四次根式方程的解決方法

① 急求四次方程求根公式（要完整的過程）還有五次方程無求根公式的證明過程

方程兩邊同時除以最高次項的系數可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1) 移項可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 兩邊同時加上(1/2bx)^2 ，可將（2）式左邊配成完全平方，方程成為 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在（3）式兩邊同時加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) （4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什麼值，（4）式都應成立。特別，如果所取的y值使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。 為了使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5) 這是關於y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。 把由（5）式求出的y值代入（4）式後，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關於x的一元二次方程。解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。 費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於：第一次配方得到（3）式後引進參數y，並再次配方把（3）式的左邊配成含有參數y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題。 五次方程無求根公式的證明過程 很復雜 一般人看不懂 如下：從方程的根式解法發展過程來看，早在古巴比倫數學和印度數學的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當於+，，這是對系數函數求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復興的極盛期（即16世紀初）才由義大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，顯然它是由系數的函數開三次方所得。同一時期，義大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數的函數開四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀已獲得圓滿解決，但是在以後的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結果。1770年前後，法國數學家拉格朗日轉變代數的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，並利用拉格朗日預解式方法，即利用1的任意n次單位根 （ n =1）引進了預解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，詳細分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進了代數方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，於是他懷疑五次方程無根式解。並且他在尋求一般n次方程的代數解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給後人以啟示。
1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預解式不可能是四次以下的，從而轉證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數學家高斯開辟了一個新方法，在證明代數基本理論時，他不去計算一個根，而是證明它的存在。隨後，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質數）可用根式求解，這表明並非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明。
隨後，挪威數學家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什麼性質，於是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。並且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高於四次的方程不可能代數地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發現這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（假設為x）的有理函數，並且任意兩個根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數。現在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經涉及到了群的一些思想和特殊結果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當用另一個根xi代替x1時，其中1〈i≤n ，那麼qj(xi)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實際上應說根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一個置換），而僅僅考慮可交換性q1q2(x)=q2q1(x)來證明方程只要滿足這種性質，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
阿貝爾解決了構造任意次數的代數可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數學家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業。
伽羅瓦在證明不存在一個五次或高於五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當他系統地研究了方程根的排列置換性質後，提出了一些確定的准則以判定一個已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導致他去考慮一種稱之為「群」的元素集合的抽象代數理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了「群」這一術語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認為了解置換群是解決方程理論的關鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質描述的系統。他從此開始把方程論問題轉化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關群論的新概念，從而也產生了他自己的伽羅瓦群論，因此後人都稱他為群論的創始人。
對有理系數的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）
假設它的n個根x1,x2,…,xn的每一個變換叫做一個置換，n個根共有n!個可能的置換，它們的集合關於置換的乘法構成一個群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質中有所反映，於是伽羅瓦把代數方程可解性問題轉化為與相關的置換群及其子群性質的分析問題。現在把與方程聯系起的置換群（它表現了方程的對稱性質）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數域中的群。一個方程的伽羅瓦群是對於每一個其函數值為有理數的關於根的多項式函數都滿足這個要求的最大置換群，也可以說成對於任一個取有理數值的關於根的多項式函數，伽羅瓦群中的每個置換都使這函數的值不變。伽羅瓦創立群論是為了應用於方程論，但他並不局限於此，而是把群論進行了推廣，作用於其他研究領域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深奧，對十九世紀初的人們來說是很難理解的，連當時的數學大師都不能理解他的數學思想和他的工作的實質，以至他的論文得不到發表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀六十年代，他的理論才終於為人們所理解和接受。
伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響

② 求四次方程的求根公式

尋找三次方程的求根公式，經歷了二千多年的漫長歲月，直到十六世紀歐洲文藝復興時期，才由幾個義大利數學家找到，這就是通常據說的卡丹（Cardan, 1501——1576）公式
在三次方程的求解問題解決後不久，卡丹的僕人和學生費拉里又得到了四次方程的求解方法。其主要思路是：對於四次方程 （2）引入參數t ，經配方化為 （3）容易驗證（2）與（3）是一樣的。為了保證（3）式右邊是完全平方，可令它的判別式為0：即選擇t是三次方程的任一根。把這個根作為（3）中的t值就有把右邊移到左邊並分解因式得到兩個二次方程這樣，就把求四次方程的根化為求一個三次方程和兩個二次方程的根，因此認為四次方程的求解問題也解決了。既然有了這個突破，數學家們就以極大的興趣和自信致力於尋找五次方程的求解方法。他們發現，對次數不超過四的方程，都能得到根的計算公式，每個根都可用原方程的系數經過加減乘除和開方運算表出。我們把這件事簡稱為可用根號求解，
參考資料：http://jpkc.hzu.e.cn/maths/uploadfile/2.htm
你在網上搜「卡爾丹公式」，就會得到想要的相關知識了。

四次方程都是先化成三次方程，再利用三次方程的公式來做的。當然也可以直接把四次方程的根用系數寫成公式，但很長，有興趣的話可以下載Mathematica軟體，輸入命令
Solve[ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e == 0]
即可求得解。(太長，這里就不寫了)

③ 四次方程的求根公式

關於三次方程的求根公式我已經自己推導過了，結果是兩個三次根號的差再減一個數。其中在每一個三次根號下有兩個二次根號，而且其中的一個根號下是關於系數的多項式的平方和關於系數的多項式的立方。
這個我沒有把它展開再相加，太麻煩了，有種折筆的沖動，這就是所謂的三次方程求根公式。
四次方程是先用上面的那個三次方程的求根公式求出來一個參量，再把這個求出來的包含有各種根號的一大坨根作為兩個一元二次方程的系數的一部分再求解，那簡直得有跳樓的沖動啊。
雖說重賞之下必有勇夫，但做這個題，我看難。

④ 根式方程的解法

1.如果是√tx=k型，則是兩邊平方即可。
2.如果是√tx+√bx=a型，則是，變形為：
√tx=a-√bx，再兩邊進行平方，平方完成後需要把其中的含有根號一項放在等號的一邊，進行第二次平方。
3.特殊根號方程，如果是：
√(3-4x)+√(4x-3)=0
則根據根式的定義就可知道x=3/4,此時不需要去跟號。

⑤ 三次函數和四次函數的求根公式

從方程的根式解法發展過程來看，早在古巴比倫數學和印度數學的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當於+，，這是對系數函數求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復興的極盛期（即16世紀初）才由義大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，顯然它是由系數的函數開三次方所得。同一時期，義大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數的函數開四次方所得。

⑥ 如何解四次方程

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0(a≠0)設四個根分別為x1,x2,x3,x4，則a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)=0,將其展開後令各項系數相等，可解出x1,x2,x3,x4 如果能夠巧妙地把一元四次方程轉化為一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。
費拉里的方法是這樣的：方程兩邊同時除以最高次項的系數可得
x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
(1)
移項可得
x^4+bx^3=-cx^2-dx-e
(2)
兩邊同時加上(1/2bx)^2
，可將（2）式左邊配成完全平方，方程成為
(x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e
(3)
在（3）式兩邊同時加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2
可得
[(x^2+1/2bx)+1/2y]^2=
(1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e
(4)
（4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什麼值，（4）式都應成立。特別，如果所取的y值使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。
為了使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即
(1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0
(5)
這是關於y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。
把由（5）式求出的y值代入（4）式後，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關於x的一元二次方程。解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。
費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於：第一次配方得到（3）式後引進參數y，並再次配方把（3）式的左邊配成含有參數y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題。
不幸的是，就象塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當公式一樣，費拉里發現的一元四次方程求解方法也曾被誤認為是波培拉發現的。

⑦ 四次方程怎麼解

四次方程通過把高次方程化為次數較低的方程求解。對於5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數解法和求根公式（即通過各項系數經過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解），這稱為阿貝爾定理。 換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根求解。

適用未知數最高次項的次數不大於四的多項式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的啟發而得到的。除最初解法外，該方程是還有其他簡便解法。

(7)四次根式方程的解決方法擴展閱讀

來源：

一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的啟發而得到的。一元三次方程是在進行了巧妙的換元之後，把問題歸結成了一元二次方程從而得解的。於是，如果能夠巧妙地把一元四次方程轉化為一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

⑧ 四次方程的解法

你說的是一元四次方程的通解吧

方程兩邊同時除以最高次項的系數可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)

移項可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 兩邊同時加上(1/2bx)^2 ，可將（2）式左邊配成完全平方，

方程成為 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)

在（3）式兩邊同時加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2

可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2=e (4)

（4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什麼值，（4）式都應成立。

特別，如果所取的y值使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。 為了使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+d)(1/4y^2-e)=0 (5)

這是關於y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式後，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關於x的一元二次方程。

解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。