等腰三角形学情分析方法

⑴ 如何设置适当的问题，驱动学生通过小组合作对等腰三角形的性质展开探究活动

一、教学设计理念 倡导生活性课堂，追求对话、交往、互动的生成性教学； 注重发展性教学,教师只是教学的组织者，引导者，合作者； 体验生命性教学，让教学过程成为师生的一段生命历程，体验和感悟。这是新课程教学的 最高境界。让学生经历知识的发展与形成的过程，达到学法与知识的双向提升。 二、教材分析学情分析及处理 1、教材的地位和作用 本节课是在学习了三角形的有关概念及性质，还有轴对称变换、全等三角形和尺规作图 的基础上进行的，它既是前面所学知识的延伸与深化，同时也是后面直角三角形，中垂线的 重要的坚实基础，又为今后证明角相等、线段相等及两直线垂直提供了新的方法和依据，拓 宽了学生的解题思路．所以它在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用。 2、学生情况分析及对策 （1）从学生学习的心理特点上看，八年级学生好奇心强，对生活中数学问题充满着浓厚 的兴趣，为此，在教学中我充分挖掘了身边的实际问题，从而找到了最佳的切入点。 （2）从学生已有的认知水平上看，学生积累不少三角形与轴对称问题的经验，我通过较 好的情境创设及环环相扣问题设计，达到满意的教学效果。 根据教材的内容和学生的实际，我制定的教学目标教学重点、难点教学方法如下： 3、教学目标 知识与技能：能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。 过程与方法：经历剪纸，折纸等探究活动，进一步认识等腰三角形的定义和性质，了解 等腰三角形是轴对称图形。 情感态度与价值观：培养学生的观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自 1 信心合作交流中体验成为课堂主人的快乐，感受图形中的动态美、和谐美、对称美；感受合 作交流带来的成功感，树立自信心.合作交流中体验成为“课堂主人”的快乐， 4、教学重点与难点 教学重点：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”特征的发现、探索、应用过程； 、 教学难点：通过操作、观察、归纳得出等腰三角形的特征，并进行合理的运用.通过多媒 体动态演示以突破难点； 三、教学方法与手段 教学方法：情境导入法、动手实践法、谈话法。 教学手段：多媒体课件辅助教学。 四、教学流程 （一）提出问题、创设情境 （三）实践探索，感受特征 （五）交流合作，解决问题 （七）回顾小结，整体感知 五、教学程序 （一）创设情境，导入新课 上课之初，我先设计创设了这样的一个场景，在优美的音乐声中，我先出示了学生非常 熟悉和感兴趣的蝴蝶、房屋人字架等美丽的图片，让学生观察寻找出其熟悉的几何图形，然 后动手作出这个图形，并裁下来，动手折叠，发现规律。这样激发了学生的好奇心和求知欲。 图片最后有意识落在等腰三角形处。为后续学习做好铺垫。引导学生用轴对称的观点来进行 今天的数学活动。 （二）回顾定义，引出新知 （四）应用新知，巩固新知 （六）发散练习，拓展提高 （二）回顾定义，引出新知 接下来是动手实践环节，学生分组合作动手试试看，验证他们的猜想。 如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪去红线下方 2 数学活动 ——做一做 探究 如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折, 并剪去红线下方的部分,再把它展 开,得△ABC B A C D 观察 AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点? AC=AB, △ABC是等腰三角形 的部分,再把它展开,得△ABC，观察：AC 和 AB 有什么关系? 这个三角形有什么特点?教师引导学生用轴对称观点猜一猜：等腰三角形有哪些性质?说说你 的猜想.教师先给出等腰三角形的相关概念。接下来是 （三）实践探索，感受特征 数学活动— 重合的角 ∠BAD 和∠CAD ∠C 和∠B ∠ADC 和∠ADB 重合的线段 AB 和 AC AD 和 AD BD 和 CD A 学生观察自己剪出的等腰三角形，教师演示操作过程、展示表格，学生合作找出其中重 合的线段和角，填入下表： 为下一步研究等腰三角形的性质作好准备，小组合作目的是培养学生的动手、动脑、动口能 力。通过观察所得表格总结如下猜想 1:等腰三角形的两个底角相等，2.等腰三角形的顶角平 分线、底边上的中线、和底边上的高相互重合（三线合一） ，3. △ABD≌△ACD，等腰三角形 两腰上的高相等等结论，为了验证它的正确性，学生采用了一种初中常见的方法——综合证 明法。目的是培养学生分析、归纳及严密的逻辑思维能力。 这时我牢牢抓住了折痕引导学生如何做辅助线， 抓住折完后图形的重合部分有什么特点， 各小组互相交流，分别从做顶角的平分线、底边的高线、底边的中线等方法入手，利用全等 给出了证明。有的小组根据等腰三角形的腰相等，还用代数手段面积法证明了给予了证明。 这些题的证明方法是各小组成员在合作交流中互相补充、相互融合得出的共同结论，对 研究解决等腰三角形的相关问题，起着及其重要的作用，同时此处也是本节课的难点所在， 但通过实践操作的充分反而，非常轻松探究出等腰三角形的一些结论。 （四）应用新知，巩固新知 （五）交流合作，解决问题 练一练 如图，在下列⊿ABC中，AB=AC分别求出图形（1）（2）的底 角的度数。 4说理由 A ∵ AB=AC， ∠ BAC=90°（已知 ） ∠A+∠B+∠ C=180 °（ ） B D C A 36° A 120° ∴∠ B= ∠ C= 180 ? 90 = 45° （ ° ° 2 ） B （2） ∵ AD是底 边BC上的高， ( ) C B （1） C ∴∠ BAD= ∠ DAC=45°= 1 ∠ BAC =45°（ 2 ） 练习 1、练习 2 是较为简单的问题，设计的目的是面向全体学生增强他们学习数学的兴 3 趣和自信心，加深对本节知识的理解，同时培养学生分类讨论的思想，进一步巩固等腰三角 形的性质，又为后面的三角形系列的推理做好铺垫。通过讨论交流，实现生生、师生互助， 丰富情感体验，活跃课堂气氛，使各层面学生学有所得。

⑵ 初二上册数学 等腰三角形的要点 怎么学好

等腰三角形·要点全析1．等腰三角形（isosceles triangle）
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．
如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．
【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：
（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．
（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m＞时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．
例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？
①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；
③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．
（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．
（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．
解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．
②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．
③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．
④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．
（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm
当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）
当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．
∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．
（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），
∴等腰三角形的周长为16 cm．
2．等腰三角形的性质1
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C
证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．
∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．
又∵AD为△ABC的对称轴，
∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．
∴∠B＝∠C
证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，
在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B＝∠C
【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．
证法三：如图14-3-4，过B、C分别作AC、AB边上的高BD、CE，

在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（AAS）．
∴BD＝CE
在Rt△BCD和Rt△CBE中，∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）．
∴∠B＝∠C．
证法四：如图14-3-5，分别取AB、AC的中点E、D，连接BD、CE．

∵AB＝AC，AD＝DC＝AC，AE＝BE＝AB，
∴AD＝BE＝AE＝DC
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
在△BCE和△CBD中
∴△BCE≌△CBD（SSS）．
∴∠ABC＝∠ACB．
【说明】从以上的证法二、三、四中可以看出，要证两角相等，都是想方设法把它们放在两个三角形中，证两个三角形全等．
3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．
如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．

即△ABC中，AB＝AC，
若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；
若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；
若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．
因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．
【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．
（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．

如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．
（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．
例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC

证法一：
在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．
∴∠DBC＝90°－∠C．
在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．
∴∠BAC＝2∠DBC
证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.
又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，
∴∠DBC＝90°－∠C
又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM
4．等腰三角形的性质3（轴对称性）
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．

如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．
过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．
由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．
同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．
重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．
5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）
等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．

例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD＝CE．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．
在△BCD和△CBE中，
∴△BCD≌△CBE（AAS）．
∴BD＝CE．
或S△ABC＝AB·CE＝AC·BD．
∵AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．
同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，它们也分别对应相等．
6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC

证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，
则∠BAD＝∠CAD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC
因此，这一结论可直接利用．
【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．
（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．
例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．

证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．
在△BCE和△CBD中
∴△BCE≌△CBD（SAS）．
∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO
∴OB＝OC（等角对等边）．
【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．
7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形
已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．
作法：（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；
（3）在MN上截取AD＝b；
（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．
【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．
（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．

8．等边三角形（equilateral triangle）
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形．

（2）性质：
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．
②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．
（3）判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形．
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
下面证明以上两条判定．
判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC
又∵∠A＝∠B∴AC＝BC
∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．
判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．
又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．
∴△ABC为等边三角形．
（4）应用：
例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．

分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．
又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．
∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，
∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．
同理，∠CAE＝30°．
∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．
【说明】本题中用到了等边三角形的性质．
再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．
求证：△PQR是等边三角形．

分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与
△CAD全等．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．
又∵BD＝CE＝AF，
∴BF＝DC＝AE
在△ABE和△BCF和△CAD中，
∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．
∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．
∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．
∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．
同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．
∴△PQR为等边三角形．
【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；
（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．
9．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°BC＝AB
这一性质在解题中经常用到．
例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC＝12米，
求CD，BD的长．

解：∵在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴∠C＝60°，BC＝2AC
∴AC＝BC＝6（米）．
在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，
∴∠CAD＝30°．
∴DC＝AC＝×6＝3（米）．
∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．
【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．
10．证明线段相等的方法
到目前为止，学过的证明线段相等的方法，有以下几种：
（1）全等三角形的对应边相等（在两个三角形中）．
（2）等角对等边（在一个三角形中）．
（3）轴对称的性质（在某条直线的两侧）．
（4）角平分线的性质（在角的平分线上的两条线段）．
（5）中点的概念（在一条直线上）．
（6）利用第三条等量线段．
（7）作辅助线、创造条件．
例如：如图14-3-20，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．

分析：因BD与CE在一条直线上，且又在两个三角形中，可考虑证两个三角形全等或用中点的概念进行证明，也可用轴对称的性质进行证明．
证法一：用全等三角形
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C
又∵AD＝AE，∴∠ADF＝∠AEF．
又∵∠ADF＝∠B＋∠BAD，∠AEF＝∠C＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE
在△ABD和△ACE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．
证法二：用中线
如图14-3-20，过A点作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF（三线合一）．
又∵AD＝AE，AF⊥DE，
∴DF＝EF（三线合一）．
∴BF－DF＝CF－EF，∴BD＝CE．
证法三：用轴对称
过A作BC边上的垂线，垂足为F．
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴△ABC关于直线AF对称，∴BF＝CF．
同理，DF＝EF．∴BF－DF＝CF－EF．
即BD＝CE．
【说明】从以上的证明可以看出，一个结论有多种证明途径和证明方法．
11．证明角相等的方法
到目前为止，学过的证明角相等的方法，有以下几种：
（1）角平分线的定义及性质．
（2）全等三角形的对应角相等（在两个三角形中）．
（3）等边对等角（在一个三角形中）．
（4）轴对称的性质．
（5）找第三等量角（如∠A＝∠C，∠B＝∠C，则∠A＝∠B）．
（6）作辅助线，创造条件．
例如：如图14-3-21，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2．
求证：∠BAD＝∠CAD．

分析：要证∠BAD＝∠CAD，因两角在两个三角形中，可考虑选用全等三角形和角平分线，以及轴对称进行证明．
证法一：用全等三角形
∵∠1＝∠2，∴DB＝DC
在△ABD和△ACD中，
AB＝AC，DB＝DC，AD＝AD，
∴∠ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD．
证法二：用轴对称
∵∠1＝∠2，∴DB＝DC
∴点D在BC的垂直平分线上．
又∵AB＝AC，∴A点也在BC的垂直平分线上．
∴△ABD与△ACD关于直线AD对称．
∴∠BAD＝∠CAD（轴对称的性质）．
证法三：用角平分线
∵∠1＝∠2，∴DB＝DC．又∵AB＝AC，
∴点A、D都在BC的垂直平分线上．
∴AD也为∠BAC的平分线（三线合一）．
∴∠BAD＝∠CAD．
例如：如图14-3-22，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F．求证：∠B＝∠CAF．

分析：要证∠B＝∠CAF，根据全等三角形和等腰三角形已不可能，角平分线也用不上，可考虑用第三等量角．
证明：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD．
∴∠1＝∠3＋∠4．
又∵∠ADC为△ABD的外角，
∴∠1＝∠B＋∠2．∴∠B＋∠2＝∠3＋∠4．
又∵∠2＝∠3，∴∠B＝∠4．
即∠B＝∠CAF．
12．三角形中的不等关系
（1）大边对大角：
在一个三角形中，如果两条边不等，那么这两条边所对的角也不等，并且较大的边所对的角也较大，简称“大边对大角”．
如图14-3-23，在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B
（2）大角对大边：
在一个三角形中，如果两个角不等，那么这两个角所对的边也不等，并且较大的角所对的边较大，简称“大角对大边”．
如图14-3-23，在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC．

【说明】（1）上述两个定理的使用条件是在一个三角形中，否则不成立；
（2）上述不等关系具有传递性，即△ABC中的三边分别为a、b、c，若a＞b，b＞c则a＞c；同样所对的角也如此．若△ABC中，∠A＞∠B，∠B＞∠C，则∠A＞∠C
例如：判断下列说法是否正确，为什么？
（1）在一个三角形中，若最长边所对的角为锐角，则此三角形为锐角三角形．
（2）直角三角形中，斜边最长．
（3）钝角三角形中，钝角所对的边不一定是最长边．
分析：此题目的在于考查三角形中边、角不等关系的灵活应用情况．
解：（1）正确．因最长边对的角是最大角，而最大角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形．
（2）正确．因为直角三角形中，直角最大，那么斜边应是最长的．
（3）不正确．因为钝角三角形中，钝角最大，它所对的边应该最大，所以，上述说法不正确．
再如：已知△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的中线．
求证：∠BAD＜∠CAD

分析：要比较两个角的大小，需将其放入同一个三角形中．如何放入一个三角形中，通常采用平移法，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，则△BDE≌△CDA，有∠E＝∠CAD，BE＝AC，在△ABE中，AB＞BE．则∠E＞∠BAD，即∠BAD＜∠CAD成立．
证明：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE
在△ADC和△EDB中，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，BD＝DC，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴∠CAD＝∠E，AC＝BE．
又∵AB＞AC，∴AB＞BE．
在△ABE中，∵AB＞BE，∴∠E＞∠BAD．
又∵∠E＝∠CAD，∴∠CAD＞∠BAD
即∠BAD＜∠CAD．
【说明】此题证明的关键是将原来在两个三角形中的量：AB、AC和∠BAD、∠CAD，通过辅助线移至一个三角形ABE中，而这种移法较为常用．
【题目变式1】

如图14-3-25，在△ABC中，AB＞AC，AD为角平分线．求证：BD＞CD．
证明：在AB上截取AE＝AC，连接DE．
则△ADE≌△ADC（SAS）．∴DE＝DC，∠3＝∠4．
又∵∠BED＞∠3，∴∠BED＞∠4．又∵∠4＞∠B，∴∠BED＞∠B．
∴BD＞DE．即BD＞DC
【题目变式2】

如图14-3-26，在△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高．求证：∠BAD＞∠CAD
证明：在△ABC中，∵AB＞AC，
∴∠B＜∠C．又∵AD⊥BC于D，
∴∠B＋∠BAD＝90°，∠C＋∠CAD＝90°．
∴∠B＋∠BAD＝∠C＋∠CAD．
而∠B＜∠C，∴∠BAD＞∠CAD．
13．得到等腰三角形的方法
（1）如图14-3-27，一直线平行于等腰三角形底边，与两腰（或两腰的延长线）相交所得的三角形是等腰三角形．如图中，△ADE是等腰三角形．

（2）把一张对边平行的纸，像图14-3-28那样折叠，重合部分是一个等腰三角形．如图中，△FBD是等腰三角形．

（3）等腰三角形两底角的平分线的交点与底边两端点组成等腰三角形．
（4）等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（5）等腰三角形两腰上的中线的交点与底边两端点构成等腰三角形．
（6）36°角为顶角的等腰三角形，底角的平分线把原等腰三角形分成两个等腰三角形．
（7）90°角为顶角的等腰直角三角形，顶角的平分线把原三角形分成两个等腰直角三角形．

⑶ 等腰三角形证明的方法有哪些

等腰三角形证明的方法：

1、证明两边相等。

2、证明两底角相等。

3、证明中线和高合一。

4、证明顶角平分线和高合一。

5、证明底边上的中线垂直线底边。

等腰三角形（isosceles triangle）是指至少有两边等长或相等的三角形。

相等的两个边称等腰三角形的腰，另一边称为底边，相等的两个角称为等腰三角形的底角，其余的角叫做顶角。

等腰三角形的重心、中心和垂心都位于顶点向底边的垂，可以把等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

(3)等腰三角形学情分析方法扩展阅读：

等腰三角形的性质：

1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）。

3、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

参考资料来源：网络—等腰三角形

⑷ 怎么学好等腰三角形这个知识点啊

等腰三角形是三角形大家族中一个特殊而又十分重要的成员，它是研究几何图形的基础，是所有三角形中比较美观的几何图形，由于它有许多特殊的特征，在我们的日常生活中也有广泛地应用，所以学习时应注意掌握以下问题：
一、掌握等腰三角形的有关概念
有两边相等的三角形叫做等腰三角形.如图1，我们把相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC叫做顶角，腰和底边的夹角∠B与∠B叫做底角.由此可知，所以一个等腰三角形中，有两条腰，一个底边，一个顶角，两个底角.

二、熟练掌握等腰三角形的特征与识别方法
同学们若做一张长方形的半透明纸片，按如图2所示用折纸的方法即可剪出一个等腰三角形（只能剪一刀）.
由上述的操作过程，你会能发现有下列一些重要的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或中线，或顶角的平分线）所在的直线；（2）∠B＝∠C；（3）BD＝CD，即AD为底边上的中线；（4）∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD为底边上的高线；（5）∠BAD＝∠CAD，即AD为顶角的平分线. 结论（2）也可以用文字来表述：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 结论（3）、（4）、（5）也可以用一句话来描述：等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合，简称“三线合一”.

⑸ 人教版等腰三角形采用哪些教学方法

教学目标：
1、认知目标：经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2、能力目标：掌握等腰三角形的性质和判定，能灵活地运用它们进行论证。通过例题教学，培养学生的“执果索因”的分析方法和“由因导果”的综合方法，从而提高学生的数学思维能力和解决问题能力。
3、情感目标：体验数学具有匀称、美观等优点，激发学生学习数学的兴趣;通过学生制作红领巾及等腰三角形的实验，培养学生敢于探索的科学精神。
教学模式
互动——探究教学模式
教学重点和难点：
等腰三角形的性质和判定
教学方法：
引导发现法、探究法、讲练结合法
教学媒体：
多媒体辅助教学
教学过程：
一、联系生活实际，创设问题情境。
上课，同学们好!请坐!同学们，你们喜欢折纸吗?是啊，一页普普通通的纸，经过我们灵巧的双手，就可以变成飞机、小船和各种各样有趣的动物。其实，通过折纸，我们还可以发现很多的数学知识，下面就让我们一起折一折，剪一剪，看看会有什么发现?
首先，让我们将长方形纸片对折，使两部分重合，用剪刀沿对折一边向外剪。好了，同学们请看，你得到了一个什么图形?(三角形)，对，大家得到了大小不一、形状各异的三角形，再仔细观察一下，这些三角形如果按边分类应该属于哪一类特殊三角形?(等腰三角形)其实设计师们已把等腰三角形的美运用到他们的作品中，让我们伴随着优美的音乐来欣赏一下吧。看了这些美丽的图片，同学们,你也想成为一名设计师吗?就让我们一起走进等腰三角形的世界吧

⑹ 等腰三角形的性质和判定方法

lz我是一楼的哦
请采纳我的意见
我怕下楼会复制 粘贴
<请问你是初中的吗、我初三了、初中只需要掌握一点点就可以了>

<以下是性质>

1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，正三角形有三条对称轴。

<以下是判定>

在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)<用定义来判定也可以>
在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（在同一三角形中，等角对等边）

⑺ 判定等腰三角形的所有方法

至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。等腰三角形判定定理是：在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。判定方法有：
1、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2、在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3、在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
4、有两条角平分线或中线、或高相等的三角形是等腰三角形。

⑻ 等腰三角形的性质教学设计

教学设计思路

本小节“等腰三角形”安排在第十二章“轴对称”的第三节，根据新的教育理念，以轴对称为切入点，改变了以全等三角形为切入点的做法。在学生动手操作的基础上，通过观察猜想，自主探究，证明应用等方式学习、获取新知。完成了从感性到理性的知识发生发展的认知过程。

教学目标

1.知识与技能

说出等腰三角形、总结出等腰三角形性质，并会进行有关的计算；能运用等腰三角形性质证明两角相等的问题；

2.过程与方法

经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性；通过用等腰三角形性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；

3.情感态度与价值观

学生对图形的观察、发现，激发起好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验、建立学习的自信心；通过合作交流，培养团结协作的精神。

重点和难点

探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质。（这两个性质对于平面几何中的计算,以及今后的证明尤为重要，故确定为重点）

等腰三角形中关于底和腰，底角和顶角的计算问题。（由于等腰三角形底和腰，底角和顶角性质特点很容易混淆，而且它们在用法和讨论上很有考究 ，只能从练习实践中获取经验，故确定为难点。）

教具学具准备：等腰三角形模型，矩形纸片，剪刀，直尺，三角板

课时安排:1课时

教与学互动设计：

（一）实践观察，认识等腰三角形

①复习提问：向同学们出示精美的建筑物图片

问题什么是轴对称图形？这些图片中有轴对称图形吗？

②引入新课：再次通过精美的建筑物图片，找出里面的等腰三角形。

相关概念： 定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形

边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，

角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角， 腰和底边的夹角叫做底角.

③提出问题：a.等腰三角形是轴对称图形?

b.等腰三角形具备哪些性质？如何证明?

探究

（1）把一张长方形的纸片对折，并剪下阴影部分（课本图12.3—1），再把它展开，得到一个什么图形？

（2）上述过程中得到的△ABC有什么特点？

（3）除了剪纸的方法，还可以怎样作（画）出一个等腰三角形？

学生动手剪纸，观察。教师在学生观察的同时提出问题。

学生讨论问题（3），教师在学生充分发表自己的想法基础上给出画图方法，并画出图形。

（二）探索等腰三角形的性质

问题

（1）活动1中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，

（3）你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗？说说你的猜想。

学生动手折纸，观察，找出重合的线段和角，

学生说出自己的猜想。

教师在学生的猜想基础上，引导学生观察、完善，归纳出性质1和性质2。

（三）等腰三角形的性质定理的证明

问题

（1）性质1（等腰三角形的两个底角相等）的条件和结论分别是什么？

（2）用数学符号如何表达条件和结论？

（3）如何证明？？(分别作顶角的平分线、底边的中线、高线）

（4）受性质1的证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）吗？

学生分析性质1的条件和结论，并转换成数学符号。

在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上

1、∵AD ⊥ B C

∴∠ = ∠ ，____= 。

2、∵AD是中线，

∴ ⊥ ，∠ =∠ 。

3、∵AD是角平分线，

∴ ⊥ ， = 。

教师纠正和补充学生的发言，引导学生利用全等三角形的性质，根据对称寻找辅助线的添加方法。

学生模仿证明性质2。

本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生语言的规范性；

（2）学生的应用意识，模仿能力；

（3）学生在活动中发表个人见解的勇气。

（四）等腰三角形性质定理的运用

例一：在等腰△ABC中，AB =AC, ∠A = 50°, 则∠B =_____，C=______

变式练习：1、在等腰中，∠A =50°则∠B =___，∠C=___

2、在等腰中，∠A =100°, 则∠B =___，∠C=___

例二：在等腰△ABC中，AB =5，AC = 6，则

△ABC的周长=_______

变式练习：在等腰△ABC中，AB =5，AC = 12，则

△ABC的周长=______

例三：

在△ABC中，点D在BC上，给出4个条件：①AB=AC ②∠BAD=∠CAD ③AD⊥BC ④BD=CD，

以其中2个条件作题设，另外2个条件作结论，可写出几个正确命题？

①② ③④ 运用等腰三角形的“三

①③ ②④ 线合一”性质

①④ ②③

②③ ①④ 运用全等三角形的判定

②④ ①③ 和性质（不能运用“三线合

③④ ①② 一” ）

例4、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。

教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生找出角之间的关系，书写解答过程。

本次活动中，教师应重点关注：

（1）学生能否正确应用等腰三角形的性质解决问题；

（2）学生应用所学知识的应用意识。

（五）反馈练习

（1）等腰三角形的一个角是36°，它的另外两个角是________.

（2）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是_________.

（3）如图，在△ABC中AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数。

⑼ 等腰三角形的重点和难点怎么样在教学中突出

教材分析
本节内容是在学生学习的有关知识、掌握了全等三角形的判定及性质的基础上进行的。它不仅是对前面所学知识的综合运用，也是后面研究线段垂直平分线等内容的预备知识，同时也是今后证明角相等、线段相等及两直线垂直的重要依据。而通过探究等腰三角形“三线合一”的性质、可以激发学生浓厚的学习数学兴趣，使学生体会性质定理的来龙去脉。掌握等腰三角形及其性质在生活中的运用，更有益于学生了解数学的价值，体会数学来源于实践，又反作用于实践认识问题的一般规律。
学情分析
我班的学生的基础较扎实，但尖子生少。另外学生思维活跃，愿意表达自己的见解，有一定的互动、互助基础，但在应用数学知识解决实际问题的能力方面还缺乏经验。
教学目标
1． 知识技能性目标：使学生通过实验猜想、主动探究的学习活动，发现并认同等腰三角形的性质定理及推论，探索归纳出它们的证明方法，并能应用其解决实际问题。
2． 过程方法性目标：让学生经历“设疑—探究—解决—收获”的学习过程，体会发现问题、探究问题的思想，从中感悟证明结论的方法的乐趣，初步了解作辅助线的技巧，培养“转化”及“分类讨论”的数学思想方法。
3． 情感价值观目标：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

教学重点和难点
1. 教学重点：学生了解、感悟等腰三角形的性质定理，归纳总结其证明。
2. 数学难点：等腰三角形中常用辅助线的做法。

⑽ 等腰三角形性质和判定方法

性质
1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
判定方法
在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。
在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。（简称：三线合一）。