常用的數值計算方法對比

① 除有限單元法外，岩土工程常用到哪些數值方法，並對比其優缺點

岩土工程常用的數值方法包括：有限差分法、邊界元法、離散元法、顆粒元法、不連續變形分析法、流形元法、模糊數學方法、概率論與可靠度分析方法、灰色系統理論、人工智慧與專家系統、神經網路方法、時間序列分析法。
有限單元法的優缺點：有限單元法的理論基礎是虛功原理和基於最小勢能的變分原理，它將研究域離散化，對位移場和應力場的連續性進行物理近似。有限單元法適用性廣泛，從理論上講對任何問題都適用，但計算速度相對較慢。即，物理概念清晰、靈活、通用、計算速度叫慢。
有限差分法：該方法適合求解非線性大變形問題，在岩土力學計算中有廣泛的應用。有限差分法和有限單元法都產生一組待解方程組。盡管這些方程是通過不同方式推導出來的，但兩者產生的方程是一致。另外，有限單元程序通常要將單元矩陣組合成大型整體剛度矩陣，而有限差分則無需如此，因為它相對高效地在每個計算步重新生成有限差分方程。在有限單元法中，常採用隱式、矩陣解算方法，而有限差分法則通常採用「顯式」、時間遞步法解算代數方程。
邊界元法：該方法的理論基礎是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要離散求解域的邊界，因而得到離散代數方程組中的未知量也只是邊界上的量。邊界元法化微分方程為邊界積分方程，離散劃分少，可以考慮遠場應力，有降低維數的優點，可以用較少的內存解決較大的問題，便於提高計算速度。
離散元法：離散元法的理論基礎是牛頓第二定律並結合不同的本構關系，適用對非連續體如岩體問題求解。該方法利用岩體的斷裂面進行網格劃分，每個單元就是被斷裂面切割的岩塊，視岩塊的運動主要受控於岩體節理系統。它採用顯式求解的方法，按照塊體運動、弱面產生變形，變形是接觸區的滑動和轉動，由牛頓定律、運動學方程求解，無需形成大型矩陣而直接按時步迭代求解，在求解過程中允許塊體間開裂、錯動，並可以脫離母體而下落。離散元法對破碎岩石工程，動態和准動態問題能給出較好解答。
顆粒元法：顆粒元方法是通過離散單元方法來模擬圓形顆粒介質的運動及其相互作用，它採用數值方法將物體分為有代表性的多個顆粒單元，通過顆粒間的相互作用來表達整個宏觀物體的應力響應，從而利用局部的模擬結果來計算顆粒群群體的運動與應力場特徵。 不連續變形分析方法：該方法是並行於有限單元法的一種方法，其不同之處是可以計算不連續面的錯位、滑移、開裂和旋轉等大位移的靜力和動力問題。此方法在岩石力學中的應用備受關注。
流形元法；該方法是運用現代數學「流形」的有限覆蓋技術所建立起來的一種新的數值方法。有限覆蓋是由物理覆蓋和數學覆蓋所組成的，它可以處理連續和非連續的問題，在統一解決有限單元法、不連續變形分析法和其他數值方法的耦合計算方面，有重要的應用前景。
無單元法：該方法是一種不劃分單元的數值計算方法，它採用滑動最小二乘法所產生的光滑函數去近似場函數，而且又保留了有限單元法的一些特點。它只要求結點處的信息，而不需要也沒有單元的信息。無單元法可以求解具有復雜邊界條件的邊值問題，如開裂問題，只要加密離散點就可以跟蹤裂縫的傳播。它在解決岩石力學非線性、非連續問題等方面具有重要價值和發展前景。
混合法：對於復雜工程問題，可採用混合法，即有限單元法、邊界元法、離散元法等兩兩耦合來求解。
模糊數學方法：模糊理論用隸屬函數代替確定論中的特徵函數描述邊界不清的過渡性問題，模糊模式識別和綜合評判理論對多因素問題分析適用。 概率論與可靠度分析方法：運用概率論方法分析事件發生的概率，進行安全和可靠度評價。對岩土力學而言，包括岩石（土）的穩定性判斷、強度預測預報、工程可靠度分析、頂板穩定性分析、地震研究、基礎工程穩定性研究等。
灰色系統理論：以「灰色、灰關系、灰數」為特徵，研究介於「黑色」和「白色」之間事件的特徵，在社會科學及自然科學領域應用廣泛。岩土力學中，用灰色系統理論進行岩體分類、滑坡發生時間預測、岩爆分析與預測、基礎工程穩定性、工程結構分析，用灰色關聯度分析岩土體穩定性因素主次關系等。
人工智慧與專家系統：應用專家的知識進行知識處理、知識運用、搜索、不確定性推理分析復雜問題並給出合理的建議和決策。岩石力學中，可進行如岩土（石）分類、穩定性分析、支護設計、加固方案優化等研究。 神經網路方法：試圖模擬人腦神經系統的組織方式來構成新型的信息處理系統，通過神經網路的學習、記憶和推理過程進行信息處理。岩石力學中，用於各種岩土力學參數分析、地應力處理、地壓預測、岩土分類、穩定性評價與預測等。
時間序列分析法：通過對系統行為的漲落規律統計，用時間序列函數研究系統的動態力學行為。岩石力學中，用於礦壓顯現規律研究、岩石蠕變、岩石工程的位移、邊坡和硐室穩定性等、基礎工程中降水、開挖、沉降變形等與時間相關的問題。

② 計算物理學中常用的數學方法有哪些

計算物理學是一門新興的邊緣學科。利用現代電子計算機的大存儲量和快速計算的有利條件，將物理學、力學、天文學和工程中復雜的多因素相互作用過程，通過計算機來模擬。如原子彈的爆炸、火箭的發射，以及代替風洞進行高速飛行的模擬試驗等。
理論物理是從一系列的基本物理原理出發，列出數學方程，再用傳統的數學分析方法求出解析解，通過這些解析解所得到的結論和實驗觀測結果進行對比分析，從而解釋已知的實驗現象並預測未來的發展。
隨著計算機技術的飛速發展和計算方法的不斷完善，計算物理學在物理學進一步發展中扮演著越來越重要的不可替代的角色，計算物理學越來越經常地與理論物理學和實驗物理學一起被並稱為現代物理學的三大支柱。很難想像一個21世紀的物理系畢業生，不具備計算物理學的基本知識，不掌握計算物理學的基本方法。
它主要包括在傳統物理課題中常用的數值計算方法(如偏微分方程的數值求解方法、計算機模擬方法中的隨機模擬方法-蒙特卡羅方法和確定性模擬--分子動力學方法以及神經元網路方法)以及計算機符號處理等內容。

③ 什麼是有限元法和有限差分法

有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。

有限差分方法（finite difference method）一種求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解的方法，簡稱差分方法。

(3)常用的數值計算方法對比擴展閱讀：

有限差分法（FDM）的起源，討論其在靜電場求解中的應用。以鋁電解槽物理模型為例，採用FDM對其場域進行離散，使用MATLAB和C求解了各節點的電位。由此，繪制了整個場域的等位線和電場強度矢量分布。同時，討論了加速收斂因子對超鬆弛迭代演算法迭代速度的影響，以及具有正弦邊界條件下的電場分布。

有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。

該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。

該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

④ 數值計算方法的主要研究對象有哪些其常用基本演算法主要包括哪三個方面

數值計算方法的主要研究對象：研究各種數學問題的數值方法設計、分析、有關的數學理論和具體實現。其常用基本演算法在數值分析中用到迭代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法及共軛梯度法等等。在計算矩陣代數中，大型的問題一般會需要用迭代法來求解。

許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題，而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解，此轉換過程稱為離散化。

例如求一個函數的積分是一個連續模型的問題，也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分，就變成將上述面積用許多較簡單的形狀（如長方形、梯形）近似，因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。

(4)常用的數值計算方法對比擴展閱讀

數值分析也會用近似的方式計算微分方程的解，包括常微分方程及偏微分方程。

常微分方程往往會使用迭代法，已知曲線的一點，設法算出其斜率，找到下一點，再推出下一點的資料。歐拉方法是其中最簡單的方式，較常使用的是龍格－庫塔法。

偏微分方程的數值分析解法一般都會先將問題離散化，轉換成有限元素的次空間。可以透過有限元素法、有限差分法及有限體積法，這些方法可將偏微分方程轉換為代數方程，但其理論論證往往和泛函分析的定理有關。另一種偏微分方程的數值分析解法則是利用離散傅立葉變換或快速傅立葉變換。

⑤ 結構動力響應的數值計算方法主要有哪些

數值計算導數的方法很多，
常用的有插值型求導公式用於求某點上導數，樣條求導公式用於求利用插值的結果擬合出的結果。一般有3點公式或者5點公式。
一般可以根據需要自己構造求導的演算法，這些求導演算法都可以用來算梯度。
Matlab中可以直接用del命令計算高度矩陣的表面梯度。
對應不同的情況，可以有各種各樣的方法。

⑥ 有限元法和數值分析法有什麼區別

有限元法是數值分析法中的一種，是一套求微分方程的系統化數值計算方法，是解決力學問題比較有效的數值計算方法，是將數值計算轉換為矩陣計算，有利於計算機運算。數值分析法就是構造一個比較簡單的函數關系，來求解方程的近似值。

⑦ 數值方程與數值模擬

常用的數值計算方法有有限差分法和有限單元法。由於有限單元法中的集中儲量有限元方法較通常的有限元法具有更多的優點，而且在邊界條件的處理上，集中儲量有限元法比有限差分法更符合實際，它考慮了邊界節點的均衡單元的儲水量變化（吳金全，1989）。

圖1.4.3 均衡區域示意圖

（一）集中貯量有限元公式推導

取單位水平面積、高度為計算層厚度的土柱進行研究（圖1.4.3），將土柱（計算區域）垂直向上剖分為n個單元，空間步長為Δz，節點編號為0，1，2，…，n-1，n，在Δt時段內（Δt=t^j+1>-t^j），對任一內節點i所代表的均衡區z_i-1/2到z_i+1/2（圖1.4.3）之間的土體列水量均衡方程（暫先不考慮極系吸水項）。

1.內節點（i=1，2，…，n-1）

由達西定律

（h 方程）得：

（1）通過z_i-1/2斷面的水流通量（流入量）為：

土壤水鹽運移數值模擬

（2）通過z_i+1/2斷面的水流通量（流出量）為：

土壤水鹽運移數值模擬

（3）均衡區域Δz內儲水量的變化量（增量）為：

土壤水鹽運移數值模擬

根據質量守恆原理（流入量-流出量=儲存量的變化量）得：

Δq_i=q_i-1/2-q_i+1/2 （1.4.19）

將式（1.4.16）、式（1.4.17）、式（1.4.18）、式（1.4.19）代入得：

土壤水鹽運移數值模擬

式（1.4.20）中，負壓h及參數C和K在時間上取時段末j+1時刻的值，並整理得：

土壤水鹽運移數值模擬

與有限差分方程比較，集中儲量有限元推導出的有限元方程式（1.4.21）與隱式差分方程（h方程）是完全一致的。因此，具有無條件穩定和收斂的優良特性，故選用隱式差分格式對數學模型進行數值離散。若在時間上取時段中間j+1/2時刻的負壓h及參數C、K，則可得出與Crank-Nicolsen差分格式完全一致的方程。

若考慮源匯項根系吸水項S，則式（1.4.22）變為：

土壤水鹽運移數值模擬

令：

，

，r₃=Δt得：

土壤水鹽運移數值模擬

式中：i=1，2，…，n-1。

令

土壤水鹽運移數值模擬

將式（1.4.24）代入式（1.4.23）得：

土壤水鹽運移數值模擬

2.邊界節點的處理

（1）上邊界節點i=0處的方程為：

土壤水鹽運移數值模擬

式中：

為

，R^j+1/2，為時段平均入滲強度，E^j+1/2為時段平均表土蒸發強度。

令（1.4.26）式中：

土壤水鹽運移數值模擬

則（1.4.27）式變為：

土壤水鹽運移數值模擬

（2）下邊界節點i=n為第一類邊界節點，h_n已知，故不需列方程計算，這樣第n-1個方程可簡化為：

土壤水鹽運移數值模擬

式中：

土壤水鹽運移數值模擬

3.方程組

綜合內節點和邊界節點方程，從而得如下代數方程組：

土壤水鹽運移數值模擬

方程組式（1.4.31）中：b₀、c₀、f₀按式（1.4.27）式計算，f_n-1按式（1.4.30）式計算，其餘α_i、b_i、c_i按式（1.4.24）計算。

方程組式（1.4.31）用矩陣表示可簡化為：

［A］［H］^j+1=［F］ （1.4.32）

式中：［ A］為系數矩陣；［ F］為常數項列陣；［ H］^j+1為求解未知量的列陣。

這樣，通過數值方法將描述土壤水分運動的偏微分方程轉化為求解代數方程組的問題。方程組式（1.4.31）系數矩陣元素滿足α_ij=0（當｜i-j｜＞1 時），為三對角方程組，所以，可用「追趕法」求解。

（二）方程的線性化與土壤水分運動參數的取值

系數矩陣［A］中的各元素由時段末（j+1）時刻的土壤水分運動參數給出，常數項列陣［F］中的元素除含有已知時段初j時刻的負壓h外，還含有時段末（j+1）時刻的土壤水分運動參數。然而土壤水分運動參數本身又是負壓h的函數，因而求解方程組原則上說是非線性的。在利用數值方法求解土壤水分運動方程時，必須將方程線性化，使求解方程組成為線性代數方程組。

因迭代法計算的誤差可以控制，求得的結果較逼近實際，而且一般可允許選用較大的時間步長（雷志棟等，1988），故選用迭代法進行線性化。

首先取時段初的參數如

作為時段末參數

的預報值，然後解方程組［ A］［H］^j+1=［F］，求得時段末各節點負壓h的第一次迭代值

，根據

及K-h曲線可求得土壤水分運動參數

的校正值。以此參數的校正值作為下一次計算的預報值，然後解方程組可得時段末各節點負壓h的第二次迭代值

。重復上述步驟，直到前後兩次迭代值，第p-1次和第p次迭代值滿足下式為止：

土壤水鹽運移數值模擬

式中：e迭代誤差為任意給定得正的小數，一般取e=0.01。

參數的取值，一般的說，用三點式或幾何平均的方法效果較好（雷志棟等，1988），計算也不復雜，這里選用幾何平均的方法：

土壤水鹽運移數值模擬

同理，根據達西定律（

）（θ方程）可以推導出集中儲量有限元公式的θ方程，該方程與隱式差分方程θ方程完全一致，若在時間上取時段中間j+1/2時刻的含水率θ及參數D、K，則可得到與Crank-Nicolsen差分格式（中心差分）完全一致的方程。θ方程與h方程的求解方法完全一樣，由於本文所研究的是雙層結構問題，而在分界面處θ不連續、h連續，所以選用h方程進行計算，因此對於θ方程這里就不做推導了。

（三）數值模擬

1.模型驗證

進行數值模擬，首先進行模型驗證。模型驗證時，上邊界條件表達式中的θ₁₀由實際觀測資料給出。根據有作物生長條件下土壤水分運動的基本方程和差分方程，在已知初始條件和邊界條件時，模型驗證可以通過以下步驟進行：①根據實測初始負壓剖面的分布，用三次樣條插值給出各節點上的初始值；②計算蒸發量E；③計算根系吸水層厚度L_r及吸水率S；④根據差分方程計算時段末負壓值h。

模型驗證時，以計算起始時刻的實測負壓剖面（或含水率剖面）作為初始剖面，空間步長選用1cm，根據最底部負壓計測點和中子儀測點，剖面深度為120cm（含水率剖面為130cm），時間步長選用1h，迭代相對誤差e≤0.01。計算中輸入的大量信息，如各節點的初始負壓值、降雨量、降雨日期、水面蒸發強度、根層土壤含水率等均以數據文件的形式提供。由於大田蓋200kg/畝和蓋600kg/畝只進行了含水率觀測，計算時先將含水率θ轉化為負壓h，計算結束後再將負壓h轉化為θ。大田蓋400kg/畝有負壓資料，可直接用負壓h計算。上邊界條件由E/E₀-θ關系給出。數值模擬按覆蓋量（200、400、600kg/畝），分生育階段（400kg/畝）進行，模擬計算在PC機上完成。主要模擬的試驗處理有；擬合曲線見圖1.4.4。

（1）I-2蓋200kg/畝，模擬時間為7月31日至8月30日，共31天。

（2）I-3蓋400kg/畝，模擬時間為苗期：6月25日至7月30日，共26天；拔節：7月21日至8月10，共21天；灌漿-成熟：8月11日至9月17日，共38天。

（3）I-4蓋600kg/畝，模擬時間為7月31日至8月30日，共31天。

2.模型驗證結果及討論

根據描述土壤水分運動的定解問題，通過數值模擬可以得到土壤水分運動的動態過程，並用實測結果對模型進行驗證。如果數學模型能夠描述實際的物理過程，排除隨機因素外，模擬得到的土壤水分動態過程（模擬值）與實際觀測得到的土壤水分動態過程（實測值）應該完全吻合。比較圖1.4.4，從圖中可以看出，模擬值與實測值吻合較好，表明本文提出的考慮秸稈覆蓋有作物生長條件下的模型是可靠的，以上討論的數值方法是可行的。不同覆蓋量、不同生育階段，可以用不同的E/E₀-θ經驗公式來反映覆蓋對水分運移的影響。因此，本文提出的模型和數值方法可以用來模擬秸稈覆蓋條件下田間土壤水分的運動，可對田間土壤水分動態作中短期預報。

圖1.4.4 實測值與模擬值對比圖

3.模型的應用——預報

數值模擬的目的之一就是進行預報，根據氣象部門提供的降雨量及水面蒸發強度等氣象資料，使用驗證過的模型進行田間土壤水分動態預報。本文使用實際發生過的降雨量及水面蒸發強度系列資料進行預報，用實測負壓資料檢驗預報結果。程序的運行見圖1.4.5。檢驗的實測資料選用大田覆蓋400kg/畝的資料，分生育階段（苗期、拔節、灌漿-成熟）進行。從圖1.4.6可以看出，預報值和實測值吻合較好。

圖1.4.5 雙層結構有根系吸水項垂向一維土壤水數值模擬框圖

圖1.4.6 預報值與實測值對比圖（大田蓋400kg/畝）

⑧ 計算方法這門課主要學什麼

計算方法這門課主要學現代科學計算中常用的數值計算方法及其原理。

計算方法是信息與計算科學專業的一門主要專業基礎課程。使學生學習並掌握現代科學計算中常用的數值計算方法及其原理。

包括線性方程組的數值解、非線性方程（組）的數值解法、插值法、函數的最佳一致逼近與最佳平方逼近、曲線擬合、數值積分與數值微分、常微分方程的數值解法以及數值求解矩陣的特徵值與特徵向量等。

並通過上機實習熟練數值方法與一些數學軟體的結合運用，達到理論與實踐的和諧統一。為解決科學與工程中的實際問題打好基礎，同時為後繼課程的學習提供必要的知識。

課程性質：

計算方法是數學學科的一個分支，是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的數學課程，也是科學計算的基礎。地位十分重要。授課對象為信息與計算機科學專業第三學期學生，課程總學時60學時。

計算方法是以各類數學問題的數值解法作為研究對象，並結合現代計算機科學與技術為解決科學與工程中遇到的各類數學問題提供基本的演算法。

⑨ 數值分析,方程求根時,牛頓法,迭代法,二分法的計算量比較

計算量從大到小依次是:二分法,迭代法,牛頓法.

⑩ 有限元法，有限差分法和有限體積法的區別

1. 有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用於以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用於以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。

2. 有限差分方法（finite difference method）一種求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解的方法，簡稱差分方法。

3. 有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積法的基本方法。