雙曲線簡單運用方法

A. 有關雙曲線的所有知識點

一．雙曲線的定義及雙曲線的標准方程：
1 雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等於定長（＜|F1F2|）的點的軌跡（（為常數））這兩個定點叫雙曲線的焦點．
要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a＜|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同.
當|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；
當|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；
當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；
當2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在.

2.雙曲線的標准方程：和（a＞0，b＞0）.這里，其中||=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同.
3.雙曲線的標准方程判別方法是：如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上.對於雙曲線，a不一定大於b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.
4.求雙曲線的標准方程，應注意兩個問題：⑴ 正確判斷焦點的位置；⑵ 設出標准方程後，運用待定系數法求解.

二．雙曲線的內外部：

(1)點在雙曲線的內部.
(2)點在雙曲線的外部.

三.雙曲線的方程與漸近線方程的關系
(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設為.
(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.

四．雙曲線的簡單幾何性質
－=1（a＞0，b＞0）
⑴范圍：|x|≥a，y∈R
⑵對稱性：關於x、y軸均對稱，關於原點中心對稱
⑶頂點：軸端點A1（－a，0），A2（a，0）
⑷漸近線：
①若雙曲線方程為漸近線方程
②若漸近線方程為雙曲線可設為
③若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）
④與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是
⑤與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是

五．雙曲線 與 的區別和聯系

標准方程

性

質

焦點

，

焦距

范圍

頂點

對稱性

關於x軸、y軸和原點對稱

6.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交於兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝。

第三部分 典型例題分析

考點1 雙曲線的定義及標准方程
題型1：運用雙曲線的定義
[例1]某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s. 已知各觀測點到該中心的距離都是1020m. 試確定該巨響發生的位置.(假定當時聲音傳播的速度為340m/ s :相關各點均在同一平面上)
【解題思路】時間差即為距離差，到兩定點距離之差為定值的點的軌跡是雙曲線型的．
[解析]如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向為x軸、y軸正向，建立直角坐標系.設A、B、C分別是西、東、北觀測點，則A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y=－x，因B點比A點晚4s聽到爆炸聲，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由雙曲線定義知P點在以A、B為焦點的雙曲線上，
依題意得a=680, c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,

答：巨響發生在接報中心的西偏北450距中心處.
【名師指引】解應用題的關鍵是將實際問題轉換為「數學模型」
【新題導練】
1.設P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則△PF1F2的面積為 （ ）
A． B．12 C． D．24
解析： ①
又②
由①、②解得

直角三角形，
故選B。
2.如圖2所示，為雙曲線的左
焦點，雙曲線上的點與關於軸對稱，
則的值是（ ）
A．9 B．16 C．18 D．27
[解析] ，選C
3.P是雙曲線左支上的一點，F1、F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則的內切圓的圓心的橫坐標為（ ）
（A） （B） （C） （D）
［解析］設的內切圓的圓心的橫坐標為，
由圓的切線性質知，

題型2 求雙曲線的標准方程
[例2 ]已知雙曲線C與雙曲線－=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程．
【解題思路】運用方程思想，列關於的方程組
[解析]解法一：設雙曲線方程為－=1.由題意易求c=2.
又雙曲線過點（3，2），∴－=1.
又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.
故所求雙曲線的方程為－=1.
解法二：設雙曲線方程為－＝1，
將點（3，2）代入得k=4，所以雙曲線方程為－＝1.
【名師指引】求雙曲線的方程，關鍵是求a、b，在解題過程中應熟悉各元素（a、b、c、e及准線）之間的關系，並注意方程思想的應用.
【新題導練】
4.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ；
[解析]設雙曲線方程為，
當時，化為，，
當時，化為，，
綜上，雙曲線方程為或
5.以拋物線的焦點為右焦點,且兩條漸近線是的雙曲線方程為___________________.
[解析] 拋物線的焦點為，設雙曲線方程為，，雙曲線方程為
6.已知點，，，動圓與直線切於點，過、與圓相切的兩直線相交於點，則點的軌跡方程為
A． B．
C．（x > 0） D．
[解析]，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B

考點2 雙曲線的幾何性質
題型1 與漸近線有關的問題
1.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）
A． B． C． D．
[解析]從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B
基礎鞏固訓練
2.以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是
（A） （B）
（C） （D）
[解析]橢圓與雙曲線共焦點，焦點到漸近線的距離為b，選A

類型三：綜合練習
1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為，右頂點為.
（Ⅰ）求雙曲線C的方程
（Ⅱ）若直線與雙曲線恆有兩個不同的交點A和B且（其中為原點），求k的取值范圍
解（1）設雙曲線方程為
由已知得，再由，得
故雙曲線的方程為.
（2）將代入得
由直線與雙曲線交與不同的兩點得
即且. ① 設，則
，由得，
而
.
於是，即解此不等式得 ②
由①+②得
故的取值范圍為

2．已知直線與雙曲線交於、點。
（1）求的取值范圍；（2）若以為直徑的圓過坐標原點，求實數的值；
（3）是否存在這樣的實數，使、兩點關於直線對稱？若存在，
請求出的值；若不存在，說明理由。
解：（1）由消去，得（1）
依題意即且（2）
（2）設，，則
∵ 以AB為直徑的圓過原點 ∴ ∴
但
由（3）（4），，
∴ 解得且滿足（2）
（3）假設存在實數，使A、B關於對稱，則直線與垂直
∴ ，即 直線的方程為
將代入（3）得
∴ AB中點的橫坐標為2 縱坐標為
但AB中點不在直線上，即不存在實數，使A、B關於直線對稱。
3．(1)橢圓C:(a＞b＞0)上的點A(1,)到兩焦點的距離之和為4,
求橢圓的方程;
(2)設K是(1)中橢圓上的動點, F1是左焦點, 求線段F1K的中點的軌跡方程;
(3)已知橢圓具有性質:若M、N是橢圓C上關於原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點, 當直線PM、PN的斜率都存在並記為kPM、kPN時，那麼是與點P位置無關的定值。試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質，並加以證明。
解：(1)
(2)設中點為(x,y), F1(-1,0)K(-2-x,-y)在上 Þ
(3)設M(x1,y1),N(-x1,-y1), P(xo,yo), xo≠x1
則 為定值.

4.已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交於P、Q兩點，並且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。
錯解 設符合題意的直線存在，並設、
則 （1）得 因為A（1，1）為線段PQ的中點， 所以 將(4)、(5)代入（3）得
若，則直線的斜率 所以符合題設條件的直線存在。 其方程為 剖析 在（3）式成立的前提下，由(4)、（5）兩式可推出(6)式，但由(6)式不能推出(4)(5)兩式，故應對所求直線進行檢驗，上述錯解沒有做到這一點，故是錯誤的。 應在上述解題的基礎上，再由
得 根據,說明所求直線不存在。

5.已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線y＝kx－1與曲線E交於A、B兩點。
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果且曲線E上存在點C，使求。
解：（Ⅰ）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知
故曲線的方程為
設，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交於兩點，有
解得
∵

依題意得
整理後得
∴或
但 ∴
故直線的方程為
設，由已知，得
∴，
又，
∴點
將點的坐標代入曲線的方程，得得，
但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意
∴，點的坐標為
到的距離為
∴的面積

6.已知P為雙曲線的右支上一點，分別是橢圓的長軸頂點，連接交橢圓於，若與面積相等.
（1）求直線的斜率和直線的傾斜角；
（2）當的值為多少時，直線恰好過橢圓的右焦點？

7.已知雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為，焦距為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點的直線與雙曲線交於,求線段的中點P的軌跡方程；
（3）過點能否作直線，使與所給雙曲線有兩個交點，且點是線段的中點，若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由.

8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交於兩點．
（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；
（II）在軸上是否存在定點，使·為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：由條件知，，設，．
（I）解法一：（I）設，則則，，
，由得
即
於是的中點坐標為．
當不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．

（II）假設在軸上存在定點，使為常數．
當不與軸垂直時，設直線的方程是．
代入有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
於是

．
因為是與無關的常數，所以，即，此時=．
當與軸垂直時，點的坐標可分別設為，，
此時．
故在軸上存在定點，使為常數．

9.（2009上海卷）（本題滿分16分）
已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為F，一條漸近線m:,設過點A的直線l的方向向量。
（1） 求雙曲線C的方程；
（2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；
（3） 證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.
（1）解 設雙曲線的方程為
，解得，雙曲線的方程為
（2）解 直線，直線
由題意，得，解得
（3）證明 方法一 設過原點且平行於的直線
則直線與的距離當時，
又雙曲線的漸近線為
雙曲線的右支在直線的右下方，
雙曲線右支上的任意點到直線的距離大於。
故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為
（3）方法二 假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為，
則
由（1）得
設，
當時，；

將代入（2）得
，

方程不存在正根，即假設不成立，
故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為

10.（2009福建卷文）已知直線經過橢圓 的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位於軸上方的動點，直線，與直線
分別交於兩點。
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；
（Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數，若不存在，說明理由

解 方法一（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為
故橢圓的方程為
（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，
從而
由得0
設則得，從而
即又
由得

故
又
當且僅當，即時等號成立
時，線段的長度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，
此時的方程為
要使橢圓上存在點，使得的面積等於，只須到直線的距離等於，所以在平行於且與距離等於的直線上。
設直線
則由解得或

B. 雙曲線在實際生活中有什麼應用

可以解決我們身邊的問題：雙曲線是反比例函數的圖象。利用它的分布規律可以作一些定性判斷。
例如：用1000元購物，物品價格為X元，件數為Y件。則件數與價格的關系為Y＝1000＼X，這個函數Y隨X增大而減小。說明價格越高所購買件數越少。很好解釋了生活中的現象。
當然這是一個常識，用數學方法很好的解釋了其中的原因。數學是很有用的，許多生活現象都可用數學知識解決，努力學好數學吧，不只為了考試。

C. 什麼是雙曲線。日常生活中怎樣用到，請舉個例子詳細說明。

選中數據區域，插入圖表、圖表類型中不要到標准類型中選擇，選自定義類型中的，平滑直線圖，就可以出現雙曲線了。

D. 雙曲線在生活中有哪些應用

: 雙曲線在實際中的應用有通風塔,冷卻塔,埃菲爾鐵塔,廣州塔等。

E. 雙曲線的公式是什麼

標准方程為：

1、焦點在X軸上時為：雙曲線y上一點與兩頂點連線的斜率之積為。

參考資料:網路---雙曲線

F. 雙曲線的性質及其應用

1）
因為 准線平行與X軸
所以 焦點在Y軸上

當P在雙曲線內時
由 P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2
得 a=3
在由 離心率(根號5)/2
得出c值

當P在雙曲線外時
由 P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2
得a=7
在由 離心率(根號5)/2
得出c值

由此求出兩種情況下的雙曲線的方程.

2）
（1）
由點P(1,2)
設l方程為y-2=k(x-1)
與X*X-Y*Y/2=1聯立方程組
得一個帶k與x的方程
用韋達定理求出x1+x2的值
因為P點為AB中點
則 x1+x2=xp
即 x1+x2=1
由此求出k的值
即 AB方程可求出

（2）
由Q（1，1）
設以Q為中點的弦的方程為y-1=k(x-1)
與X*X-Y*Y/2=1聯立方程組
得一個帶k與x的方程
求其判別式
若大於零則成立，小於等於零，則不成立

明白了嗎？

G. 雙曲線的性質及其應用

1）
因為
准線平行與X軸
所以
焦點在Y軸上
當P在雙曲線內時
由
P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2
得
a=3
在由
離心率(根號5)/2
得出c值
當P在雙曲線外時
由
P(0,5)到此雙曲線上的點的最近距離為2
得a=7
在由
離心率(根號5)/2
得出c值
由此求出兩種情況下的雙曲線的方程.
2）
（1）
由點P(1,2)
設l方程為y-2=k(x-1)
與X*X-Y*Y/2=1聯立方程組
得一個帶k與x的方程
用韋達定理求出x1+x2的值
因為P點為AB中點
則
x1+x2=xp
即
x1+x2=1
由此求出k的值
即
AB方程可求出
（2）
由Q（1，1）
設以Q為中點的弦的方程為y-1=k(x-1)
與X*X-Y*Y/2=1聯立方程組
得一個帶k與x的方程
求其判別式
若大於零則成立，小於等於零，則不成立
明白了嗎？

H. 雙曲線在機械零件中的應用

雙曲線軋輥。雙曲線是反比例函數的圖象，利用它的分布規律可以作一些定性判斷，在機械零件中，雙曲線軋輥是鋼管矯正機的主要零件，國外用高精度的專門設備製造，採用的是雙曲線的應用。

I. 雙曲線的定義，方程等相關知識

朋友:公式太多,無法完成,建議把你的油箱發來,我直接給你word版.
雙曲線。
（1）定義①平面內到兩個定點F1，F2的距離之差的絕對值等於定值2a（0<2a<|F1F2|）的點的軌跡。
②到定點煌距離和定直線的距離之比為e(e＞1).
(2)幾何性質：
焦點：
頂點：
對稱軸：x軸,y軸
離心率： e越大，開口越闊。
准線：
漸近線：
焦半徑：雙曲線上任意一點M與雙曲線焦點 的連線段，叫做雙曲線的焦半徑。
焦點在x軸上的雙曲線的焦半徑公式：

焦點在y軸上的雙曲線的焦半徑公式：
（其中 分別是雙曲線的下上焦點）
（「左加右減，下加上減」，和拋物線記訣相反，和橢圓記訣同，但多了絕對值）
焦點弦： 過焦點的直線割雙曲線所成的相交弦 。
通徑：過焦點且垂直於對稱軸的相交弦．直接應用焦點弦公式得 ．
（3）當a=b時⇔離心率e= ⇔兩漸近線互相垂直，分別為 ，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為 。 ＞0時，焦點在x軸， ＜0時，焦點在y軸。
（4）共軛雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙曲線．
特徵：①共同一對漸近線；
②原雙曲線和其共軛雙曲線的焦點在同一個圓上；
③求共軛雙曲線方法：將1改為—1。
（5）共漸近線系的雙曲線： （ ≠0， 每一個實數值對應著一條雙曲線）
（6）雙曲線的方程與漸近線方程的關系
①若雙曲線方程為 漸近線方程： .
②若漸近線方程為 雙曲線可設為 .
③若雙曲線與 有公共漸近線，可設為 （ ，焦點在x軸上， ，焦點在y軸上）.
（7） 雙曲線的切線方程
①雙曲線 上一點 處的切線方程是 .
②過雙曲線 外一點 所引兩條切線的切點弦方程是
.
③雙曲線 與直線 相切的條件是 .

J. 雙曲線的光學性質有那些實際應用原理是什麼

橢圓的光學性質：從橢圓的一個焦點發出的光線或聲波在經過橢圓周上反射後，反射都經過橢圓的另一個焦點。雙曲線的光學性質：如果光源或聲源放在雙曲線的一個焦點F2處，光線或聲波射到雙曲線靠近F2的一支上，經過反射以後，就好象從另一個焦點F1處射出來一樣。拋物線的光學性質：從拋物線的焦點發出的光線或聲波在經過拋物線周上反射後，反射光線平行於拋物線的對稱軸。 ---------------------------------------------------------------------- 下面的鏈接是用來下載一個Word文檔,裡面有關於橢圓光學性質的證明以及圓錐曲線光學性質在解析幾何分析中的應用舉例。