中值定理論文研究方法

Ⅰ 如何證明羅爾中值定理

羅爾中值定理：

1、若M=m，則函數f(x)在閉區間[a，b]上必為常函數，結論顯然成立。

2、若M>m，則因為f(a)=f(b)使得最大值M與最小值m至少有一個在(a，b)內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件f(x)在開區間(a，b)內可導得，f(x)在ξ處取得極值，推知：f'(ξ)=0。

解：(1)f(x)在[0，1/π]上連續，在(0，1/π)上可導，且有f(0)=f(1/π)=0，由羅爾中值定理知，存在一點ξ∈(0，1/π)，使得f』(ξ)=0。

(2)f(x)在[-1，1]上連續，但在(-1，1)內x=0上不可導，∴不一定存在一點ξ∈(-1，1)，使f』(ξ)=0。

又 f'(x)={1，x>0; -1，x<0}，∴不存在一點ξ∈(-1，1)，使f』(ξ)=0。