古代數學教學方法

Ⅰ 古代人學數學之類的學科嗎

數學作為一門應用性非常強的基礎學科，無論天文、水利、建築，乃至商業、日常生活，都須臾離不開。如果沒有相應的數學教育，中國不可能長時間在世界上保持文明的領先地位。事實上，中國早就存在數學教學，並逐漸形成了比較系統的數學教育制度。

西周時期針對貴族子弟開設的教學科目「六藝」中的「數」，便是一種早期的數學教育，而平民所學習的「小藝」中，也包含了「數」。到南北朝時期，中國數學蓬勃發展，《孫子算經》《夏侯陽算經》《張丘建算經》等算學著作相繼問世。同時，數學教育也有較大發展，北魏在中央官學中專門開設的「算學」，可算是世界上最早開設的數學專科學校。這意味著算學被列為基本的國學之一。

隋唐時期，中國首次建立起正式的數學教育制度。隋文帝時期，中國在國子監設立了算學館，在算學館設算學博士1人，助教2人，學生8人，並制定了專用的數學教材《算經十書》對學生進行講授。唐貞觀年間，算學教育規模進一步擴大，專門設博士2人，助教1人，學生30人，八品以下子弟以及庶人喜歡算學、年齡在14～19歲之間者都可入學，學習期限9年。

從公元11世紀到14世紀的宋元時期，是以籌算為主要工具的中國古代數學的鼎盛時期。在此期間，涌現出一批傑出的數學家和數學著作，中國數學達到最高境界，與當時的阿拉伯數學一道居於世界領先地位。而在數學教育方面，在科舉考試及太學、國子監等學校中都有專門的算學考試。

14世紀中後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度削減數學內容。失去國家的政策鼓勵之後，數學教育也出現衰退，自此，中國古代數學便開始衰退，落後於世界了。

Ⅱ 中國古代數學有多牛，僅留下的書籍就將近1500萬字，中國古代有哪些數學成就

中國數學起源於上古至西漢末期，中國數學的全盛時期是隋中葉至元後期。接下來在元後期至清中期，中國數學的發展緩慢。
十七個成就
縱觀中國數學發展史，中國古代在數學方面的成就其實也算足以開一座陳列館，這里就我認為最矚目的17個成就列舉如下：
(1)十進位制記數法和零的採用。
十進位制記數法在我國原始社會就已經形成，完成於奴隸社會初期的商代，到商代已發展為完整的十進制系統，並且有了「十」、「百」、「千」、「萬」等專用的大數名稱。1899年從河南安陽發掘出來的象形文字，說明我國在公元前1600年，已經採用了十進位值制記數法，早於第二發明者印度1000多年。0是極為重要的數字，0的發現被稱為人類偉大的發現之一。
「0」這一數學符號的發明應歸功於公元6世紀的印度人。他們最早用黑點(·)表示零，後來逐漸變成了「0」。
0在我國古代叫做金元數字，(意即極為珍貴的數字)，說起「0」的出現，應該指出，我國古代文字中，「零」字出現很早，使用也較廣泛。
(2)二進位制思想起源。源於《周易》中的八卦法，早於第二發明者德國數學家萊布尼茲(公元1646—1716)2000多年。
著名的哲學家、數學家萊布尼茨(1646—1716)發明了對現代計算機系統有著重要意義的二進制，不過他認為在此之前，中國的《易經》中已經提到了有關二進制的初步思想。從《易經》可以看到二進制的起源，中國古代的二進制運用與現代電子計算機中的運用相同。我國上古的伏羲時代就有了《周易》，《周易》是研究日月之間的變化的一門科學，通過卦爻來說明天地之間、日月系統以內人生與事物變化的大法則，就藉助了二進制手段。
(3)幾何思想起源。源於戰國時期墨翟的《墨經》，早於第二發明者歐幾里德(公元前330—前275)100多年。
著名的《墨經》中給出了某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「 平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義。
《墨經》中有8條論述了幾何光學知識，它闡述了影、小孔成像、平面鏡、凹面鏡、凸面鏡成像，還說明了焦距和物體成像的關系，這些比古希臘歐幾里德(約公元前330—275)的光學記載早百餘年。在力學方面的論說也是古代力學的代表作。對力的定義、杠桿、滑輪、輪軸、斜面及物體沉浮、平衡和重心都有論述。而且這些論述大都來自實踐。《墨經》光學八條，反映了春秋戰國時期我國物理學的重大成就。
(4)勾股定理(商高定理)。發明者商高(西周人)，早於第二發明者畢達哥拉斯(公元前580—前500)550多年。
勾股定理是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。西方稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理(英文：Pythagorean
theorem或Pythagoras's
theorem)是一個基本的幾何定理，相傳由古希臘的畢達哥拉斯首先證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。
法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在中國，在公元前1000多年前，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又稱之為商高定理;三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。目前初中數學教材的證明方法採用趙爽弦圖，證明使用青朱出入圖。
趙爽弦圖
青朱出入圖
勾股定理是一個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，是數形結合的紐帶之一。
(5)幻方。我國最早記載幻方法的是春秋時代的《論語》和《書經》，而在國外，幻方的出現在公元2世紀，我國早於國外600多年。
幻方又稱為魔方，方陣或廳平方，它最早起源於我國，宋代數學家楊輝稱之為縱橫圖。幻方的幻在於：無論取哪一條路線，最後得到的和或積都是完全相同的，即在一個由若干個排列整齊的數組成的正方形中，圖中任意一橫行、一縱列及對角線的幾個數之和或積都相等，具有這種性質的圖表，稱為「幻方」。我國古代稱為「河圖」、「洛書」，
中國漢朝的數術記遺中，稱之為九宮算，又叫九宮圖。又叫「縱橫圖」。
在中國古典文獻《易經》中記載了洛書的傳說：公元前23世紀大禹治水之時，一隻巨大的神龜出現於黃河支流洛水中，龜甲上有9種花點的圖案，分別代表1,2,3,4,5,，6,7,8,9這9個數，而3行、3列以及兩對角線上各自的數之和均為15，世人稱之為洛書。
南宋數學家楊輝著《續古摘奇演算法》把類似於九宮圖的圖形命名為縱橫圖，書中列舉3、4、5、6、7、8、9、10階幻方。其中所述三階幻方構造法：
「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」，比法國數學家Claude Gaspar
Bachet提出的方法早三百餘年。
三階幻方。射鵰英雄傳里黃蓉也背過這段三階幻方的口訣。
幻方最早記載於我國公元前500年的春秋時期《大戴禮》中，這說明我國人民早在2500年前就已經知道了幻方的排列規律。而在國外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。
我國不僅擁用幻方的發明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。公元13世紀的數學家楊輝已經編制出3-10階幻方，記載在他1275年寫的《續古摘廳演算法》一書中。在歐洲，直到1514年，德國著名畫家丟勒才繪制出了完整的四階幻方。
(6)分數運演算法則和小數。中國完整的分數運演算法則出現在《九章算術》中，它的傳本至遲在公元1世紀已經出現。印度在公元7世紀才出現了同樣的法則，並被認為是此法的「鼻祖」。我國早於印度500多年。
中國運用最小公倍數的時間則早於西方1200年。運用小數的時間，早於西方1100多年。
(7)負數的發現。這個發現最早見於《九章算術》，這一發現早於印度600多年，早於西方1600多年。
據史料記載，早在兩千多年前,我國就有了正負數的概念，掌握了正負數的運演算法則。我國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義，他說：「今兩算得失相反，要令正負以名之。」意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數和負數來區分它們。劉徽第一次給出了區分正負數的方法。他說：「正算赤，負算黑;否則以邪正為異」。
我國古代著名的數學專著《九章算術》(成書於公元一世紀)中，最早提出了正負數加減法的法則：「正負數曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之;其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」
除《九章算術》定義有關正負運算方法外，東漢末年劉烘(公元206年)、宋代揚輝(1261年)也論及了正負數加減法則，都與九章算術所說的完全一致。特別值得一提的是，元代朱世傑除了明確給出了正負數同號異號的加減法則外，還給出了關於正負數的乘除法則。負數在國外得到認識和被承認，較之中國要晚得多。在印度，數學家婆羅摩笈多於公元628年才認識負數。直到十七世紀荷蘭人日拉爾(1629年)才首先認識和使用負數解決幾何問題。
(8)盈不足術。又名雙假位法。最早見於《九章算術》中的第七章。在世界上，直到13世紀，才在歐洲出現了同樣的方法，比中國晚了1200多年。
盈不足術是我國古代計算盈虧類問題的一種算術方法，借有餘、不足以求隱含之數，為《周禮》九數之一。《九章算術·盈不足》：「今有共買物，人出八，盈三;人出七，不足四。問：人數、物價各幾何?答曰：七人，物價五十三。」。在11—13世紀一些阿拉伯數學家的著作中，也出現了盈不足術，並稱之為天秤術或契丹演算法。當時阿拉伯人所說的「契丹」,即指中國，這也說明古代中國的盈不足術處於世界前沿。
(9)方程術。與現今不同，線性方程組在古代稱為方程，其解法稱為方程術。最早出現於《九章算術》中，其中解聯立一次方程組的方法，早於印度600多年，早於歐洲1500多年。在用矩陣排列法解線性方程組方面，我國要比世界其他國家早1800多年。
(10)最精確的圓周率「祖率」。中國數學家劉徽在注釋《九章算術》時(公元263年)只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，得出精確到兩位小數的π值，他的方法被後人稱為割圓術，其中有求極限的思想。南北朝時代的數學家祖沖之利用割圓術進一步得出精確到小數點後7位的π值(公元466年)，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值，歐洲直到十六世紀德國人鄂圖(valentinus
otto)和荷蘭人安托尼茲(a.anthonisz)才得出同樣結果;這一紀錄在世界上保持了一千年之久。為紀念祖沖之對中國圓周率發展的貢獻，將這一推算值用他的名字被命名為「祖沖之圓周率」，簡稱「祖率」。阿拉伯數學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。德國數學家柯倫於1596年將π值算到20位小數值，後投入畢生精力，於1610年算到小數後35位數，該數值被用他的名字稱為魯道夫數。
(11)等積原理。又名「祖暅」原理。保持世界紀錄1100多年。
等積原理是由我國南北朝傑出的數學家祖沖之的兒子祖暅(數學家、天文學家)首先提出來的。他同其父祖沖之一起圓滿解決了球面積的計算問題，得到正確的體積公式。現行教材中著名的「祖暅原理」，在公元五世紀，是祖暅對世界數學的傑出貢獻。祖暅總結了劉徽的有關工作，提出「冪勢既同則積不容異」，即「等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等」，這就是著名的祖暅公理(或劉祖原理)。祖暅應用這個原理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。該原理在西方直到十七世紀才由義大利數學家卡瓦列利﹝Bonavent
uraCavalieri﹞發現，比祖暅晚一千一百多年。
(12)二次內插法。隋朝天文學家劉焯最早發明，早於「世界亞軍」牛頓(公元1642—1727)1000多年。
我國古代早就發明了內插法(內插法是用一組已知的未知函數的自變數的值和與它對應的函數值來求一種未知函數其它值的近似計算方法，是一種數值逼近求法，天文學上和農歷計算中經常用的是白塞爾內插法。內插法當時稱為招差術，如公元前1世紀左右的《九章算術)中的「盈不足術」即相當於一次差內插(線性內插);公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式(拋物線內插);這在數學史上是一項傑出的創造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式;元朝作《授時歷》的郭守敬進一步發明了三次差內插法。在劉焯1000年後，郭守敬400年後，英國牛頓才提出內插法的一般公式。
(13)增乘開方法。增乘開方法為中國古代數學中求高次方程數值解的一般方法，在現代數學中又名「霍納法」。
我國宋代數學家賈憲最早發明於11世紀，比19世紀英國數學家霍納提出的時間早800年左右。它由11世紀的賈憲首創，中經12世紀的劉益，到13世紀秦九韶最後完成，19歐洲出現的霍納法的步驟以及現代數學中綜合除法的原理與它相同。該方法由《九章算術》的開方術衍生而來，經過賈憲、劉益、楊輝等人的推廣和傳播，到13世紀被發展成為求高次方程數值解的系統方法，秦九韶、李冶、朱世傑的著作中都有記載，其中以秦九韶的《數書九章》論述最為詳細。霍納在1819年發表的《解所有次方程》論文中的算例，其演算法程序和數字處理都遠不及五百多年前的秦九韶有條理;秦九韶演算法不僅在時間上早於霍納，也比較成熟。增乘開平方法是北宋數學家賈憲發明的開方法，原收《釋鎖算書》一書。賈憲原作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，被抄入《永樂大典》卷一萬六千三百四十四，幸得以保存下來，現存英國劍橋大學圖書館。
(14)楊輝三角。楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，實際上是一個二項展開式系數表。它本是賈憲創造的，見於他著作《黃帝九章演算法細草》中，後此書流失，南宋人楊輝在他的《詳解九章演算法》中又編此表，故名「楊輝三角」。
楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。楊輝三角形所蘊含的數字排列規律，讓我們在感受數學美的同時，也體會到它的趣味性和實用性。
在世界上除了中國的賈憲、楊輝，第二個發明者是法國的數學家帕斯卡(公元1623—1662)，他的發明時間是年，比賈憲晚了近600年。
(15)中國剩餘定理。又稱孫子定理，是中國古代求解一次同餘式組的方法。中國剩餘定理，實際上就是解聯立一次同餘式的方法。這個方法最早見於《孫子算經》，1801年德國數學家高斯(公元1777—1855)在《算術探究》中提出這一解法，西方人以為這個方法是世界第一，稱之為「高斯定理」，但後來發現，它比中國晚1500多年，因此為其正名為「中國剩餘定理」，
它是數論中一個重要定理。
(16)數字高次方程方法，又名「天元術」。 中國古代求解高次方程的方法。13世紀，高次方程的數值解法是數學難題之一。
天元術是中國古代的代數學方法之一種，是中國古代建立高次方程的方法。1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》中，系統地介紹了用天元術建立二次方程，並巧妙地把它表達在籌算中。元代數學家王恂廣泛使用天元術解高次方程。這個方法早於世界其他國家300年以上，為以後出現的多元高次方程解法打下很好的基礎。
(17)招差術。招差術即高次內插法，是現代計算數學中一種常用的插值方法，也就是高階等差級數求和方法。從北宋起中國就有不少數學家研究這個問題，到了元代，朱世傑首先發明了招差術，使這一問題得以解決。在世界上，比朱世傑晚近400年之後，牛頓才獲得了同樣的公式。中國古代關於高階等差數列和的差分能否相分於求內插公式的方法。朱世傑的《四元玉鑒》(1303)卷中「如像招數」中的問題都是討論招差問題的。
其中朱世傑給出了一個四次招差公式：
這與牛頓插值公式一致，但牛頓提出這一公式晚於朱世傑三百多年。
招差術的創立、發展和應用是中國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。
總的來說，中國古代的數學發展缺乏公理化體系。而這恰恰是從初等數學到高等數學發展的瓶頸。中國數學從一開始就沒有向公理化發展的傾向，更多的是對某類具體問題的解法或者對某類規律的歸納。而西方數學家的代表人物歐幾里得所做的最重要的工作可以說就是幾何學的公理化。《幾何原本》就是以數個不證自明的公理為基礎的公理化體系的著作。這種方式建立的所謂數學的和諧之美、簡潔之美。這位古希臘數學家對整個歐洲科學都影響深遠。牛頓最重要的著作《自然哲學的數學原理》就是沿用的這種公理化體系的過程。對現象的描述，再把這類有規律的現象整理為最基本的數個公理、定律，再運用這些定律解釋更復雜的現象。其最更根本的便是萬有引力定律，以及三大運動定律。以當時的水平來講，這樣就足以「預言萬物的運動」了。
另外，中國古代數學水平的落後是和整個科技水平的落後也是聯系在一起的，兩者是共進共退的。中國古代科技水平的衰落那就是另一個大問題了。
參考文獻：
1.《探究勾股定理》同濟大學出版社
2.《 神奇的縱橫圖》 王前衛
3.《九章算術》張蒼 耿壽昌
4.《楊輝三角與棋盤形街道走法》 琚國起有

Ⅲ 我國古代數學教學原則和今天所學課程內容的區別和聯系

較比我們古代的數學和現在所現在所學的現代教學有很大的區別，古代人的智慧是非常偉大的。

Ⅳ 孔子常用的教學方法

孔子是中國古代偉大的教育家，他首創私塾，「有教無類」，加之學費又非常低廉（僅十條干肉），從而培養了大批的學生。孔子辦學，雖不曾將教育當作「產業」，但他一人招收的學生就達三千之多（這個數字在今天也是驚人的），而且學制也不限於四年，許多學生一旦及門，便終生接受其教誨。孔子死後，弟子代代相傳，不少都成為中國文化的精英，其影響一直達於當代，並遠播海外。可以說，在中國教育史上，還沒有哪一位偉人能和孔子相比，後世稱其為「大成至聖先師」，應是當之無愧的。 孔子在教育方面所取得的偉大成就，除了其人格的魅力，思想的精邃及知識的淵博外，也與他完美的教學方法是分不開的。具體說，孔子在教學方法上主要是善於處理六個方面的關系： 一是教與學的關系。在漢字中，「教」與「斆」（學）本是同源字，是同一事物緊密相關的兩個方面。《說文》：「教，上所施，下所效也。」可見，教是指教師與學生兩方面的活動。由「教」又孳生出一個「斆」字，《說文》雲：「斆，覺悟也，從教。」秦以後，斆寫作學。而所謂「覺悟」，也就是「上所施，下所效」的意思。用今天的話來說，教與學實是對立統一的辨證關系。因此，在教的同時，就應該顧及到學的方面，教師不能只顧自己念講義，而不去看學生「覺悟」了沒有。 應該說，在處理教與學的關系方面，孔子是充分體現了教學一體思想的。他對自己教學對象的學習和接受情況是完全掌握的。例如他整天和顏回講學，顏回卻從不提反對意見和疑問，像個愚人。但孔子知道，顏回「退而省其私，亦足以發，回也不愚」。〔1〕孔子也知道弟子們的悟性是有差別的，「回也聞一以知十，賜也聞一以知二」，〔2〕而能聽他說話始終不懈怠的，也就只有顏回一人。〔3〕 「回也其心三月不違仁」，〔4〕至於其他學生么，仁只是短時期偶然想起一下罷了。當然，學生一旦「覺悟」，孔子也能隨時察覺。如子貢「告諸往而知來者」，孔子便高興地說：「賜也，始可與言《詩》已矣！」〔5〕子貢從《詩經·衛風·碩人》對美女的描寫而聯想到禮樂的產生，孔子也興奮地說：「起予者商也！始可與言《詩》已矣。」 〔6〕 對於學生的性情稟賦和日常生活，孔子也了如指掌，不管別人問到哪一位弟子，他都能脫口而談。如季康子向他打問仲由、端木賜、冉求的情況，他不假思索便說「由也果」、「賜也達」、「求也藝」，〔7〕即子路果敢決斷，子貢通情達理、冉有多才多藝。他還說過「柴也愚，參也魯，師也辟，由也喭」的話，〔8〕意即高柴愚笨，曾參遲鈍，顓孫師偏激，仲由鹵莽，表現出對各位弟子習性的深知。對學生的課外生活，孔子也無不知曉。他不但知道顏回「一簞食，一瓢飲，在陋巷，人不堪其憂，回也不改其樂」，〔9〕而且還知道子貢不安本分，去囤積投機，猜測行情每每猜中，發了大財，即所謂「賜不受命，而貨殖焉，億則屢中」。〔10〕對一些身處逆境的學生孔子更是關懷備至。弟子公冶長含冤坐牢，孔子認為「非其罪也」，〔11〕並把女兒嫁給他。冉伯牛患了絕症，孔子親自看望，還來不及進屋便在窗外握著學生的手說：「斯人也而有斯疾也！」〔12〕連連嘆息。顏淵去世，孔子極其悲痛地說：「老天爺要我的命呀！老天爺要我的命呀！」別人勸其節哀，他說：「我不為這樣的人傷心，還為什麼人傷心呢！」〔13〕 正因為孔子既教書，又教人，將教與學融為一體，所以不但師生間關系和諧融洽，其教學質量也是很高的，「受業身通者七十有七人，皆異能之士也」，〔14〕對中國文化的傳播做出了傑出的貢獻。 二是「有教無類」與因材施教的關系。用今天的話來說，便是普遍性教育與針對性教育的關系。 首先，孔子是主張全民教育的，他明確提出「有教無類」，〔15〕即人人他都可以教育，沒有年齡、貧富、地域的區別。在孔門弟子中，既有小於夫子四歲的秦商、小於夫子六歲的顏由，也有小於夫子五十三歲的公孫龍（子石）、小於夫子五十四歲的叔仲會（子期），學生間的年齡差距達五十歲。甚至還有父子同列孔子之門者，如顏由、顏回父子，曾皙、曾參父子，都曾先後成為孔子的學生。從地域而言，孔子學生的來源除了齊、魯外，還有宋、衛、陳、蔡、秦、楚、吳、越等地，幾乎遍及全國。如子路是卞（屬衛）人，子貢、子夏、高柴是衛人，司馬耕是宋人，顓孫師（子張）是陳人，言偃是吳人，秦祖是秦人，公孫龍（子石）是楚人，漆雕開是蔡人。而且，學生的家庭出身及經濟狀況也各不一樣，其中既有魯大夫孟僖子之子孟懿子、衛將軍彌牟之子彌蘭，也有「賤人」出身的仲弓；有家累千金的子貢、乘肥馬衣輕裘的公西赤，也有居藜藿窮巷的原憲、身陷囹圄的公冶長 。以相貌論，有長得像孔子的有若，也有長不盈五尺的高柴、狀貌甚惡的澹臺滅明。凡此，孔子皆一視同仁，納為弟子。 其次，弟子入室後孔子又能根據他們的不同特點有針對性地進行教育，即所謂因材施教。孔子承認人的天賦稟性是有差別的，所以他的因材施教首先是根據人的資質和文化水平而定，即所謂「中人以上，可以語上也；中人以下，不可以語上也」。〔16〕意思是說，中等水平以上的人，可以告訴他高深學問；中等水平以下的，不可以告訴他高深學問。有些弟子雖然人很聰明，但孔子也要等他們在某些方面有所「覺悟」之後，才開始給他們講授有關的學問。如孔子之為子貢、子夏講授《詩經》便是。至於日常授課，那更是具有極強的針對性。如同樣是問「仁」，針對不同的弟子，孔子便有不同的解答。顏淵問仁，孔子說「克己復禮為仁」； 〔17〕仲弓問仁，孔子說「己所不欲，勿施於人」；〔18〕司馬牛問仁，孔子說「仁者其言也訒」；〔19〕樊遲問仁，孔子說「居處恭，執事敬，與人忠」；〔20〕子貢問仁，孔子說「事其大夫之賢者，友其士之仁者」；〔21〕子張問仁，孔子說「能行五者（恭、寬、信、敏、惠）於天下為仁」。〔22〕為何會有如此不同的答案呢？主要是針對各人的不同特點而言的。顏淵、仲弓德行好，孔子就正面回答他們；司馬耕（子牛）「多言而躁」，〔23〕孔子就讓他說話遲鈍些（即訒）；樊遲想學稼圃，孔子不贊同，就讓他注重禮義忠信；子貢好議論人，「喜揚人之美，不能匿人之過」，〔24〕孔子就讓他多向賢士大夫學習，以加強自身修養；子張欲求聞達干祿，孔子就讓他養成能行於天下的五種品德。夫子之用意，可謂深矣！ 正是由於孔子既「有教無類」又因材施教，所以他不但有弟子三千，也培養出了一大批學有專長的傑出人才。如德行好的有顏淵、閔子騫、冉伯牛、仲弓，擅長言語交際的有宰我、子貢，善於辦理政事的有冉有、子路，熟悉古代文獻的有子游、子夏等。〔25〕這些人才既是孔子的高足，又是中國文化的精英。 三是學與思的關系。在這方面，孔子提出了一個著名的論點，即「學而不思則罔，思而不學則殆」，〔26〕意思是說，只讀書而不去思考就會受騙，只是空想而不去讀書便會缺乏信心。在孔子認為，學與思二者必須兼顧，不能有所偏廢，否則便很難學有所成。應該說這是古今有關學與思關系的最辯證、最正確的理解。 先說學。孔子是以《詩》、《書》、《易》、《禮》、《春秋》、《樂》六經為課本來教學生的，要提高學生的知識水平和培養學生的綜合素質，這些文獻是不能不讀的。所以孔子非常鼓勵學生讀書。例如他勸學生學習《詩經》時說：「小子何莫學夫詩？詩可以興，可以觀，可以群，可以怨。邇之事父，遠之事君，多識於鳥獸草木之名。」〔27〕意思是說，讀《詩經》可以培養人的聯想力，可以提高對事物的觀察力，可以鍛煉合群性，可以學會諷刺的方法。運用其中的道理近可以事奉父母，遠可以服侍君王；而且還能多多認識鳥獸草木的名稱。在孔子眼中，《詩經》簡直就是一部網路全書。幾千年後，人們對《詩經》所進行的綜合研究，其開先河者便是孔子。其它各經在先秦來說也都是最重要的典籍。正如荀子在《勸學》中所說：「《禮》之敬文也，《樂》之中和也，《詩》、《書》之博也，《春秋》之微也，在天地之間者畢矣。」孔子還根據自己讀書的體會諄諄告誡學生，要「興於詩，立於禮，成於樂」，〔28〕即通過學詩以使人振奮，通過習禮使人在社會上站得住，通 過音樂使所學得以完成。這與西人培根所說的「讀史使人明智，讀詩使人靈秀，數學使人精細，物理學使人深沉，倫理學使人莊重，邏輯修辭則使人善變」，〔29〕可謂同得讀書之要妙。 再說思。孔子之「思」，一是要學生深入思考文獻的文化蘊含，不能只停留在表面的理解；二是要學生思考如何聯系實際，學以致用。例如，孔子曾多次同學生討論《詩經》，並談了自己的認識，他說：「《詩》三百，一言以蔽之，曰：思無邪。」〔30〕他認為《詩經》的文化精神就是思想純正。他還通過對《詩經》首篇《關睢》的分析來闡明這一觀點，說：「《關睢》，樂而不淫，哀而不傷。」〔31〕在他的啟發下。弟子們也紛紛談了對《詩經》有關篇章的理解，如子貢對「如切如磋，如琢如磨」句（《衛風·淇奧》）〔32〕的認識，子夏對「巧笑倩兮，美目盼兮，素以為絢兮」句（《衛風·碩人》）〔33〕的認識，都能「舉一隅而以三隅反」。對《尚書》的研讀也是同樣。當子張談到《無逸》中所記載的殷高宗守孝，住在凶廬，三年不言一事時，孔子立即引導他說：「不僅殷高宗如此，古人都這樣，國君死了，繼承的君王皆三年不問政治，各部的官員聽命於宰相。」 〔34〕 而且，孔子還要求學生在理解文獻的基礎上，盡量將書本知識轉化為實際工作的能力。這也是「思」的一個重要方面。他告誡弟子：「誦《詩》三百，授之以政，不達；使於四方，不能專對；雖多，亦奚以為？」 〔35〕意思是說，雖然熟讀《詩經》三百篇，但交給他政治任務卻辦不通，讓他出使外國又不能獨立地去談判，這樣的人即使書讀得再多，又有什麼用處？ 總之，在孔子認為，「終日不食，終日不寢，以思，無益，不如學也」；〔36〕而只學不思，又會被古人牽著鼻子走，即孟子所說的「盡信《書》則不如無《書》。」 〔37〕所以只有學而思，思而學，學思結合，才是唯一正確的讀書方法。 四是溫故與知新的關系。孔子說：「溫故而知新，可以為師矣。」〔38〕這里含有兩方面的意思：一，復習舊的功課，便可以幫助理解新的內容，因為學習總有一個循序漸進的過程；二，「溫故」也指對已有知識和前人研究成果的掌握，「知新」則指新的發現和新的見解。孔子認為，只有教育學生全面了解某一學科的基礎知識和學術進展情況，用今天的話來說便是要「進到學術前沿」，才能在此基礎上有所發現，有所創新。這在今天，也仍不失為治學的至理名言。誰違背了它，都會受到懲罰。那些基礎不牢便急於創立新說的人，要麼其結論如空中樓閣，一推便倒；要麼就是重復別人舊說，造成浪費。近年來學術研究上所出現的低水平重復問題，究其實，正是違背了孔子的這一教導。 孔子自己則為後人樹立了一個「溫故而知新」的榜樣。例如，當子張問他十世以後之禮是否可以預知時，他便說道：「殷朝沿襲夏朝的禮儀制度，所廢除的，所增加的，是可以知道的；周朝沿襲殷朝的禮儀制度，所廢除的，所增加的，也是可以知道的。那麼假定有繼承周朝而當政的，就是此後一百代，也是可以預先知道的。」〔39〕熟悉歷代禮制的損益情況便可以知道未來禮制的演變，這便是孔子「溫故而知新」方法在禮制研究上的具體運用。 而如何「溫故而知新」呢？孔子強調「學而時習之」，〔40〕即要經常地溫習和實習，因為有些課程如「禮」（各種儀節）、「樂」（音樂）、「射」（射箭）、「御」（駕車）等，也是需要實習的。在不間斷的溫習中鞏固和創新，這便是孔子教學生的基本治學方法。用孔子弟子子夏的體會來說就是，「日知其所亡，月無忘其所能」，〔41〕即每天知道所未知的，每月復習所已能的。 五是講授與答疑的關系。孔子教學，主要是大班授課與個別輔導答疑兩種形式。在講授中，孔子總是盡可能多的教給學生一些知識，而對於自己還沒有搞懂的事情，則輕易不下結論，寧肯存疑，這便是孔子在教學上所一貫主張的「多聞闕疑」〔42〕原則。 據《論語·述而》所記，孔子主要以「文、行、忠、信」四種內容教學生。其所謂「文」即歷代文獻，所謂「行」即包括射、御、數等在內的社會實踐。孔子在授課時，不但做到了「誨人不倦」，而且也能毫無保留。他曾對學生說：「你們這些學生以為我有所隱瞞嗎？我對你們是沒有隱瞞的。我沒有一點不向你們公開，這就是我孔丘的為人。」〔43〕他是這樣說的，也是這樣做的。即使「厄於陳蔡」，他的心中也仍然想著那些尚留在老家的學生們，急著要回去給他們上課，並不時地念叨著：「歸與！歸與！吾黨之小子狂簡，斐然成章，不知所以裁之。」〔44〕 在輔導答疑方面，孔子更體現了中國傳統的教學方法。《禮記·學記》雲：「善待問者如撞鍾，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴；待其從容，然後盡其聲。」孔子就是小叩小鳴、大叩大鳴的。這樣的例子在《論語》中幾乎隨處可見。如孔子到了衛國，冉有替他駕車，孔子邊走邊說：「好稠密的人口！」冉有接著問道：「人口已經眾多了，又該怎麼辦呢？」孔子說：「讓他們富裕起來。」冉有又問：「富裕之後又該怎麼辦？」孔子說：「教育他們。」〔45〕隨著冉有提問的不斷升級，孔子的回答也越來越深刻。再如子貢請問怎樣才可以叫做「士」，孔子說「行己有恥，使於四方，不辱君命。可謂士矣。」子貢請問次一等的要求，孔子說：「宗族稱孝焉，鄉黨稱弟焉。」子貢又問再次一等的，孔子說：「言必信，行必果。」最後當子貢問到「今之從政者何如」時，孔子便直截了當地說出了自己的看法：「噫！斗筲之人，何足算也！」〔46〕真是越提問到最後，回答便越加精彩。 當然，孔子對於自己沒有研究的問題也決不會強不知以為知的。他嚴格遵守「知之為知之，不知為不知」的原則。他說：「有的人不懂裝懂，我是沒有這種毛病的。」〔47〕例如當樊遲向他請教有關種地和種菜的事情時，他便很坦率地說「吾不如老農」、「吾不如老圃」。〔48〕再如衛靈公請教有關軍隊布列之法，孔子也直言不諱地回答說：「俎豆之事，則嘗聞之矣；軍旅之事，未之學也。」〔49〕 而尤值得稱道的是，孔子無論上課還是答疑，都非常注意方式方法，循循善誘，從而讓學生在輕松愉快的氣氛中學到了知識，懂得了深奧的道理。如一次子路、曾皙、冉有、公西華等侍坐，孔子先是和藹地啟發他們談了各自的抱負和志願，然後再加以點評，並提出自己的意見。這樣，弟子們不但了解了老師的志願，也懂得了為國以禮、為人要謙遜的道理。而對於「其言不讓」的子路，孔子雖不贊成他的自負和粗率，但出於愛心，也僅是微微一笑，而讓學生自己去覺悟罷了。〔50〕 六是言傳與身教的關系。孔子在教學中既重言傳，又重身教，他將這兩者結合的完美無缺。 首先，孔子既以學問教人，又以道德教人，並在人格上給學生樹立了一個光輝的典範。孔子說：「君子不重則不威，學則不固。」〔51〕他將莊重的人格、威嚴的儀表與學習的能否鞏固聯系在一起。而如何做到威嚴而不兇猛呢？孔子說：「君子正其衣冠，尊其瞻視，儼然人望而畏之，斯不亦威而不猛乎？」〔52〕在學生的心目中，孔子也確實是既威嚴肅穆而又溫厚可親的。學生們說他「溫而厲，威而不猛，恭而安」〔53〕子夏更稱孔子有三變：「望之儼然，即之也溫，聽其言也厲。」〔54〕 其次，在治學方面，孔子也處處以身作則。他沒有「意」、「必」、「固」、「我」的毛病，〔55〕常能聞善而從。他雖然學問淵博，但還是堅持「三人行必有我師焉，擇其善者而從之，其不善者而改之」。〔56〕他入太廟，也總是「每事問」，〔57〕虛心向別人請教。他還曾向老子問禮，向郯子問官，向萇弘問樂，向師襄學琴。直到晚年，他仍是學而不厭，不知老之將至，「讀《易》，韋編三絕」。〔58〕孔子這種好學的精神也深深地感染了他的學生們，我們看《論語》中所記，凡孔門弟子相聚，幾乎都是在探討學問，有些已經肄業的學生也仍然不時地來向孔子請教問題。 再次，孔子與學生之間始終都保持著一種親密無間的關系，這既有利於身教，也利於言教。學生可以「當仁不讓於師」，向孔子提出不同意見，甚至是尖銳批評。如孔子去見衛靈公夫人南子，子路不滿之色便溢於言表，逼得孔子連連向天發誓：「予所否者，天厭之！天厭之！」〔59〕孔子有時也同學生們開開玩笑，調侃幾句。如一次孔子來到子游作縣長的武城，聞弦歌之聲，便莞爾而笑曰：「割雞焉用牛刀？」意思是說，治理這樣一個小地方，用得著教育嗎？不料子游馬上就把老師的話頂了回去，說：「以前我聽老師說過，作官的學習了就會有仁愛之心，老百姓學習了就容易聽指揮。」於是孔子趕緊說道：「弟子們，言偃（子游）的話是對的，我剛才的那句話不過是同他開了個玩笑罷了。」〔60〕在其樂融融的氣氛中，學生們既感受到了夫子的和藹可親，又再一次地聆聽了老師的教誨。 總之，正是由於孔子正確地處理了以上六個方面的關系，所以他在創立私塾的同時，也在教學方法上為後世樹立了典範。而這些教學方法在經過了兩千多年的檢驗後，直到今天也仍然是值得我們借鑒的。

Ⅳ 中國古代數學的歷史

春秋前中國數學的萌芽
我們的先民在從野蠻走向文明的漫長歷程中，逐漸認識了數與形的概念。出土的新石器時期的陶器大多為圓形或其他規則形狀，陶器上有各種幾何圖案，通常還有三個著地點，都是幾何知識的萌芽。先秦典籍中有「隸首作數」、「結繩記事」、「刻木記事」的記載，說明人們從辨別事物的多寡中逐漸認識了數，並創造了記數的符號。殷商甲骨文(公元前14—前11世紀)中已有13個記數單字，最大的數是「三萬」，最小的是「一」。一、十、百、千、萬，各有專名。其中已經蘊含有十進位置值制萌芽。傳說伏羲創造了畫圓的「規」、畫方的「矩」，也傳說黃帝臣子倕[chui垂]是「規矩」和「准繩」的創始人。早在大禹治水時，禹便「左准繩」(左手拿著准繩)，「右規矩」(右手拿著規矩)(《史記·禹本紀》)。因此，我們可以說，「規」、「矩」、「准」、「繩」是我們祖先最早使用的數學工具。人們丈量土地面積，測算山高谷深，計算產量多少，粟米交換，制定歷法，都需要數學知識。《周髀〔bi婢〕算經》載商高答周公問，提到用矩測望高深廣遠。相傳西周初年周公(公元前11世紀)制禮，數學成為貴族子弟教育中六門必修課程——六藝之一。不過當時學在官府，數學的發展是相當緩慢的。
春秋時期，隨著鐵器的出現，生產力的提高，中國開始了由奴隸制向封建制的過渡。新的生產關系促進了科學技術的發展與進步。此時王權衰微，疇人四散，私學開始出現。最晚在春秋末年人們已經掌握了完備的十進位置值制記數法，普遍使用了算籌這種先進的計算工具。人們已諳熟九九乘法表、整數四則運算，並使用了分數。
戰國至兩漢中國數學框架的確立
戰國時期，各諸侯國相繼完成了向封建制度的過渡。思想界、學術界諸子林立，百家爭鳴，異常活躍，為數學和科學技術的發展創造了良好的條件。盡管沒有一部先秦的數學著作留傳到後世，但是，人們通過田地及國土面積的測量，粟米的交換，收獲及戰利品的分配，城池的修建，水利工程的設計，賦稅的合理負擔，產量的計算，以及測高望遠等生產生活實踐，積累了大量的數學知識。據東漢初鄭眾記載，當時的數學知識分成了方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要九個部分，稱為「九數」。九數確立了《九章算術》的基本框架。
秦始皇結束了列國紛爭，首次建立了中央集權的封建帝國，本應有利於數學的發展。但他的專制政策窒息了百家爭鳴的學術空氣。秦朝的殘暴統治，尤其是焚書坑儒，給中國文化事業造成空前的浩劫。不久，劉邦利用推翻暴秦的農民起義，統一了中國，建立了漢朝，史稱西漢。西漢政府與民生息，社會生產力得到恢復、發展，給數學和科學技術的發展帶來新的活力，人們提出了若干算術難題，並創造了解勾股形、重差等新的數學方法。同時，人們注重先秦文化典籍的收集、整理。作為數學新發展及先秦典籍的搶救工作的結晶，便是《九章算術》的成書。《九章算術》(省稱《九章》)是中國最重要的數學經典，它之於中國和東方數學，大體相當於《幾何原本》之於希臘和歐洲數學。在世界古代數學史上，《九章》與《原本》像兩顆璀燦的明珠，東西輝映。
《九章》之前還有一部《周髀算經》，它本是一部以數學方法闡述蓋天說的天文著作，一般認為於公元前1世紀成書。卷上記載了商高答周公問，陳子答榮方問。前者有勾股定理的特例32+42=52，後者有用勾股定理及比例演算法測太陽高遠及直徑的內容。近年湖北省張家山出土的竹簡《算數書》正在整理，其少廣一問與《九章》少廣章第1問基本相同，兩者的關系有待於研究。
《九章》集先秦到西漢數學知識之大成。據東漢末大學者鄭玄(公元127—200年)引東漢初鄭眾(?—公元83年)說，西漢在先秦九數基礎上又發展出勾股、重差兩類數學方法。魏劉徽說：《九章》是由九數發展而來的，由於秦朝焚書而散壞。西漢張蒼(?—公元前152年)、耿壽昌(公元前1世紀)收集秦火遺殘，加以整理刪補，便成為《九章算術》。方田章提出了完整的分數運演算法則，各種多邊形、圓、弓形等的面積公式;粟米章提出了比例演算法;衰[cui崔]分①章提出了比例分配法則;少廣章給出了完整的開平方、開立方程序;商功章討論各種立體體積公式及工程分配方法;均輸章解決賦役中的合理負擔，也是比例分配問題，還有若干結合西漢社會實際的算術雜題;盈不足章解決盈虧問題及可以用盈不足術解決的一般算術問題;方程章是線性方程組解法，並給出了正負數加減法則;勾股章由旁要發展而成，提出了勾股定理、解勾股形及若干測望問題的方法。全書以計算為中心，有90餘條抽象性演算法、公式，246道例題及其解法，基本上採取演算法統率應用問題的形式。它的許多成就居世界領先地位，奠定了此後中國數學居世界前列千餘年的基礎。《九章》分類不甚合理，沒有任何定義和推導，少數公式不準確，個別公式有錯誤，則是不容諱言的缺點。《九章》的框架、形式、風格和特點深刻影響了中國和東方的數學。
《九章算術》成書後，注家蜂起。《漢書·藝文志》所載《許商算術》、《杜忠算術》(公元前1世紀)估計為研究《九章》的作品。東漢馬續、張衡、劉洪、鄭玄、徐岳、王粲等通曉《九章算術》，或為之作注。這些著作都未傳世，從後來劉徽(今山東鄒平人，生卒不詳)《九章算術注》所反映的信息看，這些研究基本上停留在歸納驗證《九章算術》的正確性方面，理論上未能在《九章》基礎上作出長足進步。
魏晉至唐初中國數學理論體系的建立
《九章算術》之後，中國的數學著述基本上採取兩種方式：一是為《九章算術》作注;二是以《九章算術》為楷模編纂新的著作。經過兩漢社會經濟和科學技術的大發展，到魏晉，中國封建社會進入一個新的階段，庄園農奴制和門閥士族占據了經濟政治舞台的中心。思想文化領域中，儒家的統治地位被削弱，讖緯迷信和繁瑣的經學退出歷史舞台，代之以談三玄——《周易》、《老子》、《莊子》為主的辯難之風。學者們通過析理，探討思維規律，思想界出現了戰國的百家爭鳴以來所未有過的生動局面。與此相適應，數學家重視理論研究，力圖把自先秦到兩漢積累起來的數學知識建立在必然的可靠的基礎之上。劉徽和他的《九章算術注》便是這個時代造就的最偉大的數學家和最傑出的數學著作。
大約與劉徽同時或稍前，有趙爽(又名嬰，字君卿，生卒不詳，估計是三國吳人)的《周髀算經注》，其可觀者為「勾股圓方圖」，用600餘字概括了兩漢以來勾股算術的成果。
劉徽《九章算術注》作於魏景元四年(公元263年)，原十卷。前九卷全面論證了《九章》的公式、解法，發展了出入相補原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，在圓面積公式和錐體體積公式的證明中引入了無窮小分割和極限思想，首創了求圓周率的正確方法，指出並糾正了《九章》的某些不精確的或錯誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑，創造了解線性方程組的互乘相消法與方程新術，用十進分數逼近無理根的近似值等，使用了大量類比、歸納推理及演繹推理，並且以後者為主。第十卷原名重差，為劉徽自撰自注，發展完善了重差理論，此卷後來單行，因第一問為測望一海島的高遠，名之曰《海島算經》。他還著有《九章重差圖》一卷，已佚。劉徽生活在辯難之風興起而尚未流入清談的魏晉之交，受思想界「析理」的影響，對《九章算術》「析理以辭，解體用圖」(《九章算術注·序》)，並對各種演算法進行總結分析，認為數學像一株枝條雖分而同本乾的大樹，發自一端，形成了一個完整的理論體系。劉徽博覽群書，諳熟諸子百家，他不迷信古人，敢於創新，實事求是。對他未能解決的牟合方蓋，坦誠直書，表示「以俟能言者」(《九章算術·少廣章注》)，表現了一位偉大學者寄希望於後學的坦盪胸懷。
《孫子算經》三卷，常被誤認為春秋軍事家孫武所著，實際上是公元400年前後的作品，作者不詳。這是一部數學入門讀物，給出了籌算記數制度及乘除法則等預備知識，其河上盪杯、雞兔同籠等問題後來在民間廣泛流傳，「物不知數」題則開一次同餘式解法之先河。張丘建(今山東人，生平不詳)著的《張丘建算經》三卷，成書於北魏(5世紀下半葉)。此書補充了等差級數的若干公式，其百雞問題是著名的不定方程問題，後世十分重視。
《綴術》包含了祖沖之(公元429—500年)和兒子祖暅〔geng 更〕之(一作祖暅，生平不詳)的數學貢獻。由於其內容深奧，隋唐算學館學官(相當於今天大學數學系教授)讀不懂，遂失傳。據認為，將圓周率精確到八位有效數字、球體積的解決及含有負系數的二次、三次方程皆是其中的內容。祖沖之，字文遠，祖籍范陽逎(今河北省淶源縣)人。劉宋大明六年(公元462年)造大明歷，使用歲差，改革閏制。他的改革遭到守舊派官僚戴法興的反對，祖沖之不畏權勢，據理駁斥，堅持了反對讖緯迷信，不虛推古人，實事求是的科學精神。他對機械深有研究，製造過水碓、水磨、指南車、千里船、漏壺等，並著《安邊論》、《述異記》等。祖暅之，字景爍。從小愛好數學，巧思入神，極其精微。專心致志之時，雷霆不能入。有一次走路時思考問題，僕射徐勉迎面而來竟然沒有發現，頭撞到徐勉身上，徐勉喚他，他才知道撞了人。其父的《大明歷》經他的努力在梁朝頒行。
北周甄鸞(今河北無極人，生卒不詳)有三部數學著作傳世，即《五曹算經》、《五經算術》、《數術記遺》。前二部內容淺近，無足道者。《數術記遺》一卷，傳本題(東)漢徐岳撰、北周甄鸞注，近人多以為系甄鸞自撰自注，假託徐岳。書中記載了三種大數進位制及14種演算法，其中珠算雖不同於元明的珠算盤，然開後者之先河，似無可疑。
隋唐是中國封建社會經濟政治文化的鼎盛時期，然而數學上除天文歷法研究中劉焯(公元544—610年)創造等間距內插公式(7世紀初)和僧一行(公元683—727年)創造不等間距內插公式(8世紀)外，幾無創造，數學成就及理論水平遠遠低於魏晉南北朝。唐初王孝通(生卒不詳)撰《緝古算經》一卷，解決了若干復雜的土方工程及勾股問題，且都用三次或四次方程解決，是為現存記載三次、四次方程的最早著作。然而，《緝古算經》未必是高於《綴術》的著作。王孝通是歷算博士，曾任太史丞，在天文歷法方面是保守的。他在《上〈緝古算經〉表》中指責《綴術》全錯不通，於理未盡，大約他與當時別的數學家一樣讀不懂《綴術》。他自詡他的《緝古算經》千金不能排其一字，他一旦瞑目，其方法後人莫曉。科學家不必作謙謙君子，但如此狂妄，也是不足取的。
隋唐統治者在國子監設算學館，置算學博士、助教指導學生學習。唐李淳風等奉敕於顯慶元年(公元656年)為《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《綴術》、《張丘建算經》、《五曹算經》、《五經算術》、《緝古算經》等十部算經作注，作為算學館教材，這就是著名的《算經十書》，該書是中國古代數學奠基時期的總結。李淳風等注釋保存了許多寶貴資料，但注釋水平並不高。由於種種原因，算學館實際未培養出像樣的數學家。
唐中葉至宋元中國數學的高潮
經過盛唐的大發展，唐中葉之後，生產關系和社會各方面逐漸產生新的實質性變革，到10世紀下半葉，趙匡胤建立宋朝，統一中國，中國封建社會進入了另一個新的階段，土地所有制以國有為主變為私有為主，租佃農民取代了魏唐的具有農奴身份的部曲、徒附。農業、手工業、商業和科學技術得到更大發展。中國古代四大發明，有三項——印刷術之廣泛應用及活字印刷，火葯用於戰爭，指南針用於航海——完成於唐中葉至北宋。宋秘書省於元豐七年(公元1084年)首次刊刻了《九章算術》等十部算經(時《夏侯陽算經》、《綴術》已失傳，因8世紀下半葉一部韓延《算術》開頭有「夏侯陽曰」雲雲而誤認為是前者而刻入，後者只好付之闕如)，是世界上首次出現的印刷本數學著作。後來南宋數學家鮑澣之翻刻了這些刻本，有《九章算術》(半部)、《周髀算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張丘建算經》五種及《數術記遺》等孤本流傳到現在，是目前世界上傳世最早的印刷本數學著作。宋元數學家賈憲、李冶、楊輝、朱世傑的著作，大都在成書後不久即刊刻。數學著作藉助印刷術得以空前廣泛的流傳，對傳播普及數學知識，其意義尤為深遠。
宋元數學高潮早在唐中葉已見端倪。隨著商業貿易的蓬勃發展，人們改進籌算乘除法，新、舊《唐書》記載了大量這類書籍，可惜絕大多數失傳，只有韓延(生平不詳)《算術》(8世紀)以《夏侯陽算經》的名義流傳下來，該書提出了若干化乘除為加減的捷演算法，並在運算中使用了十進小數，極可寶貴。
11世紀上半葉賈憲(生平不詳)撰《黃帝九章算經細草》，是為北宋最重要的數學著作。賈憲曾任左班殿直(低級武官)，是當時著名天文學家、數學家楚衍的學生。還著有《演算法𢽾古集》二卷，已佚。他將《九章算術》未離開題設具體對象甚至數值的術文大都抽象成一般性術文，提高了《九章算術》的理論水平;他對某些類型的數學問題進行概括，比如提出開方作法本源即賈憲三角，作為他提出的立成釋鎖(即開方)法的算表，這是開方問題的綱;他提出了若干新的重要方法，其中最突出的是創造增乘開方法，並提出了開四次方的程序。賈憲的思想與方法對宋元數學影響極大，是宋元數學的主要推動者之一。《黃帝九章算經細草》因被楊輝《詳解九章演算法》抄錄而大部分保存了下來(闕卷一、二及卷三上半部，卷五的一部分)。
大科學家沈括(公元1031—1095年)對數學有獨到的貢獻。在《夢溪筆談》中首創隙積術，開高階等差級數求和問題之先河，又提出會圓術，首次提出求弓形弧長的近似公式。
12世紀北宋劉益(生平不詳)撰《議古根源》，亦失傳。楊輝《田畝比類乘除捷法》引用了它的若干題目與方法。《綴術》失傳之後，開方式的系數仍皆為正數，劉益突破了這個限制，首先引入負系數方程，並創造了益積開方術與減從開方術求其正根，楊輝譽之為「實冠前古」。
1127年金朝入主中原，趙宋南遷，史稱南宋。1234年，蒙古貴族滅金，後來建立元朝。1279年元滅南宋，佔領中國。13世紀中葉至14世紀初，是宋元數學高潮的集中體現，也是中國歷史上留下重要數學著作最多的半個世紀，並形成了南宋統治下的長江中下游與金元統治下的太行山兩側兩個數學中心。
南方中心以秦九韶、楊輝為代表，以高次方程數值解法、同餘式解法及改進乘除捷演算法的研究為主。北方中心則以李冶為代表，以列高次方程的天元術及其解法為主。元統一中國後的朱世傑，則集南北兩個數學中心之大成，達到了中國籌算的最高水平。
1247年秦九韶撰成《數書九章》18卷。秦九韶，字道古，自稱魯郡(今山東省)人，約1202年生於普州安岳縣(今四川省)。他生活在宋元激烈斗爭的南宋末年，並捲入了南宋統治集團戰和兩派的斗爭，支持抗戰派吳潛，屢遭劉克庄等人彈劾。賈似道專權後被貶到梅州(今廣東省)，不久(約公元1261年)死於任所，並在死後被追隨賈似道的周密丑詆不堪。他天資聰明好學，對數學、天文、土木建築、詩詞、音律、弓馬等都十分精通。他多次呼籲統治者施仁政，並把數學知識看成開源節流、施仁政、利國利民的有力工具。《數書九章》分大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易九類81題，其成就之大，題設之復雜都超過以往算經，有的問題有88個條件，有的答案多達180條，軍事問題之多也是空前的，反映了秦氏對抗元戰爭的關注。大衍總數術系統解決了一次同餘式組解法;正負開方術把以增乘開方法為主導的求高次方程正根的方法發展到十分完備的程度，有的方程高達十次;線性方程組解法完全以互乘相消法取代直除法;提出了與海倫公式等價的三斜求積公式;使用了完整的十進小數表示法，等等，都是其傑出成就。
楊輝共撰五部數學著作，傳世的有四部，居元以前數學家之冠。楊輝，字謙光，錢塘(今杭州市)人，生平不詳，只知在今江浙一帶管錢糧，為政清廉。與其他大家比較，他的著作偏重於教育與普及。1261年，楊輝在劉徽注、李淳風等注釋、賈憲細草的《九章算術》基礎上作解題、比類，並補充了圖、乘除、纂類三卷，是為《詳解九章演算法》，今圖、乘除、方田、粟米、衰分上半部、商功之一部分已佚。商功章的比類中的垛積術發展了沈括的隙積術;「纂類」則打破了《九章算術》的分類格局，按方法分成乘除、互換、合率、分率、衰分、疊積、盈不足、方程、勾股九類。1262年又撰《日用演算法》，著重於改進乘除捷演算法，只有少量題目保存下來。1274年撰《乘除通變本末》三卷。卷上的「習算綱目」是一個從啟蒙到《九章》主要方法的數學教學計劃。本書還總結了九歸等乘除捷演算法及其口訣。次年編纂《田畝比類乘除捷法》二卷，引用了劉益的方法與題目，批評了《五曹算經》四不等田求法的錯誤。同年，編纂《續古摘奇演算法》二卷，對縱橫圖即幻方研究頗有貢獻。後三部書又常合稱為《楊輝演算法》。
十二、十三世紀，北方出現了許多天元術著作，大都失傳，流傳至今的最早的以天元術為主要方法的著作是李冶的《測圓海鏡》12卷(公元1248年)、《益古演段》三卷(公元1259年)。李冶(公元1192—1279年)，字仁卿，號敬齋，真定欒城(今河北省)人，生於大興(今北京市)。其父為官清廉正直，李冶自幼受到良好的教養，且愛好數學，青年時便成為名重中原的學者，金詞賦科進士。入元，遂隱居於忻、崞〔guo郭〕(今山西省北部)一帶，在極為艱苦的條件下研究數學及各種學問，常粥𫘸〔zhan氈〕不繼，而聚書環堵。1251年起，主持封龍書院(今河北省)。1257、1260年兩次受到元主忽必烈召見，發表了立法度，正綱紀，進君子，退小人，減刑罰，止征戰，反對種族偏見的政治主張。他被聘為翰林學士。然而他羞於作唯天子、宰相之命是聽的御用文人，不久便以老病為辭回到封龍山。他一生文史著述頗多，僅存《敬齋古今黈》。《測圓海鏡》在洞淵九容基礎上考慮了勾股形與圓的10種基本關系，在卷二一十二中就15個勾股形與圓的關系提出了170個求圓徑長的問題，答案當然都相同。這些問題大都要用天元術列出方程。卷一是全書的理論基礎，包括圓城圖式、識別雜記等部分。圓城圖式以天、地、乾、坤等漢字表示點，是個創舉。識別雜記提出692條公式，除八條外都是正確的，集歷代勾股形與圓的關系研究之大成。《益古演段》64問，這是一部用天元術闡釋蔣周(可能是北宋人)《益古集》的方程列法的著作。其中保存了《益古集》的若干題目和舊術(方法)。
朱世傑有兩部重要著作《算學啟蒙》(公元1299年)、《四元玉鑒》(公元1303年)傳世。朱世傑，字漢卿，號松庭，燕山(今北京市)人，生平不詳。他在13世紀末以數學名家周遊全國20餘年，向他學習數學的人很多。《算學啟蒙》20門，259問，包括了從乘除及其捷演算法到增乘開方法、天元術等當時數學各方面的內容，形成了一個較完整的體系。《四元玉鑒》24門，288問，卷首給出古法七乘方圖(改進了的賈憲三角)等四種五幅圖，以及天元術、二元術、三元術、四元術的解法範例。創造四元消法，解決了多元高次方程組問題，以及高階等差級數求和問題，高次招差法問題，是本書最大的貢獻。此書是中國古代水平最高的數學著作。
楊輝、朱世傑等人對籌算乘除捷演算法的改進、總結，導致了珠算盤與珠算術的產生(大約在元中葉)，完成了我國計算工具和計算技術的改革。元中後期，又出現了《丁巨演算法》、賈亨《演算法全能集》、何平子《詳明演算法》等改進乘除捷演算法的著作。
明清數學——從衰落到艱難的復興
元中葉之後，中國數學急劇衰落，元末的幾部著作只是對乘除捷演算法有所改進。明永樂年間(公元1403—1425年)修《永樂大典》，將前此的中國數學著作按起源、各種數學方法及音義、纂類等分類抄錄。漢唐宋元數學著作在明代大都散佚，清中葉修《四庫全書》，中國古算書多賴此重新面世。
明代八股取士，思想禁錮嚴重，學者們很少留心數學。顧應祥、唐順之是明代數學大家，全然不懂天元術和增乘開方法。景泰元年(公元1450年)吳敬撰《九章演算法比類大全》十卷，收集歷代應用題，亦拋棄了增乘開方法和天元術。元明之後，隨著籌算捷演算法的完備，珠算術產生並得到普及，明朝出現了一批有關珠算的著作。其最著者為程大位的《演算法統宗》(公元1592年)，凡17卷，595問。此書適應商業發展的需要，以珠算為主要計算工具，並載有珠算開方法。此書在以後二、三百年問被多次翻刻、改編，流傳之廣是罕見的。程大位，字汝思，號渠賓，休寧(今黃山市屯溪區)人，曾在長江中下游地區經商，注意收集算經和數學問題，晚年撰成此書。
16世紀末，利瑪竇等歐洲傳教士來華，與徐光啟等一起翻譯《幾何原本》等著作。後來，傳教士們又引入了三角學、對數等西方初等數學，從此，中國數學開始了中西會通的階段。清朝260餘年，留下數學著作極多，都在不同程度上融會中西數學。
清宣城梅文鼎(公元1633—1721年)潛心於中西數學研究，著述甚多，其孫梅瑴成將他的著作編輯成《梅氏叢書輯要》60卷，其中數學著作13種40卷，內容遍及當時中國數學的各個門類，對清朝數學影響極大。
康熙皇帝愛好數學，他御定由梅瑴成、何國宗、明安圖、陳厚耀等編纂的《數理精蘊》53卷，全面系統地介紹了當時傳入的西方數學知識。上編立綱明體，為數理本源、幾何原本、算術原本等五卷;下編分條致用，為實用數學和借根方比例，以及對數、三角函數等40卷，表4種8卷，同樣對清朝數學產生了巨大影響。此書於雍正元年(公元1723年)印行。
1723年，雍正帝即位，認為傳教士不利於自己的統治，除少數供職於欽天監者外，將傳教士悉數趕到澳門。此後，西學的傳入遂告一段落，中國數學家一方面消化前此傳入的數學知識，一方面忙於整理中國古典數學著作。
1773年乾隆帝決定修《四庫全書》，戴震(公元1724—1777年)從《永樂大典》中輯出《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《五經算術》以及贗本《夏侯陽算經》等七部漢唐算經，並加校勘，《數書九章》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》等久佚的宋元算書也陸續輯出或發現，從此掀起了乾嘉時期(公元1736—1820年)研究整理中國古典數學的熱潮。古書注釋以李潢(?—公元1812年)《九章算術細草圖說》、羅士琳(公元1789—1853年)《四元玉鑒細草》影響較大。而開創性的研究則以焦循(公元1763—1820年)《里堂學算記》、汪萊(公元1768—1813年)《衡齋算學》、李銳(公元1768—1817年)《李氏算學遺書》最為有名。
18世紀初，法人杜德美(公元1668—1720年)傳入牛頓、格雷果里創造的三個三角函數的級數展開式。後來，三角函數和對數函數展開式的研究成為中國數學家的重要課題。明安圖(17世紀末至18世紀60年代)、董祐誠(公元1791—1823年)、項名達(公元1789—1850年)、戴煦(公元1805—1860年)等都作出了傑出貢獻。李善蘭(公元1811—1882年)的《方圓闡幽》、《弧矢啟秘》、《對數探源》(公元1845年)在三角函數與對數函數的研究上取得了更大的成就。他創造的尖錐術提出了幾個相當於定積分的公式，在接觸西方微積分思想之前獨立地接近了微積分學。李善蘭，字壬叔，號秋紉，浙江海寧人。幼年即嗜好數學，30餘歲即獲創造性成果。
1840年，列強用大炮轟開了清朝閉關自守的大門，中國逐漸淪為半封建半殖民地社會。西方數學以前所未有的規模大量傳入。1852年李善蘭到上海，與英國傳教士偉烈亞力(公元1815—1887年)合譯《幾何原本》後九卷、《代數學》13卷、《代微積拾級》18卷等許多西方數學著作，後者是中國第一部微積分學譯著。後來，華衡芳(公元1833—1902年)與英人傅蘭雅合譯了《代數術》、《微積溯源》、《三角數理》、《決疑數學》等書，後者是中國第一部概率論譯著。他們創造的許多術語至今還在使用。李善蘭還融會中西，著述頗豐。《橢圓正術解》等四種是關於圓錐曲線的研究，《級數回求》等是關於冪級數的研究，而《垛積比類》則在朱世傑基礎上系統解決了高階等差級數求和問題，並提出了著名的李善蘭恆等式。1872年撰《考數根法》，證明了費爾馬小定理，提出了素數判定法則。他的著作匯集為《則古昔齋算學》，包括14種科學著作。李善蘭是開展現代數學研究的第一位中國數學家。然而，總的說來，時處清末，經濟衰落，社會動盪，有志於現代數學的人沒有與現代工程技術結合的條件，不可能有大量可觀的成果，而士大夫階層更多的人抱有西學為我中華所固有的偏見，不求甚解。此後不久，尤其是維新變法和新文化運動之後，中國古代數學傳統基本中斷，中國數學研究納入了統一的現代數學。20世紀是中國數學復興的世紀，人們期待，在下個世紀中國將重新取得數學大國的地位。

Ⅵ 中國古代的數學教育

數學作為一門應用性非常強的基礎學科，無論天文、水利、建築，乃至商業、日常生活，都須臾離不開。如果沒有相應的數學教育，中國不可能長時間在世界上保持文明的領先地位。
事實上，中國早就存在數學教學，並逐漸形成了比較系統的數學教育制度。西周時期針對貴族子弟開設的教學科目「六藝」中的「數」，便是一種早期的數學教育，而平民所學習的「小藝」中，也包含了「數」。到南北朝時期，中國數學蓬勃發展，《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作相繼問世。同時，數學教育也有較大發展，北魏在中央官學中專門開設的「算學」，可算是世界上最早開設的數學專科學校。這意味著算學被列為基本的國學之一。
隋唐時期，中國首次建立起正式的數學教育制度。隋文帝時期，中國在國子監設立了算學館，在算學館設算學
博士1人，助教2人，學生8人，並制定了專用的數學教材《算經十書》對學生進行講授。唐貞觀年間，算學教育規模進一步擴大，專門設博士2人，助教1人，學生30人，八品以下子弟以及庶人喜歡算學、年齡在14-19歲之間者都可入學，學習期限9年。
從公元11世紀到14世紀的宋元時期，是以籌算為主要工具的中國古代數學的鼎盛時期。在此期間，涌現出一批傑出的數學家和數學著作，中國數學達到最高境界，與當時的阿拉伯數學一道居於世界領先地位。而在數學教育方面，在科舉考試及太學、國子監等學校中都有專門的算學考試。14世紀中後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度削減數學內容。失去國家的政策鼓勵之後，數學教育也出現衰退，自此，中國古代數學便開始衰退，落後於世界了。

Ⅶ 中國古代的數學教育是怎麼樣的

數學作為一門應用性非常強的基礎學科，無論天文、水利、建築，乃至商業、日常生活，都須臾離不開。如果沒有相應的數學教育，中國不可能長時間在世界上保持文明的領先地位。
事實上，中國早就存在數學教學，並逐漸形成了比較系統的數學教育制度。西周時期針對貴族子弟開設的教學科目「六藝」中的「數」，便是一種早期的數學教育，而平民所學習的「小藝」中，也包含了「數」。到南北朝時期，中國數學蓬勃發展，《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作相繼問世。同時，數學教育也有較大發展，北魏在中央官學中專門開設的「算學」，可算是世界上最早開設的數學專科學校。這意味著算學被列為基本的國學之一。
隋唐時期，中國首次建立起正式的數學教育制度。隋文帝時期，中國在國子監設立了算學館，在算學館設算學
博士1人，助教2人，學生8人，並制定了專用的數學教材《算經十書》對學生進行講授。唐貞觀年間，算學教育規模進一步擴大，專門設博士2人，助教1人，學生30人，八品以下子弟以及庶人喜歡算學、年齡在14-19歲之間者都可入學，學習期限9年。
從公元11世紀到14世紀的宋元時期，是以籌算為主要工具的中國古代數學的鼎盛時期。在此期間，涌現出一批傑出的數學家和數學著作，中國數學達到最高境界，與當時的阿拉伯數學一道居於世界領先地位。而在數學教育方面，在科舉考試及太學、國子監等學校中都有專門的算學考試。14世紀中後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度削減數學內容。失去國家的政策鼓勵之後，數學教育也出現衰退，自此，中國古代數學便開始衰退，落後於世界了。

Ⅷ 中國古代的高等數學成就

《九章算術》在中國古代數學發展過程中佔有非常重要的地位。它經過許多人整理而成，大約成書於東漢時期。全書共收集了246個數學問題並且提供其解法，主要內容包括分數四則和比例演算法、各種面積和體積的計算、關於勾股測量的計算等。在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同。注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點。該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲。

《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系的正式形成。

中國古代數學在三國及兩晉時期側重於理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物。

趙爽是三國時期吳人，在中國歷史上他是最早對數學定理和公式進行證明的數學家之一，其學術成就體現於對《周髀算經》的闡釋。在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現「割補原理」的方法。用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻。三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，並且多有創造。其發明的「割圓術」（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——「3927/1250（3.1416）」。他設計的「牟合方蓋」的幾何模型為後人尋求球體積公式打下重要基礎。在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了「陽馬術」。另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著。

南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期，計有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世。

祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性。他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步。根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點後第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，並求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內的最佳值；歐洲直到16世紀德國人鄂圖（Otto）和荷蘭人安托尼茲（Anthonisz）才得出同樣結果。②祖暅在劉徽工作的基礎上推導出球體體積公式，並提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等（「冪勢既同則積不容異」）定理；歐洲17世紀義大利數學家卡瓦列利（Cavalieri）才提出同一定理……祖氏父子同時在天文學上也有一定貢獻。

隋唐時期的主要成就在於建立中國數學教育制度，這大概主要與國子監設立算學館及科舉制度有關。在當時的算學館《算經十書》成為專用教材對學生講授。《算經十書》收集了《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》等10部數學著作。所以當時的數學教育制度對繼承古代數學經典是有積極意義的。

公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時，在世界上最早提出了等間距二次內插公式；唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發展為不等間距二次內插公式。

從公元11世紀到14世紀的宋、元時期，是以籌算為主要內容的中國古代數學的鼎盛時期，其表現是這一時期涌現許多傑出的數學家和數學著作。中國古代數學以宋、元數學為最高境界。在世界范圍內宋、元數學也幾乎是與阿拉伯數學一道居於領先集團的。

賈憲在《黃帝九章演算法細草》中提出開任意高次冪的「增乘開方法」，同樣的方法至1819年才由英國人霍納發現；賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的「巴斯加三角」是類似的。遺憾的是賈憲的《黃帝九章演算法細草》書稿已佚。

秦九韶是南宋時期傑出的數學家。1247年，他在《數書九章》中將「增乘開方法」加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材於實踐的高次方程的解法（最高為十次方程）。16世紀義大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同餘式理論進行過研究。

李冶於1248年發表《測圓海鏡》，該書是首部系統論述「天元術」（一元高次方程）的著作，在數學史上具有里程碑意義。尤其難得的是，在此書的序言中，李冶公開批判輕視科學實踐活動，將數學貶為「賤技」、「玩物」等長期存在的士風謬論。

公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章演算法》中用「垛積術」求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了「九歸捷法」，介紹了籌算乘除的各種運演算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時歷》時，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當於現在球面三角的兩個公式。

公元1303年，元代朱世傑（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把「天元術」推廣為「四元術」（四元高次聯立方程）,並提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（Bezout）才提出同樣的解法。朱世傑還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（Gregory）和公元1676一1678年間牛頓（Newton）才提出內插法的一般公式。

14世紀中、後葉明王朝建立以後，統治者奉行以八股文為特徵的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數學內容，於是自此中國古代數學便開始呈現全面衰退之勢。

明代珠算開始普及於中國。1592年程大位編撰的《直指演算法統宗》是一部集珠算理論之大成的著作。但是有人認為，珠算的普及是抑制建立在籌算基礎之上的中國古代數學進一步發展的主要原因之一。

由於演算天文歷法的需要，自16世紀末開始，來華的西方傳教士便將西方一些數學知識傳入中國。數學家徐光啟向義大利傳教士利馬竇學習西方數學知識，而且他們還合譯了《幾何原本》的前6卷（1607年完成）。徐光啟應用西方的邏輯推理方法論證了中國的勾股測望術，因此而撰寫了《測量異同》和《勾股義》兩篇著作。鄧玉函編譯的《大測》［2卷］、《割圓八線表》［6卷］和羅雅谷的《測量全義》［10卷］是介紹西方三角學的著作。

Ⅸ 我國古代的教學怎樣教函數

中國古代沒有函數的概念，教學也就無從談起
十六世紀，隨著歐洲過渡到新的資本主義生產方式，迫切需要天文知識和力學原理。當時，自然科學研究的中心轉向對運動、對各種變化過程和變化著的量之間依賴關系的研究。數學研究也從常量數學轉向了變數數學。數學的這個轉折主要是由法國數學家笛卡爾完成的，他在《幾何學》一文中首先引入變數思想，稱為「未知和未定的量」，同時引入了兩個變數之間的相依關系。這便是函數概念的萌芽。十七世紀，在對各種各樣運動的研究中，人們愈來愈感到需要有一個能准確表示各種量之間關系的數學概念。經過深思熟慮，人們從笛卡爾的變數思想中得到啟示，從而引出了函數概念。據考證，十七世紀中葉，微積分的創始人之一德國數學家萊布尼茲最先使用函數（function）這個名詞。不過，他指的是變數x的冪x，x，…等等。後來才逐步擴展到多項式函數、有理函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數以及由它們的四則運算、各種復合所形成的初等函數。這些函數都是具體的，都有解析表達式，並且和曲線緊密聯系在一起。那時的函數就是表示任何一個隨著曲線的點的變動而變化的量。至此，還沒有函數的一般定義。

十八世紀初，貝努利最先擺脫具體的初等函數的束縛，給函數一個抽象的不用幾何形式的定義：「一個變數的函數是指由這個變數和常量的任何一種方式構成的一個量。」歐拉則更明確地說：「一個變數的函數是該變數和常數以任何一種方式構成的解析表達式。」函數之間的原則區別在於構成函數的變數與常量的組合方式的不同。歐拉最先把函數的概念寫進了教科書。在貝努利和歐拉看來，具有解析表達式是函數概念的關鍵所在。

1734年，歐拉用記號y=f( x)表示變數x的函數，其中的「f」取自「function」的第一個字母。

十八世紀中期，由於偏微分方程中的弦振動問題引起了關於函數概念的爭論，迫使數學家接受一個更廣泛的概念。1755年歐拉給函數下了一個新的定義：如果某些量這樣地依賴於另一些量，當後者改變時它經常變化，那麼稱前者為後者的函數。

法國數學家傅立葉的工作更廣泛地展現了函數究竟是什麼的問題，他的工作動搖了十八世紀的信念，那種視函數僅為解析式的觀點作為揭示函數關系真諦的巨大障礙終於排除了。

Ⅹ 賈憲的北宋數學家

賈憲，11世紀前半葉中國北宋數學家。賈憲是中國十一世紀上半葉（北宋）的傑出數學家．曾撰《黃帝九章演算法細草》（九卷）和《演算法古集》（二卷），都已失傳。據《宋史》記載，賈憲師從數學家楚衍學天文、歷算，著有《黃帝九章演算法細草》、《釋鎖算書》等書。賈憲著作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，得以保存下來。
賈憲的主要貢獻是創造了「賈憲三角」和「增乘開方法」。增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的綜合除法，其原理和程序都與它相仿。增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷，又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性．增乘開方法的計算程序大致和歐洲數學家霍納（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。
在中國數學史上賈憲最早發現賈憲三角形。楊輝在所著《詳解九章演算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖，並說明「出釋鎖算書，賈憲用此術」。賈憲開方作法圖就是賈憲三角形。楊輝還詳細解說賈憲還發明的釋鎖開平方法，釋鎖開立方法，增乘開平方法，增乘開立方法。 雖然有關賈憲的資料保存下來的並不完整，但從楊輝緝錄的細草中，我們仍然可以發現他的一些獨到的數學思想和方法，主要有以下兩點。
抽象分析法
在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題時更為突出，他首先提出了「勾股生變十三圖」。他說：「勾股弦並而為和，減而為較，等而為變，為乘，為段，自乘為積，為冪。」十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、勾股較（b-a）、勾弦較（c-a）、股弦較（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、股弦和（b+c）、弦較和（c+（b-a））、弦和和（c+（a+b））、弦和較（（a+b）-c）、弦較教（c-（b-a））。他完備了勾股弦及其和差的所有關系，說這些關系「有用而取，無用不取，立圖而驗之」，說明他已經拋開《九章》算題本身，並對勾股問題進行抽象分析了。
例如「出南北門測邑方」問，《九章》的方法是：術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之為實，並出南門步數為從法，開方除之即邑方。賈憲的方法是：術曰：余勾乘股，倍之為實並二餘勾為從，開方除不。正是掌握了這一方法，才使他能夠使用純數學的方法改寫《九章》術文，給後人留下公式化的解題範例。在方程術等其他章節的細草中，他也廣泛運用了這種方法。
程序化方法
程序化方法主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟。適用於同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的「增乘開方法」和「增乘方求廉法」尤其集中地體現了這一方法，比如少廣章有：「今有積一百八十六萬八百六十七尺，問：為立方幾何？」這是一道對1860867開三次方的問題。賈憲的方法是：草曰：（1）實上商置第一位得數一百。（2）以上商乘下法置廉一百，乘廉為方一萬，除實，訖。（3）復以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三萬。（4）又乘下法入廉共三百。（5）其方一、廉二、下三退定十。（6）再於第一位商數之次，復商第二位得數二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三萬六千四百，命上商除實，訖餘一十三萬二千八百六十七。（7）復以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四萬三千二百尺。（8）又乘下法入廉共三百六十。（9）其方一、廉二、下三退，如前。（10）上商第三位得數三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四萬四千二百八十九，命上商三尺除實，適盡，得立方一面之數。
用現代表述方式體現為：
下法廉方實商
（1）1000000+00-18608671
+1000000+10000001000000
（2）1000000+1000000+1000000-860867
+1000000+2000000
（3）1000000+2000000+3000000
+1000000
（4）1000000+3000000+3000000-860867
1000+30000+300000-8608672
+2000+64000728000
（6）1000+32000+364000-132867
+2000+68000
（7）1000+34000+432000
+2000
（8）1000+36000+432000-132867
1+360+43200-1328673
+3+1089+132867
（10）1+363+442890
我們注意到這個開立方過程，已經形成了固定的程序。當代學者研究發現，程序化的數學思想方法是中國古代數學的重要特點，而賈憲的工作則使得開方程序系統化、規范化。賈憲的數學方法論，對宋元數學家產生了深遠影響，縱觀「宋元四大家」，莫不從中汲取精髓。 賈憲是否從事過數學教學工作，我們不得而知，但就宋初私學活躍以及數學地位而言，不能排除他傳授數學知識的可能性，「憲運算亦妙，有書傳於世」當可佐證。我們知道，古代學者著書立說目的之一就是教育世人，因此我們有理由探討賈憲的數學教育思想。仔細研究細草，從中可以發現其數學教育思想的閃光之處。
重視抽象
「增乘開方法」的兩例細草中，可以清楚的看到，剔除數字後得到的就是運演算法則。而且這種細草方式是貫穿其著述（就現存而言）始終的。賈憲之所以這樣做，應該是深受中國古代早已有之的「授人以魚不如授人以漁」的教育思想影響。據現在所知，《黃帝九章算經細草》約成書於1050年前後，此書出版後，在社會上流傳較廣，在一定程度上逐漸代替了《九章算術》。南宋鮑浣之於1200年說：「自衣冠南渡以來,此學(指算學)既廢，非獨好之者寡，而《九章算經》亦幾泯沒無傳矣。近世民間之本，題之曰《黃帝九章》……」這也是當時社會對其數學教育思想的認可。
注重概括
賈憲在給出「立成釋鎖開方法」之後，又提出「增乘方求廉法」並給出六階賈憲三角，解釋開各次方之間的聯系。討論勾股問題則先論「勾股生變十三圖」，而後談論問題的解法，給人以清晰的體系感。他的這些嘗試,都體現了對知識綱要的重視。郭書春先生認為，這是賈憲「列出概括性理論」，「是演繹邏輯的一種發展」。體現在數學教育上，注重對知識綱要的概括，也不失為一種良好的教學方法。
系統思想
現存資料顯示，賈憲沒有涉足劉徽的分數和求微數（即極限理論）領域，他的師兄弟朱吉也曾批評他「棄去余分，於理未盡」。再加上他在《黃帝九章算經細草》中所討論的開方問題未涉及開不盡情況，他甚至把《九章》中有分數解的問題改題設以得整數解。這些跡象表明他的工作是建立在整數集之上的。在此基礎上他提綱挈領的概括了勾股和開方問題，給出了諸多其他問題的一般性解法，從中我們隱約可以看到系統化方法的痕跡。以賈憲的數學知識水平，他不可能不熟知分數，也不會不了解劉徽的求微數思想，只是他對開方開不盡的問題沒有研究透徹。因此在他的著述中才迴避了分數，目的是把自己掌握的數學知識，系統地傳於世人，這在古代數學教育史上是難能可貴的。
發散思維
賈憲討論九章諸類問題時，不是固守前人的思路和演算法，發現了很多新的計算方法。在均輸章中，他提出了「課分法」、「減分法」，以及用「方程術」求差率的方法;在盈不足章中，他提出了「今有術」、「合率術」、「分率術」、「方程術」、「兩不足術」等方法；在「勾股容方」問中，他提出「勾股旁要法」等等。由此可見，賈憲不僅注重概括理論化的研究方法，同時也身體力行地致力於發散性思維的鍛煉，這對於知識的創新是大有裨益的。賈憲對數學教育的系統化、綱領化、普遍化（抽象化）及思維的多樣化都有一套獨到的見解，許多方面是我們可以借鑒的。 《九章算術》是十一世紀以前中國最著名的數學著作，在其流傳過程中，為其做草的人很多。而在數學理論上有突出貢獻的主要是三位數學家----劉徽（論基礎的奠定）、賈憲（理論水平的提高）和楊輝（理論的基本完善），賈憲起著承前啟後的作用。另一方面，魏晉南北朝興起的數學研究熱潮自唐而中斷，賈憲的數學方法論又激發了宋元的數學研究熱潮，他又起到推波助瀾的作用。具體表現在以下兩個方面。
數學思想
賈憲對於《九章算術》中提出的問題，抽象分析，揭示數學本質；藉助程序化，講解方法的原理；提綱挈領，梳理知識脈絡；注重知識系統化，避免產生悖論。這些思想方法對宋元數學家有很深的影響。楊輝著《詳解九章演算法》借鑒了賈憲的抽象和探索成果，對《九章》各題重新纂類。李冶著《測圓海鏡》就繼承並發揚了這些數學方法，建立了一個邏輯嚴密的演繹體系。朱世傑著《四元玉鑒》也用到這些思想方法，成就了我過古代數學史上的巔峰之作。秦九韶著《數術大略》即（《數學九章》）作術而不言具體數字更是師法賈憲，可見其方法論的生命力。當然，這些數學思想方法也並非賈憲獨創，也是歷代數學著述、研究、積累的結果，而賈憲又將其提煉和傳承。 首先，賈憲的「增乘開方法」開創了開高次方的研究課題，後經秦九韶「正負開方術」加以完善，使高次方程求正跟的問題得以解決。加之從李冶的天元術（一元一次或高次方程）到朱世傑的四元術（四元一次或高次方程組）的建立，終於在十四世紀初建立起一套完整的方程學理論，使之成為宋元數學屆最有成就的課題。其次，賈憲三角的給出，開創了高階等差級數求和問題的研究方向，朱世傑從「三角」的每條斜線上發現了「三角垜」、「撒星形垜」等高階等差級數求和公式。第三，「增乘開方法」事實上簡化了籌算程序，並使程序化更加合理，這對後世籌算、捷算乃至於算具的改進是有啟迪意義的。第四，「細草」這一著述形式開創了一種數學研究方法，被後世數學家廣為借鑒。乾嘉學派在保存和整理數學著作時，就曾對一批算書或注釋或細草圖說。