求解模型最常用的方法

Ⅰ 常用數學建模方法_數學建模方法的流程圖

數學建模常用方法以及常見題型

核心提示：

數學建模方法一、機理分析法從基本物理定律以及系統的結構數據來推導出模型 1. 比例分析法--建立變數之間函數關系的最基本最常用的方法。 2. 代數方法--求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法。3. 邏輯方法--是數學理論研的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，在決策，對策等學科中得到廣泛應用。4. 常微分方程--解決兩個變數之間的變化規律，關鍵是建立" 瞬時變化率" 的表達式。 5. 偏微分方程--解決因變數與兩個以上自

數學建模方法

一、機理分析法從基本物理定律以及系統的結構數據來推導出模型

1. 比例分析法--建立變數之間函數關系的最基本最常用的方法。

2. 代數方法--求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法。3. 邏輯方法--是數學理論研的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際問題，在決策，對策等學科中得到廣泛應用。

4. 常微分方程--解決兩個變數之間的變化規律，關鍵是建立" 瞬時變化率" 的表達式。

5. 偏微分方程--解決因變數與兩個以上自變數之間的變化規律。

二、數據分析法從大量的觀測數據利用統計方法建立數學模型

1. 回歸分析法--用於對函數f （x ）的一組觀測值（xi,fi ）I=1,2,…,n，確定函數的表達式，由於處理的是靜態的獨立數據，故稱為數理統計方法。

2. 時序分首虧老析法--處理的是動態的相關數據，又稱為過程統計方法。

3. 回歸分析法--用於對函數f （x ）的一組觀測值（xi,fi ）I=1,2,…,n，確定函數的表達式，於處理的是靜態的獨立數據，故稱為數理統計方法。

4. 時序分析法--處理的是動態的相關數據，又稱為過程統計方法。

三、模擬和其他方法

1. 計算機模擬（模擬）--實質上是統計估計方法，空弊等效於抽樣試驗。 ①離散系統模擬--有一組狀態變數。

②連續系統模擬--有解析達式或系統結構圖。

2. 因子試驗法--在系統上作局部者升試驗，再根據試驗結果進行不斷分析修改，求得所需的模型結構。

3. 人工現實法--基於對系統過去行為的了解和對未來希望達到的目標，並考慮到系統有關因素的可能變化，人為地組成一個系統。

數學建模題型

賽題題型結構形式有三個基本組成部分：

一、實際問題背景

1. 涉及面寬--有社會，經濟，管理，生活，環境，自然現象，工程技術，現代科學中出現的新問題等。

2. 一般都有一個比較確切的現實問題。

二、若干假設條件有如下幾種情況：

1. 只有過程、規則等定性假設，無具定量數據；

2. 給出若干實測或統計數據；

3. 給出若干參數或圖形；

4. 蘊涵著某些機動、可發揮的補充假設條件，或參賽者可以根據自己收集或模擬產生數據。

三、要求回答的問題往往有幾個問題（一般不是唯一答案）:

1. 比較確定性的答案（基本答案）；

2. 更細致或更高層次的討論結果（往往是討論最優方案的提法和結果）。

Ⅱ 建模的五種基本方法

量綱分析法

量綱分析是20世紀初提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法，它是在經驗和實驗的基礎上，利用物理定律的量綱齊次性，確定各物理量之間的關系。它是一種數學分析方法，通過量綱分析，可以正確地分析各變數之間的關系，簡化實驗和便於成果整理。

在國際單位制中，有七個基本量：質量、長度、時間、電流、溫度、光強度和物質的量，它們的量綱分別為M、L、T、I、H、J和N，稱為基本量綱。

量綱分析法常常用於定性地研究某些關系和性質，利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系，在數學建模過程中常常進行無量綱化，無量綱化是根據量綱分析思想，恰當地選擇特徵尺度將有量綱量化為無量綱量，從而達到減少參數、簡化模型的效果。

差分法

差分法的數學思想是通過taylor級數展開等方法把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的方程組，將微分問題轉化為代數問題，是建立離散動態系統數學模型的有效方法。

構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有以下幾種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

差分法的解題步驟為：建立微分方程；構造差分格式；求解差分方程；精度分析和檢驗。

變分法

變分法是處理函數的函數的數學領域，即泛函問題，和處理數的函數的普通微積分相對。這樣的泛函可以通過未知函數的積分和它的導數來構造，最終尋求的是極值函數。現實中很多現象可以表達為泛函極小問題，即變分問題。變分問題的求解方法通常有兩種：古典變分法和最優控制論。受基礎知識的制約，數學建模競賽大專組的建模方法使用變分法較少。

圖論法

數學建模中的圖論方法是一種獨特的方法，圖論建模是指對一些抽象事物進行抽象、化簡，並用圖來描述事物特徵及內在聯系的過程。圖論是研究由線連成的點集的理論。一個圖中的結點表示對象，兩點之間的連線表示兩對象之間具有某種特定關系(先後關系、勝負關系、傳遞關系和連接關系等)。事實上，任何一個包含了某種二元關系的系統都可以用圖形來模擬。因此，圖論是研究自然科學、工程技術、經濟問題、管理及其他社會問題的一個重要現代數學工具，更是成為了數學建模的一個必備工具。

Ⅲ 數學模型的解算方法

常用的解算方法有兩種。

1.解析法

就是用數學物理方法（分離變數法、拉普拉斯變換、傅立葉變換、漢格爾變換等）求解數學模型，得到某些變數變化規律的解析表達式，即解析解或分析解。由於這種解法求解，所必需的假設條件受到許多限制（如含水層為均質、邊界呈規則幾何形）使得數學模型求解困難，限制了這種方法的應用。

2.數值解法

主要是有限差分法及有限單元法。其基本步驟是：

1）將滲流區域按條件剖分為許多單元（單元內為均質的，邊界是規則的），按要求在單元上定義一個結點（點元），將滲流區域內連續的水頭分布離散化為在全部結點上有多個數所組成的數組。

2）在離散化的基礎上，將偏微分方程聯同邊界條件轉化為線性代數方程組。

3）解線性代數方程組求出水頭分布。若是非穩定流，還應根據初始的水頭分布多次解方程組，以求得各時刻的水頭分布。

在把微分方程轉換為線性代數方程組時，有限差分法是用差商代替導數；而有限單元法則是用線性的或高次插值函數來實現離散化，再用變分或其他數學方法將偏微分方程轉化為線性代數方程組。隨著電子計算機的發展，數值解法越來越成為求解地下水運動數學模型的重要方法。

小結

本章要求重點理解掌握以下基本概念和原理：滲透與滲流，滲透系數及滲透率，儲水系數和儲水率，穩定流與非穩定流，有壓流和無壓流，一維流、二維流、三維流，以及達西定律和滲流折射定律的表達式。

復習思考題

1.研究滲流常用什麼方法，為什麼？

2.在地下水動力學中，為什麼可以用測壓水頭代替總水頭？

3.水力坡度表示的方式有哪些？不同方式的使用條件是什麼？

4.達西定律為什麼不能叫層流定律？

5.滲透系數與滲透率有什麼不同？在什麼條件下可以相互替代？

6.什麼是含水介質的均質與非均質、各向同性與各向異性？

Ⅳ 怎麼利用有限差分法對模型進行求解

在工程和科學領域，差分法是求解物理模型的一種重要方法。它基於將連續的空間或時間變數離散化為有限個點的思想。差分法通過使用差分代替微分，將復雜的微分方程轉換為一系列線性方程組，從而實現對物理模型的求解。這種離散化的方法使得即使模型本身不具備規則網格，也能進行有效的數值分析。例如，對於非均勻介質中的物理過程，利用差分法可以靈活地進行網格劃分，無需嚴格規則，這為復雜結構的建模提供了便利。

相比之下，有限元法則是在差分法基礎上發展起來的一種更為通用的方法。有限元法的核心在於將復雜結構分解為一系列簡單的小單元，每個單元內部的物理量可以用簡單的函數表示。通過這種分割和近似，可以構建出一個整體的近似解。有限元法的靈活性在於單元的形狀和大小可以根據實際需求進行調整，因此在處理復雜幾何形狀時具有明顯優勢。

對於地質學等實際工程領域而言，差分法和有限元法的應用主要在於分析和預測地質結構、應力分布等關鍵問題。雖然了解基本原理對於理解和解釋分析結果至關重要，但在實際操作中，重點應放在如何正確應用這些方法以及如何解讀計算結果上。地質學中的許多問題，如地下水流動、岩石力學特性等，都可以通過差分法和有限元法得到有效解決。因此，掌握這些方法的實用技巧，對於從事實際地質工作的人員來說尤為重要。

盡管本人對這些方法了解不多，但如果有關於如何利用有限差分法進行模型求解的具體問題，歡迎提出。希望我能提供一些幫助或解答疑惑。

Ⅳ 單純形法如何求解線性規劃模型

單純形法求解線性規劃模型可按以下步驟進行：

1. 化標准形：把目標函數化為最大化形式，若為最小化則轉化為最大化其相反數；將約束條件轉為等式，通過引入鬆弛變數、過剩變數或人工變數處理不等式；保證決策變數及新增變數非負，且右端常數項非負。
2. 確定初始基可行解：選擇約束方程組系數矩陣中的單位矩陣作為初始可行基，通常由鬆弛變數構成；令非基變數為0，求解基變數值，得到初始基本可行解。
3. 構建初始單純形表：以鬆弛變數為初始基變數，列出系數矩陣、目標函數系數及常數項，計算檢驗數，檢驗數即非基變數對目標函數的貢獻。
4. 最優性檢驗：計算非基變數的檢驗數。若所有檢驗數≤0，當前解為最優解；若存在正檢驗數且對應列無正分量，問題無界；否則進入迭代。
5. 換基迭代：

   進基變數：選擇檢驗數最大的非基變數，此為目標函數改進最快的方向。

   出基變數：按最小比值規則，即常數項與進基變數列正分量的比值最小者對應的基變數出基。

   更新單純形表：通過初等行變換將主元（進基列與出基行交點）化為1，同列其他元素化為0，得到新基可行解。

6. 重復迭代：返回最優性檢驗步驟，直至滿足最優性條件或判定無界。

特殊情況處理：若約束無初始可行基（如≥或=型），需用兩階段法，第一階段最小化人工變數和以消除人工變數，第二階段求解原問題；當檢驗數≤0但常數項有負分量時，可使用對偶單純形法，保持對偶可行，迭代至原問題可行。此外，還可藉助MATLAB、Python（Scipy庫）、Excel求解器等工具自動完成迭代計算。