導航:首頁 > 使用方法 > 數列求通項和常用方法

數列求通項和常用方法

發布時間:2022-08-06 05:44:07

⑴ 高考中求數列的通項公式有哪些常見的方法

數列是高考中重要考察的內容,而數列求通項公式也是高考中常常出現的,並且對於廣大同學來說,這一塊的知識是必須要掌握的,高考中這一塊的考題也要盡可能的拿滿分。

其實數列求通項的方法很多,例如,直接法,公式法,歸納猜想法,累加法,累乘法,取倒數,取對數,迭代法,待定系數法,不動點法,換元法,周期型數列,特徵根法……等等!

下面我們來介紹一下幾種常用的方法

一、累加法

⑵ 數列求通項的七種方法

一、累差法遞推式為:an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路::令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……an-an-1=f(n-1)將這個式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)當然我們還要驗證當n=1時,a1是否滿足上式例1、已知數列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an 令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……an-an-1=2n-1將這個式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)當n=1時,a1適合上式故an=2n-1
二、累商法遞推式為:an+1=f(n)an(f(n)要可求積)思路:令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)∵f(n)可求積∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)當然我們還要驗證當n=1時,a1是否適合上式例2、在數列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an 令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘後可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n當n=1時,an也適合上式∴an=2n
三,構造法1、遞推關系式為an+1=pan+q (p,q為常數)思路:設遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)構造數列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數列.故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重慶)數列{an}中,對於n>1(n?N)有an=2an-1+3,求an設遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)構造數列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數列且公比為3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-12、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數)思路:在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q構造數列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上類型的解法得到bn=f(n)再將代入上式即可得an例4、數列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2nan+1構造數列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、遞推式為:an+2=pan+1+qan(p,q為常數)思路:設an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an,則可得到x+y=p,xy= -q解得x,y,於是{bn}就是公比為y的等比數列(其中bn=an+1-xan)這樣就轉化為前面講過的類型了.例5、已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an設an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an,則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3構造數列{bn},bn=an+1-an故數列{bn}是公比為-1/3的等比數列即bn=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n?N*)
四、利用sn和n、an的關系求an1、利用sn和n的關系求an思路:當n=1時,an=sn當n≥2 時, an=sn-sn-1例6、已知數列前項和s=n2+1,求{an}的通項公式.當n=1時,an=sn=2當n≥2 時, an=sn-sn-1=n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1時,a1=2不適合上式∴當n=1時,an=2當n≥2 時, an=2n-12、利用sn和an的關系求an思路:利用an=sn-sn-1可以得到遞推關系式,這樣我們就可以利用前面講過的方法求解例7、在數列{an}中,已知sn=3+2an,求an即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1∴{an}是以2為公比的等比數列∴an=a1·2n-1= -3×2n-1五、用不完全歸納法猜想,用數學歸納法證明.思路:由已知條件先求出數列前幾項,由此歸納猜想出an,再用數學歸納法證明例8、(2002全國高考)已知數列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an由已知可a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1,下用數學歸納法證明:當n=1時,左邊=2,右邊=2,左邊=右邊即當n=1時命題成立假設當n=k時,命題成立,即ak=k+1則 ak+1=a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴當n=k+1時,命題也成立.綜合(1),(2),對於任意正整數有an=n+1成立即an=n+1
2

⑶ 高考中求數列的通項公式共有幾種方法。

高考中求數列的通項公式主要有以下七種方法,具體情況說明如下:

  1. 公式法,當題意中知道,某數列的前n項和sn,則可以根據公式求得an=sn-s(n-1).

  2. 待定系數法:若題目特徵符合遞推關系式a1=A,an+1=Ban+C(A,B,C均為常數,B≠1,C≠0)時,可用待定系數法構造等比數列求其通項公式。

  3. 逐項相加法:若題目特徵符合遞推關系式a1=A(A為常數),an+1=an+f(n)時,可用逐差相加法求數列的通項公式。

  4. 逐項連乘法:若題目特徵符合遞推關系式a1=A(A為常數),an+1=f(n)•an時,可用逐比連乘法求數列的通項公式。

  5. 倒數法:若題目特徵符合遞推關系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0,(A,B,C,D均為常數)時,可用倒數法求數列的通項公式。

  6. 其他觀察法或歸納法等。

⑷ 數列求通項公式和前n項和的基本方法

1、求和的方法:
(1)利用等差(比)數列的求和公式;(2)分組求和;
(3)顛倒相加法;(4)裂項法
2、求通項的方法:
(1)利用等差(比)數列的通項公式;(2)利用a_n與Sn的關系;
(3)累加法(或逐差法);(4)累商法(或逐商法);
(5)待定系數法;(6)倒數變換;(7)不動點法;
(8)特徵根法;(9)復數法;(10)迭代法

⑸ 求數列通項公式的方法,越多越好謝謝

一、 直接法
如果已知數列為等差(或等比)數列,可直接根據等差(或等比)數列的通項公式,求得 ,d(或q),從而直接寫出通項公式。
例1. 等差數列 是遞減數列,且 =48, =12,則數列的通項公式是( )
(A) (B) (C) (D)
解析:設等差數列的公差位d,由已知 ,
解得 ,又 是遞減數列, ∴ , ,
∴ ,故選(D)。
例2. 已知等比數列 的首項 ,公比 ,設數列 的通項為 ,求數列 的通項公式。
解析:由題意, ,又 是等比數列,公比為
∴ ,故數列 是等比數列, ,

二、 歸納法
如果給出了數列的前幾項或能求出數列的前幾項,我們可以根據前幾項的規律,歸納猜想出數列的通項公式,然後再用數學歸納法證明之。
例3.(2002年北京春季高考)已知點的序列 ,其中 , , 是線段 的中點, 是線段 的中點,…, 是線段 的中點,…
(1) 寫出 與 之間的關系式( )。
(2) 設 ,計算 ,由此推測 的通項公式,並加以證明。
(3) 略
解析:(1)∵ 是線段 的中點, ∴
(2) ,
= ,
= ,
猜想 ,下面用數學歸納法證明
當n=1時, 顯然成立;
假設n=k時命題成立,即
則n=k+1時, =
=
∴ 當n=k+1時命題也成立,
∴ 命題對任意 都成立。
三、 累加(乘)法
對於形如 型或形如 型的數列,我們可以根據遞推公式,寫出n取1到n時的所有的遞推關系式,然後將它們分別相加(或相乘)即可得到通項公式。
例4. 若在數列 中, , ,求通項 。
解析:由 得 ,所以
, ,…, ,
將以上各式相加得: ,又
所以 =
例5. 在數列 中, , ( ),求通項 。
解析:由已知 , , ,…, ,又 ,
所以 = … = … =
四、 構造法
有些數列本身並不是等差或等比數列,但可以經過適當的變形,構造出一個新的數列為等差或等比數列,從而利用這個數列求其通項公式。
例6. 在數列 中, , , ,求 。
解析:在 兩邊減去 ,得
∴ 是以 為首項,以 為公比的等比數列,
∴ ,由累加法得
=
= … = =
=
例7. (2003年全國高考題)設 為常數,且 ( ),
證明:對任意n≥1,
證明:設,
用 代入可得
∴ 是公比為 ,首項為 的等比數列,
∴ ( ),
即:
五、 公式法
公式法即利用公式 求數列通項公式的一種方法。
例8. 在數列 中, +2 +3 +…+ = ,求 。
解析:令 = +2 +3 +…+ = ,
則 = +2 +3 +…+ = ,
則 - = = - ,
∴ = - =
例9. 設數列 的前n項和 = ,求 。
解析:由 = ,得 = ,
∴ = - = - +( )
∴ = + ,兩邊同乘以 ,得 = +2,
∴ 是首項為1公差為2的等差數列,
∴ =2+ = , ∴ =
六、 代換法
例10. 已知數列 滿足 , ,求 。
解析:設 ,∵ ,
∴ , ,…,
總之,求數列的通項公式,就是將已知數列轉化成等差(或等比)數列,從而利用等差(或等比)數列的通項公式求其通項。

⑹ 求數列的通項公式共有多少種方法

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列,直接用其通項公式。
例:在數列{an}中,若a1=1,an
1=an
2(n1),求該數列的通項公式an。
解:由an
1=an
2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1,d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷,是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和,用公式
s1
(n=1)
sn-sn-1
(n2)
例:已知數列{an}的前n項和sn=n2-9n,第k項滿足5
(a)
9
(b)
8
(c)
7
(d)
6
解:∵an=sn-sn-1=2n-10,∴5<2k-10<8
∴k=8

(b)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與sn的關系時,通常用轉化的方法,先求出sn與n的關系,再由上面的(二)方法求通項公式。
例:已知數列{an}的前n項和sn滿足an=snsn-1(n2),且a1=-,求數列{an}的通項公式。
解:∵an=snsn-1(n2),而an=sn-sn-1,snsn-1=sn-sn-1,兩邊同除以snsn-1,得---=-1(n2),而-=-=-,∴{-}
是以-為首項,-1為公差的等差數列,∴-=
-,sn=
-,
再用(二)的方法:當n2時,an=sn-sn-1=-,當n=1時不適合此式,所以,
-
(n=1)
-
(n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an
1、an-1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項公式。
例:設數列{an}是首項為1的正項數列,且滿足(n
1)an
12-nan2
an
1an=0,求數列{an}的通項公式
解:∵(n
1)an
12-nan2
an
1an=0,可分解為[(n
1)an
1-nan](an
1
an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列,∴an
1
an
≠0,∴-=-,由此得出:-=-,-=-,-=-,…,-=-,這n-1個式子,將其相乘得:∴
-=-,
又∵a1=1,∴an=-(n2),∵n=1也成立,∴an=-(n∈n*)
五、用構造數列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關系式,而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時,可以考慮通過變形,構造出含有
an(或sn)的式子,使其成為等比或等差數列,從而求出an(或sn)與n的關系,這是近一、二年來的高考熱點,因此既是重點也是難點。
例:已知數列{an}中,a1=2,an
1=(--1)(an
2),n=1,2,3,……
(1)求{an}通項公式
(2)略
解:由an
1=(--1)(an
2)得到an
1--=
(--1)(an--)
∴{an--}是首項為a1--,公比為--1的等比數列。
由a1=2得an--=(--1)n-1(2--)
,於是an=(--1)n-1(2--)
-
又例:在數列{an}中,a1=2,an
1=4an-3n
1(n∈n*),證明數列{an-n}是等比數列。
證明:本題即證an
1-(n
1)=q(an-n)
(q為非0常數)
由an
1=4an-3n
1,可變形為an
1-(n
1)=4(an-n),又∵a1-1=1,
所以數列{an-n}是首項為1,公比為4的等比數列。
若將此問改為求an的通項公式,則仍可以通過求出{an-n}的通項公式,再轉化到an的通項公式上來。
又例:設數列{an}的首項a1∈(0,1),an=-,n=2,3,4……(1)求{an}通項公式。(2)略
解:由an=-,n=2,3,4,……,整理為1-an=--(1-an-1),又1-a1≠0,所以{1-an}是首項為1-a1,公比為--的等比數列,得an=1-(1-a1)(--)n-1

⑺ 計算數列通項公式有哪些方法

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列,直接用其通項公式。

二,已知數列的前n項和,用公式

三、已知an與sn的關系時,通常用轉化的方法,先求出sn與n的關系,再由上面的(二)方法求通項公式。

四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項公式。

⑻ 求解數列的通項公式的方法最好附帶一個例題。

等差數列,等比數列的通項公式分別為an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1)
二、基本公式:
9、一般數列的通項an與前n項和Sn的關系:an=
10、等差數列的通項公式:an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1為首項、ak為已知的第k項)
當d≠0時,an是關於n的一次式;當d=0時,an是一個常數。
11、等差數列的前n項和公式:Sn=
Sn=
Sn=
當d≠0時,Sn是關於n的二次式且常數項為0;當d=0時(a1≠0),Sn=na1是關於n的正比例式。
12、等比數列的通項公式:
an=
a1
qn-1
an=
ak
qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0)
13、等比數列的前n項和公式:當q=1時,Sn=n
a1
(是關於n的正比例式);
當q≠1時,Sn=
Sn=
三、有關等差、等比數列的結論
14、等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等差數列。
15、等差數列{an}中,若m+n=p+q,則
16、等比數列{an}中,若m+n=p+q,則
17、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m
-
S3m、……仍為等比數列。
18、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。
19、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列
{an
bn}、

仍為等比數列。
20、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
21、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
22、三個數成等差的設法:a-d,a,a+d;四個數成等差的設法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
23、三個數成等比的設法:a/q,a,aq;
四個數成等比的錯誤設法:a/q3,a/q,aq,aq3
(為什麼?)
24、{an}為等差數列,則
(c>0)是等比數列。
25、{bn}(bn>0)是等比數列,則{logcbn}
(c>0且c
1)
是等差數列。
26.
在等差數列
中:
(1)若項數為
,則
(2)若數為
則,

27.
在等比數列
中:
(1)
若項數為
,則
(2)若數為
則,
四、數列求和的常用方法:公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。
28、分組法求數列的和:如an=2n+3n
29、錯位相減法求和:如an=(2n-1)2n
30、裂項法求和:如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和:如an=
32、求數列{an}的最大、最小項的方法:

an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3

(an>0)
如an=

an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
33、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解:
(1)當
>0,d<0時,滿足
的項數m使得
取最大值.
(2)當
<0,d>0時,滿足
的項數m使得
取最小值。
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。
裂項法求和
例題
1/1*4+1/4*7+1/7*10.........1/(3n-2)(3n+1)
怎麼解這種不是n(n+1)的裂項法阿?
解答
1/(3n-2)(3n+1)
1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1)
只要是分式數列求和,可採用裂項法
裂項的方法是用分母中較小因式的倒數減去較大因式的倒數,通分後與原通項公式相比較就可以得到所需要的常數

⑼ 在數列求和,求通項公式的問題里,都有那些方法,能否系統告訴下,謝謝

求和必須先求通項。
求通項的方法:
1。利用等差數列以及等比數列的定義,2。疊加,3。累乘4。迭代,5。構造新數列(這里的方法比較多:常見的有:取倒數,設通項待定系數,取對數,等式兩邊同時一個常數,……)6。利用不動點來構造新數列,此法在競賽題里很常見,7。利用特徵根來求通項(也是競賽裡面常用的方法)

閱讀全文

與數列求通項和常用方法相關的資料

熱點內容
5s通訊錄黑名單在哪裡設置方法 瀏覽:930
降血壓最簡單的方法 瀏覽:798
用什麼方法解決大腸息肉 瀏覽:696
莫拉克聲光報警器怎麼接線方法 瀏覽:621
芒種芝麻種植方法 瀏覽:449
秋小麥種植方法視頻 瀏覽:143
工地人工費輔材費機械費計算方法 瀏覽:26
orand函數的使用方法 瀏覽:717
鐵皮壓筋簡單方法 瀏覽:79
快速止血的方法手指上 瀏覽:792
近視弱視的治療方法 瀏覽:410
背部力量訓練方法 瀏覽:184
手機卡最簡單的消磁方法 瀏覽:457
抗癌植物的種植方法 瀏覽:832
插座連接的正確方法 瀏覽:336
胰腺治療方法 瀏覽:26
鍍鋅消防卡箍膠墊安裝方法圖片 瀏覽:758
兒童髕下脂肪墊炎的治療方法 瀏覽:724
包花紙視頻最簡單方法 瀏覽:597
房屋檢測的具體方法教程 瀏覽:598