀的偏微分方程（五）
波動方程和退化波動方程
波動方程可能是最重要的一種偏微分方程，在三維空間的基本形式是 。18世紀已引入波動方程，並用球坐標表示了。19世紀發現了波動方程的新用途，特別是萌芽時期的彈性領域：包括各種形狀的固體在不同的初始條件和邊界條件下的振動，波在彈性體中的傳播，以及聲和光的傳播問題。
變數可分離時，解波動方程的技巧類似傅里葉解熱方程、或者拉梅用曲線坐標系表示位勢方程。Mathieu用曲線坐標變數分離後解得波動方程是其中的典型。還有一類方法是把方程作為整體，第一個主要成果是關於論述初值問題的。泊松在1808-1819年間研究波動方程，得到了關於波u(x,y,z,t)的傳播公式、
其中θ和Φ是普通球坐標，積分區域是以坐標為(x,y,z)的P點為中心，以at為半徑的球Sat的表面。這個結果意味著，假如初始擾動是由邊界為S的物體V發出，使Φ0和Φ1定義在V上，並在V外為0，那麼初始擾動在V上被局部化了。這個公式告訴我們在V外任意點P(x,y,z)處波的傳播情況，令d,D分別表示P到V上的點的最小距離和最大距離，當t<d/a時，積分為0，即從S擴展出來的波的波前還沒有到達P，t=d/a時，球Sat剛接觸S，從S出發的波剛到達P，t在d/a~D/a區間時，球Sat交割V，t=D/a時，波的尾緣通過P，最後t>D/a時，V在球Sat內部，初始擾動已經離開了P。波的前緣是中心在S，半徑為at的一族球面的包絡，區分了擾動已到達的點和尚未到達的點，波的後緣是一個曲面，區分了存在擾動的點和擾動已離開的點，由此可見在空間局部化的擾動在每一點P引起的效果僅持續有限時間。此外這個波有前緣和後緣，這個現象稱為惠更斯原理。
黎曼在研究有限振幅聲波傳播時建立了解波動方程初值問題的另一個方法。他考慮如下二階線性微分方程：
已知沿曲線Γ的u和u對法向的偏導數（即知道u對x,y的偏導數），要求在任意P點處的u。黎曼的方法是先找函數v（也稱為黎曼函數或特徵函數），使其滿足共軛方程和其它條件。
在P點處黎曼引入x=ξ上的線段PP2和y=η上的線段PP1，將廣義格林定理（二維情形）用於微分表示式L(u)，最後得到任意點P處的u值：
黎曼方法把原來關於u的初值問題變成關於v的初值問題（變成較容易求的），黎曼在他研究的物理問題中很容易找到v，但v的存在性一般不是由黎曼證明的。這個方法僅適用於二元波動方程（雙曲方程），不能直接推廣，如果推廣到二個以上獨立變數，那麼黎曼函數在積分區域邊界上變為奇異，積分發散，難以處理。這個方法後來得到了推廣，但同時增加了復雜性。
穩態問題也推進了用其它方法解波動方程的進展，產生了簡化的波動方程。波動方程形式上包含時間變數，比如對於簡單諧波，假設u=w(x,y,z)e^(ikt)，代入波動方程則得到： ，稱為退化波動方程或亥姆霍茲方程，表示所有調和的、聲音的、彈性的、電磁學的波，別人找特殊積分就完事了，但亥姆霍茲(1821-1894)在研究一端開放管道內的空氣振動時，給出了第一個關於這個方程解的普遍性結論。他關注傳音問題，其中w是作諧振動氣體的速度勢，k是由空氣彈性和振動頻率確定的常數，λ是波長=2π/k，他用格林定理證明方程任一個在給定區域內的連續解可以表示為區域表面激發點的單層和雙層效應，把e^(-ikr)/4πr作為格林定理中的一個函數，他得到區域內任一點P處的w：
19世紀的德國著名數學物理學家G.R.基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824～1887）用亥姆霍茲的工作求得波動方程處置問題的另一個解，把上式改寫為：
令Φ(t)為u在時刻r時邊界上任一點(x,y,z)處的值，f(r)是u對法向n的偏導，基爾霍夫證明：
即在P處的u就用u和u對n的偏導在較早時刻圍繞P點的閉曲面上的值表出，這個結果稱為聲學的惠更斯原理，是泊松公式的推廣。
之前提到黎曼用了稍微廣義的格林定理，用到共軛微分方程的格林定理的完全推廣也稱為格林定理，由杜·布瓦一雷蒙(Du Bois-Reymond，1831-1889)和達布(Darboux,1842-1917)分別提出，二者都引用了黎曼1858/1859的論文。給定方程：
得到廣義的格林定理： ，其中重積分展布於R的內部，單積分展布於R的邊界，並得到M(v)和P，Q的表達式。其中M(v)是L(u)的共軛表達式，M(v)=0是共軛微分方程。
格林定理可以求某些偏微分方程的解，例如橢圓型方程總能寫成形如L(u)的形式，由此可得共軛微分方程M(v)=0，解v在任意點(ξ,η)像對數那樣變為無窮，性態等同於v=Ulogr+V，r是點(ξ,η)到(x,y)的距離，U,V在所考慮的區域R內連續，且U為標准化的，即U(ξ,η)=1。把(ξ,η)包圍在一個圓內並剔出積分區域，當圓收縮到(ξ,η)時有
解得函數v稱為格林函數，當我們知道v，以及邊界給定u和u對n的偏導，u就可以表示為單積分。常常把v在R的邊界上為0的條件附加到格林函數的定義中，格林定理的用法已發展到各種特殊情形和各種推廣。