『壹』 怎麼學好工科數學分析第三版{哈工大} 我是林大11新生,開學進半個月學高數太費勁,求指導 怎麼學好
工科數學分析與高中數學相比有很大的不同,內容上主要是引進了一些全新的數學思想,特別是無限分割逐步逼近,極限等;從形式上講,學習方式也很不一樣,特別是一般都是大班授課,進度快,老師很難個別輔導,故對自學能力的要求很高。具體的學習方法因人而異,但有些基本的規律大家都得遵守。我具體說一下列在下面:
1。書:課本+習題集(必備),因為學好數學絕對離不開多做題(跟高中有點像,呵呵);建議習題集最好有本跟考研有關的,這樣也有利於你將來可能的考研准備。
2。筆記:盡量有,我說的筆記不是指原封不動的抄板書,那樣沒意思,而且不必非單獨用個小本,
可記在書上。關鍵是在筆記上一定要有自己對每一章知識的總結,類似於一個提綱,(有時老師或參考書上有,可以參考),最好還有各種題型+方法+易錯點。
3。上課:建議最好預習後聽聽。(其實我是從來不聽課的,除非習題課),聽不懂不要緊,很多大學的課程都是靠課下結合老師的筆記自己重新看。但remember,高數千萬別搞考前突擊,絕對行不通,所以平時你就要跟上,步步盡量別斷層。
4。學好高數=基本概念透+基本定理牢+基本網路有+基本常識記+基本題型熟。數學就是一個概念+定理體系(還有推理),對概念的理解至關重要,比如說極限、導數等,小弟你既要有形象的對它們的
理解,也要熟記它們的數學描述,不用硬背,可以自己對著書舉例子,畫個圖看看(形象理解其實很重要),然後多做題,做題中體會。建議你用一隻彩筆專門把所有的概念標出來,這樣看書時一目瞭然(定理用方框框起來)。
基本網路就是上面說的筆記上的總結的知識提綱,也要重視。
基本常識就是高中時老師常說的「準定理」,就是書上沒有,在習題中我們總結的可以當定理或推論用的東西,還有一些自己小小的經驗。這些東西不正式但很有用的。
題型都明白了,比如各種極限的求法。
好了,這些都做到了,工科數學分析應該學得不會差了,至少應付考試沒問題。如果你想提高些,可以做些考研的數學題,體會一下,其實也不過如此
還可以看些關於高數應用的書,其實數學本來就是從應用中來的,你會知道真的很有用(不知你學的什麼專業)
最後再說說怎麼提高理解能力的問題(一家之言)
1。舉例具體化。如理解導數時,自己也舉個例子,如f(x)=820302X2+811211(x的平方)。
2。比喻形象化。就是打比方,比如把一個二元函數的圖形想成鄰家女孩的頭上的草帽。
3。類比初級化。比如把二元函數跟一元函數類比,泰勒公式想成二次函數,好理解。
4。多書參考法。去你們圖書管借幾本不是一個作者寫的高數教材,雖然講的內容都一樣,但不同的作者往往對同一個問題從不同的角度表述,對你來說,從很多不同的角度、例子理解同一個問題,往往就容易多了。Just have a try!
5。不懂暫跳法。對一些定理的證明、推導過程等,如果一時不明白沒關系,暫時放過,記下這個疑點待以後解決就可以了。
說了這么多也不知哪些對你有用,對了,還有要不恥上問,問同學老師都行,弄會才是目的。如有什麼問題,給我留言。
另外對於你即將要學習的線性代數,則必須樹立一個良好的學習態度,在這里的內容相對高數而言比較抽象,有必要多花些時間,而且在這階段的學習里正是鍛煉你的抽象思維和邏輯思維的好時機,對你以後的專業學習是大為有幫助,希望能夠好好的把握。
而對於概率與統計,就更注重實際,偏於計算,對於一些數論里的知識和一些數學理論要有個很熟練的把握,而且它也是更貼近你專業的一門數學。
總之,要學好大學數學,最重要的是打好前基礎。
最後祝你學業有成!
『貳』 常用的數學分析方法有哪些
1.避免「一步到位」
是指解題過程中,省略關鍵步驟,而直接得到答案,這樣扣分是嚴重的.由於解答題是嚴格按照步驟給分的,如果解題過程中失去關鍵步驟,跳過擬考查的知識點、能力點,就意味著失去得分點,自然被扣分.
例1(2000年全國高考題) 已知函數y= cos2x+ sinxcosx+1,x∈R.
(I) 當函數y取得最大值時,求自變數x的集合;
(II) 該函數的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到?
解:(I)由題設可得,y= sin(2x+ )+ ,故有
當 x= +k ,k∈Z,函數y取得最大值.
(II) 略.
評註:在(Ⅰ)的解答中犯了「大題小作」中的「一步到位」錯誤,缺少了化簡過程的3個要點與何時取到最大值的1個要點,因而被扣分.
2. 避免「使用升華結論」
在解選擇和填空題中,使用升華結論(教材中未給出的正確結論)是允許的,而且還是一種簡捷快速的答題技巧.而直接運用(不加說明或證明)在解答題中是不合適的,且是「大題小作」,要適當扣分的.
解答高考解答題的理論根據應該是教材中的定義、定理、公理和公式,而學生使用「升華結論」則達不到考查能力、考查過程的目的,因此不能以題解題,不能直接運用教材以外別的東西,以免被扣分.
例2⑴(1991年全國高考題) 根據函數單調性的定義,證明函數f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是減函數.
⑵(2001年全國高考題) 設拋物線y2 =2px (p>0)的焦點為F,經過點F的直線交拋物線於A、B兩點,點C在拋物線的准線上,且BC∥x軸.證明直線AC經過原點O.
評分標准中指出:
對於⑴:「利用y=x3在[0,+∞)上是增函數的性質,未證明y=x3在(-∞,+∞)上也是增函數而直接寫出f(x1)-f(x2)= - <0,未能證明為什麼 - <0過程,由評分標准知最多得3分.
對於⑵:有些考生證明時,直接運用課本中的引申結論「y1 y2=p2」而跳過擬考查的知識點、能力點而被扣2分.
對於課本習題、例題的結論,是要通過證明才能直接使用(黑體字結論例外),否則將被「定性」為解題不完整而被扣分.又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全國高考理科第17(Ⅱ)利用面積射影定理,由於不加證明而直接使用,因而被扣分.
3 避免「答非所問」
是指沒有根據題意要求或沒有看清題意要求,用其它方法或結論作答,這明顯也要被扣分的.
例3(1993年全國高考題)已知數列
Sn為其前n項和.計算得 觀察上述結果,推測出計算Sn的公式,並用數學歸納法加以證明.
解:依據題意,推測出Sn的公式為:
Sn= .
∵ ak= = - ,
分別取k=1,2,3,…,n,並將n個式子相加得:
Sn=1- = .
評注 以上解法可謂「簡單、明了」,但證明時不用數學歸納法,為「答非所問」,不合題意,扣分是必然的. 又如1999年高考第22題(應用題),第(Ⅰ)問中求「冷軋機至少需要安裝多少對軋輥」,要求是用整數作答,不少考生未能用整數作答,違背題意而被扣分.
(四)了解「評分標准」,把握得分點
掌握解答題的「得分點」就要了解高考的評分標准,解答題評分標準是分步給分,但並非寫得越多得分越高,而是踏上得分點就給分,即按所用的數學知識,數學思想方法要點式給分,允許「等價答案」,允許「跳步得分」. 因此解答時,應步驟清,要點明,格式齊. 對於不同題型的給分規律有:
1.立幾題得分點
通常分作證,計算兩部分給分,各段中間又按要點給分.證明主要寫清兩點:①空間位置關系的判斷推理的依據(課本中的定理、公理);②什麼是空間角和距離及理由(緊扣定義). 特別要注意沒有寫清角、距離要被扣分. 計算過程的書寫:計算一般是解三角形,要寫清三角形的條件及解出的結果. 用等積法解題,要找出等積關系並計算. 都是分段得分的,如1998年23題,1999年22題,都有3個小題,每小題4分,其中作證2分,計算2分.
2.分類討論題得分點
按所分類分別給分,加上歸納的格式(即寫為「綜上:當××時,結論是××」)分. 如1996年第20題,按a>1和0<a<1兩類分別給5分,歸納給1分. 2000年理19(Ⅱ),求 a 的取值范圍,使函數在區間[0,+∞)上是單調函數,按 a≥1和0<a<1討論各得2分.
3.應用題得分點
按設列、解答兩部分給分. 特別要注意不答和答錯都要扣1分,應注意設、列、解、答的完整性,爭取步驟階段分.
4.推理證明題得分點
按推理格式,推理變形步驟給分. 對於用定義證明函數的單調性、奇偶性,用數學歸納法證題,都有嚴格的格式分,應完整,避免失分. 即使推理證明不出,寧可跳步作答,也要套用格式. 從條件、結論兩頭往中間靠,這樣寫完格式,這樣可以少扣分.
5.綜合題得分點
按解答的過程,分步給分,每個步驟又按要點給分. 盡可能把過程分步寫出,盡量不跳步,根據題意
列出關系,譯出題設中每一個條件,能演算幾步算幾步,尚未成功不等於失敗,特別是那些解題層次分明的題目,那些已經程序化的方法,每進行一步得分點的演算都可以得到這一步的滿分,最後結論雖然沒有算出來,但分數已過半,所以說,「大題拿小分」也是一個好主意. 因此盡量增加分步得分機會,千萬別輕易留空白題.
(五)常用的解答題解題技巧
1.較簡單的解答題的求解
對於比較容易解答的解答題(一般是前面3道),宜採用一慢一快的方法,就是審題要慢,解題要快,速戰速決,為後面3道解答題留下時間.
找到解題方法後,書寫要簡明扼要,快速規范,不要拖泥帶水,羅唆重復,用閱卷老師的話,就是寫出「得分點」,一般來講,一個原理寫一步就可以了。至於不是題目直接考查的過渡知識,可以直接寫出結論,高考允許合理省略非關鍵步驟,應詳略得當。
例2004北京理科第15題
在 中, , , ,求 的值和 的面積.
分析:本小題主要考查三角恆等變形、三角形面積公式等基本知識,考查運算能力
解:
又 ,
.
2.較難的解答題的求解
對於較難的解答題(後面3道)來說,要想在有限的時間內做全對是不大現實的.當然也不能全部放棄,應該盡可能的爭取多拿分.對於絕大多數考生來說,在這里重要的是:如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說,有什麼樣的解題策略,就有什麼樣的得分策略,下面談四個觀點。
(1)、缺步解答
如果我們遇到一個很困難的問題,確實啃不動,一個明智的策略是:將它分解成為一個系列的步驟,或者是一個個子問題,能演算幾步就演算幾步,尚未成功不等於徹底失敗,每進行一步得分點的演算就可以得到這一步的滿分,最後結論雖然沒有得出來,但分數卻已過半。因為近幾年高考解答題的特點是:入口易完善難,不可輕易放棄任何一題。
例: (2004浙江理科第21題)已知雙曲線的中心在原點,右頂點為A(1,0)點P、Q在雙曲線的右支上,支M(m,0)到直線AP的距離為1.
(Ⅰ)若直線AP的斜率為k,且 ,求實數m的取值范圍;
(Ⅱ)當 時,ΔAPQ的內心恰好是點M,求此雙曲線的方程.
解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程
即
因為點M到直線AP的距離為1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范圍是
(Ⅱ)可設雙曲線方程為 由
得 .
又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45º,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此, (不妨設P在第一象限)
直線PQ方程為 .
直線AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐標是(2+ ,1+ ),將P點坐標代入 得,
所以所求雙曲線方程為
即
(2)、跳步解答
解題卡在某一過渡環節上是常見的,這時,我們可以先承認中間結論,往後推,看能否得到結論。如果得不出,證明這個途徑不對,立即改變方向;如果能得出預期結論,我們再回過頭來,集中力量攻克這個「中途點」。由於高考時間的限制,「中途點」的攻克來不及了,那麼可以把前面的寫下來,再寫上「證明某步之後,繼而有……」一定做到底。也許,後來中間步驟又想出來了,這時不要亂七八糟地補上去,可補在後面,可書寫為「事實上,某步可證如下」。
有的題目可能設有多問,第一問求不出來,可以把第一問當成已知,先做第二問,這也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18題) 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(I) 求所選3人都是男生的概率;
(II)求所選3人中恰有1名女生的概率;
(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所選3人都是男生的概率為
(II)所選3人中恰有1名女生的概率為
(III)所選3人中至少有1名女生的概率為
這3道小題可以說是互相獨立的,彼此不相干.所以如果第1小題做不來,可以跳過去,直接做第2小題.
(3)、退步解答
「以退求進」是一個重要的解題策略,如果你不能解決題中所提出的問題,那麼,你可以從一般退到特殊,從復雜退到簡單,從整體退到局部。總之,退到一個你能夠解決的問題,比如,{an}是公比為q的等比數列,Sn為{an}的前n項和,若Sn成等差數列,求公比q=____.
對等比數列問題,我們需考慮到q=1,q≠1兩種情況,你可以先對特殊的q=1進行討論,滿足題意,找到解題思路和情緒上的穩定後,再討論q≠1時是否也滿足題意,發現無解,如果對q≠ 1的情況你確實不會解,你還可以開門見山的寫上:本題分兩種情況:q=1或q≠1.
也許你只能完成一種情況,但你沒有用一種情況來代替主體。在概念上、邏輯上是清楚的。另外「難的不會做簡單的」還為尋找正確的、一般的解題方法提供了有意義的啟發。
4、輔助解答
一道題目的完整解答,即要有主要的實質性的步驟,也要有次要的輔助性的步驟,如:准確的作圖,把題目中的條件翻譯成數學表達式,設應用題中的未知量,函數中變數的取值范圍,軌跡題中的動點坐標,數學歸納法證明時,第一步n的取值等,如果處理得當,也會增分,不要小視它們。
另外,書寫也是輔助解答,卷面隨意塗改及正確答案的位置不合理,都會造成不必要的失分。
所以,有人說,書寫工整,卷面整齊也得分,不無道理。
『叄』 定義域怎麼求,詳細舉例說明
求函數的定義域需要從這幾個方面入手:
(1)分母不為零。
(2)偶次根式的被開方數非負。
(3)對數中的真數部分大於0。
(4)指數、對數的底數大於0,且不等於1。
(5)y=tanx中x≠kπ+π/2。
不同函數的定義域求法不同,舉例:y=√(x+1)的定義域。
因為√(x+1)是偶次根式,所以(x+1)≥0,即x≥-1。
(3)大學數學分析題型例子及解題方法擴展閱讀:
求函數定義域主要包括三種題型:抽象函數,一般函數,函數應用題。含義是指自變數x的取值范圍。
定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本「元件」。平時數學中,實行「定義域優先」的原則,無可置疑。然而事物均具有二重性,在強化定義域問題的同時,往往就削弱或淡化了,對值域問題的探究,造成了一手「硬」一手「軟」,使學生對函數的掌握時好時壞。
事實上,定義域與值域二者的位置是相當的,絕不能厚此薄彼,何況它們二者隨時處於互相轉化之中(典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化)。
如果函數的值域是無限集的話,那麼求函數值域不總是容易的,反靠不等式的運算性質有時並不能奏效,還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。