⑴ 二次曲面 請問z=xy是一個什麼樣的曲面怎樣做變換化為標准型
z=xy表示一個雙曲拋物面,可以利用二次型的相關理論化簡
設x'=x+y,y'=x-y
即x=(x'+y')/2,y=(x'-y')/2
z=xy=(x'+y')/2*(x'-y')/2=x'^2/4-y'^2/4
⑵ 線性代數問題：幫幫我利用坐標系變換對下列這個二次曲面方程進行化簡，謝謝
可以利用曲面的一般方程a11X^2 + a22y^2 +a33Z^2 +2a12Xy +2a13XZ +2a23yZ +b1X +b2y +b3Z +C =0 進行求解，可令A=（aij）,其中aij=aji（1，2，3） X^T=（x y z） b^T=(b1 b2 b3)求出正交矩陣P，再通過坐標旋轉變換X=Py得出X^TAX 和b^TX代到二次曲面方程，再作坐標平移變換就可以化簡曲面方程了！！你試試看，應該可以做出來的！！
⑶ 二次曲面方程分類的方法有幾種分別是什麼
常見的大概有
1、柱面：F（x,y）=0（z是全體實數）例如x^2+y^2=R^2圓柱曲面
2、圓柱曲面：方程是2次其次式F（x^2,y^2,z^2）=0例如：x^2/4+y^2/8=z^2（包括橢球面）
3、旋轉曲面：f（正負根下（x^2+y^2）,z）=0比如：根下x^2+y^2=|y1|,z=z1
4、二次曲面一般式：Ax+By+Cz+Dxy+Eyx+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0
⑷ 線代二次型化簡詳細步驟
設f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 這里aij是系數， 滿足aij=aji
則稱f為n元二次型。
將系數aji按照下標ij排成矩陣， 亦即將aji放在第i行第j列的位置上。
這樣得到一個對稱矩陣， 記為M。
如果記向量X=(x_1,x_2,...,x_n)`（即向量X的轉置），那麼二次型f（x_1,x_2,...,x_n）即可表示為
f(x_1,x_2,...,x_n)=X`MX
這里的X`MX即為矩陣的乘法。
二次型是線性代數的重要內容之一，它起源於幾何學中二次曲線方程和二次曲面方程化為標准形問題的研究。二次型理論與域的特徵有關。
⑸ 二次曲面的簡便化簡方法
為了回答這個問題，需要用到比較充分的解析幾何和線性代數知識。首先明確二次曲面是什麼，二次曲面就是三元二次方程在直角坐標系下的圖像，一般的三元二次方程可以表示為： a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c=0 .其中 a_{11},a_{22},a_{33} 不全為0，2a_{12}xy,2a_{13}xz,2a_{23}yz 叫作交叉項， 2b_{1}x,2b_{2}y,2b_{3}z 叫作一次項，c叫作常數項。接下去用 \alpha=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 來表示點的坐標。我們知道對一個圖形，平移、旋轉、對稱變換（我們稱為反射），都是不會改變形狀的。平移變換可以用 \alpha+\alpha_0 來表示，因為它將每個點 \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 變為了 \left( \begin{array}{c} x +x_0\\ y+y_0 \\ z +z_0\\ \end{array} \right) .旋轉、反射都對是正交變換，而一個正交變換能分解為旋轉、反射的復合，正交變換用Uα表示，其中U是正交矩陣。為了將二次曲面分類，我們應當利用正交變換、平移變換將一般的二次曲面方程進行化簡。由於 a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c= \left ( \begin {array} {cccc} x & y & z & 1 \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & b_ {1} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} & b_ {2} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} & b_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} & c \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {c} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end {array} \right) ,記 A=\left ( \begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \\\end {array} \right) ,\varepsilon=\left ( \begin {array} {c} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \\\end {array} \right),則三元二次方程可以記為 \left( \begin{array}{cc} \alpha^T & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ 1 \\ \end{array} \right)=0 ,\Rightarrow\alpha^TA\alpha+\varepsilon^T\alpha+\alpha^T\varepsilon+c=0 ,注意到 \varepsilon^T\alpha=\alpha^T\varepsilon ，於是進一步將方程化簡為 \Rightarrow\alpha^TA\alpha+2\varepsilon^T\alpha+c=0 .我們將 \left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) 稱作二次曲面的表示矩陣（同理，n階對稱矩陣可以是n-1元二次方程的表示矩陣，表示形式是一致的）。由於A是對稱矩陣，所以A可以正交相似到對角型，即存在正交陣U和對角陣 \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) ,滿足：\Lambda=U^TAU 。先做正交變換 \beta_1=U^T\alpha ,即 \alpha=U\beta_{1} ，代入方程得 (U\beta_{1})^TA(U\beta_{1})+2\varepsilon^T(U\beta_1)+c=0 \Rightarrow\beta_1^TU^TAU\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 \Rightarrow\beta_1^T\Lambda\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 .記 \varepsilon^TU=(\mu_1\ \mu_2\ \mu_3) ，則方程可寫為 \lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 .其中x',y',z'為 \beta_1 的三個分量。可以看到交叉項已經被約去了。對於方程\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 ，若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3全不為0，則可配方為： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+\lambda_3(z'+\mu_3/\lambda_3)^2+c'=0 ,其中c'表示配方後的常數項，下文同。只需做平移變換： \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\\mu_3/\lambda_3\\\end {array} \right) ,方程變為 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\lambda_3w^2+c'=0 ，其中u，v，w是 \beta 的三個分量，下文同。若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有一個為0，不妨設 \lambda_3為0，則同樣配方可得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+2\mu_3z'+c'=0 。做平移變換 \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\0\\\end {array} \right) ，方程變為 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w+c'=0 .若 \mu_3 =0,則方程為 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+c'=0 ，否則可以再進一步對w做平移可消除常數項，這里不再具體寫出變換過程，最後得： \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w=0 .若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有兩個為0，不妨設 \lambda_2,\lambda_3為0,同樣可先對x'配方得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c'=0 ，先做平移變換 \beta_2=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ 0\\0\\\end {array} \right) ,得方程： \lambda_1x''^2+2\mu_2y''+2\mu_3z''+c'=0 ,其中x'',y'',z''是 \beta_2 的三個分量。若 \mu_2,\mu_3 全為0，則直接令 \beta=\beta_2 ,方程為： \lambda_1u^2+c'=0 。若 \mu_2,\mu_3 不全為0，做正交變換 \beta=\left ( \begin {array} {ccc}1 & 0 & 0 \\0& \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_2 & \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_3 \\ 0 & \nu_1 & \nu_2 \\\end {array} \right)\beta_2 ,其中 (\nu_1,\nu_2) 是與 (\mu_2,\mu_3)正交的單位向量，這保證了上述變換為正交變換。於是方程變為 \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v+c'=0 .再進一步對v做平移可以消去常數項，這里不再寫出變換過程，最後得： \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v=0 .綜上所述，我們發現一般二次曲面在經過正交變換和平移變換後都會變成以下曲面之一：au^2+bv^2+cw^2=d ；au^2=d； au^2+bv^2=d ；au^2+bv^2=cw；au^2=bv.上述所有方程除了d所有系數都不為0.進一步對上述方程系數的正負性進行討論，便可將二次曲線分類。au^2+bv^2+cw^2=d，a，b，c，d全大於0，為橢球面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c有1個小於0，其餘大於0，且d大於0，為單葉雙曲面，或者a，b，c有1個大於0，其餘小於0，且d小於0，為單葉雙曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c，d其中兩個為正，兩個為負，為雙葉雙曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，d為0，a，b同號且與c異號，即： au^2+bv^2=cw^2 ，a，b，c同號，為橢圓錐面。au^2+bv^2=d ，a，b，d同號，為橢圓柱面。au^2+bv^2=d ，a，b異號，d不為0，為雙曲柱面。au^2+bv^2=cw ，a，b，c同號，為橢圓拋物面。au^2+bv^2=cw ，a，b異號，c不為0，為雙曲拋物面。au^2=bv ，a，b不為0，為拋物柱面。au^2+bv^2+cw^2=0 ，a，b，c同號，為一點。au^2+bv^2=0 ，a，b同號，即為直線 \frac{u}{1}=\frac{v}{1}=\frac{w}{0} .au^2+bv^2=0 ，a，b異號，則可用平方差公式將其分解為兩個平面方程的乘積，故代表兩個相交平面。au^2=d ，a，d同號，為兩張平行平面。au^2=0 ，a不為0，為兩張重合平面（也可以說是一張平面）。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c同號且與d異號，則無實解，稱為虛橢球面。au^2+bv^2=d ，a，b同號且與d異號，則無實解，稱為虛橢圓柱面。au^2=d ，a，d異號，則無實解，稱為兩張虛的平行面。題主所說的9種實際上是上述的1-9，是非退化的二次曲面，而10-14是退化的二次曲面，實際上是點、直線或是兩張平面（將14視為兩張重合平面就是為了統一），15-17是無實解的情況。本文的方法適用於對任意維歐氏空間下的n元二次方程圖象進行分類，大家可以嘗試用一樣的方法去討論二次曲線的分類。事實上，本文給出了從一般三元二次方程變形到5類方程的方法，再通過對系數情況的判定可以確定二次曲面是17類中的哪一類，然而我們其實可以找到從原方程變到5類方程後的系數與原方程表示矩陣的關系，比如二次項的系數實際上就是A的特徵值，所以引入表示矩陣的意義在於即便不把方程先變到5類方程也可以直接通過研究表示矩陣的特徵來確定二次曲面屬於17類中的哪一類。這個手段同樣對任意元的二次方程適用，解析幾何中學習的二次曲線通過不變數確定類別實際上就是這個道理。關於這一點，大家感興趣的話，等我有空會另開文章講述⑹ 簡單的二次曲面化簡 求解過程
這是雙曲線方程，要平移加旋轉
如果你算出了cot2a = 5/12
那cos2a = 5/13
sin2a = 12/13