二次型常用的常用解決方法

Ⅰ 怎樣用配方法求二次型的標准型重點是如何配方

x1^2-4x1x2+4x1x3

=x1^2-4x1(x2-x3)+4(x2-x3)^2-4(x2-x3)^2

=[x1-(x2-x3)]^2-4(x2-x3)^2

配方的方法：

1、若二次型中不含有平方項則先湊出平方項。

方法：令x1=y1+y2,x2=y1-y2, 則 x1x2 = y1^2-y2^2

2、若二次型中含有平方項x1。

方法：則將含x1的所有項放入一個平方項里, 多退少補，將二次型中所有的x1處理好，接著處x2,以此類推。

(1)二次型常用的常用解決方法擴展閱讀：

配方法的其他運用：

①求最值：

【例】已知實數x,y滿足x²+3x+y-3=0，則x+y的最大值為____。

分析：將y用含x的式子來表示，再代入(x+y)求值。

解：x²+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x²，

代入(x+y)得x+y=3-2x-x²=-(x²+2x-3)=-[(x+1)²-4]=4-(x+1)²。

由於(x+1)²≥0,故4-(x+1)²≤4.故推測(x+y)的最大值為4，此時x，y有解，故(x+y)的最大值為4。

②證明非負性：

【例】證明：a²+2b+b²-2c+c²-6a+11≥0

解：a²+2b+b²-2c+c²-6a+11=(a-3)²+(b+1)²+(c-1)²，結論顯然成立。

Ⅱ 關於二次型標准型和規范型

求二次型的標准形可通過:
1. 配方法 (這個常用), X=PY, P可逆
2. 特徵值特徵向量法 (這種方法比較麻煩. 除非題目要求正交變換時用此方法), X=QY, Q是正交矩陣
3. 初等行列變換 (這個同1是可逆變換)

若題目只要求出規范型, 用配方法比較簡單.
另, 規范型不是對應矩陣的等價標准形, 規范型中有1和-1.

例: f= y1^2+3y2^2-5y3^2
令 z1=y1,
z2=√3y2,
z3=√5y3.
則 f = z1^2+z2^2 - z3^2.

Ⅲ 線性代數（二次型化為規范型問題）如何解決

1、是的，一般是先化為標准型；

如果題目不指明用什麼變換, 一般情況配方法比較簡單；

若題目指明用正交變換, 就只能通過特徵值特徵向量了；

2、已知標准形後, 平方項的系數的正負個數即正負慣性指數；

配方法得到的標准形, 系數不一定是特徵值。

例題中平方項的系數 -2,3,4, 兩正一負, 故正負慣性指數分別為2, 1；

所以規范型中平方項的系數為 1,1,-1 (兩正一負)。

3、有的二次型可以直接化為規范形，可省去化標准形的過程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，則f=4u^2+v^2-4w^2，這是標准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，則直接得規范形f=u^2+v^2-w^2。

(3)二次型常用的常用解決方法擴展閱讀：

線性代數是代數學的一個分支，主要處理線性關系問題。線性關系意即數學對象之間的關系是以一次形式來表達的。

例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個平面相交，由兩個三元一次方程所組成的方程組來表示。

含有n個未知量的一次方程稱為線性方程。關於變數是一次的函數稱為線性函數。線性關系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。

Ⅳ 正交變換法化二次型為標准型技巧

正交變換法化二次型為標准型技巧是正交變換和配方法正交變換。

二次型化成標准型的方法是正交變換和配方法正交變換，二次型（quadratic form）是指n個變數的二次多項式稱為二次型，即在一個多項式中，未知數的個數為任意多個，但每一項的次數都為2的多項式。

在數學中，由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式（若有減法：減一個數等於加上它的相反數）。多項式中的每個單項式叫做多項式的項。

Ⅳ 用三種方法化二次型為標准形，並求所用的可逆線性變換．

化二次型為標准形有配方法、初等變換法、二次變換法等，具體太多，請參看【網路文庫】《化二次型為標准型的方法》
http://wenku..com/link?url=ZK3ypMSSG_PYW-MLR-0NbuyI-gAboSOEOrziSkCHkmSSO2KHc-Ll37x7Tm2EjvuHdkJ_

Ⅵ 最優控制二次型中pq代表什麼

二次型的系數（待定參數）

最優控制（optimal control）
使控制系統的性能指標實現最優化的基本條件和綜合方法，可概括為：對一個受控的動力學系統或運動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優的控制方案，使系統的運動在由某個初始狀態轉移到指定的目標狀態的同時，其性能指標值為最優。這類問題廣泛存在於技術領域或社會問題中。例如，確定一個最優控制方式使空間飛行器由一個軌道轉換到另一軌道過程中燃料消耗最少。最優控制理論是50年代中期在空間技術的推動下開始形成和發展起來的 。美國學者R.貝爾曼1957年提出的動態規劃和前蘇聯學者L.S.龐特里亞金1958年提出的極大值原理，兩者的創立僅相差一年左右。對最優控制理論的形成和發展起了重要的作用。線性系統在二次型性能指標下的最優控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。從數學上看，確定最優控制問題可以表述為：在運動方程和允許控制范圍的約束下，對以控制函數和運動狀態為變數的性能指標函數（ 稱為泛函 ） 求取極值（ 極大值或極小值）。解決最優控制問題的主要方法有古典變分法（對泛函求極值的一種數學方法）、極大值原理和動態規劃。最優控制已被應用於綜合和設計最速控制系統、最省燃料控制系統、最小能耗控制系統、線性調節器等。
研究最優控制問題有力的數學工具是變分理論，而經典變分理論只能夠解決控制無約束的問題，但是工程實踐中的問題大多是控制有約束的問題，因此出現了現代變分理論。

現代變分理論中最常用的有兩種方法。一種是動態規劃法，另一種是極小值原理。它們都能夠很好的解決控制有閉集約束的變分問題。
值得指出的是，動態規劃法和極小值原理實質上都屬於解析法。此外，變分法、線性二次型控製法也屬於解決最優控制問題的解析法。最優控制問題的研究方法除了解析法外，還包括數值計演算法和梯度型法。

Ⅶ 二次型化為標准形有哪些方法啊麻煩舉例說明下！！

有兩種方法：正交變換和配方法正交變換，求出A的所有特徵值和特徵向量將特徵向量單位正交化由這些特徵向量組成的矩陣Q就可以將A對角化，二次型就化為標准型了配方法，就按照完全平方公式配方。

任何非零的n維二次形式定義在投影空間中一個 (n-2)維的投影空間。有序對（V,q），這里的V是在域k上的向量空間，而q：V→k是在V上的二次形式。

(7)二次型常用的常用解決方法擴展閱讀：

雙線性形式B的核由正交於V的所有元素組成，而二次形式Q的核由B的核中的有Q(u)=0的所有元素u組成。 如果2是可逆的，則Q和它的相伴雙線性形式B有同樣的核。

雙線性形式B被稱為非奇異的，如果它的核是0；二次形式Q被稱為非奇異的，如果它的核是0。

Ⅷ 關於二次型化一般為標准型的問題

矩陣間合同的定義就是：存在一個n階可逆矩陣C
使：C'AC==B就主A,B合同
相似和合同都可以得到等價
那這樣你可以隨便取一個滿秩的矩陣C,就行了

Ⅸ 把二次型化為標准型，為什麼需要正交變換

不一定需要正交變換來把二次型化為標准型,還可以有許多方法,如拉格朗日配方法
用正交變換,具有保持幾何形狀不變的優點!

Ⅹ 二次型化為標准型的幾種常見解法

有兩種方法 正交變換和配方法
正交變換：
求出A的所有特徵值和特徵向量
將特徵向量單位正交化
由這些特徵向量組成的矩陣Q就可以將A對角化,二次型就化為標准型了
配方法：
就按照完全平方公式配方