斷裂力學的研究方法和判據

⑴ 裂紋尖端的應力強度因子及裂紋擴展判據

一、應力強度因子K_Ⅰ與K_Ⅱ的計算

斷裂力學認為當裂紋尖端的應力強度因子達到材料的斷裂韌性時，裂紋就擴展，否則裂紋就不擴展或停止擴展。因此，在利用斷裂力學來研究裂紋的擴展問題時，應力強度因子的精確計算是至關重要的。

考慮Ⅰ、Ⅱ型混合裂紋的擴展問題，裂紋尖端的應力場和位移場分別為（范天佑，2003）

岩石斷裂與損傷

式中：G為剪切模量；對於平面應力問題k=（3-ν）/（1+ν），對於平面應變問題k=1-4ν，ν為泊松比；K_Ⅰ和K_Ⅱ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂紋尖端的應力強度因子。

下面綜合利用數值流形方法與奇異邊界元法模擬裂紋擴展（Zhang G X et al.，1999），其中應力場和位移場通過二階流形元方法計算，裂紋尖端的應力強度因子通過奇異邊界元計算。具體計算步驟為：

（1）利用二階流形元方法求出如圖12-4（a）所示的含有不連續面的結構的應力和位移。

（2）限定一個至少包含一條裂紋的一個子區域作為問題分析的對象，利用奇異邊界元法來求解。把利用二階流形元法求出的沿子區域邊界上的位移作為約束條件，並考慮裂紋面上的無拉力條件，如圖12-4（b）所示。

（3）計算出裂紋尖端的應力強度因子，判斷裂紋是否擴展，如果裂紋擴展則應更新物理網格和數學網格重新計算。

（4）對下一個這樣的子區域進行以上計算。

應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。

圖12-4 裂紋尖端的應力強度因子求解示意圖

1.無限域內的靜力學基本解

假設一點載荷作用於復合平面內的一點z=s，如圖12-5所示。在與X方向成α角的x₁ y₁坐標系內一點z處的應力和位移可由Kelvin基本解求得

岩石斷裂與損傷

其中：G為剪切模量，對於平面應變問題κ=3-4ν，平面應力問題κ=（3-ν）/1+ν。

圖12-5 點載荷作用的無限域平面

圖12-6 點載荷作用的帶裂紋無限域平面

2.點載荷作用於裂紋表面時的基本解

為了確定裂紋尖端的奇異性，應該採用具有奇異性的基本解。對於一個含有長度為2a的裂紋的無限域問題，當在裂紋表面z=s處受到一對力P=F_y-iF_x作用時，如圖12-6所示，在x₁-y₁坐標系內一點z處的應力和位移可通過求解Cauchy問題求得

岩石斷裂與損傷

其中：

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3.邊界積分方程

對於如圖12-4（b）所示的子區域，假定有一個分布的虛擬力Q（s）作用於邊界Γ，和一個虛擬力P（s）作用於裂紋表面。那麼在該子區域中z點的應力和位移可以通過積分方程式（12-5）和式（12-6）來確定：

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假設由數值流形方法計算出來的作用於邊界Γ上的位移為：，其中，（η）和分別為邊界Γ上η點的法向和切向位移。假設式（12-7）中的點z趨向於邊界Γ上的η點，即：，這樣就可以得到一個在邊界Γ上滿足已知位移的積分方程：

岩石斷裂與損傷

岩石斷裂與損傷

另外一個積分方程可以通過使用裂紋邊界條件來獲得。根據不同形式的裂紋擴展模式，該方程的形式也相應不同。

對於Ⅰ型和張-剪型裂紋問題，在裂紋表面的法向和切向方向都應該滿足無拉力條件。採用類似於式（12-10a）中的方法，通過假定式（12-9）中的點z趨向於裂紋表面上的點ξ，並假定裂紋表面上的法向應力和切應力均為零，又可以得到如下的積分方程：

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對於閉-剪型裂紋問題，裂紋上下表面上的法向位移應該是相同的，而且在切向方向上還應該滿足無拉力的自由邊界條件：

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其中：。

利用邊界元法求解方程式（12-10）即可得到Q（s）和P（s）。裂紋尖端的應力強度因子K_Ⅰ和K_Ⅱ即可通過式（12-11）求得

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在利用通常的數值分析方法如有限元方法來計算裂紋尖端的應力強度因子時，為了捕捉裂紋尖端的奇異性，通常需要加密裂紋尖端的網格劃分。而對於本節中所採用的方法，由於奇異面積已經被限制在裂紋尖端附近的一個很小的區域內，並且它對遠區域內的應力和位移的影響都是很小的。同時該方法中的應力和位移首先是利用二階數值流形方法求得，並且在遠離裂紋尖端處其精度也可以得到保證。利用已經求出的應力和位移，根據奇異邊界元方法就可以求出裂紋尖端的應力強度因子，即使在裂紋尖端處採用較粗的計算網格，利用這種方法也能求得精確很高的應力強度因子。

二、裂紋擴展判據

平面問題中的裂紋體受到外載作用之後裂紋面有張開和閉合兩種情況出現。無論裂紋面張開或閉合，只要裂紋面上的點有相對位移，裂紋尖端就有應力集中現象出現，這時裂紋體的破壞就不能用傳統的強度理論准則來判斷，而必須採用相應的斷裂力學准則來考慮。

實際物體中的裂紋類型往往不是單一性的，通常在裂紋尖端附近可能同時存在著Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型的裂紋應力。這種復合型裂紋的擴展與單純張開型裂紋的不同之處在於裂紋的擴展往往不是沿著原裂紋面的方向，而是沿著與原裂紋面成某一角度的方向進行。為了解決這一問題，提出了許多種復合型裂紋的脆性斷裂理論。

當裂紋尖端的應力強度因子為已知時，可以採用最大環向應力理論來建立復合裂紋的斷裂准則。環向應力理論假設：裂紋沿環向應力取最大值的方向開始擴展，裂紋的擴展是由於最大環向應力σ達到臨界值而產生的。

由式（12-3）可以得到Ⅰ-Ⅱ型裂紋尖端的環向極坐標應力分量表達式：

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擴展方向角θ₀滿足，即

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由式（12-13）求出裂紋的開裂角θ₀後，代入式（12-12）式可求出r=r₀圓周上的最大環向應力為

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於是可以建立相應的斷裂准則：

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式中，σ_θc為最大環向應力的臨界值，它可以通過Ⅰ型裂紋的斷裂韌度K_ⅠC來確定：

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綜合考慮式（1214）～式（1216），可以得到按最大環向應力理論建立起來的Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋的斷裂准則：

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式中：K_eq和K_ⅠC分別為裂紋尖端的等效應力強度因子和斷裂韌度。

⑵ 斷裂力學的分類

它在彈性力學線性理論的基礎上研究脆性材料中的裂紋擴展規律，並以應力強度因子和能暈釋放率等作為控制裂紋擴展的參量。脆性材料是指在裂紋擴展直至最後破壞的過程中，其內部出現較小塑性變形的材料。（見線彈性斷裂力學）
應用線彈性理論研究物體裂紋擴展規律和斷裂准則。1921年格里菲斯通過分析材料的低應力脆斷，提出裂紋失穩擴展准則格里菲斯准則。1957年G.R.歐文通過分析裂紋尖端附近的應力場，提出應力強度因子的概念，建立了以應力強度因子為參量的裂紋擴展准則。線彈性斷裂力學可用來解決脆性材料的平面應變斷裂問題，適用於大型構件（如發電機轉子、較大的接頭、車軸等）和脆性材料的斷裂分析。實際上，裂紋尖端附近總是存在塑性區，若塑性區很小（如遠小於裂紋長度），則可採用線彈性斷裂力學方法進行分析。 它在彈性力學線性理論的基礎上研究脆性材料中的裂紋擴展規律，並以應力強度因子和能暈釋放率等作為控制裂紋擴展的參量。脆性材料是指在裂紋擴展直至最後破壞的過程中，其內部出現較小塑性變形的材料。（見線彈性斷裂力學）
應用彈性力學、塑性力學研究物體裂紋擴展規律和斷裂准則，適用於裂紋體內裂紋尖端附近有較大范圍塑性區的情況。由於直接求裂紋尖端附近塑性區斷裂問題的解析解十分困難，因此多採用J積分法、COD（裂紋張開位移）法、R（阻力）曲線法等近似或實驗方法進行分析。通常對薄板平面應力斷裂問題的研究，也要採用彈塑性斷裂力學。彈塑性斷裂力學在焊接結構的缺陷評定、核電工程的安全性評定、壓力容器和飛行器的斷裂控制以及結構物的低周疲勞和蠕變斷裂的研究等方面起重要作用。彈塑性斷裂力學的理論迄今仍不成熟，彈塑性裂紋的擴展規律還有待進一步研究。 它研究高速載入或裂紋高速擴展條件下的裂紋擴展規律，在研究中須考慮物體的慣性。（見斷裂動力學）
採用連續介質力學方法，考慮物體慣性，研究固體在高速載入或裂紋高速擴展下的斷裂規律。斷裂動力學的主要研究內容為：①斷裂准則，包括裂紋在高速載入下的響應及起始和失穩擴展准則、高速擴展裂紋的分叉判據。②高速擴展裂紋尖端附近的應力應變場。③裂紋高速擴展的極限速度。④裂紋高速擴展的停止（止裂）原理。⑤高應變率條件下的材料特性及其對高速擴展裂紋阻力的影響。⑥裂紋高速擴展中的能量轉換。⑦高速碰撞下的侵徹和穿孔問題。斷裂動力學研究方法分理論分析和動態實驗兩方面。斷裂動力學已在冶金學、地震學、合成化學以及水壩工程、飛機和船舶設計、核動力裝置和武器裝備等方面得到一些實際應用，但理論尚不夠成熟。 作為一門嶄新的學科，斷裂力學在第一次世界大戰期間為英國航空工程師格里菲斯所創立，用於解釋脆性材料的斷裂。他面臨的問題是，從理論上說，小裂紋尖部的裂紋接近無窮大。也就是說，無論裂紋有多小，負載有多輕，材料都會失效。為了逃出困境，他發展出一套熱力學方法。他假定裂紋的延展需要創造表面能量，這一能量是形變能提供的。如果形變能的損失足以提供新的表面能，裂紋就開始沿展。