研究有限差分方法的穩定性論文

Ⅰ 有限差分法的概述

微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關，在初始時刻所要滿足的定解條件，稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問題，稱為邊值問題。與時間有關而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題，稱為初值邊值混合問題。
定解問題往往不具有解析解，或者其解析解不易計算。所以要採用可行的數值解法。有限差分方法就是一種數值解法，它的基本思想是先把問題的定義域進行網格剖分，然後在網格點上，按適當的數值微分公式把定解問題中的微商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進而求出數值解。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數值穩定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當網格大小趨於零時是否趨於真解（即收斂性），等等。
有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強等特點，容易在計算機上實現。

Ⅱ 各向異性介質中彈性波方程的有限差分格式及其穩定性條件

楊頂輝

（石油大學地球科學系，北京100083）

滕吉文張中傑

（中國科學院地球物理所，北京100101）

摘要快速有效地模擬地震波在各向異性介質中的傳播在現今勘探地震學中具有重要的意義。一種演算法的穩定性分析對於加快計算速度非常必要。本文首先利用矩陣和向量來描述波傳播方程，針對二維和三維一般各向異性介質中的彈性波方程，提出了一種快速且佔用內存少的有限差分方法；然後系統地研究了二維均勻、非均勻各向異性情況下波動方程有限差分格式的穩定性條件；進一步給出了某些特殊各向異性情況下有限差分方法的穩定性具體公式。最後，本文也對三維有限差分格式的穩定性問題進行了研究。

關鍵詞彈性波方程有限差分穩定性各向異性介質

1引言

地震波傳播的數值模擬在地球科學中具有重要的意義。在各向異性地震模擬的各種方法中，基於Kennett研究工作^[11,12]的反射率方法是最流行的數值技術之一。基於走時方程漸近解的射線追蹤方法是模擬地震各向異性的另一種有效方法^[5,6]。Kosloff等^[13]利用Fourier方法模擬了地震各向異性。而Chen^[7]則使用有限元方法模擬非均勻各向異性問題。雖然有限差分方法已被廣泛應用於各向同性介質中的彈性波模擬，但是利用這種方法來模擬地震各向異性問題並不普遍。Tsingas等^[16]利用有限差分運算元發展了一種模擬演算法以求解橫向各向同性介質中的偏微分方程，這種演算法是基於MacCormack型的分離格式^[2]。Faria等^[8]基於交錯網格格式^[17]，利用有限差分演算法模擬了二維橫向各向同性問題。最近，Igel等^[9]基於褶積演算法給出了一種模擬一般地震各向異性的有限差分演算法。

快速和少存貯量是有限差分方法的優點。隨著大尺度波場模擬的需要和大規模並行計算的發展，復雜介質或高維（二維和三維）模型的有限差分地震模擬不可避免。虛譜法因其空間運算元准確地達到Nyquist頻率而深受歡迎，然而虛譜法需要富利葉變換，從而對於三維各向異性模擬非常耗時。同時，採用富利葉變換意味著每一個網格點與其它的點相互影響。在某種意義上，這與動力學的局部彈性性質不一致。因此當我們為地震模擬設計有限差分格式時，考慮差分運算元的局部性是必要的。另一方面，考慮差分運算元的局部性對於提高演算法的並行性非常重要。因為最鄰近網格點間的信息交換最快，因而對於各向異性大尺度模型波場的模擬是可行的。

基於上述原因，本文針對一般各向異性介質中的地震波傳播問題，給出了一種快速且佔用內存少的有限差分方法。事實上，這是演算法^[10,18]的一種推廣。

通常地，時間推進演算法被使用於地震波傳播的數值模擬中，為了保證演算法穩定，時間增量受演算法穩定性條件的限制。選擇合適的時間步長不僅能保證數值計算穩定，而且能加快計算速度。否則的話，不但會產生非物理數值振盪，甚至會導致錯誤的結果。合理時間增量的選取決定於差分格式和描述介質特徵的介質參數或速度，換句話說，決定於差分格式的穩定性條件。因此有限差分格式的穩定性問題在數值計算中十分重要。盡管這一問題在文獻^[10,18]中針對某些特殊情況作過研究，但他們並沒有對一般各向異性問題的有限差分格式及其穩定性做過詳細、系統的研究。我們的目的就是針對這一問題給出一般的有限差分格式及其穩定性條件，進一步地給出某些特殊各向異性情況下的穩定性公式。結果表明在各向同性情況下我們的結果與Aboudi^[1]的結果是一致的。

2有限差分格式

2.1三維各向異性

各向異性介質中的運動平衡方程可成如下形式：

岩石圈構造和深部作用

其中：ρ是介質密度；f_x,f_y和f_z分別表示力源在x,y和z方向上的分量；u_x,u_y和u_z分別表示x,y和z方向上的位移分量。

應力應變關系為

，其中彈性參數矩陣

，並且c_i,j=c_j,i,i,j=1,2，…，6；

應力矩陣σ＝（σ_xx，σ_yy，σ_zz，σ_yz，σ_xz，σ_xy）T；

應變矩陣ε＝（ε_xx，ε_yy，ε_zz，ε_yz，ε_xz，ε_xy）T；

且應力與位移的關系為：

岩石圈構造和深部作用

令

岩石圈構造和深部作用

岩石圈構造和深部作用

那麼方程（1）可寫為：

岩石圈構造和深部作用

顯然，A,E,Q,B+D,C+G和F+H是實的對稱矩陣。在不考慮源項

的前提下，採用有限差分逼近方程（2），可得下列有限差分格式：

岩石圈構造和深部作用

其中：Δx，△y和△z分別表示x,y和z方向的空間步長，△t表示時間步長，並且，

岩石圈構造和深部作用

2.2二維各向異性

類似地，二維各向異性介質中的波動方程可寫為：

岩石圈構造和深部作用

並且有下列差分格式：

岩石圈構造和深部作用

3穩定性條件

3.1均勻介質中二維有限差分格式的穩定性條件

均勻介質情況下格式（5）可簡化為：

岩石圈構造和深部作用

根據Richtmyer和Morton的穩定性理論分析，我們令

岩石圈構造和深部作用

其中U₀是一常數向量，方程（6）變為：]]

2I—2Pλ＋I）U₀=0

其中I表示一單位矩陣，

岩石圈構造和深部作用

其中：

，

，

，

，

若系數行列式為0，則滿足：

岩石圈構造和深部作用

定理1差分格式（6）穩定的條件是：

岩石圈構造和深部作用

其中函數F（α，β）和α，β為：

岩石圈構造和深部作用

岩石圈構造和深部作用

其中k=Δz/Δx

證明：據差分格式（6）的穩定性，方程（7）中的λ滿足‖λ‖≤1。

根據（7）和引理2（見附錄），有下列不等式：

岩石圈構造和深部作用

由A、Q和C+G的對稱性，可知矩陣

也為對稱的，則由引理3（見附錄）和不等式（8），有

岩石圈構造和深部作用

由矩陣A，Q和C+G的元素的非負性，可令0≤α，

，則要使（9）成立，只須

岩石圈構造和深部作用

令

岩石圈構造和深部作用

並令偏導數

岩石圈構造和深部作用

根據波動方程的特性，有

‖A‖＞0,‖Q‖＞0,‖C+G‖＞0

所以（0，0）和（

，

）可能為函數的極值點。顯然，

f(0,0)=0

岩石圈構造和深部作用

下面我們討論（α，β）≠（0，0）或（

，

）的情況：

由（11）和（12）式，如果

，那麼

岩石圈構造和深部作用

其中α，β可能是f（α，β）的極值點，故穩定性條件為：

岩石圈構造和深部作用

否則

是函數的最大值點，且穩定性條件為：

岩石圈構造和深部作用

特別地，當Δx﹦Δz時，有下列簡化的穩定性條件：

岩石圈構造和深部作用

其中α和β由（13）和（14）決定，且k=1。

3.2非均勻情況下的穩定性條件

在非均勻情況下，對於差分格式（5）的穩定性條件是難以確定的。然而根據偏微分方程的數值方法理論^[15]，我們可以採用「凍結系數」法^[14]來分析其穩定性。進一步地，我們給出非均勻介質情況下差分格式（5）的穩定性條件。

事實上，如果介質參數函數為連續有界的，則通常我們可以近似地將一個小的計算區域看成是均勻的，那麼差分格式（5）可以退化成格式（6），這樣在小區域范圍內，我們可以像均勻情況一樣獲得穩定性條件。進一步根據介質參數函數的連續有界特性，我們可以獲得差分格式（5）的穩定性條件為：

如果

那麼

岩石圈構造和深部作用

否則，

岩石圈構造和深部作用

其中H（α，β）、α和β為：

岩石圈構造和深部作用

3.3某些特殊介質中差分格式的穩定性條件

顯然，通過計算格式（6）中矩陣A、Q和C+G的范數，可以分別地獲得各向同性和橫向各向同性情況下的穩定性條件為：

各向同性

岩石圈構造和深部作用

或

岩石圈構造和深部作用

其中λ，μ為拉梅常數，

是P波速度。

顯然，穩定性條件（15）與Aboudi^[1]的結果一致。

橫向各向同性

如果

那麼

≤p，否則

岩石圈構造和深部作用

其中，

岩石圈構造和深部作用

其中A,N,L,F和C為彈性常數。

類似地，我們可以獲得非均勻和其它特殊各向異性介質（如：立方體各向異性、正交各向異性等介質）情況下的穩定性條件。

4三維各向異性情況下差分格式的穩定性條件

像前面二維情況一樣分析可得如下穩定性條件：

定理2如果

max[k₁·‖A‖＋k₂·‖E‖＋k₂·‖Q‖，f₂（θ₂，θ₂，θ₃）]≤1，那麼均勻介質情況下差分格式（3）是穩定的。其中

，函數f₂（θ₁，θ₂，θ₃）被定義為：

岩石圈構造和深部作用

其中：

，

，

，

，

·

，

；

並且θ₁，θ₂，θ₃滿足：

岩石圈構造和深部作用

其中：a=4k₁·‖A‖，b=4k₂·‖E‖，d=4k₃·‖Q‖，g=4k₄·‖B+D‖，e＝4k₅·‖C+G‖，f=4k₆·‖F+H‖。

對於三維非均勻介質情況，經由「凍結系數」法可類似地分析其穩定性條件。

5總結和討論

數值模擬地震波傳播的有限差分方法是一種重要的工具，而其穩定性條件是提高計算速度的關鍵之一。然而對於一般二維和三維各向異性介質情況，系統深入地研究其差分格式和穩定性條件尚少，本文給出了一種快速且佔有內存少的有限差分格式，並系統地分析和推導了一般均勻和非均勻各向異性情況下差分格式的穩定性條件。我們相信本文獲得的結果有助於各向異性數值模擬的發展，並為有限差分方法的廣泛應用提供理論依據。

參考文獻

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附錄：引理

引理1對於實系數方程λ²—2dλ＋1=0,｜d｜≤1是它的根λ滿足∣λ｜≤1的充分必要條件。

引理1的證明參見文獻[14]。

引理2若A∈R^n×n且A=A′，I是一個單位矩陣，則對於下列方程

∣λ²I—2Aλ＋I∣＝0，

‖A‖≤1是方程的根λ滿足∣λ｜≤1的充分必要條件。

證明：充分性

因為A為實對稱矩陣，存在T^-1、T∈R^n×n使得

T^-1AT=diag（d₁,d₂，…，d_n）

根據引理2中的方程及上述等式，可獲得

（λ²—2d₁λ＋1）…（λ²—2d_nλ＋1）=0

由‖A‖≤1和ρ（A）≤‖A‖，有‖ρ（A）‖≤1

根據

，有

故對滿足方程的任一根λ有∣λ∣≤1。

必要條件：因∣λ∣≤1且A為實對稱矩陣，故由引理1可獲得：

∣d_i∣≤1,i=1,2，…，n

即ρ（A）≤1。

又因A為正矩陣，所以ρ（A）＝‖A‖，即‖A‖≤1。

引理3如果A∈R^n×n，並且A=A′，那麼

（i）如果‖I—A‖≤1，則‖A‖≤2;

（ii）如果‖A‖≥0，則‖A‖≤2是‖I—A‖≤1成立的充分必要條件。

證明：（i）因為A為實對稱矩陣，故存在T^-1、T∈R^n×n使得T^-1AT=diag（d₁,d₂，…，d_n）≡D

根據‖I—A‖≤1，有‖T（I—D）T^-1‖≤1

顯然，I—D為一正規矩陣，所以‖T（I—D）T^-1‖＝‖I-D‖≤1

即

所以，

，即‖D‖≤2。

又因為A為正規矩陣，所以

‖A‖＝‖TDT^-1‖＝‖D‖，即‖A‖≤2

（ii）必要條件已在（i）中證明，下面證明充分條件。

由（i）的證明過程可知：

‖A‖＝‖D‖

因為‖A‖≤2並且‖A‖≥0，有0≤‖D‖≤2，即max∣d_i｜≤2

所以我們可獲得

。

即：‖I—D‖＝‖T^-1（I—A）T‖≤1

由A的對稱性可得‖I—A‖≤1。

Ⅲ 什麼是有限差分，怎麼進行分析

有限差分法(FDM)的起源,討論其在靜電場求解中的應用.以鋁電解槽物理模型為例,採用FDM對其場域進行離散,使用MATLAB和C求解了各節點的電位.由此,繪制了整個場域的等位線和電場強度矢量分布.同時,討論了加速收斂因子對超鬆弛迭代演算法迭代速度的影響,以及具有正弦邊界條件下的電場分布.
有限差分法
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。
該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
分類
對於有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式
時域有限差分法在GIS局部放電檢測中的應用
1 前言
GIS由於其佔地面積小以及高度的可靠性被廣泛應用，但也有因為固定微粒、自由微粒以及絕緣子內部缺陷而發生的絕緣故障。一般發生絕緣故障都伴隨有局部放電發生，因而局部放電檢測是診斷電力設備絕緣狀況的有效方法之一。超高頻局部放電檢測方法因為具有強的抗干擾能力和故障點定位能力而受到製造廠家和研究部門的普遍關注，並且已有部分產品應用於現場。超高頻局部放電檢測方法一般直接檢測出局部放電脈沖的時域信號或者頻譜信號，因為不同的研究者所研製的檢測用感測器的帶寬和檢測系統(內部感測器法和外部感測器法)不同，以及感測器和局部放電源的相對位置對檢測結果的影響，檢測所得結果存在較大差異，缺乏可比性，因此有必要對局部放電信號的傳播規律進行研究。
時域有限差分(Finite-Difference Time-Domain)法最早是由KaneS.Yee在1966年提出的，是一種很有效的電磁場的數值計算方法，不需要用到位函數，是一種在時間域中求解的數值計算方法。這種方法被應用於天線技術、微波器件、RCS計算等方面。
本文藉助時域有限差分法對252KV GIS內部局部放電所激發的電磁波傳播進行模擬，並用外部感測器超高頻局部放電檢測方法在實驗室對252kV GIS固定高壓導體上的固定微粒局部放電信號進行實測，模擬結果和實驗結果基本一致，為超高頻局部放電檢測結果提供了有效的理論依據。
2 時域有限差分法
時域有限差分法是一種在時域中求解的數值計算方法，求解電磁場問題的FDTD方法是基於在時間和空間域中對Maxwell旋度方程的有限差分離散化一以具有兩階精度的中心有限差分格式來近似地代替原來微分形式的方程。FDTD方法模擬空間電磁性質的參數是按空間網格給出的，只需給定相應空間點的媒質參數，就可模擬復雜的電磁結構。時域有限差分法是在適當的邊界和初始條件下解有限差分方程，使電磁波的時域特性直接反映出來，直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息，用清晰的圖像描述復雜的物理過程。網格剖分是FDTD方法的關鍵問題，Yee提出採用在空間和時間都差半個步長的網格結構，通過類似蛙步跳躍式的步驟用前一時刻的磁、電場值得到當前時刻的電、磁場值，並在每一時刻上將此過程算遍整個空間，於是可得到整個空間域中隨時間變化的電、磁場值的解。這些隨時間變化的電、磁場值是再用Fourier變換後變到相應頻域中的解。
在各向同性媒質中，Maxwell方程中的兩個旋度方程具有以下形式(式(1)~(2))。

式中，ε為媒質的介電常數；μ為媒質的磁導率；σ為媒質的電導率；σ*為媒質的等效磁阻率，它們都是空間和時間變數的函數。
在直角坐標系中，矢量式(1)～(2)可以展開成以下六個標量式。

為了用差分離散的代數式恰當地描述電磁場在空間的傳播特性，Yee提出了Yee Cell結構，在這種結構中，每一磁場分量總有四個電場分量環繞，同樣每一電場分量總有四個磁場分量環繞，Yee對和分量在網格單位上的分布情況如圖1所示。為達到精度，Yee計算和時在時間上錯開半個步長，用中心差商展開偏微分方程組，得到x軸方向電場和磁場FDTD迭代公式(式(9)~(10))，Y軸和z軸迭代公式與x軸迭代公式成對稱形式(略)。

FDTD方法是Maxwell方程的一種近似求解方法，為了保證計算結果的可靠性，必須考慮差分離散所引起的演算法穩定性和數值色散問題，時間步長和空間步長應滿足(11)~(12)條件。

其中，δ=min(△x，△y，△z)；υmax為電磁波在媒質中傳播的最大相速；λmin為電磁波在媒質中的最小波長值。
式中△x，△y和△z分別是在x，y和z坐標方向的空間步長，△t是時間步長，ij和k和n是整數。
3 GIS局部放電電磁模擬和超高頻檢測
SF6氣體絕緣的GIS中局部放電的脈沖持續時間極短，其波頭時間僅幾個ns。為了簡化分析，將局部放電電流看成對稱脈沖，一般用如下的Gaussian形狀的脈沖模型來表示，根據式13和文獻6本文模擬用局部放電源高斯脈沖的峰值電流取30mA，脈沖寬度取5ns，波形如圖2所示。

GIS局部放電信號頻帶較寬，用於接收信號的感測器(天線)應該滿足檢測要求，本文採用超寬頻(300MHz~3000MHz)自補結構的雙臂平面等角螺旋天線，天線結構如圖3所示。

該天線在一定頻率范圍內可以近似認為具有非頻變天線的特性，因為GIS局放信號的頻率是在一個范圍內變化，對於不同頻率的GIS局放信號，該天線的阻抗不隨頻率變化，可方便實現天線和傳輸線的阻抗匹配，避免波形畸變。用HP8753D網路分析儀對天線的駐波比進行測試，結果在300MHz~3000MHz的頻率范圍內駐波比小於2.0，根據電磁理論當駐波比小於2.0時可以不考慮駐波的影響，表明該平面等角螺旋天線在設計頻率具有良好的頻響特性，所測結果可靠。
超高頻法把GIS看作同軸波導(如圖4所示)，局部放電產生的短脈沖沿軸向傳播，感測器作為接收天線，接收局部放電所激發的電磁波。

本文針對252KV GIS內高壓導體上φ0.05×lcm固定突起發生局部放電進行模擬，GIS內部高壓導體外直徑為10.2cm，外殼內直徑為29.4cm，長度為4米。採用1×l×lcm網格進行剖分，邊界用完全匹配層(PML)材料吸收邊界，其中絕緣子相對介電常數取3.9。採用IMST Empire電磁模擬軟體分別對圖4的GIS發生局部放電時內部點1和外部點2處的信號進行模擬，模擬結果如圖5所示。
圖5(a)和(b)的模擬結果表明在GIS內部發生局部放電時，局部放電脈沖可以激發上升沿很陡的信號，由於其內部為不連續波導結構，電磁波在其內部將引起反射和復雜諧振，頻率成分可高達GHz。另外，比較內部點1和外部點2處的模擬結果，內部點1處的信號幅值是外部點2處的兩倍，表明信號可以從絕緣縫隙泄漏，但由於絕緣子和縫隙的影響幅值將明顯發生衰減，並且信號在絕緣縫隙處發生的折射和散射，外部信號比內部信號復雜。圖5(c)表明局部放電頻帶比較寬，可高達GHz，信號成分較為豐富。

採用外部感測器超高頻局部放電檢測系統對252KV GIS內高壓導體φ0.05×1cm固定突起局部放電進行實測。由於局部放電信號比較微弱，加之高頻信號傳播過程中衰減較大，在測試系統中採用增益不低於20dB的寬頻放大器。在實驗過程中對空氣中的局部放電高頻信號進行衰減特性研究發現該檢測系統有效檢測范圍為17米。在外部點2處(距離GIS外殼絕緣縫隙10cm)的檢測結果如圖6所示。比較圖5(b)和圖6表明，模擬結果和實測結果基本一致，這個結論為超高頻局部放電檢測結果提供了理論支持。

超高頻局部放電檢測方法已經表明是非常有效的局部放電檢測方法，本文借用時域有限差分法從信號的時域特徵出發來驗證局部放電檢測結果，但由於不同電壓等級的GIS結構存在差異，以及故障微粒的狀態不同，對檢測結果都有影響，並且目前還沒有找出超高頻方法和傳統檢測方法之間的內在關系，有待進一步深入研究。
4 結論
時域有限差分法對GIS局部放電脈沖所激發的電磁波模擬結果表明，局部放電信號上升沿較陡，頻率可達GHz；由於絕緣子以及絕緣縫隙的影響，使得同軸波導結構不連續，將產生很復雜的電磁波。
a.由於絕緣子以及絕緣縫隙的影響，使信號幅值發生明顯衰減，外部信號的幅值是內部信號幅值的一半。
b.實驗結果和模擬結果基本一致，進一步從理論上論證了超高頻局部放電檢測方法的有效性。

Ⅳ 有限差分法的差分方法的發展和應用

前面闡述了兩個自變數，線性方程的差分法。實際問題常會遇到多個自變數，非線性的方程或方程組；它們還可能是混合型的偏微分方程（如機翼的跨聲速繞流），其解包含著各種問斷（如激波間斷、接觸間斷等）。非線性問題的差分法求解是十分困難的。隨著電子計算機的發展，在解決各種非線性問題中，差分法得到了很快的發展，並且出現了許多新的思想和方法，如守恆差分格式，時間相關法，分步法等。 把定常的微分問題用一個相應的非定常問題來代替，然後用差分法解後者的初值問題，要求當時，它的穩定解為原來問題的解，這類方法叫作時間相關法。實踐上，當計算時間足夠大時，就能得到滿足給定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一邊值問題：

可以用熱傳導方程的初邊值問題：來代替。若用顯式格式計算（27），可避免解大型代數方程組。特別是當微分方程的類型在定解區域內發生變化時，可只用一種類型來算，而使問題大大化簡。這種方法在定常問題中廣泛使用。缺點是達到定常解的計算時間較長，有待改進。 把復雜的問題的每一時間步分解成幾個中間步，例如把多維問題按坐標分解為幾個一維問題，然後用差分法解這些比較簡單的各中間步，最後得到原始問題的近似解，這類方法叫作分步法。交替方向法、預估-修正法，時間分裂法、因式分解法等都屬此類。以二維拋物型方程定解問題：為例，用顯式格式求解，時間步長受穩定性條件：

的限制，用隱式格式，則歸結為大型線性代數方程組，解起來比較麻煩。1955年皮斯曼-拉什福德提出交替方向隱式格式：

（i=1，2，…，N－1，j=1，2，…，M－1；n=0，1，2，…）
為中心差分算符，第一步x方向取隱式，y方向取顯式，第二步則相反。兩步合成無條件穩定的格式。由於每一步可用追趕法求解，大大簡化了解法。交替方向法出現後，進一步發展了各種形式的分步格式，並可推廣到任何維數的方程或方程組的情形，困難在於邊界條件的處理。
有限差分方法已成為解各類數學物理問題的主要數值方法，也是計算力學中的主要數值方法之一。有些解偏微分問題的方法（如特徵線法、直線法）實質上也是差分方法的一種形式。在固體力學中，有限元方法出現以前，主要採取差分方法；在流體力學中，差分方法仍然是主要的數值方法。當然，對於某些具有復雜的幾何形狀及復雜的流動現象的實際問題，差分方法還有待進一步發展。