圓周卷積計算方法例題

㈠ 兩個長度為3的序列計算長度為4的圓周卷積怎麼計算

x1=[1 0 -1 2],長度L1=4

x2=[2 0 0 0 1],長度L2=5

首先是線性卷積,很簡單,本質就是多項式乘法,結果是：

[2 0 -2 4 1 0 -1 2]

線性卷積的長度是L1+L2-1,此處就是8,要求7點圓周卷積,就是把上面結果的最後一位拿下來加到前面第一位,就是：

[4 0 -1 4 1 0 -1]

若要N點線性卷積等於圓周卷積,只有N大於等於線性卷積的長度,這樣就不必截下尾巴再添加到頭上了。

所以就是N>=L1+L2-1,

即N>=8

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演算法

離散信號的圓周卷積可以經由圓周卷積定理使用快速傅立葉變換（FFT）而有效率的計算。因此，若原本的（線性）卷積能轉換成圓周卷積來計算，會遠比直接計算更快速。

考慮到長度L 和長度 M 的有限長度離散信號，做卷積之後會成為長度的信號，因此只要把兩離散信號補上適當數目的零（zero-padding）成為N點信號，其中 ，則它們的圓周卷積就與卷積相等。即可接著用N點 FFT 作計算。

用以上方法計算卷積時，若兩個信號長度相差很多，則較短者須補上相當多的零，太不經濟。而且在某些情況下，例如較短的h[n] 是一個 FIR 濾波器而較長的x[n] 是未知長度的輸入（像語音）時，直接用以上方法要等所有的輸入都收到後才能開始算輸出信號，太不方便。

這時可以把x[n] 分割成許多適當長度的區塊（稱為 block convolution），然後一段一段的處理。經過濾波後的段落再仔細的連接起來，藉由輸入或輸出的重疊來處理區塊連接的部份。這兩種做法分別稱為重疊-儲存之卷積法和重疊-相加之卷積法。