1. 正比例和反比例的區別與聯系 教案教學設計
正 比 例 和 反 比 例
第2課時 (總第9課時)
一、教材分析
【復習內容】
教科書第12冊第94頁「整理與反思」和95-96頁的「練習與實踐」5-10
【知識要點】
1.正比例和反比例的區別與聯系:
相同點 不同點
特徵 關系式
正比例 兩種相關聯的量 兩種量中相對應的兩個數的比的比值（也就是商）一定 = k(一定)
反比例 兩種量中相對應的兩個數的積一定 x×y= k(一定)
與老教材相比，新教材進一步加強正、反比例的概念教學，突出正比例關系的圖像及簡單應用，重視正、反比例與現實生活的聯系，淡化脫離現實背景判斷比例關系，不安排應用正、反比例關系解決實際問題。
2. 圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
圖上距離：實際距離=比例尺 或 =比例尺
【教學目標】
1.使學生進一步認識成正比例和反比例的量，掌握兩種量是否成比例、成什麼比例的思考方法。
2.使學生通過掌握判斷兩種相關聯的量是否成正比例或反比例的方法，提高分析、判斷的能力。
3.使學生進一步體會比和比例知識的應用價值,感受不同領域的數學內容之間的密切聯系。認識成正比例和反比例的量，使學生感受正 、反比例是描述數量關系及其變化規律的又一種有效的數學模型。
二、教學建議
復習正比例和反比例，重點是它們的意義。教材讓學生回憶判斷兩種量是否成正比例或反比例的方法，重溫正比例關系的特徵是兩種相關聯變數的商保持一定，反比例關系的特徵是兩種相關聯變數的積保持一定。再通過第7、8題的判斷，進一步鞏固正比例和反比例的概念。第9題復習正比例的圖像，其中汽車行駛的路程和耗油量是否成正比例，要利用圖像找出幾組相對應的數，組成比並求出比值，根據正比例的意義進行判斷。
復習比例尺的知識僅編排一道題，利用平面圖的比例尺和量出的圖上距離，計算相應的實際距離。教學第10題要說說這幅平面圖的比例尺和具體含義，從線段比例尺得出數值比例尺，回憶比例尺的意義和演算法。要通過解題歸納求實際距離的方法及注意點，還要說說怎樣求圖上距離。
三、知識鏈結
1.正比例和反比例 (教科書六下 P62 例1、例2 、 P63 例3)
2.比例尺 (教科書六下 P48 例6 、 P49例7 )
四、教學過程
（一）正比例和反比例的意義。
1．教師提問：根據正比例和反比例的意義，我們怎樣判斷兩種量是否成正比例或反比例關系？（小組討論後，交流）
2.小結：第一，這兩種量是不是相互關聯？其中一種量是否隨著另一種量的變化而變化？第二，這兩種量中每一組對應的數的比值（或積）是否一定 。
3.舉出一些生活中成正比例或反比例量的例子，在小組里交流。
例如：黃瓜的單價一定，數量和總價成正比例。因為，第一，數量和總價這兩種量是相互關聯的，其中一種量總價隨著另一種量數量的變化而變化。第二，這兩種量中每一組對應的數的比值都是單價。單價一定，所以這兩種量是成正比例的量。
（二）練一練
1．下表中兩種量成比例嗎？為什麼？
加數 12 2.5 14 24
加數 18 27.5 16 6
總噸數 42 26 100 24.4
餘下噸數 41 25 99 23.4
因數 3 5 3 20
因數 15 9 10 1.5
學生說一說每張表中， 第一，這兩種量是不是相互關聯？其中一種量是否隨著另一種量的變化而變化？第二，這兩種量中每一組對應的數的比值（或積）是否一定。再作出相應的判斷
2．完成教科書95頁「練習與實踐」
第7題：讓學生先獨立做，再講評。講評時注意幫助學生解決困難。
第8題：引導學生列舉幾組對應的數值再具體分析每組中兩個數的關系後再判斷。
第9題：其中第1小題讓學生根據圖中標出的點的位置算出相應的耗油量與行駛路程的比值，再作判斷。（行駛75千米的耗油量是6升。）第2小題讓學生在教材提供的方格圖上描點、連線，再引導學生聯系畫出的圖象判斷汽車在市區行駛時，行駛的路程與耗油量成不成正比例。體會數形結合在解決問題方面的價值。
（三）復習比例尺
1．教師提問：什麼叫比例尺？比例尺有幾種類型？舉例說說它的意思？（重點是線段比例尺）
2．舉例說說怎樣求圖上距離？怎樣求實際距離。
3．完成教科書95頁「練習與實踐」第10題。
（四）評價小結:
學了本課你對所學知識有什麼新認識？還有什麼問題？
2. 如何提高用比例解決問題的教學效果
《用比例解決問題》是本單元最後一部分知識是學習了正比例和反比例關系後的實踐應用。本節課，在教學中教師力求通過知識的遷移，結合學生的生活經驗，讓學生藉助函數關系間變數的對應規律，正確判斷兩種相關聯的量之間的依存關系，根據它們的正、反比例關系，列出相應的比例式，解決問題。
在實際教學中，我把握本節課的重點，採用開放式的教學方法，將課堂的主動權放手學生，讓學生在自己探索、獨立嘗試、同桌交流、質疑辨析、對比歸納、概括小結、拓展延伸中輕松，高效地完成了教學任務，反思本節課的成功之處，我有以下三點感悟：
一、課堂永遠是無法完全預設的
本節課，課前的復習按照預期的設計順利完成。當我出示例5後，學生默讀題目，獨立分析後，我鼓勵學生自主探索，獨立嘗試解決問題，不到1分鍾，同學們的小手就此起彼伏地浮現在桌面上，個個躍躍欲試，當2名學生將自己的思索展現在黑板上時，我不禁一驚，這兩位學生竟然用了不同的解題方法，除了以前學過的歸一、歸總法，又出現了今天的新課方法，按我預先設計的方案，學生用以前的方法解決後，我將會出示一個自學提示，引導學生按步驟，按思路來用比例解決，學生會順理成章地理解題意，學會用比例解決。沒想到學生自己就能列出正確的比例，我順勢請板演的同學到黑板前講一講自己的思考，真沒想到，這個孩子講得頭頭是道，把我的「活」兒搶了。同學們聽了她的講解，頓時茅塞大開，把我連續出示的兩個基本練習做得漂漂亮亮。
課後我反思這個環節，異常感慨，本來以為絲絲相扣的自學提示，會讓學生在老師無形的指揮下，理解正比例應用題的思考方法，沒想到一個不到1分鍾的獨立嘗試，就讓學生破解了我的預設，而後我的順勢相邀——請學生講解，卻讓課程呈現了更為燦爛的一幕。課堂永遠是無法預設的，當出現與預設不相符的狀況時，教師一定要會調控，得當的調節能讓課堂更加精彩。
二、錯誤點就是生成點
在進行變式練習時，同學們爭先恐後地上講台展示，馬彪同學出現的錯誤給課堂帶來了新的生成，我們習慣應用「總價÷數量=單價」，當單價一定時，可以列成正比例式，而馬彪同學卻將等式的左邊寫成「數量÷總價」，班內同學議論紛紛，我借勢引導學生，抓住正比例關系的對應量對等的要點，使一個比例式拓展成了兩個，讓學生明白了，兩個變數之間的對應規律和依存關系。課堂中無意的錯誤點，生成了新的知識點，讓學廣開世面，更深層次地理解最簡單的函數知識。
三、真實的課堂，回生阻道
我喜歡真實的課堂，這節公開課，課前我一點兒都沒有提示前面的知識。課堂上，當提問正比例和反比例關系時，很多學生都有些生疏，對量與量之間的變化規律有些陌生，經過老師提示後，學生們才回想起前面的概念，這部分所用的時間比預先多用了1分鍾左右，雖然是大約1分鍾的時間，卻給我敲響了警鍾，知識一定要常溫常故，盡量避免學生的回生，更要防止知識的斷層。
反思這節課，給我帶來了很多啟示，一位好的數學老師必須具備全面、科學調控課堂的能力，及時抓住課堂的生成點，適時點撥，拓展延伸。與此同時，教師還不能忽視知識的前後聯系，不能讓知識擱淺，做好做實日常工作，讓數學思想、數學方法、數學知識紮根學生心中。
3. 六年級正比例教案
正比例 【教學內容】 正比例。 【教學目標】 使學生理解正比例的意義,會正確判斷成正比例的量。 【重點難點】 重點：理解正比例的意義。 難點：正確判斷兩個量是否成正比例的關系。 【教學准備】 投影儀。 【復習導入】 1.復習引入。 用投影儀逐一出示下面的題目，讓學生回答。 ①已知路程和時間，怎樣求速度？ 板書： =速度。 ②已知總價和數量，怎樣求單價？ 板書： =單價。 ③已知工作總量和工作時間，怎樣求工作效率？ 板書： =工作效率。 2.引入課題：這是我們過去學過的一些常見的數量關系。這節課我們進一步來研究這些數量關系的一些特徵，首先來研究這些數量之間的正比例關系。板書課題：成正比例的量。 【新課講授】 1. 教學例1。 教師用投影儀出示例1的圖和表格。 學生觀察上表並討論問題。 （1）鉛筆的總價和數量有關系嗎？ （2）鉛筆的總價是怎樣隨著數量的變化而變化的？ （3）鉛筆的總價和數量的變化有什麼規律？組織學生在小組中討論，然後交流說一說。 根據觀察，學生可能會說出： ①鉛筆的總價隨著數量變化，它們是兩種相關聯的量。 ②數量增加，總價也增加；數量降低，總價也減少。 ③鉛筆的總價和數量的比值總是一定的，即單價一定。 教師指出：總價和數量有這樣的變化關系，我們就說總價和數量成正比例關系，總價和數量叫做成正比例的量。 2.教師出示：一列火車行駛的時間和路程如下表。 引導學生觀察、思考：路程和時間有關系嗎?路程怎樣隨著時間的變化而變化？路程和時間的變化有什麼規律？ 組織學生分析、討論、匯報：路程和時間是兩種相關聯的量，路程擴大，時間也跟著擴大；路程縮小，時間也跟著縮小；但是路程和時間的比值一定，寫成關系式是 =速度（一定）。 教師小結：所以說路程和時間成正比例關系，路程和時間叫做成正比例的量。 3.歸納概括正比例關系。 ①組織學生分小組討論，上面兩個例子有什麼共同規律？ ②教師引導學生歸納總結：都是兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化；如果這兩種量中相對應的兩個數的比值也就是商一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系就叫做成正比例關系。 學生說一說是怎麼理解正比例關系的。 要求學生把握三個要素： 第一：兩種相關聯的量。 第二：其中一個量增加，另一個量也增加；一個量減少，另一個量也減少。 第三：兩個量的比值一定。 4.用字母表示正比例的關系。 教師：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值（一定），比例關系可以用這樣的式子表示： (一定) 5.教師：想一想，生活中還有哪些成正比例的量？ 學生舉例說明並說出理由如：長方形的寬一定，面積和長成正比例；每袋牛奶質量一定，牛奶袋數和總質量成正比例；衣服的單價一定，購買衣服的數量和應付錢數成正比例。地磚的面積一定，教室地板面積和地磚塊數成正比例； 【課堂作業】 完成教材第46頁的「做一做」（1）～（3）。 答案： （1） 。 （2）比值表示每小時行駛多少km。 （3）成正比例。理由：路程隨著時間的變化而變化。 ①時間增加，路程也增加，時間減少，路程也隨著減少；②路程和時間的比值（速度）一定。 【課堂小結】 通過這節課的學習，你有什麼收獲？ 【課後作業】 完成練習冊中本課時的練習。
4. 正比例函數的圖像和性質教案
初中數學知識點歸納.有理數的加法運算同號兩數來相加,絕對值加不變號.異號相加大減小,大數決定和符號.互為相反數求和,結果是零須記好.【注】「大」減「小」是指絕對值的大小.有理數的減法運算減正等於加負,減負等於加正.有理數的乘法運算符號法則同號得正異號負,一項為零積是零.合並同類項說起合並同類項,法則千萬不能忘.只求系數代數和,字母指數留原樣.去、添括弧法則去括弧或添括弧,關鍵要看連接號.擴號前面是正號,去添括弧不變號.括弧前面是負號,去添括弧都變號.解方程已知未知鬧分離,分離要靠移完成.移加變減減變加,移乘變除除變乘.平方差公式兩數和乘兩數差,等於兩數平方差.積化和差變兩項,完全平方不是它.完全平方公式二數和或差平方,式它共三項.首平方與末平方,首末二倍中間放.和的平方加聯結,先減後加差平方.完全平方公式首平方又末平方,二倍首末在中央.和的平方加再加,先減後加差平方.解一元一次方程先去分母再括弧,移項變號要記牢.同類各項去合並,系數化「1」還沒好.求得未知須檢驗,回代值等才算了.解一元一次方程先去分母再括弧,移項合並同類項.系數化1還沒好,准確無誤不白忙.因式分解與乘法和差化積是乘法,乘法本身是運算.積化和差是分解,因式分解非運算.因式分解兩式平方符號異,因式分解你別怕.兩底和乘兩底差,分解結果就是它.兩式平方符號同,底積2倍坐中央.因式分解能與否,符號上面有文章.同和異差先平方,還要加上正負號.同正則正負就負,異則需添冪符號.因式分解一提二套三分組,十字相乘也上數.四種方法都不行,拆項添項去重組.重組無望試求根,換元或者算余數.多種方法靈活選,連乘結果是基礎.同式相乘若出現,乘方表示要記住.【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解一提二套三分組,叉乘求根也上數.五種方法都不行,拆項添項去重組.對症下葯穩又准,連乘結果是基礎.二次三項式的因式分解先想完全平方式,十字相乘是其次.兩種方法行不通,求根分解去嘗試.比和比例兩數相除也叫比,兩比相等叫比例.外項積等內項積,等積可化八比例.分別交換內外項,統統都要叫更比.同時交換內外項,便要稱其為反比.前後項和比後項,比值不變叫合比.前後項差比後項,組成比例是分比.兩項和比兩項差,比值相等合分比.前項和比後項和,比值不變叫等比.解比例外項積等內項積,列出方程並解之.求比值由已知去求比值,多種途徑可利用.活用比例七性質,變數替換也走紅.消元也是好法,殊途同歸會變通.正比例與反比例商定變數成正比,積定變數成反比.正比例與反比例變化過程商一定,兩個變數成正比.變化過程積一定,兩個變數成反比.判斷四數成比例四數是否成比例,遞增遞減先排序.兩端積等中間積,四數一定成比例.判斷四式成比例四式是否成比例,生或降冪先排序.兩端積等中間積,四式便可成比例.比例中項成比例的四項中,外項相同會遇到.有時內項會相同,比例中項少不了.比例中項很重要,多種場合會碰到.成比例的四項中,外項相同有不少.有時內項會相同,比例中項出現了.同數平方等異積,比例中項無處逃.根式與無理式表示方根代數式,都可稱其為根式.根式異於無理式,被開方式無限制.被開方式有字母,才能稱為無理式.無理式都是根式,區分它們有標志.被開方式有字母,又可稱為無理式.求定義域求定義域有講究,四項原則須留意.負數不能開平方,分母為零無意義.指是分數底正數,數零沒有零次冪.限制條件不唯一,滿足多個不等式.求定義域要過關,四項原則須注意.負數不能開平方,分母為零無意義.分數指數底正數,數零沒有零次冪.限制條件不唯一,不等式組求解集.解一元一次不等式先去分母再括弧,移項合並同類項.系數化「1」有講究,同乘除負要變向.先去分母再括弧,移項別忘要變號.同類各項去合並,系數化「1」注意了.同乘除正無防礙,同乘除負也變號.解一元一次不等式組大於頭來小於尾,大小不一中間找.大大小小沒有解,四種情況全來了.同向取兩邊,異向取中間.中間無元素,無解便出現.幼兒園小鬼當家,(同小相對取較小)敬老院以老為榮,(同大就要取較大)軍營里沒老沒少.(大小小大就是它)大大小小解集空.(小小大大哪有哇)解一元二次不等式首先化成一般式,構造函數第二站.判別式值若非負,曲線橫軸有交點.A正開口它向上,大於零則取兩邊.代數式若小於零,解集交點數之間.方程若無實數根,口上大零解為全.小於零將沒有解,開口向下正相反.用平方差公式因式分解異號兩個平方項,因式分解有法.兩底和乘兩底差,分解結果就是它.用完全平方公式因式分解兩平方項在兩端,底積2倍在中部.同正兩底和平方,全負和方相反數.分成兩底差平方,方正倍積要為負.兩邊為負中間正,底差平方相反數.一平方又一平方,底積2倍在中路.三正兩底和平方,全負和方相反數.分成兩底差平方,兩端為正倍積負.兩邊若負中間正,底差平方相反數.用公式法解一元二次方程要用公式解方程,首先化成一般式.調整系數隨其後,使其成為最簡比.確定參數abc,計算方程判別式.判別式值與零比,有無實根便得知.有實根可套公式,沒有實根要告之.用常規配方法解一元二次方程左未右已先分離,二系化「1」是其次.一系折半再平方,兩邊同加沒問題.左邊分解右合並,直接開方去解題.該種解法叫配方,解方程時多練習.用間接配方法解一元二次方程已知未知先分離,因式分解是其次.調整系數等互反,和差積套恆等式.完全平方等常數,間接配方顯優勢【注】恆等式解一元二次方程方程沒有一次項,直接開方最理想.如果缺少常數項,因式分解沒商量.b、c相等都為零,等根是零不要忘.b、c同時不為零,因式分解或配方,也可直接套公式,因題而異擇良方.正比例函數的鑒別判斷正比例函數,檢驗當分兩步走.一量表示另一量,初中數學口訣上海市同洲模範學校宋立峰有理數的加法運算同號兩數來相加,絕對值加不變號.異號相加大減小,大數決定和符號.互為相反數求和,結果是零須記好.【注】「大」減「小」是指絕對值的大小.有理數的減法運算減正等於加負,減負等於加正.有理數的乘法運算符號法則同號得正異號負,一項為零積是零.合並同類項說起合並同類項,法則千萬不能忘.只求系數代數和,字母指數留原樣.去、添括弧法則去括弧或添括弧,關鍵要看連接號.擴號前面是正號,去添括弧不變號.括弧前面是負號,去添括弧都變號.解方程已知未知鬧分離,分離要靠移完成.移加變減減變加,移乘變除除變乘.平方差公式兩數和乘兩數差,等於兩數平方差.積化和差變兩項,完全平方不是它.完全平方公式二數和或差平方,式它共三項.首平方與末平方,首末二倍中間放.和的平方加聯結,先減後加差平方.完全平方公式首平方又末平方,二倍首末在中央.和的平方加再加,先減後加差平方.解一元一次方程先去分母再括弧,移項變號要記牢.同類各項去合並,系數化「1」還沒好.求得未知須檢驗,回代值等才算了.解一元一次方程先去分母再括弧,移項合並同類項.系數化1還沒好,准確無誤不白忙.因式分解與乘法和差化積是乘法,乘法本身是運算.積化和差是分解,因式分解非運算.因式分解兩式平方符號異,因式分解你別怕.兩底和乘兩底差,分解結果就是它.兩式平方符號同,底積2倍坐中央.因式分解能與否,符號上面有文章.同和異差先平方,還要加上正負號.同正則正負就負,異則需添冪符號.因式分解一提二套三分組,十字相乘也上數.四種方法都不行,拆項添項去重組.重組無望試求根,換元或者算余數.多種方法靈活選,連乘結果是基礎.同式相乘若出現,乘方表示要記住.【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解一提二套三分組,叉乘求根也上數.五種方法都不行,拆項添項去重組.對症下葯穩又准,連乘結果是基礎.二次三項式的因式分解先想完全平方式,十字相乘是其次.兩種方法行不通,求根分解去嘗試.比和比例兩數相除也叫比,兩比相等叫比例.外項積等內項積,等積可化八比例.分別交換內外項,統統都要叫更比.同時交換內外項,便要稱其為反比.前後項和比後項,比值不變叫合比.前後項差比後項,組成比例是分比.兩項和比兩項差,比值相等合分比.前項和比後項和,比值不變叫等比.解比例外項積等內項積,列出方程並解之.求比值由已知去求比值,多種途徑可利用.活用比例七性質,變數替換也走紅.消元也是好法,殊途同歸會變通.正比例與反比例商定變數成正比,積定變數成反比.正比例與反比例變化過程商一定,兩個變數成正比.變化過程積一定,兩個變數成反比.判斷四數成比例四數是否成比例,遞增遞減先排序.兩端積等中間積,四數一定成比例.判斷四式成比例四式是否成比例,生或降冪先排序.兩端積等中間積,四式便可成比例.比例中項成比例的四項中,外項相同會遇到.有時內項會相同,比例中項少不了.比例中項很重要,多種場合會碰到.成比例的四項中,外項相同有不少.有時內項會相同,比例中項出現了.同數平方等異積,比例中項無處逃.根式與無理式表示方根代數式,都可稱其為根式.根式異於無理式,被開方式無限制.被開方式有字母,才能稱為無理式.無理式都是根式,區分它們有標志.被開方式有字母,又可稱為無理式.求定義域求定義域有講究,四項原則須留意.負數不能開平方,分母為零無意義.指是分數底正數,數零沒有零次冪.限制條件不唯一,滿足多個不等式.求定義域要過關,四項原則須注意.負數不能開平方,分母為零無意義.分數指數底正數,數零沒有零次冪.限制條件不唯一,不等式組求解集.解一元一次不等式先去分母再括弧,移項合並同類項.系數化「1」有講究,同乘除負要變向.先去分母再括弧,移項別忘要變號.同類各項去合並,系數化「1」注意了.同乘除正無防礙,同乘除負也變號.解一元一次不等式組大於頭來小於尾,大小不一中間找.大大小小沒有解,四種情況全來了.同向取兩邊,異向取中間.中間無元素,無解便出現.幼兒園小鬼當家,(同小相對取較小)敬老院以老為榮,(同大就要取較大)軍營里沒老沒少.(大小小大就是它)大大小小解集空.(小小大大哪有哇)解一元二次不等式首先化成一般式,構造函數第二站.判別式值若非負,曲線橫軸有交點.A正開口它向上,大於零則取兩邊.代數式若小於零,解集交點數之間.方程若無實數根,口上大零解為全.小於零將沒有解,開口向下正相反.用平方差公式因式分解異號兩個平方項,因式分解有法.兩底和乘兩底差,分解結果就是它.用完全平方公式因式分解兩平方項在兩端,底積2倍在中部.同正兩底和平方,全負和方相反數.分成兩底差平方,方正倍積要為負.兩邊為負中間正,底差平方相反數.一平方又一平方,底積2倍在中路.三正兩底和平方,全負和方相反數.分成兩底差平方,兩端為正倍積負.兩邊若負中間正,底差平方相反數.用公式法解一元二次方程要用公式解方程,首先化成一般式.調整系數隨其後,使其成為最簡比.確定參數abc,計算方程判別式.判別式值與零比,有無實根便得知.有實根可套公式,沒有實根要告之.用常規配方法解一元二次方程左未右已先分離,二系化「1」是其次.一系折半再平方,兩邊同加沒問題.左邊分解右合並,直接開方去解題.該種解法叫配方,解方程時多練習.用間接配方法解一元二次方程已知未知先分離,因式分解是其次.調整系數等互反,和差積套恆等式.完全平方等常數,間接配方顯優勢【注】恆等式解一元二次方程方程沒有一次項,直接開方最理想.如果缺少常數項,因式分解沒商量.b、c相等都為零,等根是零不要忘.b、c同時不為零,因式分解或配方,也可直接套公式,因題而異擇良方.正比例函數的鑒別判斷正比例函數,檢驗當分兩步走.一量表示另一量,是與否.若有還要看取值,全體實數都要有.正比例函數是否,辨別需分兩步走.一量表示另一量,有沒有.若有再去看取值,全體實數都需要.區分正比例函數,衡量可分兩步走.一量表示另一量,是與否.若有還要看取值,全體實數都要有.正比例函數的圖象與性質正比函數圖直線,經過和原點.K正一三負二四,變化趨勢記心間.K正左低右邊高,同大同小向爬山.K負左高右邊低,一大另小下山巒.一次函數一次函數圖直線,經過點.K正左低右邊高,越走越高向爬山.K負左高右邊低,越來越低很明顯.K稱斜率b截距,截距為零變正函.反比例函數反比函數雙曲線,經過點.K正一三負二四,兩軸是它漸近線.K正左高右邊低,一三象限滑下山.K負左低右邊高,二四象限如爬山.二次函數二次方程零換y,二次函數便出現.全體實數定義域,圖像叫做拋物線.拋物線有對稱軸,兩邊單調正相反.A定開口及大小,線軸交點叫頂點.頂點非高即最低.上低下高很顯眼.如果要畫拋物線,平移也可去描點,提取配方定頂點,兩條途徑再挑選.列表描點後連線,平移規律記心間.左加右減括弧內,號外上加下要減.二次方程零換y,就得到二次函數.圖像叫做拋物線,定義域全體實數.A定開口及大小,開口向上是正數.絕對值大開口小,開口向下A負數.拋物線有對稱軸,增減特性可看圖.線軸交點叫頂點,頂點縱標最值出.如果要畫拋物線,描點平移兩條路.提取配方定頂點,平移描點皆成圖.列表描點後連線,三點大致定全圖.若要平移也不難,先畫基礎拋物線,頂點移到新位置,開口大小隨基礎.【注】基礎拋物線直線、射線與線段直線射線與線段,形狀相似有關聯.直線長短不確定,可向兩方無限延.射線僅有一端點,反向延長成直線.線段定長兩端點,雙向延伸變直線.兩點定線是共性,組成圖形最常見.角一點出發兩射線,組成圖形叫做角.共線反向是平角,平角之半叫直角.平角兩倍成周角,小於直角叫銳角.直平之間是鈍角,平周之間叫優角.互余兩角和直角,和是平角互補角.一點出發兩射線,組成圖形叫做角.平角反向且共線,平角之半叫直角.平角兩倍成周角,小於直角叫銳角.鈍角界於直平間,平周之間叫優角.和為直角叫互余,互為補角和平角.證等積或比例線段等積或比例線段,多種途徑可以證.證等積要改等比,對照圖形看特徵.共點共線線相交,平行截比把題證.三點定型十分像,想法來把相似證.圖形明顯不相似,等線段比替換證.換後結論能成立,原來命題即得證.實在不行用面積,射影角分線也成.只要學習肯登攀,手腦並用無不勝.解無理方程一無一有各一邊,兩無也要放兩邊.乘方根號無蹤跡,方程可解無負擔.兩無一有相難,兩次乘方也好.特殊情況去換元,得解驗根是必然.解分式方程先約後乘公分母,整式方程轉化出.特殊情況可換元,去掉分母是出路.求得解後要驗根,原留增舍別含糊.列方程解應用題列方程解應用題,審設列解雙檢答.審題弄清已未知,設元直間兩法.列表畫圖造方程,解方程時守章法.檢驗准且合題意,問求同一才作答.添加輔助線學習幾何體會深,成敗也許一線牽.分散條件要集中,常要添加輔助線.畏懼心理不要有,其次要把觀念變.熟能生巧有規律,真知灼見靠實踐.圖中已知有中線,倍長中線把線連.旋轉構造全等形,等線段角可代換.多條中線連中點,便可得到中位線.倘若知角平分線,既可兩邊作垂線.也可沿線去翻折,全等圖形立呈現.角分線若加垂線,等腰三角形可見.角分線加平行線,等線段角位置變.已知線段中垂線,連接兩端等線段.輔助線必畫虛線,便與原圖聯系看.兩點間距離公式同軸兩點求距離,大減小數就為之.與軸等距兩個點,間距求法亦如此.平面任意兩個點,橫縱標差先求值.差方相加開平方,距離公式要牢記.矩形的判定任意一個四邊形,三個直角成矩形；對角線等互平分,四邊形它是矩形.已知平行四邊形,一個直角叫矩形；兩對角線若相等,理所當然為矩形.菱形的判定任意一個四邊形,四邊相等成菱形；四邊形的對角線,垂直互分是菱形.已知平行四邊形,鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直,順理成章為菱形.
5. 六年級下冊數學 「認識成正比例的量」怎樣導入新課在開始講課之前，怎樣利用已有的知識引入這節新課
教學內容： 教科書第62頁例1，完成隨後的練一練和練習十三第1~3題
教學目標： 1、使學生經歷從具體實例中認識成正比例的量的過程，初步理解正比例的意義，學會根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量是不是成正比例。 2、使學生在認識成正比例的量的過程中，初步體會數量之間相依互變的關系，感受有效表示數量關系及其變化規律的不同數學模型，進一步培養觀察能力和發現規律的能力。 教學重難點：正比例的意義以及判斷兩種相關聯的量是不是成正比例。
教學准備：教學光碟
教學預設：
一、導入新課 1、談話：老師准備去水果超市買一些蘋果，已知蘋果每千克的單價是6元，如果我准備買1千克，你能求出什麼？（總價）
2、出示表格 已知蘋果每千克的單價是6元 買的千克數 1 2 3 4 …… 總價
根據學生的回答將表格填寫完整。 提問：如果買（ ）千克，總價（ ）元 ……； 觀察表格，你們發現了什麼？（當學生回答：買的千克數越多，總價就越高） 師小結：像這樣一種量變化，另一種量也隨著變化，我們就把這兩種量叫做相關聯的量[板書：兩種相關聯的量] 在這里——「買的千克數」和「總價」就是兩種相關聯的量。
二、探索新知 （一）體會兩種相關聯的量 1、出示例1表格 2、提問：這張表格中的兩個量是否相關聯？ 學生發現：時間變化，路程也隨著變化，路程和時間是兩種相關聯的量。（補充板書） （二）探索兩個變數之間的關系 1、談話：請同學們進一步觀察表中的數據，找一找這兩種量的變化有什麼規律？ 啟發學生從「變化」中去尋找「不變」。 學生可能會從不同的角度去尋找規律。 2、教師可根據交流的實際情況，及時引導學生通過計算確認這一規律，並有意識地從後一種角度突出這一規律。 如果學生發現不了上述規律，可引導學生寫出幾組相對應的路程與時間的比，並求出比值。 3、根據上面發現的規律，進一步啟發學生思考：這個比值表示什麼？上面的規律能不能用一個式子來表示？ 路程 根據學生的回答，教師板書關系式：時間 = 速度（一定） 4、教師對兩種量之間的關系作具體說明：當路程和對應時間的比的比值總是一定，也就是速度一定時，我們就說行駛的路程和時間成正比例，行駛的路程和時間是成正比例的量。 （板書：路程和時間成正比例） 反問：在什麼條件下行駛的路程和時間呈正比例？
三、教學「試一試」 1、要求學生根據表中的已知條件先把表格填寫完整。 2、根據表中的數據，依次討論表格下面的四個問題，並仿照例1作適當的板書。 3、讓學生根據板書完整地說一說鉛筆的總價和數量成什麼關系。
四、抽象表達正比例的意義 1、引導學生觀察上面的兩個例子，說說它們有什麼共同點。 2、啟發學生思考：如果用字母x和y分別表示兩種相關聯的量，用k 表示它們的比值，正比例關系可以用怎樣的式子來表示？ 根據學生的回答，板書關系式y/x=k(一定)
五、鞏固練習 1、完成第63頁的「練一練」。 先讓學生獨立思考並作出判斷，再要求說明判斷理由。你是怎樣判斷的？ 2、做練習十三第1~3題。 第1題讓學生按題目要求先各自算一算、想一想，再組織討論和交流。 第2題先讓學生獨立進行判斷，再指名說判斷的理由。 第3題要先讓學生說說題目要求我們把已知的正方形按怎樣的比放大，放大後正方形的邊長各是幾厘米，再讓學生在圖上畫一畫。 填好表格後，組織學生討論，明確：只有當兩種相關聯的量的比值一定時，它們才能成正比例。
六、全課小結 通過這節課的學習，你有哪些收獲？
七、課堂作業： 完成補充習題的相關練習 補充練習： 1、判斷下面每題中的兩種量是不是成正比例，並說明理由。 ①每小時織布米數一定，織布總米數和時間。 ②每人樹植棵數一定，參加植樹人數和植樹總棵數。 ③訂閱《中國少年報》的份數和錢數。 ④小新跳高的高度和他的身高。 ⑤長方形的寬一定，它的面積和長。 2、選擇。 a和b相關聯的兩種量，下面哪個式子表示a和b成正比例？ ①a+b＝12 ② ＝5 ③ab＝ ④a－b=3.8 ⑤b＝7a 3、x、y、z是三種相關聯的量，已知x×y=z。 當（ ）一定時，（ ）和（ ）成正比例。
6. 說一說用比例解決問題需注意什麼
用比例解決問題這部分內容是在學過比例的意義和性質，成正、反比例的量的基礎上進行教學的，這是比和比例知識的綜合運用。下面小編就和大家分享用比例解決問題教學反思，來欣賞一下吧。
《用比例解決問題》這部分內容是在教學過比例的意義和性質，成正、反比例的量的基礎上進行教學的，這是比和比例知識的綜合運用。教材首先說明應用正、反比 例的知識可以解決一些實際問題。例5和例6的教學應用正、反比例的意義來解的基本應用題。為了是知識更加到位，所以我對教材作了處理，把例5作為單獨的一 個內容教學。為了加強知識之間的聯系，先讓學生用以前學過的方法解答，然後教學用比例的知識解答。正比例應用題中所涉及到的基本問題的數量關系是學生以前 學過的，並能運用算術法解答，本節課學習內容是再原有解法的基礎上，通過自主參與，合作交流、發現歸納出一種用正比例關系解決一些基本問題的思路和計算方 法，從而進一步提高學生分析解答應用題的能力。
在教學中通過解答使學生進一步熟練地判斷成正比例的量，從而加深對正比例意義的理解。有利於溝通知識間的聯系。在教學中要特別強調，一定要根據比例式來列 出比例。因為正比例的比例式可以通過變形成為乘法等式。為了區別於反比例，所以這個知識點一定要強調到位。同時，在教學中又要滲透簡易方程的認識。在教學 上要十分重視從舊知識引申出新知識，在這過程中，蘊涵了抽象概括的方法，運用這個概括對新的實際問題進行判斷。
在數學教學中重視數學活動。在探究用正、反比例解決問題的過程中，充分展示學生的思維過程。把學生在解決問題中所有情況都羅列出來，並讓它們進行說解題思 路的活動。這一過程進行的非常出彩。在學生用多種方法解題的基礎上，重點展示用正比列解決問題，當學生用多種方法列出比例式後，進行小結：雖然比例的書寫 比較麻煩，但是用比例解決問題還是有自身的優勢所在的。
在練習的設計中我注重了練習生活實際，特別是當出示課件：樹高與樹的影長，人高與人影長，進行提問：如何用比例的知識去解決測量樹高的?是把樹砍了測量 嗎?此時學生很自覺的運用了比例的知識，通過測量三個可以測量的數據，用比例求出樹高。此時又加入了這樣一題：小麗要測量一大捆鐵絲的長度，從中截取了5 米長的一段，測得其質量為400克。現測得這捆鐵絲的質量為6千克。這捆鐵絲長多少?知識總是在相互溝通中慢慢建構的。
存在的問題及改進策略：學生習慣於用算術法解決這類問題，很難接受用比例的知識解決這樣的問題，把學生從傳統的算術方法中釋放出來才是問題的關鍵，因為習 慣是難以改變，一種新的思維的注入是需要時間去改變的，所以對於用比例來解決問題必須在以後的課堂中經常提到，去改變他們傳統的思維習慣。
7. 六年下冊數學 成正比例的量 教學應注意什麼
正比例的意義
☆知識要點：
（1）正比例：兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做成正比例關系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值，（一定）正比例關系可以用以下關系式表示：
②正比例關系兩種相關聯的量的變化規律：同時擴大，同時縮小，比值不變．例如：汽車每小時行駛的速度一定，所行的路程和所用的時間是否成正比例？
以上各種商都是一定的，那麼被除數和除數． 所表示的兩種相關聯的量，成正比例關系． 注意：在判斷兩種相關聯的量是否成正比例時應注意這兩種相關聯的量，雖然也是一種量，隨著另一種的變化而變化，但它們相對應的兩個數的比值不一定，它們就不能成正比例． 例如：一個人的年齡和它的體重，就不能成正比關系，正方形的邊長和它的面積也不成正比例關系． 反比例：兩種相關聯的量一種量變化，另種量也隨著變化，如果這兩種量中，相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做成反比例關系． 用字母表示：兩種相關聯的量，分別「x」和「y」表示，「k」表示不變的量，那麼反比例關系式是： xy=k（一定） ②反比例關系的兩種相關聯的量的變化規律是一種量擴大，另一種量縮小，一種量縮而另一種量則擴大，積不變． 例：圖上距離一定，實際距離和比例尺是否成反比例． 因為實際距離×比例尺=圖上距離（一定） 所以，實際距離和比例尺成反比例． 3.正比例和反比例 相同點：兩種量都是相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化． 不同點：兩種量成正比例，是一種量擴大，另一種量也隨著擴大，一種量縮小，另一種量也隨著縮小，它們擴大，縮小的規律是，這兩種量相對應的兩個數的比值不變，即商一定． 兩種量成反比例是一種量擴大，另一種量反而縮小一種量縮小，另一種量反而擴大，它們變化的規律是這兩種量中，相對應的兩個數積不變（一定）．
☆基礎練習：
1. 填空 ①兩種（ ）的量，一種量變化，另一種量（ ）．如果這兩種量中（ ）的兩上數的（ ）一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做（ ）．
判斷下面兩種量成什麼比例，並說明理由．
①時間一定，每小時織布的米數和織布總米數．
②平行四邊形面積一定，它的底和高．
③分子一定，分母和分數值．
④報紙的單價一定，總價與訂閱的份數．
⑤正方形的周長和邊長．
⑥正方形的邊長和面積．
⑦路程一定，車輪的直徑與車輪的轉數．
⑧被成數一定，成數與差．
⑨三角形的高一定，底和面積．
⑩甲、乙兩數互為倒數，甲數和乙數 ☆數學醫院：
①鋪地的總面積一定，每塊磚的面積與需要的塊數成正比例． ②班級學生的總人數一定，出勤率與缺勤率成正比例． ③小剛跳高的高度和他的身體成正比例． ④長方形周長一定，它的長和寬成反比例． ⑤圓的半徑和它的面積成正比例
反比例
反比例關系是通過應用題的總數與份數關系幫助學生認識的。在總數與份數關系中，包含總數、份數和每份數。當總數一定時，每份數和份數是兩種相關聯的變數。如果每份數變化，份數也隨著變化。同樣如果份數變化，每份數也隨著變化。它們的變化，無論擴大還是縮小，相對應的兩個量的乘積（也就是總數）一定。具體說，當總數一定時，每份數（或份數）擴大或縮小若干倍，份數（或每份數）反而縮小或擴大相同的倍數。簡稱為「一擴一縮（或一縮一擴）」。具備這種變化關系的每份數和份數成反比例關系。反比例關系在典型應用題中屬於歸總問題。反映在除法中，當被除數一定，除數和商成反比例關系。在分數中，當分數的分子一定，分母與分數值成反比例關系。在比例中，比的前項一定，比的後項與比值成反比例關系。如果再把總數與份數關系具體化為：在購物問題中，總價一定，單價和數量成反比例關系。在行程問題中，路程一定，速度和時間成反比例關系。在做工問題中，工作總量一定，工作效率和工作時間成反比例關系。如果兩種量成反比例，那麼一種量的任意兩個數的比，等於另一種量的兩個對應數的反比。如，加工零件的總數一定，是600個。如果每小時加工10個，60個小時完成任務。如果每小時加工20個，30個小時完成任務。每小時加工數量的比1∶2，與它相對應的完成時間比是2∶1。2∶1是1∶2的反比。
教學反比例的意義採用類比逆向推理法。即，教學開始，首先由學生根據正比例的意義，直接寫出反比例的意義：
兩種相關聯的量——→兩種相關聯的量，
一種量變化——→一種量變化
另一種量也隨著變化——→另一種量也隨著變化。
這兩種量中相對應的兩個數的比值一定——→這兩種量中相對應的兩個數的乘積一定
再由學生根據自己寫出的反比例的意義，舉出實例，加以驗證。
之後，進一步理解反比例的意義。
①分析反比例的意義。
成反比例的量包括三個數量，一個定量和兩個變數。研究兩個變數之間的擴大（或縮小）的變化關系。一種量發生變化，引起另一種量發生相反的變化。這兩種量是反比例的量，它們的關系成反比例關系。
②反比例實質
兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，這兩種量中相對應的兩個數的積一定。這兩種量叫做成反比例的量。它們的關系叫做反比例關系。
比較正、反比例：
相同點：①正比例和反比例都含有三個數量，在這三個數量中，均有一個定量、兩個變數。
②在正、反比例的兩個變數中，均是一個量變化，另一個量也隨之變化。並且變化方式均屬於擴大（乘以一個數）或縮小（除以一個數）若干倍的變化。
不同點：正比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的比值。反比例的定量是兩個變數中相對應的兩個數的積。
正、反比例之間的相互轉化：當正比例中的x值（自變數的值），轉化為它的倒數時，由正比例轉化為反比例；當反比例中的x值（自變數的值）也轉化為它的倒數時，由反比例轉化為正比例。
8. 正比例的意義怎樣引導課堂中學生思考
【課
題】：
人教版小學數學六年級(下)《正比例的意義》
【教材簡解】：
正比例的意義是小學數學六年級(下)第三單元的教學內容。這部分知識是在學生具有比和比例的知識以及認識常見數量關系的基礎上編排的，通過對兩個數量保持商一定的變化，理解正比例的意義，初步滲透函數的思想。
【目標預設】：
1、知識能力：使學生認識正比例的意義，理解、掌握成正比例量的變化規律及其特徵。
2、過程與方法：能根據正比例的意義判斷兩種相關聯的量成不成正比例關系。
3、情感態度與價值觀：進一步培養學生觀察、分析、綜合等能力；培養學生的抽象概括能力和分析判斷能力。
【重點、難點】：
重點：使學生理解正比例的意義。
難點：引導學生通過觀察、思考發現兩種相關聯的量的變化規律(即它們相對應的數的比值一定)，從而概括出正比例關系的概念。
【設計理念】：
本節課的教學設計遵循以下幾點設計理念：
1、抽象實際事例中的數量變化規律，形成正比例的概念。
例1是讓學生初步感知「兩種相關聯的量」以及「成正比例的量」的含義。教材先指出路程和時間是兩種相關聯的量，用「時間變化，路程也隨著變化」具體解釋兩種量的「相關聯」。再指出這輛汽車行駛的路程和時間的比的比值總是一定，可以說路程和時間成正比例，它們是成正比例的量，學生在這里首次感知了正比例關系。「試一試」是在另一組數量關系中繼續感知正比例關系。使得學生在上面兩個實例中感知了正比例的具體含義，然後教材再抽象概括出正比例的意義，這一環節是概念形成的重要環節，也是發展數學思考的極好機會。
2、用圖像直觀表達正比例關系。
例2是按照《課程標准》的要求「根據給出的有正比例關系的數據在有坐標系的方格紙上畫圖，並根據其中一個量的值估計另一個量的值」編排的，設計的三個問題體現了教學正比例圖像的三個步驟。
第一步認識圖像上的點，說出其他各點的具體含義，體會各個點都表示汽車在某段時間所行駛的路程，也體會這些點是根據對應的時間與路程的數據在方格紙上畫出來的。
第二步認識圖像的形狀，從圖中描出的點在一條直線上，體會正比例關系的圖像是一條直線。
第三步應用圖像，估計行駛時間所對應的路程或者行駛路程所用的時間。
【設計思路】：
本課教學設計我從生活中一些常見的數量關系入手，復習一些數量之間的相互關系，打破了傳統的正比例意義教學「復習——教學例1——教學例2——揭示概念——鞏固練習」的教學模式，取而代之是讓學生充分發揮學習的積極性，以及在學習過程中的合作探究能力，進而總結出新知的嘗試，本節課的教學依據「自學——反饋——探究——應用」這一課堂基本模式設計，結合新課程理念讓學生在自主探究的氛圍下學習，以求在理想的教學過程中產生理想的學習效果。