研究數學物理方法的目的

⑴ 數學物理方法的清華版

本書是在北京郵電大學出版社出版的《數學物理方法（研究生用）》的基礎上修訂而成的．此次修訂除了對一些章節的內容作了調整，以便更適合教學外，主要增加了計算機軟體Maple在求解定解問題中的應用，以及用Maple將一些結果可視化的內容． 本書第1版於2003年1月出版後，曾蒙廣大師友和讀者的關懷與厚愛，於2005年9月進行了第2次印刷．此次修訂主要是增加了應用數學軟體Maple來輔助求解數學物理定解問題，並將部分結果用Maple進行可視化的內容．因為「數學物理方法」這門課程作為眾多理工科學生的基礎課之一，在後續課程和完成學業後的科研工作中都有許多應用，需要學生清楚地理解其中的概念，嫻熟地掌握解題方法，並且了解結果的物理意義．但是由於課程本身的內容多而難，題目繁而雜，被公認為是一門難學的課程，主要體現在公式推導多，求解習題往往要計算復雜的積分或級數等．隨著計算機的深入普及，功能強大的數學軟體（如Maple等）為復雜數學問題的求解提供了有力的工具，目的在於：（1）將繁難的數學運算，比如求解常微分方程、計算積分、求解復雜代數方程等藉助於計算機完成，可使讀者更專注於模型（數學物理方程）的建立、物理思想的形成和數學方法應用於物理過程的理論體系；（2）藉助於計算機強大的可視性功能，把一些抽象難懂但又非常有用的知識變成生動的、「活」的物理圖像展現在讀者面前，這無疑有益於讀者對知識的理解和掌握．數學軟體Maple的符號運算功能強大，它的最大好處是不用編程，可以直接進行符號運算，因此讀者不用另外學習編程的知識，更不要求以會編程為學習基礎，這會帶來極大的方便，讀者只要在計算機上裝上Maple軟體，直接輸入命令即可．
本次修訂除了增加上述內容外，還對原版的內容作了以下調整：將第1章「場論初步」改成「矢量分析與場論初步」，增加了矢量分析的內容，刪去了矢量場的梯度、張量及其計算，以及並矢分析兩節內容；將第5章「特殊函數」分成兩章「特殊函數（一）—— Legendre多項式」和「特殊函數（二）——Bessel函數」；在「變分法」一章中，增加了復雜泛函Euler方程的推導，因為在數學物理問題中經常會遇到求解復雜變分的問題；在「積分方程的一般性質和解法」一章中，按照積分核的類型講解相應的解法，以便使內容更加清晰和系統．全書的文字內容進行了重寫或修改，也改正了第1版中幾處印刷錯誤．書中加「*」號內容可作為選學內容，讀者可根據需要取捨．
編著者十分感謝清華大學出版社對本書再版的大力支持和幫助，尤其感謝劉穎和王海燕兩位編輯，其嚴謹、辛勤的敬業精神令人欽佩． 第1章矢量分析與場論初步
1.1矢量函數及其導數與積分
1.1.1矢量函數
1.1.2矢量函數的極限與連續性
1.1.3矢量函數的導數和積分
1.2梯度、散度與旋度在正交曲線坐標系中的表達式
1.2.1直角坐標系中的「三度」及Hamilton運算元
1.2.2正交曲線坐標系中的「三度」
1.2.3「三度」的運算公式
1.3正交曲線坐標系中的Laplace算符、Green第一和第二公式
1.4運算元方程
第2章數學物理定解問題
2.1基本方程的建立
2.1.1均勻弦的微小橫振動
2.1.2均勻膜的微小橫振動
2.1.3傳輸線方程
2.1.4電磁場方程
2.1.5熱傳導方程
2.2定解條件
2.2.1初始條件
2.2.2邊界條件
2.3定解問題的提法
2.4二階線性偏微分方程的分類與化簡
2.4.1兩個自變數方程的分類與化簡
2.4.2常系數偏微分方程的進一步簡化
2.4.3線性偏微分方程的疊加原理
第3章分離變數法
3.1（1+1）維齊次方程的分離變數法
3.1.1有界弦的自由振動
3.1.2有限長桿上的熱傳導
3.22維Laplace方程的定解問題
3.3高維Fourier級數及其在高維定解問題中的應用
3.4非齊次方程的解法
3.4.1固有函數法
3.4.2沖量法
3.4.3特解法
3.5非齊次邊界條件的處理
第4章二階常微分方程的級數解法本徵值問題
4.1二階常微分方程系數與解的關系
4.2二階常微分方程的級數解法
4.2.1常點鄰域內的級數解法
4.2.2正則奇點鄰域內的級數解法
4.3Legendre方程的級數解
4.4Bessel方程的級數解
4.5Sturm?Liouville本徵值問題
第5章特殊函數（一）Legendre 多項式
5.1正交曲線坐標系中的分離變數法
5.1.1Laplace方程
5.1.2Helmholtz方程
5.2Legendre 多項式及其性質
5.2.1Legendre多項式的導出
5.2.2Legendre多項式的性質
5.3Legendre多項式的應用
5.4一般球函數
5.4.1關聯Legendre函數
5.4.2球函數
第6章特殊函數（二）Bessel函數
6.1Bessel函數的性質及其應用
6.1.1柱函數
6.1.2Bessel函數的性質
6.1.3修正Bessel函數
6.1.4Bessel函數的應用
6.2球Bessel函數
6.3柱面波與球面波
6.3.1柱面波
6.3.2球面波
6.4可化為Bessel方程的方程
6.5其他特殊函數方程簡介
6.5.1Hermite多項式
6.5.2Laguerre多項式
第7章行波法與積分變換法
7.1一維波動方程的d′Alembert公式
7.2三維波動方程的Poisson公式
7.3Fourier積分變換法求定解問題
7.3.1預備知識——Fourier變換及性質
7.3.2Fourier變換法
7.4Laplace變換法解定解問題
7.4.1Laplace變換及其性質
7.4.2Laplace變換法
第8章Green函數法
8.1引言
8.2Poisson方程的邊值問題
8.2.1Green公式
8.2.2解的積分形式——Green函數法
8.2.3Green函數關於源點和場點是對稱的
8.3Green函數的一般求法
8.3.1無界區域的Green函數
8.3.2用本徵函數展開法求邊值問題的Green函數
8.4用電像法求某些特殊區域的Dirichlet?Green函數
8.4.1Poisson方程的Dirichlet?Green函數及其物理意義
8.4.2用電像法求Green函數
*8.5含時間的定解問題的Green函數
第9章變分法
9.1泛函和泛函的極值
9.1.1泛函
9.1.2泛函的極值與泛函的變分
9.1.3泛函取極值的必要條件——Euler方程
9.1.4復雜泛函的Euler方程
9.1.5泛函的條件極值問題
9.1.6求泛函極值的直接方法——Ritz方法
9.2用變分法解數學物理方程
9.2.1本徵值問題和變分問題的關系
9.2.2通過求泛函的極值來求本徵值
9.2.3邊值問題與變分問題的關系
*9.3與波導相關的變分原理及近似計算
9.3.1共振頻率的變分原理
9.3.2波導的傳播常數γ的變分原理
9.3.3任意截面的柱形波導管截止頻率的近似計算
第10章積分方程的一般性質和解法
10.1積分方程的概念與分類
10.2積分方程的迭代解法
10.2.1第二類Volterra方程的迭代解法
10.2.2第一類Volterra方程的迭代解法
10.2.3第二類Fredholm方程的迭代解法
10.2.4疊核、預解核
10.3退化核方程的求解
10.4弱奇異核的Abel方程的解法
10.5對稱核的Fredholm方程
10.6微分方程與積分方程的聯系
10.6.1二階線性常微分方程與Volterra方程的聯系
10.6.2微分方程的本徵值問題與對稱核積分方程的聯系
參考文獻