A. 微觀經濟學最優化是什麼
微觀經濟學最優化是（均衡分析）。
最優化分析指藉助最優化理論分析個體面臨決策的時候，從各種可能中選擇達到某一目標的最佳行為；均衡分析所要解決的問題是：經濟個體各自在作最優決策時，他們之間是如何互相影響、互相約束而達到一定的平衡的。
供參考。
B. 最優化方法的基本定義
最優化方法（也稱做運籌學方法）是近幾十年形成的，它主要運用數學方法研究各種系統的優化途徑及方案，為決策者提供科學決策的依據。最優化方法的主要研究對象是各種有組織系統的管理問題及其生產經營活動。最優化方法的目的在於針對所研究的系統，求得一個合理運用人力、物力和財力的最佳方案，發揮和提高系統的效能及效益，最終達到系統的最優目標。實踐表明，隨著科學技術的日益進步和生產經營的日益發展，最優化方法已成為現代管理科學的重要理論基礎和不可缺少的方法，被人們廣泛地應用到公共管理、經濟管理、工程建設、國防等各個領域，發揮著越來越重要的作用。本章將介紹最優化方法的研究對象、特點，以及最優化方法模型的建立和模型的分析、求解、應用。主要是線性規劃問題的模型、求解（線性規劃問題的單純形解法）及其應用――運輸問題；以及動態規劃的模型、求解、應用――資源分配問題。
最優化方法
1.微分學中求極值
2.無約束最優化問題
3.常用微分公式
4.凸集與凸函數
5.等式約束最優化問題
6.不等式約束最優化問題
7.變分學中求極值
詳細資料 最優化模型一般包括變數、約束條件和目標函數三要素:①變數:指最優化問題中待確定的某些量。變數可用x=(x1，x2,…,xn)T表示。②約束條件:指在求最優解時對變數的某些限制,包括技術上的約束、資源上的約束和時間上的約束等。列出的約束條件越接近實際系統，則所求得的系統最優解也就越接近實際最優解。約束條件可用 gi(x)≤0表示i=1,2，…，m，m 表示約束條件數；或x∈R(R表示可行集合)。③目標函數：最優化有一定的評價標准。目標函數就是這種標準的數學描述，一般可用f(x)來表示，即f(x)=f(x1，x2,…,xn)。要求目標函數為最大時可寫成；要求最小時則可寫成。目標函數可以是系統功能的函數或費用的函數。它必須在滿足規定的約束條件下達到最大或最小。 問題的分類 最優化問題根據其中的變數、約束、目標、問題性質、時間因素和函數關系等不同情況，可分成多種類型（見表）。最優化方法
最優化方法
不同類型的最優化問題可以有不同的最優化方法，即使同一類型的問題也可有多種最優化方法。反之,某些最優化方法可適用於不同類型的模型。最優化問題的求解方法一般可以分成解析法、直接法、數值計演算法和其他方法。①解析法：這種方法只適用於目標函數和約束條件有明顯的解析表達式的情況。求解方法是：先求出最優的必要條件，得到一組方程或不等式，再求解這組方程或不等式，一般是用求導數的方法或變分法求出必要條件，通過必要條件將問題簡化，因此也稱間接法。②直接法：當目標函數較為復雜或者不能用變數顯函數描述時，無法用解析法求必要條件。此時可採用直接搜索的方法經過若干次迭代搜索到最優點。這種方法常常根據經驗或通過試驗得到所需結果。對於一維搜索(單變數極值問題)，主要用消去法或多項式插值法；對於多維搜索問題(多變數極值問題)主要應用爬山法。③數值計演算法：這種方法也是一種直接法。它以梯度法為基礎，所以是一種解析與數值計算相結合的方法。④其他方法：如網路最優化方法等(見網路理論)。
解析性質
根據函數的解析性質，還可以對各種方法作進一步分類。例如，如果目標函數和約束條件都是線性的，就形成線性規劃。線性規劃有專門的解法，諸如單純形法、解乘數法、橢球法和卡馬卡法等。當目標或約束中有一非線性函數時,就形成非線性規劃。當目標是二次的,而約束是線性時，則稱為二次規劃。二次規劃的理論和方法都較成熟。如果目標函數具有一些函數的平方和的形式，則有專門求解平方和問題的優化方法。目標函數具有多項式形式時，可形成一類幾何規劃。
最優解的概念
最優化問題的解一般稱為最優解。如果只考察約束集合中某一局部范圍內的優劣情況，則解稱為局部最優解。如果是考察整個約束集合中的情況，則解稱為總體最優解。對於不同優化問題，最優解有不同的含意，因而還有專用的名稱。例如，在對策論和數理經濟模型中稱為平衡解；在控制問題中稱為最優控制或極值控制；在多目標決策問題中稱為非劣解（又稱帕雷托最優解或有效解）。在解決實際問題時情況錯綜復雜，有時這種理想的最優解不易求得，或者需要付出較大的代價，因而對解只要求能滿足一定限度范圍內的條件,不一定過分強調最優。50年代初,在運籌學發展的早期就有人提出次優化的概念及其相應的次優解。提出這些概念的背景是：最優化模型的建立本身就只是一種近似，因為實際問題中存在的某些因素，尤其是一些非定量因素很難在一個模型中全部加以考慮。另一方面，還缺乏一些求解較為復雜模型的有效方法。1961年H.A.西蒙進一步提出滿意解的概念，即只要決策者對解滿意即可。 最優化一般可以分為最優設計、最優計劃、最優管理和最優控制等四個方面。①最優設計:世界各國工程技術界,尤其是飛機、造船、機械、建築等部門都已廣泛應用最優化方法於設計中，從各種設計參數的優選到最佳結構形狀的選取等，結合有限元方法已使許多設計優化問題得到解決。一個新的發展動向是最優設計和計算機輔助設計相結合。電子線路的最優設計是另一個應用最優化方法的重要領域。配方配比的優選方面在化工、橡膠、塑料等工業部門都得到成功的應用,並向計算機輔助搜索最佳配方、配比方向發展(見優選法)。②最優計劃:現代國民經濟或部門經濟的計劃，直至企業的發展規劃和年度生產計劃，尤其是農業規劃、種植計劃、能源規劃和其他資源、環境和生態規劃的制訂,都已開始應用最優化方法。一個重要的發展趨勢是幫助領導部門進行各種優化決策。③最優管理：一般在日常生產計劃的制訂、調度和運行中都可應用最優化方法。隨著管理信息系統和決策支持系統的建立和使用，使最優管理得到迅速的發展。④最優控制：主要用於對各種控制系統的優化。例如，導彈系統的最優控制，能保證用最少燃料完成飛行任務,用最短時間達到目標;再如飛機、船舶、電力系統等的最優控制，化工、冶金等工廠的最佳工況的控制。計算機介面裝置不斷完善和優化方法的進一步發展，還為計算機在線生產控制創造了有利條件。最優控制的對象也將從對機械、電氣、化工等硬系統的控制轉向對生態、環境以至社會經濟系統的控制。
圖書信息
書 名: 最優化方法
作者：張立衛
出版社：科學出版社
出版時間： 2010年6月1日
ISBN: 9787030276490
開本： 16開
定價: 27.00元
C. 數學建模最優化方法
1、多目標優化問題。
對於教師和學生的滿意可以用幾個關鍵性的指標，如衡量老師的工作效率和工作強度及往返強度等，如定義
效率w=教師的實際上課時間/(教師坐班車時間+上課時間+在學校逗留時間)。
然後教師的滿意度S1為幾個關鍵性指標的加權平均。注意一些無量綱量和有量綱量的加權平均的歸一化問題。
對於學生可以定義每門課周頻次，每天上課頻次等等
對於學校滿意，可以定義班車出動次數，這個指標和教師的某一個指標是聯動的，教室和多媒體使用周期頻次和使用時長等等。
2、根據第一問的模型按照數據進行求解
3、教師、學生和學校的滿意度作為指標
4、根據結果提出合理化建議
D. 如何理解巴班斯基的教學最優化理論
1 在教學任務上，最優化要做到明確教學和發展的目標，了解學生的准備狀態，把教學任務具體化。
2 在教學內容上，最優化要做到分析教材中主要的和本質的東西，確保學生能掌握這些教學內容。
3 在教學方法上，最優化要選擇能有效地掌握所學的內容，完成教學任務的模式，針對不同的學習者，進行有區別的教學。
4 在教學進度上， 最優化要做到確定適當的教學步調、速度，既完成教學任務又節省時間。
E. 最優化方法的內容簡介
《最優化方法》介紹最優化模型的理論與計算方法，其中理論包括對偶理論、非線性規劃的最優性理論、非線性半定規劃的最優性理論、非線性二階錐優化的最優性理論；計算方法包括無約束優化的線搜索方法、線性規劃的單純形方法和內點方法、非線性規劃的序列二次規劃方法、非線性規劃的增廣Lagrange方法、非線性半定規劃的增廣Lagrange方法、非線性二階錐優化的增廣Lagrange方法以及整數規劃的Lagrange鬆弛方法。《最優化方法》注重知識的准確性、系統性和演算法論述的完整性，是學習最優化方法的一本入門書。
《最優化方法》可用作高等院校數學系高年級本科生和管理專業研究生的教材，也可作為相關工程技術人員的參考用書。
F. 最優化方法怎樣分類的
最優化方法可以按不同標准進行分類:
(1)按照要求優化的目標是一個還是多個
G. 最優化選擇法數學原理
2.2.1 目標函數
設觀測異常以ΔZk表示，k為觀測點序號，k=1，2，…，m，m為觀測點數。
設所選用的地質體模型的理論異常以 Z 表示，Z 是模型體參量和觀測點坐標的函數，即
Z=f（xk，yk，zk，b1，b2，…，bn）
式中：xk，yk，zk為觀測點的坐標；b1，b2，…，bn為模型體的參量，如空間位置、產狀、物性等，參量的個數為n。
模型體的初始參量用
，
，
，…，
表示。
理論曲線與實測曲線之間的符合程度，是以各測點上理論異常與實測異常之差的平方和（即偏差平方和）來衡量的，用φ表示，即
地球物理數據處理教程
目的在於求得一組關於模型體參量的修改量δ1，δ2，…，δn，來修改模型體給定的初值參量，即
地球物理數據處理教程
於是求出關於模型體參量的一組新值，而由這組新參量形成的模型體的理論異常與實測異常之間的偏差平方和將取極小，即是
地球物理數據處理教程
代入式（2.2.1）中將使φ值獲得極小，這時bi即為我們的解釋結果，這稱為最小二乘意義下的最優化選擇法。
我們稱φ為目標函數，用它來衡量理論曲線與實測曲線的符合程度。最優化方法的關鍵在於求取使φ值獲得極小參量的改正值δi，而f通常是bi的非線性函數，因而該問題歸結為非線性函數極小的問題。
2.2.2 求非線性函數極小的迭代過程
從上已知f為bi的非線性函數，那麼要求它與實測值之間的偏差平方和φ為極小的問題就稱為非線性極小問題，或稱為非線性參數的估計問題。如果是線性問題，參數估計比較簡單，通常進行一次計算即可求出參數的真值，而對非線性問題，參數估計卻要復雜得多，為了求解，通常將函數在參數初值鄰域內展成線性（忽略高次項），即所謂的線性化，然後再求得改正量δi（i=1，2，…，n），由於這是一種近似方法，因而不可能使φ一次達到極小，而需要一個迭代過程，通過反復計算而逐步逼近函數φ的極小值。
圖2.1 不同埋深時的重力異常
為了說明這個求極小的迭代過程，可以舉一個單參量的例子，即假如我們要確定引起重力異常Δgk的場源地質體的深度，假設場源為一個已知體積和密度的球體模型，如圖2.1所示，那麼φ就是球心埋深z的函數，如果球心埋深的真值為h，我們首先取初值為z（0），這時函數
地球物理數據處理教程
式中：Δgk為實測異常；g（z）是球心埋深為z的理論重力異常；φ隨z的變化情況示於圖2.2 中，要求使φ獲極小的z，即要求使
地球物理數據處理教程
的根。由於z（0）和φ（z（0））不能一次求出φ的極小來，通常採用迭代的辦法，如圖2.3所示，例如用牛頓切線法迭代求根，根據下式
地球物理數據處理教程
得到一個更近似於根的值z（1），但不等於h，因此需進一步再用上式，將z（1）作為新的初值z（0），可得到新的z（1）更接近於h，如此反復下去可以使z值無限接近於h，當滿足精度要求時，我們認為它近似等於h了，停止迭代，這時的z（1）就作為h值。
圖2.2 函數φ（z）隨z變化示意圖
圖2.3 用牛頓切線法求φ′（z）=0的根示意圖
2.2.3 單參量非線性函數的極小問題
單參量不僅是討論多參量的基礎，而且往往在求多參量極小時要直接用到單參量極小的方法，因此有必要作一介紹。
求單參量極小的方法很多，上面用到的牛頓切線法就是其中之一，在此我們介紹一種用得較多的函數擬合法，以及精度較高的DSC-Powell方法。
2.2.3.1 函數擬合法
2.2.3.1.1 二次函數擬合法
A.不計算導數的情況
設取三個參量值x1、x2、x3，它們對應的φ 值就應為φ1、φ2、φ3，過三個點（x1，φ1；x2，φ2；x3，φ3）作二次拋物線，應有下式
地球物理數據處理教程
聯立φ1、φ2、φ3的方程式，即可得出系數A、B、C來。
當A＞0時，應有極小點存在，我們設極小點為d，那麼根據極小的必要條件有
地球物理數據處理教程
將A、B的表達式代入即得
地球物理數據處理教程
當x1、x2、x3為等距的三點時，上式可簡化為
地球物理數據處理教程
B.計算導數的情況
設已知兩個點的參量值x1和x2對應的函數值φ1、φ2，並已求得x1點的一階導數值φ′（x1），可用下列方法求極小點d：
地球物理數據處理教程
聯立φ1、φ2、φ′（x1）三個方程即可得A、B、C，代入極小點的表達式即可求得極小點。
為了簡化起見，不妨設x1為坐標原點（即x1=0），設x2=1，於是上面各式簡化成：
φ′（x1）=B
φ1=C
φ2=A+B+C
A=φ2-φ′（x1）-φ1
則
地球物理數據處理教程
2.2.3.1.2 三次函數擬合法
取兩個點的參量值x1和x2，及相應的φ1和φ2值，並已得到該兩點的一階導數值φ′（x1）和φ′（x2），我們選用一個三次多項式
φ=Ax3+Bx2+Cx+D
代入上面給出的4個條件，同樣，為了簡化起見，不妨設x1為坐標原點（即x1=0），設x2=1，則有
φ1=D
φ2=A+B+C+D
φ′（x1）=C
φ′（x2）=3A+2B+C
聯立求解，可定出4個系數A、B、C、D，按照求極小的必要條件
φ′=3Ax2+2Bx+C=0
當二階導數
φ″=6Ax+2B＞0
時有極小存在，極小點d就為
地球物理數據處理教程
為了計算方便，令
v=φ′（x1）
u=φ′（x2）
S=-3（φ1-φ2）=3（A+B+C）
Z=s-u-v=B+C
W2=Z2-vu=B2-3AC
於是極小點d就可用下列形式表示：
地球物理數據處理教程
2.2.3.2 DSC-Powell 法
該法為比較細致的單參量探測法，精度比較高，計算工作量較大，大致可分為兩部分來完成，其探測（迭代）過程如圖2.4所示。
2.2.3.2.1 確定極小值所在的區間
採用的是一種直接探測法，做法可歸納如下。
第一步：給定探測方向x、初值點x0和初始步長Δx，計算φ（x0）和φ（x0+Δx），若φ（x0+Δx）≤φ（x0），轉向第二步；若φ（x0+Δx）＞φ（x0），則取-Δx為步長Δx，轉向第二步。
第二步：計算xk+1=xk+Δx，計算φ（xk+1）。
第三步：如果φ（xk+1）≤φ（xk），以2Δx為新步長代替Δx，且用k代表k+1，轉向第二步。
如果φ（xk+1）＞φ（xk），則以xm表示xk+1，以xm-1表示xk，將上步的xk作為xm-2，並計算
地球物理數據處理教程
第四步：在4個等距點（xm-2、xm-1、xm+1、xm）中，去掉四點中離φ（x）最小點最遠的那一點，即或是xm，或是xm-2，剩下的三點按順序以xα、xb、xc表示，其中xb為中點，那麼（xα，xc）區間即為極小值所在的區間。
2.2.3.2.2 用二次函數擬合法求極小點
將上面已確定的等距的 xα、xb、xc三點及 φ 值，用二次函數擬合法即用公式（2.2.3）求得極小點，令為x*點。再將xα、xb、xc、x*四點中捨去φ值最大的點，剩下的點重新令為α、b、c，則又得三點和它們相應的φ值，用公式（2.2.2）求其極小點x*，如此反復使用公式（2.2.2），逐步縮小極小值的區間，一直到兩次求得的極小點位置差小於事先給定的精度為止，x*點即為極小點。
圖2.4 DSC-Powell法示意圖
2.2.4 廣義最小二乘法（Gauss 法）
重磁反問題中的最優化方法，一般是指多參量的非線性最優估計問題，理論模型異常z=f（
，b1，b2，…，bn）是參數bi（i=1，2，3，…，n）的非線性函數，其中
=（x，y，z）為測點的坐標。由前已知ΔZk（k=1，2，…，m）表示在第k個觀測點
上的實測異常，現在要尋求與觀測異常相對應的理論模型的參量值bi（i=1，2，…，n），使理論異常與實測異常的偏差平方和
地球物理數據處理教程
為極小。
設bi的初值為
，則上述問題，即是要求修正量δi，使
地球物理數據處理教程
代入φ中，使φ獲得極小。
高斯提出了首先將f函數線性化的近似迭代方法，即將f在
處按台勞級數展開取其線性項。
地球物理數據處理教程
式中
，
地球物理數據處理教程
當
和
給出後，
和
均可直接計算出來。將台勞展開式代入式（2.2.6）中，目標函數φ為
地球物理數據處理教程
要求
使φ取得極小，根據極小的必要條件
地球物理數據處理教程
將上式化為
地球物理數據處理教程
寫成方程組形式
地球物理數據處理教程
式中：
，
（i，j=1，2，…，n）
再寫成矩陣形式，有
地球物理數據處理教程
即
地球物理數據處理教程
其中
A=PTP
地球物理數據處理教程
式中：P稱為雅可比（Jacobi）矩陣，是理論模型函數對參量的一階導數矩陣。A為正定對稱矩陣，實際計算時，當實測異常值已給出，模型體的初值
已選定後，A和
即可計算出，求解方程（2.2.7）即可求出
，從而可得
。
上面推導出的方程（2.2.7）是將f線性化所得，因而只有當f為真正的線性函數時，
才是真正的極小點
，即一步到達極小；當f為非線性函數時，台勞式線性化僅為近似式，近似程序視
的大小而定，當|δi|較大時，二次以上項忽略的誤差就大，反之就小，所以對於非線性函數
不能簡單地作為極小點
，一般將
作為新的初值
再重復上述做法，再解方程（2.2.7）又得到新的
，反復迭代下去，直到滿足精度要求為止（例如|δi|小到允許誤差）。
在高斯法應用中常常出現一種困難，即迭代過程不穩定，當
過大時，台勞展開的高次項太大而不能忽略時，就可能發生這樣的情況，即用方程（2.2.7）求得的解，得到的參量
所對應的φ值大於
所對應的φ值，那麼它將不能穩定地收斂於φ的極小值，即是出現了發散的情況，一般說來當f非線性程度越明顯時，越易出現發散的情況。
因此高斯法的一種改進形式如下，即不直接把
作為校正值，而將它作為校正方向，記為
，而在該方向上用單變數求極小的方法尋找在這個方向上的極小點，即尋找一個α，使目標函數φ（
）為極小，取
作為新的初值，再繼續迭代（0＜α＜1）。
把這個改進的方法稱為廣義最小二乘法，它使迭代過程的穩定性有所改善，即使這樣當初值取得不好時，也有可能出現不收斂。
2.2.5 最速下降法
從前述已知，我們的目的是要求目標函數的極小，高斯法是利用將f函數線性化，建立一個正規方程（2.2.7）來求取修正量的，最速下降法是另一類型方法，它直接尋找φ函數的下降方向來求取修正量，所以它又稱為直接法，而高斯法又稱為間接法。
從目標函數φ出發來尋找其下降方向
地球物理數據處理教程
始終是大於或等於0，因此它一定有極小存在，我們首先考慮初值點
的一個鄰域內，將φ在
處台勞展開取至線性項，有
地球物理數據處理教程
希望尋找使Φ下降的方向，即要找新點
，使φ（
）＜φ（
）
即要求φ（
）-φ（
）＞0，
且越大越好，那麼可得
地球物理數據處理教程
地球物理數據處理教程
式中
表示φ函數對
的各分量的導數所組成的向量，即梯度向量。
要使上式取極大，有
地球物理數據處理教程
上式說明了φ值下降最快的方向
，應該是與梯度方向
相反的方向，即負梯度方向，那麼修正量就應在負梯度方向上來求取。下面討論從
出發，沿負梯度方向上求取極小點的方法，除了用前面介紹過的方法外，在此再介紹一種近似計算方法。
要求從
出發，沿-
方向的極小點，即要求λ使φ
為-
方向上極小點。根據極小必要條件，有
地球物理數據處理教程
如果φ為二次函數時，λ可以直接解出，在重磁反問題中φ為非二次函數，且函數形式較復雜，一般無法直接解出λ，而採用近似法，先將φ（
）台勞展開，取至線性項，即
地球物理數據處理教程
假設粗略認為φ的極小值為零，則極小點的λ應有
地球物理數據處理教程
這個方法計算簡單，但誤差較大，特別是
遠離真正極小點
時，φ值較大，上式的假設不適合，當接近真極小點
附近時，可以採用。但在重磁反問題中，由於實測值Zk中含有干擾成分，所以即使到了
附近，φ值仍不會為零，因而上述計算λ的方法不能直接採用，可將上述計算的λ作為一個區間估計值，再用其他方法計算［0，λ］之間真正的λ值。
從上所述可將最速下降法敘述如下：從初值
出發，沿著φ（
）的負梯度方向-
（
）尋找極小點
，然後又從
出發，沿著φ（
）的負梯度方向-
（
）尋找極小點
，一直迭代下去，直到找到
為止。
由於這個方法是沿著初值點的最快下降方向，在該方向上如果採用單方向求極小的方法得到該方向上的極小點，那麼又稱「最優」、「最速」下降法。但需要指出的是，所謂「最速」是就初值點的鄰域而言，所謂「最優」是指在初值點的負梯度方向上，所以它的著眼點是就局部而言，就初值點鄰域而言，而對整體往往是既非「最優」，又非「最速」，而是一條曲折的彎路，難怪有人稱它為「瞎子下山法」，如圖2.5所示，當φ的等值面為拉長的橢球時更是如此。但它有一個十分可貴的優點，即在迭代的每一步都保證φ值下降，所以它是穩定收斂的，在φ函數復雜時，計算工作量較大些，對於大型計算機比較適用。
圖2.5 最速下降法迭代過程示意圖
圖2.6 修正量的方向
2.2.6 阻尼最小二乘法（Marguardt）
比較上述兩種方法可知，Gauss法修正量的步長大，當φ近於二次函數，可以很快收斂，但當φ為非二次函數，初值又給得不好時，常常引起發散。而最速下降法卻能保證穩定的收斂，但修正量的步長小，計算工作量大。當φ的等值面為拉長的橢球時，Gauss法的修正量
和最速下降法的修正量
之間的夾角γ可達80°～90°，如圖2.6所示。
對於φ為二次函數的情況下，高斯法的修正量
方向是指向φ的極小點，而最速下降法修正量
的方向是垂直於通過
點的φ函數等值面的切平面。因而當φ為比較復雜的函數時，有可能使
出現發散而失敗。
阻尼最小二乘法是在Gauss法和最速下降法之間取某種插值，它力圖能以最大步長前進，同時又能緊靠負梯度方向，這樣既能保證收斂又能加快速度。它的基本思想是：在迭代過程的每一步，最好盡量使用Gauss法修正量方向
，以使修正步長盡可能地增大，如當這種情況下不能收斂時，再逐步改用接近最速下降的方向
，同時縮小步長，以保證收斂，下面以
表示由阻尼最小二乘法得出的修正量。
實現上述思想只要將方程
地球物理數據處理教程
改變為
地球物理數據處理教程
就能實現了。式中
為我們所要求的修正量，即稱Marguardt修正向量，I為單位矩陣，λ是用來控制修正方向和步長的任意正數，又稱阻尼因子，它起到阻止發散的作用，方程（2.2.9）中
顯然是λ的函數，即
地球物理數據處理教程
通過這一改變後，即原來的正規方程（2.2.7）系數矩陣的主對角線上加一正數，從而使條件數得到了改善。如果原來A是奇異的，而A+λI可成為正定的，設原來A的最大特徵值和最小特徵值為μmax和μmin，則條件數就發生了如下變化：
地球物理數據處理教程
使病態條件數改善，對於計算來說，是十分有利的。
從方程（2.2.7）可看出，右端項為
地球物理數據處理教程
而φ的負梯度向量
的第i個分量
地球物理數據處理教程
所以
，即方程（2.2.7）、（2.2.9）的右端項
的方向即為負梯度方向，值為負梯度值的一半。
在方程（2.2.9）中，當λ=0時，即是（2.2.7）方程，這時
就是
；當λ→∞時，δ0→
，而
是負梯度方向，這時
就是最速下降方向，所以阻尼最小二乘法的修正量
，是最速下降修正量
和Gauss法修正量
之間的某種插值，λ就是這種插值的權系數。
Marguardt向量
具有以下三個特性：
（1）當λ越來越大時，
的長度越來越小，且
地球物理數據處理教程
‖
‖表示
向量的范數，也即是它的長度。
（2）當λ由零逐漸增大時，
的方向逐漸由Gauss法的方向
轉向最速下降法方向
，λ越大，
方向越接近
方向。
（3）對λ＞0的任意正數，
（滿足方程（2.2.9））使φ在半徑為‖
‖的球面上取得極小。
圖2.7Δ0（λ）隨λ的變化情況示意圖
以上三個性質說明，當λ逐漸增大時，
的方向由
向
靠近，它的大小‖
‖逐漸減小，λ→∞時，‖
‖→0，如圖2.7所示。因此在迭代的任何一步，我們總可以找到充分大的λ，來保證穩定的收斂，因為當φ 不下降時，就加大λ向
靠，一直到使φ下降為止，從而保證收斂。性質（3）說明在跨出同樣的步長時，以
（λ）方向最好，這就保證了該法的優越性。在實際計算時，總是在保證收斂的前提下，取較小的λ，以獲得較大的步長前進。
下面介紹阻尼最小二乘法的迭代步驟，即實際計算過程。
（1）給出模型體參量初值
，計算φ（
）；給出實測場值ΔZk（k=1，2，…，m）；給出阻尼因子的初值λ（0）及改變λ的比例系數v。
（2）開始迭代，λ=λ（0）/v
（3）計算A，（A+λI）及右端項
在初值點
的值，得方程（2.2.9），（A+λI）
的系數矩陣及右端項。
（4）求解方程（2.2.9）得
。
（5）計算
及φ（
）。
（6）比較φ（
）和φ（
）。
若φ（
）＜φ（
），則該次迭代成功。判斷
是否滿足精度要求，若滿足停止迭代，這時的
即為極小點
；若不滿足精度要求，則將
作為新
，φ（
）作為新φ（
），減小λ作為新的λ（0），轉向第（2）步，繼續迭代下去。
若φ（
）＞φ（
），則該次迭代失敗，增大阻尼因子λ，將λ·v作為新的λ，轉向第（4）步，即重新求解（A+λI）
方程，重新得到新的
。
該方法中阻尼因子λ的選擇十分重要，上述選法是一種簡單可行的方法，還有很多不同的選擇方法，可參閱有關的書籍。
H. 最優化方法數學
最優化方法簡單，就是運籌學，高中就學過，比如一些簡單的線性規劃，裡面就是一些固定的模式化方法，考試前記下就能考高分，數理統計還是很煩瑣的，是數學專業的基礎課，有點難度的，計算方法呢，也是一些固定的模式公式，但公式比較多而且比較煩瑣，計算難度大。三個相對來說，就難度與計算復雜程度來看，最優秀化方法相對簡單。
I. 什麼是最優化法則
優選法(Optimization method) 優選法,是指研究如何用較少的試驗次數， 迅速找到最優方案的一種科學方法。例如： 在現代體育實踐的科學實驗中，怎樣選取最合適的配方、配比； 尋找最好的操作和工藝條件；找出產品的最合理的設計參數， 使產品的質量最好，產量最多，或在一定條件下使 成本 最低， 消耗原料最少， 生產周期 最短等。把這種最合適、最好、 最合理的方案，一般總稱為最優；把選取最合適的配方、配比， 尋找最好的操作和工藝條件，給出產品最合理的設計參數， 叫做優選。也就是根據問題的性質在一定條件下選取最優方案。 最簡單的最優化問題是極值問題， 這樣問題用微分學的知識即可解決。
