A. 正整數的分拆(入門介紹)
本文探討了正整數的分拆，即一個正整數可被表示為若干個正整數之和的方法數。這個主題在數學分析中具有重要地位，首先我們引入了分拆函數，記為，它表示把正整數寫成若干個正整數之和的表示方法數。例如，。
歐拉發現了一個與分拆函數相關的生成函數，該函數滿足特定關系式。通過研究此生成函數，歐拉發現了一個分拆數的遞推公式。根據這個遞推公式，我們可以計算出所有分拆數。歐拉進一步發現了一個規律，該規律與分拆數的冪次之差有關。通過這個規律，可以推導出一個公式。
定理1.1由歐拉提出，闡述了正整數寫成不同正整數之和的方法數等於寫成正奇數之和的方法數。定理1.2，即Jacobi三積恆等式，由Jacobi提出，為解析數論中的基礎工具。在定理的證明中，引用了徐利治《數學分析中的問題與方法》中的題解。
定理2.1，Hardy-Ramanujan定理，描述了分拆數的性質，證明使用了「圓法」。Ramanujan還提出了與Macmahon計算分拆數相關的一個同餘式。Ramanujan的一般性猜想指出，如果滿足某些條件，則有特定的分拆數性質。該猜想在模意義下被證明，但後來發現了一個例外情況，但結論被修正後成為正確命題。最後，Rogers-Ramanujan恆等式由Rogers與Ramanujan共同發現，其組合意義與分拆數緊密相關。
本文通過一系列定理和公式深入探討了正整數分拆的性質與規律，展示了數學分析中的美妙與復雜性。通過歐拉、Hardy、Ramanujan等數學家的貢獻，我們得以更深入地理解分拆數的內在結構與數學之美。