聚類中心距離的計算方法

1. 聚類演算法有哪幾種

聚類分析計算方法主要有： 層次的方法(hierarchical method)、劃分方法(partitioning method)、基於密度的方法(density-based method)、基於網格的方法(grid-based method)、基於模型的方法(model-based method)等。其中，前兩種演算法是利用統計學定義的距離進行度量。

k-means 演算法的工作過程說明如下：首先從n個數據對象任意選擇 k 個對象作為初始聚類中心;而對於所剩下其它對象，則根據它們與這些聚類中心的相似度(距離)，分別將它們分配給與其最相似的(聚類中心所代表的)聚類;然 後再計算每個所獲新聚類的聚類中心(該聚類中所有對象的均值);不斷重復這一過程直到標准測度函數開始收斂為止。一般都採用均方差作為標准測度函數. k個聚類具有以下特點：各聚類本身盡可能的緊湊，而各聚類之間盡可能的分開。

其流程如下：

(1)從 n個數據對象任意選擇 k 個對象作為初始聚類中心;

(2)根據每個聚類對象的均值(中心對象)，計算每個對象與這些中心對象的距離;並根據最小距離重新對相應對象進行劃分;

(3)重新計算每個(有變化)聚類的均值(中心對象);

(4)循環(2)、(3)直到每個聚類不再發生變化為止(標准測量函數收斂)。

優點： 本演算法確定的K個劃分到達平方誤差最小。當聚類是密集的，且類與類之間區別明顯時，效果較好。對於處理大數據集，這個演算法是相對可伸縮和高效的，計算的復雜度為 O(NKt)，其中N是數據對象的數目，t是迭代的次數。

缺點：

1. K 是事先給定的，但非常難以選定;

2. 初始聚類中心的選擇對聚類結果有較大的影響。

2. 什麼是聚類中心怎麼算的

在神經網路中把輸入的樣本數據根據特徵分成不同的幾個部分，就是聚類，聚類中心就是聚類的中心

3. matlab中kmeans聚類怎麼計算到聚類中心的距離

class_distance=distance(desc,C); %distance是編寫的計算距離的函數，
[min_distance,min_index]=min(class_distance,[],2)；
for n=1:K
ventor(n)=length(find(min_index==n));
end
這樣ventor就是一個1*n的行向量，每列的值就是距離第幾個質心最近的次數。我也是在學習這個，希望可以幫到你。

4. 聚類演算法的具體方法

k-means 演算法接受輸入量 k ；然後將n個數據對象劃分為 k個聚類以便使得所獲得的聚類滿足：同一聚類中的對象相似度較高；而不同聚類中的對象相似度較小。聚類相似度是利用各聚類中對象的均值所獲得一個「中心對象」（引力中心）來進行計算的。
k-means 演算法的工作過程說明如下：
首先從n個數據對象任意選擇 k 個對象作為初始聚類中心；而對於所剩下其它對象，則根據它們與這些聚類中心的相似度（距離），分別將它們分配給與其最相似的（聚類中心所代表的）聚類；
然後再計算每個所獲新聚類的聚類中心（該聚類中所有對象的均值）；不斷重復這一過程直到標准測度函數開始收斂為止。
一般都採用均方差作為標准測度函數. k個聚類具有以下特點：各聚類本身盡可能的緊湊，而各聚類之間盡可能的分開。 K-MEANS有其缺點：產生類的大小相差不會很大，對於臟數據很敏感。
改進的演算法：k—medoids 方法。這兒選取一個對象叫做mediod來代替上面的中心的作用，這樣的一個medoid就標識了這個類。K-medoids和K-means不一樣的地方在於中心點的選取，在K-means中，我們將中心點取為當前cluster中所有數據點的平均值，在 K-medoids演算法中，我們將從當前cluster 中選取這樣一個點——它到其他所有（當前cluster中的）點的距離之和最小——作為中心點。
步驟：
1，任意選取K個對象作為medoids（O1,O2,…Oi…Ok）。
以下是循環的：
2，將餘下的對象分到各個類中去（根據與medoid最相近的原則）；
3，對於每個類（Oi）中，順序選取一個Or，計算用Or代替Oi後的消耗—E（Or）。選擇E最小的那個Or來代替Oi。這樣K個medoids就改變了，下面就再轉到2。
4，這樣循環直到K個medoids固定下來。
這種演算法對於臟數據和異常數據不敏感，但計算量顯然要比K均值要大，一般只適合小數據量。 上面提到K-medoids演算法不適合於大數據量的計算。Clara演算法，這是一種基於采樣的方法，它能夠處理大量的數據。
Clara演算法的思想就是用實際數據的抽樣來代替整個數據，然後再在這些抽樣的數據上利用K-medoids演算法得到最佳的medoids。Clara演算法從實際數據中抽取多個采樣，在每個采樣上都用K-medoids演算法得到相應的（O1, O2 … Oi … Ok），然後在這當中選取E最小的一個作為最終的結果。 Clara演算法的效率取決於采樣的大小，一般不太可能得到最佳的結果。
在Clara演算法的基礎上，又提出了Clarans的演算法，與Clara演算法不同的是：在Clara演算法尋找最佳的medoids的過程中，采樣都是不變的。而Clarans演算法在每一次循環的過程中所採用的采樣都是不一樣的。
與上面所講的尋找最佳medoids的過程不同的是，必須人為地來限定循環的次數。

5. 在進行系統聚類分析時，不同的類間距離計算方法有何區別

聚類分析有兩種主要計算方法，分別是凝聚層次聚類（Agglomerative hierarchical method）和K均值聚類（K-Means）。
一、層次聚類
層次聚類又稱為系統聚類，首先要定義樣本之間的距離關系，距離較近的歸為一類，較遠的則屬於不同的類。可用於定義「距離」的統計量包括了歐氏距離 (euclidean)、馬氏距離(manhattan)、 兩項距離(binary)、明氏距離(minkowski)。還包括相關系數和夾角餘弦。
層次聚類首先將每個樣本單獨作為一類，然後將不同類之間距離最近的進行合並，合並後重新計算類間距離。這個過程一直持續到將所有樣本歸為一類為止。在計算類間距離時則有六種不同的方法，分別是最短距離法、最長距離法、類平均法、重心法、中間距離法、離差平方和法。
下面我們用iris數據集來進行聚類分析，在R語言中所用到的函數為hclust。首先提取iris數據中的4個數值變數，然後計算其歐氏距離矩陣。然後將矩陣繪制熱圖，從圖中可以看到顏色越深表示樣本間距離越近，大致上可以區分出三到四個區塊，其樣本之間比較接近。
data=iris[,-5]
dist.e=dist(data,method='euclidean')
heatmap(as.matrix(dist.e),labRow = F, labCol = F)
X
然後使用hclust函數建立聚類模型，結果存在model1變數中，其中ward參數是將類間距離計算方法設置為離差平方和法。使用plot(model1)可以繪制出聚類樹圖。如果我們希望將類別設為3類，可以使用cutree函數提取每個樣本所屬的類別。
model1=hclust(dist.e,method='ward')
result=cutree(model1,k=3) 為了顯示聚類的效果，我們可以結合多維標度和聚類的結果。先將數據用MDS進行降維，然後以不同的的形狀表示原本的分類，用不同的顏色來表示聚類的結果。可以看到setose品種聚類很成功，但有一些virginica品種的花被錯誤和virginica品種聚類到一起。

6. 凝聚型層次聚類演算法對數據集進行分類時，如何對合並的新簇計算簇間距離

簇間距離的計算方法有很多種：

中心距離：每兩簇中心點（每簇內各點在各維度的平均數）之間的距離（這道題你用這個就好了）
最短距離：每兩簇最近點的距離
最長距離：每兩簇最遠點距離

另外聚類時的距離演算法也有很多種，常用的有兩種：
曼哈頓距離：絕對差之和
歐幾里得距離：平方差開根，也就是你截圖的這種

7. 聚類的計算方法

傳統的聚類分析計算方法主要有如下幾種：
1、劃分方法(partitioning methods)
給定一個有N個元組或者紀錄的數據集，分裂法將構造K個分組，每一個分組就代表一個聚類，K<N。而且這K個分組滿足下列條件：（1） 每一個分組至少包含一個數據紀錄；（2）每一個數據紀錄屬於且僅屬於一個分組（注意：這個要求在某些模糊聚類演算法中可以放寬）；對於給定的K，演算法首先給出一個初始的分組方法，以後通過反復迭代的方法改變分組，使得每一次改進之後的分組方案都較前一次好，而所謂好的標准就是：同一分組中的記錄越近越好，而不同分組中的紀錄越遠越好。使用這個基本思想的演算法有：K-MEANS演算法、K-MEDOIDS演算法、CLARANS演算法；
大部分劃分方法是基於距離的。給定要構建的分區數k，劃分方法首先創建一個初始化劃分。然後，它採用一種迭代的重定位技術，通過把對象從一個組移動到另一個組來進行劃分。一個好的劃分的一般准備是：同一個簇中的對象盡可能相互接近或相關，而不同的簇中的對象盡可能遠離或不同。還有許多評判劃分質量的其他准則。傳統的劃分方法可以擴展到子空間聚類，而不是搜索整個數據空間。當存在很多屬性並且數據稀疏時，這是有用的。為了達到全局最優，基於劃分的聚類可能需要窮舉所有可能的劃分，計算量極大。實際上，大多數應用都採用了流行的啟發式方法，如k-均值和k-中心演算法，漸近的提高聚類質量，逼近局部最優解。這些啟發式聚類方法很適合發現中小規模的資料庫中小規模的資料庫中的球狀簇。為了發現具有復雜形狀的簇和對超大型數據集進行聚類，需要進一步擴展基於劃分的方法。
2、層次方法(hierarchical methods)
這種方法對給定的數據集進行層次似的分解，直到某種條件滿足為止。具體又可分為「自底向上」和「自頂向下」兩種方案。例如在「自底向上」方案中，初始時每一個數據紀錄都組成一個單獨的組，在接下來的迭代中，它把那些相互鄰近的組合並成一個組，直到所有的記錄組成一個分組或者某個條件滿足為止。代表演算法有：BIRCH演算法、CURE演算法、CHAMELEON演算法等；
層次聚類方法可以是基於距離的或基於密度或連通性的。層次聚類方法的一些擴展也考慮了子空間聚類。層次方法的缺陷在於，一旦一個步驟（合並或分裂）完成，它就不能被撤銷。這個嚴格規定是有用的，因為不用擔心不同選擇的組合數目，它將產生較小的計算開銷。然而這種技術不能更正錯誤的決定。已經提出了一些提高層次聚類質量的方法。
3、基於密度的方法(density-based methods)
基於密度的方法與其它方法的一個根本區別是：它不是基於各種各樣的距離的，而是基於密度的。這樣就能克服基於距離的演算法只能發現「類圓形」的聚類的缺點。這個方法的指導思想就是，只要一個區域中的點的密度大過某個閥值，就把它加到與之相近的聚類中去。代表演算法有：DBSCAN演算法、OPTICS演算法、DENCLUE演算法等；
4、基於網格的方法(grid-based methods)
這種方法首先將數據空間劃分成為有限個單元（cell）的網格結構,所有的處理都是以單個的單元為對象的。這么處理的一個突出的優點就是處理速度很快，通常這是與目標資料庫中記錄的個數無關的，它只與把數據空間分為多少個單元有關。代表演算法有：STING演算法、CLIQUE演算法、WAVE-CLUSTER演算法；
很多空間數據挖掘問題，使用網格通常都是一種有效的方法。因此，基於網格的方法可以和其他聚類方法集成。
5、基於模型的方法(model-based methods)
基於模型的方法給每一個聚類假定一個模型，然後去尋找能夠很好的滿足這個模型的數據集。這樣一個模型可能是數據點在空間中的密度分布函數或者其它。它的一個潛在的假定就是：目標數據集是由一系列的概率分布所決定的。通常有兩種嘗試方向：統計的方案和神經網路的方案。
當然聚類方法還有：傳遞閉包法，布爾矩陣法，直接聚類法，相關性分析聚類，基於統計的聚類方法等。

8. kmeans聚類演算法是什麼

k均值聚類演算法是一種迭代求解的聚類分析演算法，由於簡潔和效率使得他成為所有聚類演算法中最廣泛使用的。k均值聚類演算法通過給定一個數據點集合和需要的聚類數目k，k由用戶指定，k均值演算法根據某個距離函數反復把數據分入k個聚類中。

k均值聚類演算法的具體步驟：

其步驟是預將數據分為K組，則隨機選取K個對象作為初始的聚類中心，然後計算每個對象與各個種子聚類中心之間的距離，把每個對象分配給距離它最近的聚類中心。聚類中心以及分配給它們的對象就代表一個聚類。

每分配一個樣本，聚類的聚類中心會根據聚類中現有的對象被重新計算。這個過程將不斷重復直到滿足某個終止條件。終止條件可以是沒有（或最小數目）對象被重新分配給不同的聚類，沒有（或最小數目）聚類中心再發生變化，誤差平方和局部最小。

9. 聚類分析法

聚類分析，亦稱群分析或點分析，是研究多要素事物分類問題的數量方法。其基本原理是，根據樣本自身的屬性，用數學方法按照某些相似性或差異性指標，定量地確定樣本之間的親疏關系，並按親疏關系的程度對樣本進行聚類（徐建華，1994）。

聚類分析方法，應用在地下水中，是在各種指標和質量級別標准約束條件下，通過樣品的各項指標監測值綜合聚類，以判別地下水質量的級別。常見的聚類分析方法有系統聚類法、模糊聚類法和灰色聚類法等。

（一）系統聚類法

系統聚類法的主要步驟有：數據標准化、相似性統計量計算和聚類。

1.數據標准化

在聚類分析中，聚類要素的選擇是十分重要的，它直接影響分類結果的准確性和可靠性。在地下水質量研究中，被聚類的對象常常是多個要素構成的。不同要素的數據差異可能很大，這會對分類結果產生影響。因此當分類要素的對象確定之後，在進行聚類分析之前，首先對聚類要素進行數據標准化處理。

假設把所考慮的水質分析點（G）作為聚類對象（有m個），用i表示（i=1，2，…，m）；把影響水質的主要因素作為聚類指標（有n個），用j表示（j=1，2，…，n），它們所對應的要素數據可用表4-3給出。在聚類分析中，聚類要素的數據標准化的方法較多，一般採用標准差法和極差法。

表4-3 聚類對象與要素數據

對於第j個變數進行標准化，就是將x_ij變換為x′_ij。

（1）總和標准化

區域地下水功能可持續性評價理論與方法研究

這種標准化方法所得的新數據x′_ij滿足

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（2）標准差標准化

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式中：

；

由這種標准化方法所得的新數據x′_ij，各要素的平均值為0，標准差為1，即有

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（3）極差標准化

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經過這種標准化所得的新數據，各要素的極大值為1，極小值為0，其餘的數值均在［0，1］閉區間內。

上述式中：x_ij為j變數實測值；x_j為j變數的樣本平均值；s_j為樣本標准差。

2.相似性統計量

系統聚類法要求給出一個能反映樣品間相似程度的一個數字指標，需要找到能量度相似關系的統計量，這是系統聚類法的關鍵。

相似性統計量一般使用距離系數和相似系數進行計算。距離系數是把樣品看成多維空間的點，用點間的距離來表示研究對象的緊密關系，距離越小，表明關系越密切。相似系數值表明樣本和變數間的相似程度。

（1）距離系數

常採用歐幾里得絕對距離，其中i樣品與j樣品距離d_ij為

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d_ij越小，表示i，j樣品越相似。

（2）相似系數

常見的相似系數有夾角餘弦和相關系數，計算公式為

1）夾角餘弦

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在式（4-20）中：-1≤cosθ_ij≤1。

2）相關系數

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式中：d_ij為i樣品與j樣品的歐幾里得距離；cosθ_ij為i樣品與j樣品的相似系數；r_ij為i樣品與j樣品的相關系數；x_ik為i樣品第k個因子的實測值或標准化值；x_jk為j樣品第k個因子的實測值或標准化值；

為i樣品第k個因子的均值，

；

為j樣品第k個因子的均值，

；n為樣品的數目；k為因子（變數）數。

3.聚類

在選定相似性統計量之後，根據計算結果構成距離或相似性系數矩陣（n×n），然後通過一定的方法把n個樣品組合成不同等級的分類單位，對類進行並類，即將最相似的樣品歸為一組，然後，把次相似的樣品歸為分類級別較高的組。聚類主要有直接聚類法、距離聚類法（最短距離聚類法、最遠距離聚類法）。

（1）直接聚類法

直接聚類法，是根據距離或相似系數矩陣的結構一次並類得到結果，是一種簡便的聚類方法。它首先把各個分類對象單獨視為一類，然後根據距離最小或相似系數最大的原則，依次選出一對分類對象，並成新類。如果一對分類對象正好屬於已歸的兩類，則把這兩類並為一類。每一次歸並，都劃去該對象所在的列與列序相同的行。經過n-1次把全部分類對象歸為一類，最後根據歸並的先後順序作出聚類分析譜系圖。

（2）距離聚類法

距離聚類法包括最短距離聚類法和最遠距離聚類法。最短距離聚類法具有空間壓縮性，而最遠距離聚類法具有空間擴張性。這兩種聚類方法關於類之間的距離計算可以用一個統一的公式表示：

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當γ=-0.5時，式（4-22）計算類之間的距離最短；當γ=0.5時，式（4-22）計算類之間的距離最遠。

最短、最遠距離法，是在原來的n×n距離矩陣的非對角元素中找出d_pq=min（d_ij）或d_pq=max（d_ij），把分類對象G_p和G_q歸並為一新類G_r，然後按計算公式：

d_pq=min（d_pk，d_qk）（k≠ p，q） （4-23）

d_pq=max（d_pk，d_qk）（k≠ p，q） （4-24）

計算原來各類與新類之間的距離，這樣就得到一個新的（n-1）階的距離矩陣；再從新的距離矩陣中選出最小或最大的d_ij，把G_i和G_j歸並成新類；再計算各類與新類的距離，直至各分類對象被歸為一類為止。最後綜合整個聚類過程，作出最短距離或最遠距離聚類譜系圖（圖4-1）。

圖4-1 地下水質量評價的聚類譜系圖

（二）模糊聚類法

模糊聚類法是普通聚類方法的一種拓展，它是在聚類方法中引入模糊概念形成的。該方法評價地下水質量的主要步驟，包括數據標准化、標定和聚類3個方面（付雁鵬等，1987）。

1.數據標准化

在進行聚類過程中，由於所研究的各個變數絕對值不一樣，所以直接使用原始數據進行計算就會突出絕對值大的變數，而降低絕對值小的變數作用，特別是在進行模糊聚類分析中，模糊運算要求必須將數據壓縮在［0，1］之間。因此，模糊聚類計算的首要工作是解決數據標准化問題。數據標准化的方法見系統聚類分析法。

2.標定與聚類

所謂標定就是計算出被分類對象間的相似系數r_ij，從而確定論域集U上的模糊相似關系R_ij。相似系數的求取，與系統聚類分析法相同。

聚類就是在已建立的模糊關系矩陣R_ij上，給出不同的置信水平λ（λ∈［0，1］）進行截取，進而得到不同的分類。

聚類方法較多，主要有基於模糊等價關系基礎上的聚類與基於最大樹的聚類。

（1）模糊等價關系方法

所謂模糊等價關系，是指具有自反性（r_ii=1）、對稱性（r_ij=r_ji）與傳遞性（R·R⊆R）的模糊關系。

基於模糊等價關系的模糊聚類分析方法的基本思想是：由於模糊等價關系R是論域集U與自己的直積U×U上的一個模糊子集，因此可以對R進行分解，當用λ-水平對R作截集時，截得的U×U的普通子集R_λ就是U上的一個普通等價關系，也就是得到了關於U中被分類對象元素的一種。當λ由1下降到0時，所得的分類由細變粗，逐漸歸並，從而形成一個動態聚類譜系圖（徐建華，1994）。此類分析方法的具體步驟如下。

第一步：模糊相似關系的建立，即計算各分類對象之間相似性統計量。

第二步：將模糊相似關系R改造為模糊等價關系R′。模糊等價關系要求滿足自反性、對稱性與傳遞性。一般而言，模糊相似關系滿足自反性和對稱性，但不滿足傳遞性。因此，需要採用傳遞閉合的性質將模糊相似關系改造為模糊等價關系。改造的方法是將相似關系R自乘，即

R²=R·R

R⁴=R²·R²

︙

這樣計算下去，直到：R^2k=R^k·R^k=R^k，則R′=R^k便是一個模糊等價關系。

第三步：在不同的截集水平下進行聚類。

（2）最大樹聚類方法

基於最大樹的模糊聚類分析方法的基本思路是：最大樹是一個不包含迴路的連通圖（圖4-2）；選取λ水平對樹枝進行截取，砍去權重低於λ 的枝，形成幾個孤立的子樹，每一棵子樹就是一個類的集合。此類分析方法的具體步驟如下。

圖4-2 最大聚類支撐樹圖

第一步：計算分類對象之間的模糊相似性統計量r_ij，構建最大樹。

以所有被分類的對象為頂點，當兩點間r_ij不等於0時，兩點間可以用樹干連接，這種連接是按r_ij從大到小的順序依次進行的，從而構成最大樹。

第二步：由最大樹進行聚類分析。

選擇某一λ值作截集，將樹中小於λ值的樹干砍斷，使相連的結點構成一類，即子樹，當λ由1到0時，所得到的分類由細變粗，各結點所代表的分類對象逐漸歸並，從而形成一個動態聚類譜系圖。

在聚類方法中，模糊聚類法比普通聚類法有較大的突破，簡化了運算過程，使聚類法更易於掌握。

（三）灰色聚類法

灰色聚類是根據不同聚類指標所擁有的白化數，按幾個灰類將聚類對象進行歸納，以判斷該聚類對象屬於哪一類。

灰色聚類應用於地下水水質評價中，是把所考慮的水質分析點作為聚類對象，用i表示（i=1，2，…，n）；把影響水質的主要因素作為聚類指標，用j表示（j=1，2，…，m），把水質級別作為聚類灰數（灰類），用k表示（k=1，2，3）即一級、二級、三級3個灰類（羅定貴等，1995）。

灰色聚類的主要步驟：確定聚類白化數、確定各灰色白化函數f_jk、求標定聚類權重η_jk、求聚類系數和按最大原則確定聚類對象分類。

1.確定聚類白化數

當各灰類白化數在數量上相差懸殊時，為保證各指標間的可比性與等效性，必須進行白化數的無量綱化處理。即給出第i個聚類對象中第j個聚類指標所擁有的白化數，i=1，2，…，n；j=1，2，…，m。

2.確定各灰色白化函數

建立滿足各指標、級別區間為最大白化函數值（等於1），偏離此區間愈遠，白化函數愈小（趨於0）的功效函數f_ij（x）。根據監測值C_ki，可在圖上（圖4-3）解析出相應的白化函數值f_jk（C_ik），j=1，2，…，m；k=1，2，3。

3.求標定聚類權重

根據式（4-25），計算得出聚類權重η_jk的矩陣（n×m）。

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式中：η_jk為第j個指標對第k個灰類的權重；λ_jk為白化函數的閾值（根據標准濃度而定）。

圖4-3 白化函數圖

註：圖4-3白化函數f（x）∈［0，1］，具有下述特點：①平頂部分，表示該量的最佳程度。這部分的值為最佳值，即系數（權）為1，f（x）=max=1（峰值），x∈［x₂，x₃］。②白化函數是單調變化的，左邊部分f（x）=L（x），單調增，x∈（x₁，x₂］，稱為白化的左支函數；右邊部分f（x）=R（x），單調減，x∈［x₃，x₄），稱為白化的右支函數。③白化函數左右支函數對稱。④白化函數，為了簡便，一般是直線。⑤白化函數的起點和終點，一般來說是人為憑經驗確定。

4.求聚類系數

σ_ik=∑f_jk（d_ij）η_jk （4-26）

式中：σ_ik為第i個聚類對象屬於第k個灰類的系數，i=1，2，…，n；k=1，2，3。

5.按最大原則確定聚類對象分類

由σ_ik構造聚類向量矩陣，行向量最大者，確定k樣品屬於j級對應的級別。

用灰色聚類方法進行地下水水質評價，能最大限度地避免因人為因素而造成的「失真、失效」現象。

聚類方法計算相對復雜，但是計算結果與地下水質量標准級別對應性明顯，能夠較全面反映地下水質量狀況，也是較高層次定量研究地下水質量的重要方法。