反函數的認識方法和技巧

❶ 求文檔: 反函數的定義及性質總結 site:90house.cn

一、反函數的概念
高中數學對函數的研究是以映射的觀點來進行的，回顧前面研究映射時我們定義了一個特殊映射.一一映射.
若將某映射f:的對應關系調轉，只有一一映射能夠保證調轉後的對應仍是映射，稱這一映射
f-1:為原映射的逆映射.
若將前述一一映射限制在數集到數集上，就可以得到我們這里研究的反函數.
定義:
如果確定函數y=f(x)，x∈A的映射f:A→B(f:y=f(x), x∈A)是從A到B上的一一映射，則它的逆映射f-1:B→A(f-1:y→x=f-1(y), y∈B).
所確定的函數y=f-1(x), x∈B稱為y=f(x),x∈A的反函數.
二、反函數的性質
1．由定義和f(x)存在反函數的充要條件是它的映射為一一映射.
如f(x)=x2(x∈R)無反函數（非一一），g(x)=x2+1(x≤0)有反函數，因為它是到[1，+∞）上的一一映射.
2．f(x),x∈A和f-1(x), x∈B互為反函數.
3．原函數的定義域是其反函數的值域，原函數的值域是其反函數的定義域.
4．單調函數具有反函數，因為單調一一映射有反函數.
可見函數在區間上具單調性是它有反函數的充分不必要條件.
如函數y=(x≠0), 其反函數與自身相同，但它在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具單調性.
5．若b=f(a), 則 a=f-1(b),即(a, b)在函數圖象上，則(b, a)在其反函數圖像上；反之也對.利用這一點可以把反函數上點的問題轉化為研究函數上的點的問題.
6．x∈A, f-1[f(x)]=x; x∈B, f[f-1(x)]=x.
7．原函數與反函數圖象關於y=x對稱.
8．單調函數的反函數與原函數具有相同的單調性.
奇函數如果有反函數，則其反函數也是奇函數.需要認識到，奇函數不一定有反函數.
如：y=x3-x, 當y=0時x=0, ±1,
這不是一一映射，因此不具有反函數.但偶函數是不是一定沒有反函數？如y=f(x)，x∈{0}, y∈{0},其圖象就是原點.它是偶函數，也具有反函數（即自身）.
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❷ 高中數學：反函數到底是個什麼東西

主要是要求理解反函數和原函數之間的關系，特別是要理解指數函數和對數函數之間、三角函數和反三角函數之間的關系。

❸ 求反函數詳細解釋

求反函數的過程為:

先把x看作未知數（y看作常數），解方程，用y表示x；

習慣上改寫（x與y互換），從而定義域及值域互換。

詳情如圖所示:

供參考，請笑納。

❹ 反函數的定義及性質

反函數定義：

一般地，對於函數y=f(x)，設它的定義域為D，值域為A，如果對A中任意一個值y，在D中總有唯一確定的x值與它對應，且滿足y=f(x)，這樣得到的x關於y的函數叫做y=f(x)的反函數，記作x=f-1(y)，通常為了與習慣一致，我們對調函數x=f-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f-1(x)。

（1）函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射；

（2）一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致；

（3）大部分偶函數不存在反函數（當函數y=f(x)， 定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0} ）。

奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。

（4）一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性；

（5）嚴增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數；

（6）反函數是相互的且具有唯一性；

（7）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；

(4)反函數的認識方法和技巧擴展閱讀

反函數求解步驟：

①求出原函數的值域，即求出反函數的定義域

②由y=f(x)反解出x=f-1(y)，即把x用y表示出來

③將x，y互換的：y=f-1(x)，並寫出反函數的定義域

例題：求f(x)=ex-1的反函數f-1(x)的解析式

解：

∵f(x)=ex-1，可知f(x)的值域為(-1，+∞)

已知y=ex-1

可得ex=y+1，即得：x=ln(y+1)

∴f-1(x)=ln(x+1)，且x∈(-1，+∞)

❺ 寫出一個函數的反函數有什麼技巧

把x與y互換，求y『=f(x'),互換過程中注意定義域，譬如，根號裡面大於等於0，分母不為零。滿足了就可以了。

❻ 如何求反函數,有什麼快捷方式和技巧嗎

反函數其實就是把X和Y 換位置 寫成「X=」 然後X寫成Y，Y寫成X 。如果有范圍區間那麼原來X的范圍是現在Y 的范圍 用現在Y 的范圍求X的范圍

❼ 求反函數的思路與解題技巧

求反函數的一般思路，希望對你有幫助。
一、反函數的解題方法有很多種，其中最常用的一種方法是通過y來求x，但是要注意定義域和值域的取值范圍。
二、反函數總是相對原函數而言的，原函數如果單調，反函數也單調（當然並不是單調性完全相同），原函數定義域就是反函數的值域，原函數的值域就是反函數的定義域。其他還有周期性，對稱性，都要針對原函數來考慮。
三、反函數其實就是把X和Y
換位置
寫成「X=」
然後X寫成Y，Y寫成X
。如果有范圍區間那麼原來X的范圍是現在Y
的范圍
用現在Y
的范圍求X的范圍。
四、方法：畫圖
利用對稱性來解決。

❽ 反函數的題怎麼算有什麼技巧嗎

一、 師：什麼是反函數呢？讓我們一起來思考這樣一個問題：在函數 中，如果當作因變數，把y當作自變數，能否構成一個函數呢？生：可以構成一個函數.師：為什麼是個函數呢？生：在y允許取值范圍內的任一值，按照法則 → 都有唯一的x與之相應.師；根據這位同學的表述，這是符合函數定義的，也就是說，按照上述原則，函數 是存在反函數的.這個反函數的解析式是怎樣的呢？生：應該是. 師：這種表示方法是沒有問題的，但不符合我們的習慣，按習慣用字母x表示自變數，用字母y表示因變數，故這個函數的解析式又可以寫成 這樣改動之後，帶來這樣一個問題，即 和 是不是同一函數呢？生：是.師：能具體解釋一下嗎？生：從函數三要素的角度看， 和 具有相同的定義域和值域，皆為R，同時對應法則都是自變數減1除以2得因變數，也是相同的，所以它們是相同的函數.師：既然是相同的，我們就把 稱作函數 的反函數，同樣，函數y=x-1 2有沒有反函呢？生：有.就是 .師：對.也就是說函數 與函數 是互為反函數的.那麼，是不是所有函數都會有反函數呢？生：不是所有函數都有反函數.師：能舉個例子說明嗎？生：如函數 ，將y當作自變數，x當作因變數，在y允許取值范圍內，一個y可能對應兩個x，如y=1則x=±1，因此不能構成函數，說明它沒反函數.師：說得非常好．如果從形的角度來解釋，會看得更清楚，見圖１，從圖中可看出給出一個y能對應兩個x．缺圖１通過對幾個具體函數的研究，了解了什麼是反函數，把前面對函數y=2x＋１的反函數的研究過程一般化，概括起來就可以得到反函數的定義．由於這個定義比較長，所以我們一起閱讀書上相關內容．（板書：（１）反函數的定義）（要求學生打開書第６０頁第二自然段，請一名同學朗讀這一段內容．）為幫助學生理解定義中的描述，教師可以再以一上具體函數為例解釋y=f(x)和x=j(y)之間的關系，同時應指出定義中＂如果＂二字的含義表示不是所有函數都有反函數．） 對於反函數有了初步的了解之後，下面進一步對這個特殊的函數概念作點深入研究．（板書：（２）對概念的理解．）師：反函數的「反」字應當是相對原來給出的函數而言的，那麼它們之間有什麼關呢？不妨以剛才的兩個函數y=2x+1和 為例加以研究．生：對應法則不同．師：能否說得再具體點，怎麼不同？生：這兩個函數的對應法則中，x與y的位置換位．（研究兩函數間的關系應從函數三要素角度入手研究，老師可適當引導學生向三要素靠攏．）師：還有什麼聯系嗎？生：當 的定義域和值域分別是y=2x+1的值域和定義域．師：根據剛才我們的討論，可以發現反函數的三要素是由原來函數決定的，當給出的函數確定下來後，其反函數的三要素也就確定下來了，可以簡記為「三定」．把這種確定關系具體化，也就是反函數的「反」字體現在什麼地方呢？生：反函數的定義域就是原來函數的值域；反函數的值域就是原來函數的定義域；反函數的對應法則就是把原來函數對應法則中x與y的位置互換．師：由此我們可以看到反函數的「反」實際體現為「三反」．在這「三反」中，起決定作用的就是x與y的反置，正是由於它們位置的改變，才把相應取值反置，從而引起另外兩「反」．（板書：a.「三定」，b.「三反」）師：從函數概念的角度來看，我們明確了原來函數與其反函數間的關系，當然還可以從其它方面入手進行研究，如：一個函數有沒有反函數？若有反函數，它的性質如何？與原來函數的性質有什麼關系？通過前面幾個例子可以發現，上述問題中，原來函數的性質起著決定性作用，而且反函數的性質也與原來函數的性質相關．由於函數和反函數有如此密切的關系，它已成為進一步研究函數的重要方面 ．當我們研究某個函數性質時，如果這個函數有反函數，就可以在兩者中擇其簡而研究之，這就增加了函數的研究方法．師：對反函數概念作了較全面認識之後，自然提出這樣一個問題：如果一個函數存在反函數，如何去求這個函數的反函數呢？一起看這樣二個題目．例１ 求 的反函數．生：（板書）解 由 ， 得 所以，所求反函數為 （在表述上不規范之處，先暫時不追究，待例２解完之後再一起講評．）例２ 求 的反函數．生：（板書）解 由y= 得 又 所以 故 ．師：下面請同學對兩個例題的表述作個評價．生：例２所求的反函數是錯誤的，應為 (x≥2)師：這和黑板上所得的函數有什麼不同嗎？生：兩個函數的定義域分別是x≥1和x≥2，所以是不同的兩個函數．師：為什麼是 (x≥2)呢？生：因為反函數的定義域應是原來給出函數f(x)的值域，而f(x)的值域應為y≥2，故所求反函數應為 (x≥2)．師：說得很好．根據我們對反函數的認識，反函數的定義域就是原來給出函數的值域．所以，要求出反函數的定義域，就必須先求出原來函數的值域．那麼例２的求解過程應當怎樣調整呢？生：由 得 ，又x≥1,所以 ．因為 的值域為 ，所以 (x≥2)．師：通過剛才的討論，我們發現並解決了例２反函數的存在問題，同時也注意到求反函數必須明確指出其定義域，以保證結論的正確性．除此之外，還有什麼問題嗎？生：為什麼沒有在例１中求原來所給函數的值域呢？師：請同學們針對這個問題討論一下．生：因為原來所給的函數的值域是y≠0，這和所求出的反函數的定義域是x≠0為結論是一致的，所以沒有出錯．師：此題出現的這種結論的一致性，應當說是一種偶然，而不是必然．因此，在求反函數的過程中，必須要求出原來所給函數的值域，並且在最後結果中註明反函數的定義域．那麼，例１的規范書寫過程應如何調整呢？生：（板書）解 由 ，所以，所求反函數為師：通過剛才對兩個具體例子的討論，能否總結一下求用解析式表達的函數的反函數的基本步驟呢？（板書：２．求反函數的步驟）生：首先從解析式中解出x，其次求出所給函數的值域，最後再改寫為習慣的表示形式．師：把這幾步用簡單的幾個字來概括一下：１． 反解：即把解析式看作x的方程，求出反函數的解析式；２． 互換：既求出所給函數的值域並把它改換為反函數的定義域；３． 改寫：將函數寫成 的形式．（板書：１．反解 ２．互換 ３．改寫．）師：下面通過幾個練習來看看同學們是否真正理解這三個基本步驟．三 、鞏固練習練習 求下列函數的反函數１． （由一個學生在黑板上完成．）解 由 x=3 2y-2.又f(x)=23x+3,x∈(-∞,3)的值域為 f(x)∈(-∞,4), 所以f-1(x)=32x-2,x∈(-∞,4).2.y=x2-x+1(x≥12)（由一個學生在黑板上完成，兩題同時進行，其餘學生在筆記本上完成，教師巡視．）解 由 y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以 x=1±4y-32,又 y=x2-x+1(x≥12)的值域為｛y|y≥34｝,所以，f-1(x)1±4x-32(x≥34).（待全體學生完成之後，結合黑板上學生的表述及其它學生解答中出現的問題進行講評．）師：先看黑板上同學的表述有沒有問題，請加以糾正．（一學生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以x=1±4y-32 又x≥12,所以 x=1+4y-32 又y=x2-x+1(x≥12)的值域為｛y|y≥34｝,故所求反函數為y=1+4x-32 (x≥34). 師：經過改正，兩個題目在表述上已經沒有問題了．下面結合其它同學求解中出現的一些問題，談幾點注意．（１） 求反函數的過程中必有一步是求出原來所給函數的值域．求值域的方法有很多，如果所給函數是常見函數如一次函數、二次函數等，不妨從「形」的角度求值域會比較方便直觀.（２） 解關於x的一元二次方程有兩個根，必須根據題目所給條件對x進行取捨，保留符合條件的唯一解.（３） 這兩個題目在反函數符號的使用上是有區別的，題目給出f(x)這個符號，則反函數可以用f-1(x)來表示，否則只能用文字敘述的形式.四、小結1.反函數是函數中一個重要的概念，它是從研究兩個函數關系的角度產生的，因此認識它應從三要素角度進行研究.2.一個函數有沒有反函數是由原來給出函數的性質決定的，且反函數的性質也是由原來給出的函數性質決定的.3.求反函數實際上就是辦兩件事，一是解一個關於自變數x的方程，二是求 一個函數的值域. 五、作業 課本習題P65習題六第3題（1），（3），第4題.課堂教學設計說明反函數這節課是一節概念課，因此這節課的成敗關鍵是反函數概念的建立.反函數是函數中一個特殊現象，對這個概念的研究是對函數概念和函數性質在認識上的深化和得高，所以學生對這個知識的學習是有一定的知識基礎和認識基礎的，故應以學生的主體參與為主線，且是在教師主導作用下的思維與參與.學生的思維是從問題開始的，因此本節課的起點應是一個有較大思維空間的問題，所以在設計時選擇從一個具體函數入手提供研究反函數的原則，讓學生在這個原則之下自己選擇研究方法，進行探討，在研究過程中，針對學生出現的障礙，適時、適當加以點撥，將學生思維引向正軌.反函數概念的建立的關鍵在於讓學生能從兩個函數關系的角度去認識它，從而深化對函數概念的認識.在教學設計中，教師採用從具體的例子出發，用學生最熟悉的知識，最明顯的事例，幫助學生找到研究方法的角度，再逐步概括抽象出反函數意義，這樣也便於分散難點，突出重點.對一個概念的理解往往要通過某種具體的操作來體現,操作的靈活熟練程度也能體現出對概念理解的深度.因此這節課對反函數概念的理解最終是落在求反函數技能的形成和訓練上,在設計中教師採用讓學生嘗試、調整、概括、小結,最終形成求反函數基本步驟.在實踐中,鼓勵學生大膽嘗試,不怕失敗,在知識的學習過程中,教訓有時比經驗更深刻.在這節課的教學設計中,從始至終都盡量讓學生能夠主動思考問題,提出問題,分析問題並解決問題,在積極活躍的思維過程中,不斷提高學生的數學能力和數學素養.

❾ 通俗點講什麼叫反函數

要通俗一點呀，呃，這樣定義吧。如果兩個函數，互相關於y=x這條直線對稱，那麼它們互為反函數。例如y=lnx和y=e∧x。這兩個函數有個重要特徵，那就是定義域和值域互換。