等腰三角形學情分析方法

⑴ 如何設置適當的問題，驅動學生通過小組合作對等腰三角形的性質展開探究活動

一、教學設計理念 倡導生活性課堂，追求對話、交往、互動的生成性教學； 注重發展性教學,教師只是教學的組織者，引導者，合作者； 體驗生命性教學，讓教學過程成為師生的一段生命歷程，體驗和感悟。這是新課程教學的 最高境界。讓學生經歷知識的發展與形成的過程，達到學法與知識的雙向提升。 二、教材分析學情分析及處理 1、教材的地位和作用 本節課是在學習了三角形的有關概念及性質，還有軸對稱變換、全等三角形和尺規作圖 的基礎上進行的，它既是前面所學知識的延伸與深化，同時也是後面直角三角形，中垂線的 重要的堅實基礎，又為今後證明角相等、線段相等及兩直線垂直提供了新的方法和依據，拓 寬了學生的解題思路．所以它在教材中處於非常重要的位置，起著承前啟後的作用。 2、學生情況分析及對策 （1）從學生學習的心理特點上看，八年級學生好奇心強，對生活中數學問題充滿著濃厚 的興趣，為此，在教學中我充分挖掘了身邊的實際問題，從而找到了最佳的切入點。 （2）從學生已有的認知水平上看，學生積累不少三角形與軸對稱問題的經驗，我通過較 好的情境創設及環環相扣問題設計，達到滿意的教學效果。 根據教材的內容和學生的實際，我制定的教學目標教學重點、難點教學方法如下： 3、教學目標 知識與技能：能夠探究，歸納，驗證等腰三角形的性質，並學會應用等腰三角形的性質。 過程與方法：經歷剪紙，折紙等探究活動，進一步認識等腰三角形的定義和性質，了解 等腰三角形是軸對稱圖形。 情感態度與價值觀：培養學生的觀察能力，激發學生的好奇心和求知慾，培養學習的自 1 信心合作交流中體驗成為課堂主人的快樂，感受圖形中的動態美、和諧美、對稱美；感受合 作交流帶來的成功感，樹立自信心.合作交流中體驗成為「課堂主人」的快樂， 4、教學重點與難點 教學重點：等腰三角形「等邊對等角」「三線合一」特徵的發現、探索、應用過程； 、 教學難點：通過操作、觀察、歸納得出等腰三角形的特徵，並進行合理的運用.通過多媒 體動態演示以突破難點； 三、教學方法與手段 教學方法：情境導入法、動手實踐法、談話法。 教學手段：多媒體課件輔助教學。 四、教學流程 （一）提出問題、創設情境 （三）實踐探索，感受特徵 （五）交流合作，解決問題 （七）回顧小結，整體感知 五、教學程序 （一）創設情境，導入新課 上課之初，我先設計創設了這樣的一個場景，在優美的音樂聲中，我先出示了學生非常 熟悉和感興趣的蝴蝶、房屋人字架等美麗的圖片，讓學生觀察尋找出其熟悉的幾何圖形，然 後動手作出這個圖形，並裁下來，動手摺疊，發現規律。這樣激發了學生的好奇心和求知慾。 圖片最後有意識落在等腰三角形處。為後續學習做好鋪墊。引導學生用軸對稱的觀點來進行 今天的數學活動。 （二）回顧定義，引出新知 （四）應用新知，鞏固新知 （六）發散練習，拓展提高 （二）回顧定義，引出新知 接下來是動手實踐環節，學生分組合作動手試試看，驗證他們的猜想。 如圖：把一張長方形紙片按圖中的虛線對折,並剪去紅線下方 2 數學活動 ——做一做 探究 如圖：把一張長方形紙片按圖中的虛線對折, 並剪去紅線下方的部分,再把它展 開,得△ABC B A C D 觀察 AC和AB有什麼關系?這個三角形有什麼特點? AC=AB, △ABC是等腰三角形 的部分,再把它展開,得△ABC，觀察：AC 和 AB 有什麼關系? 這個三角形有什麼特點?教師引導學生用軸對稱觀點猜一猜：等腰三角形有哪些性質?說說你 的猜想.教師先給出等腰三角形的相關概念。接下來是 （三）實踐探索，感受特徵 數學活動— 重合的角 ∠BAD 和∠CAD ∠C 和∠B ∠ADC 和∠ADB 重合的線段 AB 和 AC AD 和 AD BD 和 CD A 學生觀察自己剪出的等腰三角形，教師演示操作過程、展示表格，學生合作找出其中重 合的線段和角，填入下表： 為下一步研究等腰三角形的性質作好准備，小組合作目的是培養學生的動手、動腦、動口能 力。通過觀察所得表格總結如下猜想 1:等腰三角形的兩個底角相等，2.等腰三角形的頂角平 分線、底邊上的中線、和底邊上的高相互重合（三線合一） ，3. △ABD≌△ACD，等腰三角形 兩腰上的高相等等結論，為了驗證它的正確性，學生採用了一種初中常見的方法——綜合證 明法。目的是培養學生分析、歸納及嚴密的邏輯思維能力。 這時我牢牢抓住了摺痕引導學生如何做輔助線， 抓住折完後圖形的重合部分有什麼特點， 各小組互相交流，分別從做頂角的平分線、底邊的高線、底邊的中線等方法入手，利用全等 給出了證明。有的小組根據等腰三角形的腰相等，還用代數手段面積法證明了給予了證明。 這些題的證明方法是各小組成員在合作交流中互相補充、相互融合得出的共同結論，對 研究解決等腰三角形的相關問題，起著及其重要的作用，同時此處也是本節課的難點所在， 但通過實踐操作的充分反而，非常輕松探究出等腰三角形的一些結論。 （四）應用新知，鞏固新知 （五）交流合作，解決問題 練一練 如圖，在下列⊿ABC中，AB=AC分別求出圖形（1）（2）的底 角的度數。 4說理由 A ∵ AB=AC， ∠ BAC=90°（已知 ） ∠A+∠B+∠ C=180 °（ ） B D C A 36° A 120° ∴∠ B= ∠ C= 180 ? 90 = 45° （ ° ° 2 ） B （2） ∵ AD是底 邊BC上的高， ( ) C B （1） C ∴∠ BAD= ∠ DAC=45°= 1 ∠ BAC =45°（ 2 ） 練習 1、練習 2 是較為簡單的問題，設計的目的是面向全體學生增強他們學習數學的興 3 趣和自信心，加深對本節知識的理解，同時培養學生分類討論的思想，進一步鞏固等腰三角 形的性質，又為後面的三角形系列的推理做好鋪墊。通過討論交流，實現生生、師生互助， 豐富情感體驗，活躍課堂氣氛，使各層面學生學有所得。

⑵ 初二上冊數學 等腰三角形的要點 怎麼學好

等腰三角形·要點全析1．等腰三角形（isosceles triangle）
有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．如圖14-3-1，△ABC中，AB＝AC，則△ABC是等腰三角形．相等的兩條邊叫腰，另一條邊BC叫底邊，兩腰所夾的角叫頂角，如∠BAC，底邊和腰的夾角∠ABC和∠ACB叫底角．
如圖14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那麼，AC、BC為腰，AB邊為底，∠A、∠B為底角，∠C為頂角．
【說明】要理解等腰三角形的定義，需注意以下幾點：
（1）等腰三角形的底不一定在下方，而頂角不一定在上方，如圖14-3-2中，AB為底，∠C為頂角．它是根據兩腰的位置來確定的．
（2）等腰三角形的三邊仍要滿足條件：任意兩邊之和大於第三邊（或任意兩邊之差小於第三邊）．若圖14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，則2m＞a，即m＞時，才能構成三角形，否則不成立．如邊長分別為2，2.5的三條線段不能構成三角形，因為2＋2＜5．
例如：（1）下列各組數據為邊長時，能否組成三角形？
①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；
③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．
（2）已知等腰三角形的兩邊為6 cm，7 cm，求其周長．
（3）已知等腰三角形的兩邊長為2 cm，7 cm，求其周長．
解：（1）①由於2＋3＝5，即a＋b＝c，而不滿足a＋b＞c，∴不能組成三角形．
②由於2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以組成三角形．
③由於1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以組成三角形．
④由於a＋b＞c，因此a、b、c可以組成三角形．
（2）因等腰三角形的兩邊長分別為6 cm、7 cm
當腰長為6 cm時，周長為6＋6＋7＝19（cm）
當腰長為7 cm時，周長為6＋7＋7＝20（cm）．
∴等腰三角形的周長為19 cm或20 cm．
（3）因等腰三角形的兩邊長分別為2 cm，7 cm，所以腰長為7 cm，而不能是2 cm．若為2 cm，則2＋2＝4＜7，不能組成三角形．因此周長為7＋7＋2＝16（cm），
∴等腰三角形的周長為16 cm．
2．等腰三角形的性質1
等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成「等邊對等角」）
如圖14-3-3，△ABC中，AB＝AC，則∠B＝∠C
證法一：（利用軸對稱）過點A作△ABC的對稱軸AD．
∵AB＝AC，∴點A在BC的垂直平分線上．
又∵AD為△ABC的對稱軸，
∴△ABD≌△ACD（軸對稱性質）．
∴∠B＝∠C
證法二：（作頂角平分線）過點A作AD平分∠BAC交BC於D，如圖14-3-3，
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠C
【說明】還可以作底邊BC的中線和高來證明．
證法三：如圖14-3-4，過B、C分別作AC、AB邊上的高BD、CE，

在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴BD＝CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠B＝∠C．
證法四：如圖14-3-5，分別取AB、AC的中點E、D，連接BD、CE．

∵AB＝AC，AD＝DC＝AC，AE＝BE＝AB，
∴AD＝BE＝AE＝DC
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
在△BCE和△CBD中
∴△BCE≌△CBD（SSS）．
∴∠ABC＝∠ACB．
【說明】從以上的證法二、三、四中可以看出，要證兩角相等，都是想方設法把它們放在兩個三角形中，證兩個三角形全等．
3．等腰三角形的性質2（簡稱「三線合一」）
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線相互重合．
如圖14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD為頂角的平分線，那麼AD既是中線，又是高線，這三條線重合．在使用時，在這三條線段中，只要作出其中一條，另外兩條也就可以認為作出來了．

即△ABC中，AB＝AC，
若AD平分∠BAC，則AD⊥BC，BD＝CD；
若BD＝CD，則AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；
若AD⊥BC，則BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．
因此，等腰三角形中的這條線非常重要，一旦作出，邊、角的等量關系就都有了．
【說明】（1）「三線合一」僅限於等腰三角形中才有，其他三角形中沒有．
（2）在一般三角形中，這三條線是不會重合的．

如圖14-3-7，在△ABC中，AD為高，AE為中線，AF平分∠BAC，因此，這三條線不重合．只有等腰時，三條線才會重合；反過來，若某一三角形中三線重合，則該三角形為等腰三角形．
（3）在今後的證明題中，經常會使用「三線合一」進行證明．
例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC於D，如圖14-3-8．求證：∠BAC＝2∠DBC

證法一：
在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．
∴∠DBC＝90°－∠C．
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．
∴∠BAC＝2∠DBC
證法二：藉助於三線合一的性質，過A作AM⊥BC於M，則AM平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.
又∵BD⊥AC交AC於D，AM⊥BC交BC於M，
∴∠DBC＝90°－∠C
又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM
4．等腰三角形的性質3（軸對稱性）
等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的中線（頂角平分線、底邊上的高）所在的直線就是它的對稱軸．

如圖14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，則△ABC的對稱軸為AD所在的直線，△ABD≌△ACD．
過D作DE⊥AB，交AB於E，作DF⊥AC，交AC於F．
由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．
同理，過D分別作AB、AC邊上的中線和角平分線，它們都相等．因此，得到等腰三角形的一個重要結論．
重要結論：過等腰三角形底邊的中點向兩腰所作的高線、中線以及角平分線，其與兩腰所截得的線段都分別對應相等．
5．等腰三角形的性質4（兩腰上的對應線段相等）
等腰三角形兩腰上的中線、高線和兩底角平分線對應相等．

例如：如圖14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分別為AC、AB邊上的高線，則BD＝CE．
證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等邊對等角）．
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．
在△BCD和△CBE中，
∴△BCD≌△CBE（AAS）．
∴BD＝CE．
或S△ABC＝AB·CE＝AC·BD．
∵AB＝AC，∴BD＝CE．此法較為簡便．
同樣道理，可分別作出兩腰上的中線，兩底角的平分線，它們也分別對應相等．
6．等腰三角形的判定定理（等角對等邊）
如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡寫成「等角對等邊」）．
例如：如圖14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，則AB＝AC

證明：過點A作AD平分∠BAC，交BC於點D，
則∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC
因此，這一結論可直接利用．
【說明】（1）在使用「等邊對等角」或「等角對等邊」時，一定要注意是在同一個三角形中才有這一對應關系，不在同一三角形中的邊、角沒有這一對應關系．
（2）有了這一結論，為今後證明線段相等又添了一種重要的解題途徑．
例如：如圖14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交於O點．且BE＝CD求證：OB＝OC．

證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等邊對等角）．
在△BCE和△CBD中
∴△BCE≌△CBD（SAS）．
∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO
∴OB＝OC（等角對等邊）．
【說明】證兩條線段相等，若這兩條線段在同一個三角形中，可利用等腰三角形的判定定理來證明．
7．已知底邊和底邊上的高，求作等腰三角形
已知線段a、b，求作等腰三角形ABC，使底邊BC＝a，高為b．
作法：（1）作線段BC＝a；
（2）作線段BC的垂直平分線MN與BC交於點D；
（3）在MN上截取AD＝b；
（4）連接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．
【說明】（1）由作法知MN為BC的垂直平分線，∴AB＝AC
∴△ABC為等腰三角形，如圖14-3-13．
（2）以前所作的三角形分別為：已知三邊，兩邊夾角，兩角夾邊和已知斜邊、直角邊求作三角形，今天又學習了已知底邊和底邊上的高求作等腰三角形，共有五種情況，今後還將學習一些更為復雜的作法，都是以這五種為基礎進行作圖的．

8．等邊三角形（equilateral triangle）
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形．如圖14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，則△ABC為等邊三角形．

（2）性質：
①等邊三角形的三個內角都相等，並且每一個角都等於60°．如圖14-3-14中，若△ABC為等邊三角形，則∠A＝∠B＝∠C＝60°．
②除此之外，還具有等腰三角形的一切性質，如三線合一，軸對稱等．
（3）判定：
①三個角都相等的三角形是等邊三角形．
②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
下面證明以上兩條判定．
判定①：如圖14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求證：△ABC是等邊三角形．

證明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
又∵∠A＝∠B∴AC＝BC
∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等邊三角形．
判定②：如圖14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求證：△ABC是等邊三角形．
證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC為等邊三角形．
（4）應用：
例如：如圖14-3-16，△ABC為等邊三角形，D、E為直線BC上的兩點，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度數．

分析：要求∠DAE的度數，需分開求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC為等邊三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，則BD＝BA，∴△ABD為等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．
解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．
∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，
∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．
同理，∠CAE＝30°．
∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．
【說明】本題中用到了等邊三角形的性質．
再如：如圖14-3-17，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別為△ABC三邊上的點，且BD＝CE＝AF，直線AD、BE、CF兩兩相交於點R、Q、P．
求證：△PQR是等邊三角形．

分析：本題既用到了等邊三角形的性質，又用到了其判定．要證△PQR為等邊三角形，證三邊相等難度較大，可考慮證其三角相等．也可先證∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因為∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需證∠BCF＝∠DAC，由此可聯想證△BCF與
△CAD全等．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．
又∵BD＝CE＝AF，
∴BF＝DC＝AE
在△ABE和△BCF和△CAD中，
∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．
∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．
∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．
∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．
同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．
∴△PQR為等邊三角形．
【說明】（1）此題證明思路比較清晰，只是步驟書寫較繁，書寫應認真；
（2）在證明過程中用到了三個三角形全等的連等形式，可仿照兩個三角形全等的方式使用．
9．含30°角的直角三角形的性質
在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．

如圖14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，則BC＝AB，這一性質反過來也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝AB，則∠A＝30°．因此Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°BC＝AB
這一性質在解題中經常用到．
例如：如圖14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC為直角，高AD交BC於D，∠B＝30°，BC＝12米，
求CD，BD的長．

解：∵在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝60°，BC＝2AC
∴AC＝BC＝6（米）．
在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°．
∴DC＝AC＝×6＝3（米）．
∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．
【說明】在本題中兩次用到直角三角形的這一性質，並且用的方式都一樣．
10．證明線段相等的方法
到目前為止，學過的證明線段相等的方法，有以下幾種：
（1）全等三角形的對應邊相等（在兩個三角形中）．
（2）等角對等邊（在一個三角形中）．
（3）軸對稱的性質（在某條直線的兩側）．
（4）角平分線的性質（在角的平分線上的兩條線段）．
（5）中點的概念（在一條直線上）．
（6）利用第三條等量線段．
（7）作輔助線、創造條件．
例如：如圖14-3-20，點D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求證：BD＝CE．

分析：因BD與CE在一條直線上，且又在兩個三角形中，可考慮證兩個三角形全等或用中點的概念進行證明，也可用軸對稱的性質進行證明．
證法一：用全等三角形
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．
又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．
證法二：用中線
如圖14-3-20，過A點作AF⊥BC於F．
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三線合一）．
又∵AD＝AE，AF⊥DE，
∴DF＝EF（三線合一）．
∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．
證法三：用軸對稱
過A作BC邊上的垂線，垂足為F．
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴△ABC關於直線AF對稱，∴BF＝CF．
同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．
即BD＝CE．
【說明】從以上的證明可以看出，一個結論有多種證明途徑和證明方法．
11．證明角相等的方法
到目前為止，學過的證明角相等的方法，有以下幾種：
（1）角平分線的定義及性質．
（2）全等三角形的對應角相等（在兩個三角形中）．
（3）等邊對等角（在一個三角形中）．
（4）軸對稱的性質．
（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，則∠A＝∠B）．
（6）作輔助線，創造條件．
例如：如圖14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．
求證：∠BAD＝∠CAD．

分析：要證∠BAD＝∠CAD，因兩角在兩個三角形中，可考慮選用全等三角形和角平分線，以及軸對稱進行證明．
證法一：用全等三角形
∵∠1＝∠2，∴DB＝DC
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，
∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．
證法二：用軸對稱
∵∠1＝∠2，∴DB＝DC
∴點D在BC的垂直平分線上．
又∵AB＝AC，∴A點也在BC的垂直平分線上．
∴△ABD與△ACD關於直線AD對稱．
∴∠BAD＝∠CAD（軸對稱的性質）．
證法三：用角平分線
∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，
∴點A、D都在BC的垂直平分線上．
∴AD也為∠BAC的平分線（三線合一）．
∴∠BAD＝∠CAD．
例如：如圖14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線交AD於E，交BC的延長線於F．求證：∠B＝∠CAF．

分析：要證∠B＝∠CAF，根據全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分線也用不上，可考慮用第三等量角．
證明：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD．
∴∠1＝∠3＋∠4．
又∵∠ADC為△ABD的外角，
∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．
又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．
即∠B＝∠CAF．
12．三角形中的不等關系
（1）大邊對大角：
在一個三角形中，如果兩條邊不等，那麼這兩條邊所對的角也不等，並且較大的邊所對的角也較大，簡稱「大邊對大角」．
如圖14-3-23，在△ABC中，若AB＞AC，則∠C＞∠B
（2）大角對大邊：
在一個三角形中，如果兩個角不等，那麼這兩個角所對的邊也不等，並且較大的角所對的邊較大，簡稱「大角對大邊」．
如圖14-3-23，在△ABC中，若∠C＞∠B，則AB＞AC．

【說明】（1）上述兩個定理的使用條件是在一個三角形中，否則不成立；
（2）上述不等關系具有傳遞性，即△ABC中的三邊分別為a、b、c，若a＞b，b＞c則a＞c；同樣所對的角也如此．若△ABC中，∠A＞∠B，∠B＞∠C，則∠A＞∠C
例如：判斷下列說法是否正確，為什麼？
（1）在一個三角形中，若最長邊所對的角為銳角，則此三角形為銳角三角形．
（2）直角三角形中，斜邊最長．
（3）鈍角三角形中，鈍角所對的邊不一定是最長邊．
分析：此題目的在於考查三角形中邊、角不等關系的靈活應用情況．
解：（1）正確．因最長邊對的角是最大角，而最大角是銳角，那麼這個三角形一定是銳角三角形．
（2）正確．因為直角三角形中，直角最大，那麼斜邊應是最長的．
（3）不正確．因為鈍角三角形中，鈍角最大，它所對的邊應該最大，所以，上述說法不正確．
再如：已知△ABC中，AB＞AC，AD為BC邊上的中線．
求證：∠BAD＜∠CAD

分析：要比較兩個角的大小，需將其放入同一個三角形中．如何放入一個三角形中，通常採用平移法，延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，則△BDE≌△CDA，有∠E＝∠CAD，BE＝AC，在△ABE中，AB＞BE．則∠E＞∠BAD，即∠BAD＜∠CAD成立．
證明：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE
在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，BD＝DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴∠CAD＝∠E，AC＝BE．
又∵AB＞AC，∴AB＞BE．
在△ABE中，∵AB＞BE，∴∠E＞∠BAD．
又∵∠E＝∠CAD，∴∠CAD＞∠BAD
即∠BAD＜∠CAD．
【說明】此題證明的關鍵是將原來在兩個三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD，通過輔助線移至一個三角形ABE中，而這種移法較為常用．
【題目變式1】

如圖14-3-25，在△ABC中，AB＞AC，AD為角平分線．求證：BD＞CD．
證明：在AB上截取AE＝AC，連接DE．
則△ADE≌△ADC（SAS）．∴DE＝DC，∠3＝∠4．
又∵∠BED＞∠3，∴∠BED＞∠4．又∵∠4＞∠B，∴∠BED＞∠B．
∴BD＞DE．即BD＞DC
【題目變式2】

如圖14-3-26，在△ABC中，AB＞AC，AD為BC邊上的高．求證：∠BAD＞∠CAD
證明：在△ABC中，∵AB＞AC，
∴∠B＜∠C．又∵AD⊥BC於D，
∴∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°．
∴∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．
而∠B＜∠C，∴∠BAD＞∠CAD．
13．得到等腰三角形的方法
（1）如圖14-3-27，一直線平行於等腰三角形底邊，與兩腰（或兩腰的延長線）相交所得的三角形是等腰三角形．如圖中，△ADE是等腰三角形．

（2）把一張對邊平行的紙，像圖14-3-28那樣折疊，重合部分是一個等腰三角形．如圖中，△FBD是等腰三角形．

（3）等腰三角形兩底角的平分線的交點與底邊兩端點組成等腰三角形．
（4）等腰三角形兩腰上的高的交點與底邊兩端點構成等腰三角形．
（5）等腰三角形兩腰上的中線的交點與底邊兩端點構成等腰三角形．
（6）36°角為頂角的等腰三角形，底角的平分線把原等腰三角形分成兩個等腰三角形．
（7）90°角為頂角的等腰直角三角形，頂角的平分線把原三角形分成兩個等腰直角三角形．

⑶ 等腰三角形證明的方法有哪些

等腰三角形證明的方法：

1、證明兩邊相等。

2、證明兩底角相等。

3、證明中線和高合一。

4、證明頂角平分線和高合一。

5、證明底邊上的中線垂直線底邊。

等腰三角形（isosceles triangle）是指至少有兩邊等長或相等的三角形。

相等的兩個邊稱等腰三角形的腰，另一邊稱為底邊，相等的兩個角稱為等腰三角形的底角，其餘的角叫做頂角。

等腰三角形的重心、中心和垂心都位於頂點向底邊的垂，可以把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形。

(3)等腰三角形學情分析方法擴展閱讀：

等腰三角形的性質：

1、等腰三角形的兩個底角度數相等（簡寫成「等邊對等角」）。

2、等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡寫成「等腰三角形三線合一」）。

3、等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。

4、等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。

5、等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半。

參考資料來源：網路—等腰三角形

⑷ 怎麼學好等腰三角形這個知識點啊

等腰三角形是三角形大家族中一個特殊而又十分重要的成員，它是研究幾何圖形的基礎，是所有三角形中比較美觀的幾何圖形，由於它有許多特殊的特徵，在我們的日常生活中也有廣泛地應用，所以學習時應注意掌握以下問題：
一、掌握等腰三角形的有關概念
有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.如圖1，我們把相等的兩邊AB、AC都叫做腰，另外一邊BC叫做底邊，兩腰的夾角∠BAC叫做頂角，腰和底邊的夾角∠B與∠B叫做底角.由此可知，所以一個等腰三角形中，有兩條腰，一個底邊，一個頂角，兩個底角.

二、熟練掌握等腰三角形的特徵與識別方法
同學們若做一張長方形的半透明紙片，按如圖2所示用折紙的方法即可剪出一個等腰三角形（只能剪一刀）.
由上述的操作過程，你會能發現有下列一些重要的性質：（1）等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊上的高（或中線，或頂角的平分線）所在的直線；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，即AD為底邊上的中線；（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD為底邊上的高線；（5）∠BAD＝∠CAD，即AD為頂角的平分線. 結論（2）也可以用文字來表述：等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成「等邊對等角」). 結論（3）、（4）、（5）也可以用一句話來描述：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的高和底邊上的中線互相重合，簡稱「三線合一」.

⑸ 人教版等腰三角形採用哪些教學方法

教學目標：
1、認知目標：經歷「探索——發現——猜想——證明」的過程，能夠用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理。
2、能力目標：掌握等腰三角形的性質和判定，能靈活地運用它們進行論證。通過例題教學，培養學生的「執果索因」的分析方法和「由因導果」的綜合方法，從而提高學生的數學思維能力和解決問題能力。
3、情感目標：體驗數學具有勻稱、美觀等優點，激發學生學習數學的興趣;通過學生製作紅領巾及等腰三角形的實驗，培養學生敢於探索的科學精神。
教學模式
互動——探究教學模式
教學重點和難點：
等腰三角形的性質和判定
教學方法：
引導發現法、探究法、講練結合法
教學媒體：
多媒體輔助教學
教學過程：
一、聯系生活實際，創設問題情境。
上課，同學們好!請坐!同學們，你們喜歡折紙嗎?是啊，一頁普普通通的紙，經過我們靈巧的雙手，就可以變成飛機、小船和各種各樣有趣的動物。其實，通過折紙，我們還可以發現很多的數學知識，下面就讓我們一起折一折，剪一剪，看看會有什麼發現?
首先，讓我們將長方形紙片對折，使兩部分重合，用剪刀沿對折一邊向外剪。好了，同學們請看，你得到了一個什麼圖形?(三角形)，對，大家得到了大小不一、形狀各異的三角形，再仔細觀察一下，這些三角形如果按邊分類應該屬於哪一類特殊三角形?(等腰三角形)其實設計師們已把等腰三角形的美運用到他們的作品中，讓我們伴隨著優美的音樂來欣賞一下吧。看了這些美麗的圖片，同學們,你也想成為一名設計師嗎?就讓我們一起走進等腰三角形的世界吧

⑹ 等腰三角形的性質和判定方法

lz我是一樓的哦
請採納我的意見
我怕下樓會復制 粘貼
<請問你是初中的嗎、我初三了、初中只需要掌握一點點就可以了>

<以下是性質>

1.等腰三角形的兩個底角相等。 （簡寫成「等邊對等角」）
2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成「等腰三角形的三線合一」）
3.等腰三角形的兩底角的平分線相等。（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）
4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。
5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半
6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等於一腰上的高(需用等面積法證明)
7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，正三角形有三條對稱軸。

<以下是判定>

在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形(定義)<用定義來判定也可以>
在同一三角形中，有兩個角相等的三角形是等腰三角形（在同一三角形中，等角對等邊）

⑺ 判定等腰三角形的所有方法

至少有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的兩條邊稱為這個三角形的腰，另一邊叫做底邊。等腰三角形判定定理是：在一個三角形中，如果兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。判定方法有：
1、在一個三角形中，如果一個角的平分線與該角對邊上的中線重合，那麼這個三角形是等腰三角形。
2、在一個三角形中，如果一個角的平分線與該角對邊上的高重合，那麼這個三角形是等腰三角形。
3、在一個三角形中，如果一條邊上的中線與該邊上的高重合，那麼這個三角形是等腰三角形。
4、有兩條角平分線或中線、或高相等的三角形是等腰三角形。

⑻ 等腰三角形的性質教學設計

教學設計思路

本小節「等腰三角形」安排在第十二章「軸對稱」的第三節，根據新的教育理念，以軸對稱為切入點，改變了以全等三角形為切入點的做法。在學生動手操作的基礎上，通過觀察猜想，自主探究，證明應用等方式學習、獲取新知。完成了從感性到理性的知識發生發展的認知過程。

教學目標

1.知識與技能

說出等腰三角形、總結出等腰三角形性質，並會進行有關的計算；能運用等腰三角形性質證明兩角相等的問題；

2.過程與方法

經歷折疊後剪紙、展開後得到等腰三角形的過程，體驗等腰三角形的對稱性；通過用等腰三角形性質進行證明或計算，體會幾何證題的基本方法：分析法和綜合法；

3.情感態度與價值觀

學生對圖形的觀察、發現，激發起好奇心和求知慾，並在運用數學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗、建立學習的自信心；通過合作交流，培養團結協作的精神。

重點和難點

探索等腰三角形「等邊對等角」和「三線合一」的性質。（這兩個性質對於平面幾何中的計算,以及今後的證明尤為重要，故確定為重點）

等腰三角形中關於底和腰，底角和頂角的計算問題。（由於等腰三角形底和腰，底角和頂角性質特點很容易混淆，而且它們在用法和討論上很有考究 ，只能從練習實踐中獲取經驗，故確定為難點。）

教具學具准備：等腰三角形模型，矩形紙片，剪刀，直尺，三角板

課時安排:1課時

教與學互動設計：

（一）實踐觀察，認識等腰三角形

①復習提問：向同學們出示精美的建築物圖片

問題什麼是軸對稱圖形？這些圖片中有軸對稱圖形嗎？

②引入新課：再次通過精美的建築物圖片，找出裡面的等腰三角形。

相關概念： 定義：兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形

邊：等腰三角形中,相等的兩條邊叫做腰，

角：等腰三角形中,兩腰的夾角叫做頂角， 腰和底邊的夾角叫做底角.

③提出問題：a.等腰三角形是軸對稱圖形?

b.等腰三角形具備哪些性質？如何證明?

探究

（1）把一張長方形的紙片對折，並剪下陰影部分（課本圖12.3—1），再把它展開，得到一個什麼圖形？

（2）上述過程中得到的△ABC有什麼特點？

（3）除了剪紙的方法，還可以怎樣作（畫）出一個等腰三角形？

學生動手剪紙，觀察。教師在學生觀察的同時提出問題。

學生討論問題（3），教師在學生充分發表自己的想法基礎上給出畫圖方法，並畫出圖形。

（二）探索等腰三角形的性質

問題

（1）活動1中剪出的等腰三角形是軸對稱圖形嗎？（2）把剪出的等腰三角形ABC沿摺痕對折，找出其中重合的線段和角，

（3）你能猜一猜等腰三角形有什麼性質嗎？說說你的猜想。

學生動手摺紙，觀察，找出重合的線段和角，

學生說出自己的猜想。

教師在學生的猜想基礎上，引導學生觀察、完善，歸納出性質1和性質2。

（三）等腰三角形的性質定理的證明

問題

（1）性質1（等腰三角形的兩個底角相等）的條件和結論分別是什麼？

（2）用數學符號如何表達條件和結論？

（3）如何證明？？(分別作頂角的平分線、底邊的中線、高線）

（4）受性質1的證明的啟發，你能證明性質2（等腰三角形角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）嗎？

學生分析性質1的條件和結論，並轉換成數學符號。

在△ABC中，AB =AC, 點 D在BC上

1、∵AD ⊥ B C

∴∠ = ∠ ，____= 。

2、∵AD是中線，

∴ ⊥ ，∠ =∠ 。

3、∵AD是角平分線，

∴ ⊥ ， = 。

教師糾正和補充學生的發言，引導學生利用全等三角形的性質，根據對稱尋找輔助線的添加方法。

學生模仿證明性質2。

本次活動中，教師應重點關註：

（1）學生語言的規范性；

（2）學生的應用意識，模仿能力；

（3）學生在活動中發表個人見解的勇氣。

（四）等腰三角形性質定理的運用

例一：在等腰△ABC中，AB =AC, ∠A = 50°, 則∠B =_____，C=______

變式練習：1、在等腰中，∠A =50°則∠B =___，∠C=___

2、在等腰中，∠A =100°, 則∠B =___，∠C=___

例二：在等腰△ABC中，AB =5，AC = 6，則

△ABC的周長=_______

變式練習：在等腰△ABC中，AB =5，AC = 12，則

△ABC的周長=______

例三：

在△ABC中，點D在BC上，給出4個條件：①AB=AC ②∠BAD=∠CAD ③AD⊥BC ④BD=CD，

以其中2個條件作題設，另外2個條件作結論，可寫出幾個正確命題？

①② ③④ 運用等腰三角形的「三

①③ ②④ 線合一」性質

①④ ②③

②③ ①④ 運用全等三角形的判定

②④ ①③ 和性質（不能運用「三線合

③④ ①② 一」 ）

例4、如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度數。

教師參與討論，認真聽取學生的分析，引導學生找出角之間的關系，書寫解答過程。

本次活動中，教師應重點關註：

（1）學生能否正確應用等腰三角形的性質解決問題；

（2）學生應用所學知識的應用意識。

（五）反饋練習

（1）等腰三角形的一個角是36°，它的另外兩個角是________.

（2）等腰三角形的一個角是110°，它的另外兩個角是_________.

（3）如圖，在△ABC中AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數。

⑼ 等腰三角形的重點和難點怎麼樣在教學中突出

教材分析
本節內容是在學生學習的有關知識、掌握了全等三角形的判定及性質的基礎上進行的。它不僅是對前面所學知識的綜合運用，也是後面研究線段垂直平分線等內容的預備知識，同時也是今後證明角相等、線段相等及兩直線垂直的重要依據。而通過探究等腰三角形「三線合一」的性質、可以激發學生濃厚的學習數學興趣，使學生體會性質定理的來龍去脈。掌握等腰三角形及其性質在生活中的運用，更有益於學生了解數學的價值，體會數學來源於實踐，又反作用於實踐認識問題的一般規律。
學情分析
我班的學生的基礎較扎實，但尖子生少。另外學生思維活躍，願意表達自己的見解，有一定的互動、互助基礎，但在應用數學知識解決實際問題的能力方面還缺乏經驗。
教學目標
1． 知識技能性目標：使學生通過實驗猜想、主動探究的學習活動，發現並認同等腰三角形的性質定理及推論，探索歸納出它們的證明方法，並能應用其解決實際問題。
2． 過程方法性目標：讓學生經歷「設疑—探究—解決—收獲」的學習過程，體會發現問題、探究問題的思想，從中感悟證明結論的方法的樂趣，初步了解作輔助線的技巧，培養「轉化」及「分類討論」的數學思想方法。
3． 情感價值觀目標：引導學生對圖形的觀察、發現，激發學生的好奇心和求知慾，並在運用數學知識解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學習的自信心。

教學重點和難點
1. 教學重點：學生了解、感悟等腰三角形的性質定理，歸納總結其證明。
2. 數學難點：等腰三角形中常用輔助線的做法。

⑽ 等腰三角形性質和判定方法

性質
1.等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成「等邊對等角」）。
2.等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高重合（三線合一」）。
3.等腰三角形的兩底角的平分線相等（兩條腰上的中線相等，兩條腰上的高相等）。
4.等腰三角形底邊上的垂直平分線到兩條腰的距離相等。
5.等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半。
6.等腰三角形底邊上任意一點到兩腰距離之和等於一腰上的高（需用等面積法證明）。
7.等腰三角形是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸，等邊三角形有三條對稱軸。
判定方法
在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（定義)。
在同一三角形中，有兩個底角（底角指三角形最下面的兩個角）相等的三角形是等腰三角形（簡稱：等角對等邊）。
在同一三角形中，三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（簡稱：三線合一）。