1. 正比例和反比例的区别与联系 教案教学设计
正 比 例 和 反 比 例
第2课时 (总第9课时)
一、教材分析
【复习内容】
教科书第12册第94页“整理与反思”和95-96页的“练习与实践”5-10
【知识要点】
1.正比例和反比例的区别与联系:
相同点 不同点
特征 关系式
正比例 两种相关联的量 两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定 = k(一定)
反比例 两种量中相对应的两个数的积一定 x×y= k(一定)
与老教材相比，新教材进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像及简单应用，重视正、反比例与现实生活的联系，淡化脱离现实背景判断比例关系，不安排应用正、反比例关系解决实际问题。
2. 图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离：实际距离=比例尺 或 =比例尺
【教学目标】
1.使学生进一步认识成正比例和反比例的量，掌握两种量是否成比例、成什么比例的思考方法。
2.使学生通过掌握判断两种相关联的量是否成正比例或反比例的方法，提高分析、判断的能力。
3.使学生进一步体会比和比例知识的应用价值,感受不同领域的数学内容之间的密切联系。认识成正比例和反比例的量，使学生感受正 、反比例是描述数量关系及其变化规律的又一种有效的数学模型。
二、教学建议
复习正比例和反比例，重点是它们的意义。教材让学生回忆判断两种量是否成正比例或反比例的方法，重温正比例关系的特征是两种相关联变量的商保持一定，反比例关系的特征是两种相关联变量的积保持一定。再通过第7、8题的判断，进一步巩固正比例和反比例的概念。第9题复习正比例的图像，其中汽车行驶的路程和耗油量是否成正比例，要利用图像找出几组相对应的数，组成比并求出比值，根据正比例的意义进行判断。
复习比例尺的知识仅编排一道题，利用平面图的比例尺和量出的图上距离，计算相应的实际距离。教学第10题要说说这幅平面图的比例尺和具体含义，从线段比例尺得出数值比例尺，回忆比例尺的意义和算法。要通过解题归纳求实际距离的方法及注意点，还要说说怎样求图上距离。
三、知识链结
1.正比例和反比例 (教科书六下 P62 例1、例2 、 P63 例3)
2.比例尺 (教科书六下 P48 例6 、 P49例7 )
四、教学过程
（一）正比例和反比例的意义。
1．教师提问：根据正比例和反比例的意义，我们怎样判断两种量是否成正比例或反比例关系？（小组讨论后，交流）
2.小结：第一，这两种量是不是相互关联？其中一种量是否随着另一种量的变化而变化？第二，这两种量中每一组对应的数的比值（或积）是否一定 。
3.举出一些生活中成正比例或反比例量的例子，在小组里交流。
例如：黄瓜的单价一定，数量和总价成正比例。因为，第一，数量和总价这两种量是相互关联的，其中一种量总价随着另一种量数量的变化而变化。第二，这两种量中每一组对应的数的比值都是单价。单价一定，所以这两种量是成正比例的量。
（二）练一练
1．下表中两种量成比例吗？为什么？
加数 12 2.5 14 24
加数 18 27.5 16 6
总吨数 42 26 100 24.4
余下吨数 41 25 99 23.4
因数 3 5 3 20
因数 15 9 10 1.5
学生说一说每张表中， 第一，这两种量是不是相互关联？其中一种量是否随着另一种量的变化而变化？第二，这两种量中每一组对应的数的比值（或积）是否一定。再作出相应的判断
2．完成教科书95页“练习与实践”
第7题：让学生先独立做，再讲评。讲评时注意帮助学生解决困难。
第8题：引导学生列举几组对应的数值再具体分析每组中两个数的关系后再判断。
第9题：其中第1小题让学生根据图中标出的点的位置算出相应的耗油量与行驶路程的比值，再作判断。（行驶75千米的耗油量是6升。）第2小题让学生在教材提供的方格图上描点、连线，再引导学生联系画出的图象判断汽车在市区行驶时，行驶的路程与耗油量成不成正比例。体会数形结合在解决问题方面的价值。
（三）复习比例尺
1．教师提问：什么叫比例尺？比例尺有几种类型？举例说说它的意思？（重点是线段比例尺）
2．举例说说怎样求图上距离？怎样求实际距离。
3．完成教科书95页“练习与实践”第10题。
（四）评价小结:
学了本课你对所学知识有什么新认识？还有什么问题？
2. 如何提高用比例解决问题的教学效果
《用比例解决问题》是本单元最后一部分知识是学习了正比例和反比例关系后的实践应用。本节课，在教学中教师力求通过知识的迁移，结合学生的生活经验，让学生借助函数关系间变量的对应规律，正确判断两种相关联的量之间的依存关系，根据它们的正、反比例关系，列出相应的比例式，解决问题。
在实际教学中，我把握本节课的重点，采用开放式的教学方法，将课堂的主动权放手学生，让学生在自己探索、独立尝试、同桌交流、质疑辨析、对比归纳、概括小结、拓展延伸中轻松，高效地完成了教学任务，反思本节课的成功之处，我有以下三点感悟：
一、课堂永远是无法完全预设的
本节课，课前的复习按照预期的设计顺利完成。当我出示例5后，学生默读题目，独立分析后，我鼓励学生自主探索，独立尝试解决问题，不到1分钟，同学们的小手就此起彼伏地浮现在桌面上，个个跃跃欲试，当2名学生将自己的思索展现在黑板上时，我不禁一惊，这两位学生竟然用了不同的解题方法，除了以前学过的归一、归总法，又出现了今天的新课方法，按我预先设计的方案，学生用以前的方法解决后，我将会出示一个自学提示，引导学生按步骤，按思路来用比例解决，学生会顺理成章地理解题意，学会用比例解决。没想到学生自己就能列出正确的比例，我顺势请板演的同学到黑板前讲一讲自己的思考，真没想到，这个孩子讲得头头是道，把我的“活”儿抢了。同学们听了她的讲解，顿时茅塞大开，把我连续出示的两个基本练习做得漂漂亮亮。
课后我反思这个环节，异常感慨，本来以为丝丝相扣的自学提示，会让学生在老师无形的指挥下，理解正比例应用题的思考方法，没想到一个不到1分钟的独立尝试，就让学生破解了我的预设，而后我的顺势相邀——请学生讲解，却让课程呈现了更为灿烂的一幕。课堂永远是无法预设的，当出现与预设不相符的状况时，教师一定要会调控，得当的调节能让课堂更加精彩。
二、错误点就是生成点
在进行变式练习时，同学们争先恐后地上讲台展示，马彪同学出现的错误给课堂带来了新的生成，我们习惯应用“总价÷数量=单价”，当单价一定时，可以列成正比例式，而马彪同学却将等式的左边写成“数量÷总价”，班内同学议论纷纷，我借势引导学生，抓住正比例关系的对应量对等的要点，使一个比例式拓展成了两个，让学生明白了，两个变量之间的对应规律和依存关系。课堂中无意的错误点，生成了新的知识点，让学广开世面，更深层次地理解最简单的函数知识。
三、真实的课堂，回生阻道
我喜欢真实的课堂，这节公开课，课前我一点儿都没有提示前面的知识。课堂上，当提问正比例和反比例关系时，很多学生都有些生疏，对量与量之间的变化规律有些陌生，经过老师提示后，学生们才回想起前面的概念，这部分所用的时间比预先多用了1分钟左右，虽然是大约1分钟的时间，却给我敲响了警钟，知识一定要常温常故，尽量避免学生的回生，更要防止知识的断层。
反思这节课，给我带来了很多启示，一位好的数学老师必须具备全面、科学调控课堂的能力，及时抓住课堂的生成点，适时点拨，拓展延伸。与此同时，教师还不能忽视知识的前后联系，不能让知识搁浅，做好做实日常工作，让数学思想、数学方法、数学知识扎根学生心中。
3. 六年级正比例教案
正比例 【教学内容】 正比例。 【教学目标】 使学生理解正比例的意义,会正确判断成正比例的量。 【重点难点】 重点：理解正比例的意义。 难点：正确判断两个量是否成正比例的关系。 【教学准备】 投影仪。 【复习导入】 1.复习引入。 用投影仪逐一出示下面的题目，让学生回答。 ①已知路程和时间，怎样求速度？ 板书： =速度。 ②已知总价和数量，怎样求单价？ 板书： =单价。 ③已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？ 板书： =工作效率。 2.引入课题：这是我们过去学过的一些常见的数量关系。这节课我们进一步来研究这些数量关系的一些特征，首先来研究这些数量之间的正比例关系。板书课题：成正比例的量。 【新课讲授】 1. 教学例1。 教师用投影仪出示例1的图和表格。 学生观察上表并讨论问题。 （1）铅笔的总价和数量有关系吗？ （2）铅笔的总价是怎样随着数量的变化而变化的？ （3）铅笔的总价和数量的变化有什么规律？组织学生在小组中讨论，然后交流说一说。 根据观察，学生可能会说出： ①铅笔的总价随着数量变化，它们是两种相关联的量。 ②数量增加，总价也增加；数量降低，总价也减少。 ③铅笔的总价和数量的比值总是一定的，即单价一定。 教师指出：总价和数量有这样的变化关系，我们就说总价和数量成正比例关系，总价和数量叫做成正比例的量。 2.教师出示：一列火车行驶的时间和路程如下表。 引导学生观察、思考：路程和时间有关系吗?路程怎样随着时间的变化而变化？路程和时间的变化有什么规律？ 组织学生分析、讨论、汇报：路程和时间是两种相关联的量，路程扩大，时间也跟着扩大；路程缩小，时间也跟着缩小；但是路程和时间的比值一定，写成关系式是 =速度（一定）。 教师小结：所以说路程和时间成正比例关系，路程和时间叫做成正比例的量。 3.归纳概括正比例关系。 ①组织学生分小组讨论，上面两个例子有什么共同规律？ ②教师引导学生归纳总结：都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化；如果这两种量中相对应的两个数的比值也就是商一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做成正比例关系。 学生说一说是怎么理解正比例关系的。 要求学生把握三个要素： 第一：两种相关联的量。 第二：其中一个量增加，另一个量也增加；一个量减少，另一个量也减少。 第三：两个量的比值一定。 4.用字母表示正比例的关系。 教师：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），比例关系可以用这样的式子表示： (一定) 5.教师：想一想，生活中还有哪些成正比例的量？ 学生举例说明并说出理由如：长方形的宽一定，面积和长成正比例；每袋牛奶质量一定，牛奶袋数和总质量成正比例；衣服的单价一定，购买衣服的数量和应付钱数成正比例。地砖的面积一定，教室地板面积和地砖块数成正比例； 【课堂作业】 完成教材第46页的“做一做”（1）～（3）。 答案： （1） 。 （2）比值表示每小时行驶多少km。 （3）成正比例。理由：路程随着时间的变化而变化。 ①时间增加，路程也增加，时间减少，路程也随着减少；②路程和时间的比值（速度）一定。 【课堂小结】 通过这节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】 完成练习册中本课时的练习。
4. 正比例函数的图像和性质教案
初中数学知识点归纳.有理数的加法运算同号两数来相加,绝对值加不变号.异号相加大减小,大数决定和符号.互为相反数求和,结果是零须记好.【注】“大”减“小”是指绝对值的大小.有理数的减法运算减正等于加负,减负等于加正.有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负,一项为零积是零.合并同类项说起合并同类项,法则千万不能忘.只求系数代数和,字母指数留原样.去、添括号法则去括号或添括号,关键要看连接号.扩号前面是正号,去添括号不变号.括号前面是负号,去添括号都变号.解方程已知未知闹分离,分离要靠移完成.移加变减减变加,移乘变除除变乘.平方差公式两数和乘两数差,等于两数平方差.积化和差变两项,完全平方不是它.完全平方公式二数和或差平方,式它共三项.首平方与末平方,首末二倍中间放.和的平方加联结,先减后加差平方.完全平方公式首平方又末平方,二倍首末在中央.和的平方加再加,先减后加差平方.解一元一次方程先去分母再括号,移项变号要记牢.同类各项去合并,系数化“1”还没好.求得未知须检验,回代值等才算了.解一元一次方程先去分母再括号,移项合并同类项.系数化1还没好,准确无误不白忙.因式分解与乘法和差化积是乘法,乘法本身是运算.积化和差是分解,因式分解非运算.因式分解两式平方符号异,因式分解你别怕.两底和乘两底差,分解结果就是它.两式平方符号同,底积2倍坐中央.因式分解能与否,符号上面有文章.同和异差先平方,还要加上正负号.同正则正负就负,异则需添幂符号.因式分解一提二套三分组,十字相乘也上数.四种方法都不行,拆项添项去重组.重组无望试求根,换元或者算余数.多种方法灵活选,连乘结果是基础.同式相乘若出现,乘方表示要记住.【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解一提二套三分组,叉乘求根也上数.五种方法都不行,拆项添项去重组.对症下药稳又准,连乘结果是基础.二次三项式的因式分解先想完全平方式,十字相乘是其次.两种方法行不通,求根分解去尝试.比和比例两数相除也叫比,两比相等叫比例.外项积等内项积,等积可化八比例.分别交换内外项,统统都要叫更比.同时交换内外项,便要称其为反比.前后项和比后项,比值不变叫合比.前后项差比后项,组成比例是分比.两项和比两项差,比值相等合分比.前项和比后项和,比值不变叫等比.解比例外项积等内项积,列出方程并解之.求比值由已知去求比值,多种途径可利用.活用比例七性质,变量替换也走红.消元也是好法,殊途同归会变通.正比例与反比例商定变量成正比,积定变量成反比.正比例与反比例变化过程商一定,两个变量成正比.变化过程积一定,两个变量成反比.判断四数成比例四数是否成比例,递增递减先排序.两端积等中间积,四数一定成比例.判断四式成比例四式是否成比例,生或降幂先排序.两端积等中间积,四式便可成比例.比例中项成比例的四项中,外项相同会遇到.有时内项会相同,比例中项少不了.比例中项很重要,多种场合会碰到.成比例的四项中,外项相同有不少.有时内项会相同,比例中项出现了.同数平方等异积,比例中项无处逃.根式与无理式表示方根代数式,都可称其为根式.根式异于无理式,被开方式无限制.被开方式有字母,才能称为无理式.无理式都是根式,区分它们有标志.被开方式有字母,又可称为无理式.求定义域求定义域有讲究,四项原则须留意.负数不能开平方,分母为零无意义.指是分数底正数,数零没有零次幂.限制条件不唯一,满足多个不等式.求定义域要过关,四项原则须注意.负数不能开平方,分母为零无意义.分数指数底正数,数零没有零次幂.限制条件不唯一,不等式组求解集.解一元一次不等式先去分母再括号,移项合并同类项.系数化“1”有讲究,同乘除负要变向.先去分母再括号,移项别忘要变号.同类各项去合并,系数化“1”注意了.同乘除正无防碍,同乘除负也变号.解一元一次不等式组大于头来小于尾,大小不一中间找.大大小小没有解,四种情况全来了.同向取两边,异向取中间.中间无元素,无解便出现.幼儿园小鬼当家,(同小相对取较小)敬老院以老为荣,(同大就要取较大)军营里没老没少.(大小小大就是它)大大小小解集空.(小小大大哪有哇)解一元二次不等式首先化成一般式,构造函数第二站.判别式值若非负,曲线横轴有交点.A正开口它向上,大于零则取两边.代数式若小于零,解集交点数之间.方程若无实数根,口上大零解为全.小于零将没有解,开口向下正相反.用平方差公式因式分解异号两个平方项,因式分解有法.两底和乘两底差,分解结果就是它.用完全平方公式因式分解两平方项在两端,底积2倍在中部.同正两底和平方,全负和方相反数.分成两底差平方,方正倍积要为负.两边为负中间正,底差平方相反数.一平方又一平方,底积2倍在中路.三正两底和平方,全负和方相反数.分成两底差平方,两端为正倍积负.两边若负中间正,底差平方相反数.用公式法解一元二次方程要用公式解方程,首先化成一般式.调整系数随其后,使其成为最简比.确定参数abc,计算方程判别式.判别式值与零比,有无实根便得知.有实根可套公式,没有实根要告之.用常规配方法解一元二次方程左未右已先分离,二系化“1”是其次.一系折半再平方,两边同加没问题.左边分解右合并,直接开方去解题.该种解法叫配方,解方程时多练习.用间接配方法解一元二次方程已知未知先分离,因式分解是其次.调整系数等互反,和差积套恒等式.完全平方等常数,间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程方程没有一次项,直接开方最理想.如果缺少常数项,因式分解没商量.b、c相等都为零,等根是零不要忘.b、c同时不为零,因式分解或配方,也可直接套公式,因题而异择良方.正比例函数的鉴别判断正比例函数,检验当分两步走.一量表示另一量,初中数学口诀上海市同洲模范学校宋立峰有理数的加法运算同号两数来相加,绝对值加不变号.异号相加大减小,大数决定和符号.互为相反数求和,结果是零须记好.【注】“大”减“小”是指绝对值的大小.有理数的减法运算减正等于加负,减负等于加正.有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负,一项为零积是零.合并同类项说起合并同类项,法则千万不能忘.只求系数代数和,字母指数留原样.去、添括号法则去括号或添括号,关键要看连接号.扩号前面是正号,去添括号不变号.括号前面是负号,去添括号都变号.解方程已知未知闹分离,分离要靠移完成.移加变减减变加,移乘变除除变乘.平方差公式两数和乘两数差,等于两数平方差.积化和差变两项,完全平方不是它.完全平方公式二数和或差平方,式它共三项.首平方与末平方,首末二倍中间放.和的平方加联结,先减后加差平方.完全平方公式首平方又末平方,二倍首末在中央.和的平方加再加,先减后加差平方.解一元一次方程先去分母再括号,移项变号要记牢.同类各项去合并,系数化“1”还没好.求得未知须检验,回代值等才算了.解一元一次方程先去分母再括号,移项合并同类项.系数化1还没好,准确无误不白忙.因式分解与乘法和差化积是乘法,乘法本身是运算.积化和差是分解,因式分解非运算.因式分解两式平方符号异,因式分解你别怕.两底和乘两底差,分解结果就是它.两式平方符号同,底积2倍坐中央.因式分解能与否,符号上面有文章.同和异差先平方,还要加上正负号.同正则正负就负,异则需添幂符号.因式分解一提二套三分组,十字相乘也上数.四种方法都不行,拆项添项去重组.重组无望试求根,换元或者算余数.多种方法灵活选,连乘结果是基础.同式相乘若出现,乘方表示要记住.【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解一提二套三分组,叉乘求根也上数.五种方法都不行,拆项添项去重组.对症下药稳又准,连乘结果是基础.二次三项式的因式分解先想完全平方式,十字相乘是其次.两种方法行不通,求根分解去尝试.比和比例两数相除也叫比,两比相等叫比例.外项积等内项积,等积可化八比例.分别交换内外项,统统都要叫更比.同时交换内外项,便要称其为反比.前后项和比后项,比值不变叫合比.前后项差比后项,组成比例是分比.两项和比两项差,比值相等合分比.前项和比后项和,比值不变叫等比.解比例外项积等内项积,列出方程并解之.求比值由已知去求比值,多种途径可利用.活用比例七性质,变量替换也走红.消元也是好法,殊途同归会变通.正比例与反比例商定变量成正比,积定变量成反比.正比例与反比例变化过程商一定,两个变量成正比.变化过程积一定,两个变量成反比.判断四数成比例四数是否成比例,递增递减先排序.两端积等中间积,四数一定成比例.判断四式成比例四式是否成比例,生或降幂先排序.两端积等中间积,四式便可成比例.比例中项成比例的四项中,外项相同会遇到.有时内项会相同,比例中项少不了.比例中项很重要,多种场合会碰到.成比例的四项中,外项相同有不少.有时内项会相同,比例中项出现了.同数平方等异积,比例中项无处逃.根式与无理式表示方根代数式,都可称其为根式.根式异于无理式,被开方式无限制.被开方式有字母,才能称为无理式.无理式都是根式,区分它们有标志.被开方式有字母,又可称为无理式.求定义域求定义域有讲究,四项原则须留意.负数不能开平方,分母为零无意义.指是分数底正数,数零没有零次幂.限制条件不唯一,满足多个不等式.求定义域要过关,四项原则须注意.负数不能开平方,分母为零无意义.分数指数底正数,数零没有零次幂.限制条件不唯一,不等式组求解集.解一元一次不等式先去分母再括号,移项合并同类项.系数化“1”有讲究,同乘除负要变向.先去分母再括号,移项别忘要变号.同类各项去合并,系数化“1”注意了.同乘除正无防碍,同乘除负也变号.解一元一次不等式组大于头来小于尾,大小不一中间找.大大小小没有解,四种情况全来了.同向取两边,异向取中间.中间无元素,无解便出现.幼儿园小鬼当家,(同小相对取较小)敬老院以老为荣,(同大就要取较大)军营里没老没少.(大小小大就是它)大大小小解集空.(小小大大哪有哇)解一元二次不等式首先化成一般式,构造函数第二站.判别式值若非负,曲线横轴有交点.A正开口它向上,大于零则取两边.代数式若小于零,解集交点数之间.方程若无实数根,口上大零解为全.小于零将没有解,开口向下正相反.用平方差公式因式分解异号两个平方项,因式分解有法.两底和乘两底差,分解结果就是它.用完全平方公式因式分解两平方项在两端,底积2倍在中部.同正两底和平方,全负和方相反数.分成两底差平方,方正倍积要为负.两边为负中间正,底差平方相反数.一平方又一平方,底积2倍在中路.三正两底和平方,全负和方相反数.分成两底差平方,两端为正倍积负.两边若负中间正,底差平方相反数.用公式法解一元二次方程要用公式解方程,首先化成一般式.调整系数随其后,使其成为最简比.确定参数abc,计算方程判别式.判别式值与零比,有无实根便得知.有实根可套公式,没有实根要告之.用常规配方法解一元二次方程左未右已先分离,二系化“1”是其次.一系折半再平方,两边同加没问题.左边分解右合并,直接开方去解题.该种解法叫配方,解方程时多练习.用间接配方法解一元二次方程已知未知先分离,因式分解是其次.调整系数等互反,和差积套恒等式.完全平方等常数,间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程方程没有一次项,直接开方最理想.如果缺少常数项,因式分解没商量.b、c相等都为零,等根是零不要忘.b、c同时不为零,因式分解或配方,也可直接套公式,因题而异择良方.正比例函数的鉴别判断正比例函数,检验当分两步走.一量表示另一量,是与否.若有还要看取值,全体实数都要有.正比例函数是否,辨别需分两步走.一量表示另一量,有没有.若有再去看取值,全体实数都需要.区分正比例函数,衡量可分两步走.一量表示另一量,是与否.若有还要看取值,全体实数都要有.正比例函数的图象与性质正比函数图直线,经过和原点.K正一三负二四,变化趋势记心间.K正左低右边高,同大同小向爬山.K负左高右边低,一大另小下山峦.一次函数一次函数图直线,经过点.K正左低右边高,越走越高向爬山.K负左高右边低,越来越低很明显.K称斜率b截距,截距为零变正函.反比例函数反比函数双曲线,经过点.K正一三负二四,两轴是它渐近线.K正左高右边低,一三象限滑下山.K负左低右边高,二四象限如爬山.二次函数二次方程零换y,二次函数便出现.全体实数定义域,图像叫做抛物线.抛物线有对称轴,两边单调正相反.A定开口及大小,线轴交点叫顶点.顶点非高即最低.上低下高很显眼.如果要画抛物线,平移也可去描点,提取配方定顶点,两条途径再挑选.列表描点后连线,平移规律记心间.左加右减括号内,号外上加下要减.二次方程零换y,就得到二次函数.图像叫做抛物线,定义域全体实数.A定开口及大小,开口向上是正数.绝对值大开口小,开口向下A负数.抛物线有对称轴,增减特性可看图.线轴交点叫顶点,顶点纵标最值出.如果要画抛物线,描点平移两条路.提取配方定顶点,平移描点皆成图.列表描点后连线,三点大致定全图.若要平移也不难,先画基础抛物线,顶点移到新位置,开口大小随基础.【注】基础抛物线直线、射线与线段直线射线与线段,形状相似有关联.直线长短不确定,可向两方无限延.射线仅有一端点,反向延长成直线.线段定长两端点,双向延伸变直线.两点定线是共性,组成图形最常见.角一点出发两射线,组成图形叫做角.共线反向是平角,平角之半叫直角.平角两倍成周角,小于直角叫锐角.直平之间是钝角,平周之间叫优角.互余两角和直角,和是平角互补角.一点出发两射线,组成图形叫做角.平角反向且共线,平角之半叫直角.平角两倍成周角,小于直角叫锐角.钝角界于直平间,平周之间叫优角.和为直角叫互余,互为补角和平角.证等积或比例线段等积或比例线段,多种途径可以证.证等积要改等比,对照图形看特征.共点共线线相交,平行截比把题证.三点定型十分像,想法来把相似证.图形明显不相似,等线段比替换证.换后结论能成立,原来命题即得证.实在不行用面积,射影角分线也成.只要学习肯登攀,手脑并用无不胜.解无理方程一无一有各一边,两无也要放两边.乘方根号无踪迹,方程可解无负担.两无一有相难,两次乘方也好.特殊情况去换元,得解验根是必然.解分式方程先约后乘公分母,整式方程转化出.特殊情况可换元,去掉分母是出路.求得解后要验根,原留增舍别含糊.列方程解应用题列方程解应用题,审设列解双检答.审题弄清已未知,设元直间两法.列表画图造方程,解方程时守章法.检验准且合题意,问求同一才作答.添加辅助线学习几何体会深,成败也许一线牵.分散条件要集中,常要添加辅助线.畏惧心理不要有,其次要把观念变.熟能生巧有规律,真知灼见靠实践.图中已知有中线,倍长中线把线连.旋转构造全等形,等线段角可代换.多条中线连中点,便可得到中位线.倘若知角平分线,既可两边作垂线.也可沿线去翻折,全等图形立呈现.角分线若加垂线,等腰三角形可见.角分线加平行线,等线段角位置变.已知线段中垂线,连接两端等线段.辅助线必画虚线,便与原图联系看.两点间距离公式同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记.矩形的判定任意一个四边形,三个直角成矩形；对角线等互平分,四边形它是矩形.已知平行四边形,一个直角叫矩形；两对角线若相等,理所当然为矩形.菱形的判定任意一个四边形,四边相等成菱形；四边形的对角线,垂直互分是菱形.已知平行四边形,邻边相等叫菱形；两对角线若垂直,顺理成章为菱形.
5. 六年级下册数学 “认识成正比例的量”怎样导入新课在开始讲课之前，怎样利用已有的知识引入这节新课
教学内容： 教科书第62页例1，完成随后的练一练和练习十三第1~3题
教学目标： 1、使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，初步理解正比例的意义，学会根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例。 2、使学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步培养观察能力和发现规律的能力。 教学重难点：正比例的意义以及判断两种相关联的量是不是成正比例。
教学准备：教学光盘
教学预设：
一、导入新课 1、谈话：老师准备去水果超市买一些苹果，已知苹果每千克的单价是6元，如果我准备买1千克，你能求出什么？（总价）
2、出示表格 已知苹果每千克的单价是6元 买的千克数 1 2 3 4 …… 总价
根据学生的回答将表格填写完整。 提问：如果买（ ）千克，总价（ ）元 ……； 观察表格，你们发现了什么？（当学生回答：买的千克数越多，总价就越高） 师小结：像这样一种量变化，另一种量也随着变化，我们就把这两种量叫做相关联的量[板书：两种相关联的量] 在这里——“买的千克数”和“总价”就是两种相关联的量。
二、探索新知 （一）体会两种相关联的量 1、出示例1表格 2、提问：这张表格中的两个量是否相关联？ 学生发现：时间变化，路程也随着变化，路程和时间是两种相关联的量。（补充板书） （二）探索两个变量之间的关系 1、谈话：请同学们进一步观察表中的数据，找一找这两种量的变化有什么规律？ 启发学生从“变化”中去寻找“不变”。 学生可能会从不同的角度去寻找规律。 2、教师可根据交流的实际情况，及时引导学生通过计算确认这一规律，并有意识地从后一种角度突出这一规律。 如果学生发现不了上述规律，可引导学生写出几组相对应的路程与时间的比，并求出比值。 3、根据上面发现的规律，进一步启发学生思考：这个比值表示什么？上面的规律能不能用一个式子来表示？ 路程 根据学生的回答，教师板书关系式：时间 = 速度（一定） 4、教师对两种量之间的关系作具体说明：当路程和对应时间的比的比值总是一定，也就是速度一定时，我们就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间是成正比例的量。 （板书：路程和时间成正比例） 反问：在什么条件下行驶的路程和时间呈正比例？
三、教学“试一试” 1、要求学生根据表中的已知条件先把表格填写完整。 2、根据表中的数据，依次讨论表格下面的四个问题，并仿照例1作适当的板书。 3、让学生根据板书完整地说一说铅笔的总价和数量成什么关系。
四、抽象表达正比例的意义 1、引导学生观察上面的两个例子，说说它们有什么共同点。 2、启发学生思考：如果用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值，正比例关系可以用怎样的式子来表示？ 根据学生的回答，板书关系式y/x=k(一定)
五、巩固练习 1、完成第63页的“练一练”。 先让学生独立思考并作出判断，再要求说明判断理由。你是怎样判断的？ 2、做练习十三第1~3题。 第1题让学生按题目要求先各自算一算、想一想，再组织讨论和交流。 第2题先让学生独立进行判断，再指名说判断的理由。 第3题要先让学生说说题目要求我们把已知的正方形按怎样的比放大，放大后正方形的边长各是几厘米，再让学生在图上画一画。 填好表格后，组织学生讨论，明确：只有当两种相关联的量的比值一定时，它们才能成正比例。
六、全课小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？
七、课堂作业： 完成补充习题的相关练习 补充练习： 1、判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。 ①每小时织布米数一定，织布总米数和时间。 ②每人树植棵数一定，参加植树人数和植树总棵数。 ③订阅《中国少年报》的份数和钱数。 ④小新跳高的高度和他的身高。 ⑤长方形的宽一定，它的面积和长。 2、选择。 a和b相关联的两种量，下面哪个式子表示a和b成正比例？ ①a+b＝12 ② ＝5 ③ab＝ ④a－b=3.8 ⑤b＝7a 3、x、y、z是三种相关联的量，已知x×y=z。 当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。
6. 说一说用比例解决问题需注意什么
用比例解决问题这部分内容是在学过比例的意义和性质，成正、反比例的量的基础上进行教学的，这是比和比例知识的综合运用。下面小编就和大家分享用比例解决问题教学反思，来欣赏一下吧。
《用比例解决问题》这部分内容是在教学过比例的意义和性质，成正、反比例的量的基础上进行教学的，这是比和比例知识的综合运用。教材首先说明应用正、反比 例的知识可以解决一些实际问题。例5和例6的教学应用正、反比例的意义来解的基本应用题。为了是知识更加到位，所以我对教材作了处理，把例5作为单独的一 个内容教学。为了加强知识之间的联系，先让学生用以前学过的方法解答，然后教学用比例的知识解答。正比例应用题中所涉及到的基本问题的数量关系是学生以前 学过的，并能运用算术法解答，本节课学习内容是再原有解法的基础上，通过自主参与，合作交流、发现归纳出一种用正比例关系解决一些基本问题的思路和计算方 法，从而进一步提高学生分析解答应用题的能力。
在教学中通过解答使学生进一步熟练地判断成正比例的量，从而加深对正比例意义的理解。有利于沟通知识间的联系。在教学中要特别强调，一定要根据比例式来列 出比例。因为正比例的比例式可以通过变形成为乘法等式。为了区别于反比例，所以这个知识点一定要强调到位。同时，在教学中又要渗透简易方程的认识。在教学 上要十分重视从旧知识引申出新知识，在这过程中，蕴涵了抽象概括的方法，运用这个概括对新的实际问题进行判断。
在数学教学中重视数学活动。在探究用正、反比例解决问题的过程中，充分展示学生的思维过程。把学生在解决问题中所有情况都罗列出来，并让它们进行说解题思 路的活动。这一过程进行的非常出彩。在学生用多种方法解题的基础上，重点展示用正比列解决问题，当学生用多种方法列出比例式后，进行小结：虽然比例的书写 比较麻烦，但是用比例解决问题还是有自身的优势所在的。
在练习的设计中我注重了练习生活实际，特别是当出示课件：树高与树的影长，人高与人影长，进行提问：如何用比例的知识去解决测量树高的?是把树砍了测量 吗?此时学生很自觉的运用了比例的知识，通过测量三个可以测量的数据，用比例求出树高。此时又加入了这样一题：小丽要测量一大捆铁丝的长度，从中截取了5 米长的一段，测得其质量为400克。现测得这捆铁丝的质量为6千克。这捆铁丝长多少?知识总是在相互沟通中慢慢建构的。
存在的问题及改进策略：学生习惯于用算术法解决这类问题，很难接受用比例的知识解决这样的问题，把学生从传统的算术方法中释放出来才是问题的关键，因为习 惯是难以改变，一种新的思维的注入是需要时间去改变的，所以对于用比例来解决问题必须在以后的课堂中经常提到，去改变他们传统的思维习惯。
7. 六年下册数学 成正比例的量 教学应注意什么
正比例的意义
☆知识要点：
（1）正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系． ①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：
②正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
以上各种商都是一定的，那么被除数和除数． 所表示的两种相关联的量，成正比例关系． 注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例． 例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系． 反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系． 用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定） ②反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变． 例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例． 因为实际距离×比例尺=图上距离（一定） 所以，实际距离和比例尺成反比例． 3.正比例和反比例 相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化． 不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定． 两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变（一定）．
☆基础练习：
1. 填空 ①两种（ ）的量，一种量变化，另一种量（ ）．如果这两种量中（ ）的两上数的（ ）一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做（ ）．
判断下面两种量成什么比例，并说明理由．
①时间一定，每小时织布的米数和织布总米数．
②平行四边形面积一定，它的底和高．
③分子一定，分母和分数值．
④报纸的单价一定，总价与订阅的份数．
⑤正方形的周长和边长．
⑥正方形的边长和面积．
⑦路程一定，车轮的直径与车轮的转数．
⑧被成数一定，成数与差．
⑨三角形的高一定，底和面积．
⑩甲、乙两数互为倒数，甲数和乙数 ☆数学医院：
①铺地的总面积一定，每块砖的面积与需要的块数成正比例． ②班级学生的总人数一定，出勤率与缺勤率成正比例． ③小刚跳高的高度和他的身体成正比例． ④长方形周长一定，它的长和宽成反比例． ⑤圆的半径和它的面积成正比例
反比例
反比例关系是通过应用题的总数与份数关系帮助学生认识的。在总数与份数关系中，包含总数、份数和每份数。当总数一定时，每份数和份数是两种相关联的变量。如果每份数变化，份数也随着变化。同样如果份数变化，每份数也随着变化。它们的变化，无论扩大还是缩小，相对应的两个量的乘积（也就是总数）一定。具体说，当总数一定时，每份数（或份数）扩大或缩小若干倍，份数（或每份数）反而缩小或扩大相同的倍数。简称为“一扩一缩（或一缩一扩）”。具备这种变化关系的每份数和份数成反比例关系。反比例关系在典型应用题中属于归总问题。反映在除法中，当被除数一定，除数和商成反比例关系。在分数中，当分数的分子一定，分母与分数值成反比例关系。在比例中，比的前项一定，比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为：在购物问题中，总价一定，单价和数量成反比例关系。在行程问题中，路程一定，速度和时间成反比例关系。在做工问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例关系。如果两种量成反比例，那么一种量的任意两个数的比，等于另一种量的两个对应数的反比。如，加工零件的总数一定，是600个。如果每小时加工10个，60个小时完成任务。如果每小时加工20个，30个小时完成任务。每小时加工数量的比1∶2，与它相对应的完成时间比是2∶1。2∶1是1∶2的反比。
教学反比例的意义采用类比逆向推理法。即，教学开始，首先由学生根据正比例的意义，直接写出反比例的意义：
两种相关联的量——→两种相关联的量，
一种量变化——→一种量变化
另一种量也随着变化——→另一种量也随着变化。
这两种量中相对应的两个数的比值一定——→这两种量中相对应的两个数的乘积一定
再由学生根据自己写出的反比例的意义，举出实例，加以验证。
之后，进一步理解反比例的意义。
①分析反比例的意义。
成反比例的量包括三个数量，一个定量和两个变量。研究两个变量之间的扩大（或缩小）的变化关系。一种量发生变化，引起另一种量发生相反的变化。这两种量是反比例的量，它们的关系成反比例关系。
②反比例实质
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。这两种量叫做成反比例的量。它们的关系叫做反比例关系。
比较正、反比例：
相同点：①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。
②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。并且变化方式均属于扩大（乘以一个数）或缩小（除以一个数）若干倍的变化。
不同点：正比例的定量是两个变量中相对应的两个数的比值。反比例的定量是两个变量中相对应的两个数的积。
正、反比例之间的相互转化：当正比例中的x值（自变量的值），转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。
8. 正比例的意义怎样引导课堂中学生思考
【课
题】：
人教版小学数学六年级(下)《正比例的意义》
【教材简解】：
正比例的意义是小学数学六年级(下)第三单元的教学内容。这部分知识是在学生具有比和比例的知识以及认识常见数量关系的基础上编排的，通过对两个数量保持商一定的变化，理解正比例的意义，初步渗透函数的思想。
【目标预设】：
1、知识能力：使学生认识正比例的意义，理解、掌握成正比例量的变化规律及其特征。
2、过程与方法：能根据正比例的意义判断两种相关联的量成不成正比例关系。
3、情感态度与价值观：进一步培养学生观察、分析、综合等能力；培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。
【重点、难点】：
重点：使学生理解正比例的意义。
难点：引导学生通过观察、思考发现两种相关联的量的变化规律(即它们相对应的数的比值一定)，从而概括出正比例关系的概念。
【设计理念】：
本节课的教学设计遵循以下几点设计理念：
1、抽象实际事例中的数量变化规律，形成正比例的概念。
例1是让学生初步感知“两种相关联的量”以及“成正比例的量”的含义。教材先指出路程和时间是两种相关联的量，用“时间变化，路程也随着变化”具体解释两种量的“相关联”。再指出这辆汽车行驶的路程和时间的比的比值总是一定，可以说路程和时间成正比例，它们是成正比例的量，学生在这里首次感知了正比例关系。“试一试”是在另一组数量关系中继续感知正比例关系。使得学生在上面两个实例中感知了正比例的具体含义，然后教材再抽象概括出正比例的意义，这一环节是概念形成的重要环节，也是发展数学思考的极好机会。
2、用图像直观表达正比例关系。
例2是按照《课程标准》的要求“根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的，设计的三个问题体现了教学正比例图像的三个步骤。
第一步认识图像上的点，说出其他各点的具体含义，体会各个点都表示汽车在某段时间所行驶的路程，也体会这些点是根据对应的时间与路程的数据在方格纸上画出来的。
第二步认识图像的形状，从图中描出的点在一条直线上，体会正比例关系的图像是一条直线。
第三步应用图像，估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所用的时间。
【设计思路】：
本课教学设计我从生活中一些常见的数量关系入手，复习一些数量之间的相互关系，打破了传统的正比例意义教学“复习——教学例1——教学例2——揭示概念——巩固练习”的教学模式，取而代之是让学生充分发挥学习的积极性，以及在学习过程中的合作探究能力，进而总结出新知的尝试，本节课的教学依据“自学——反馈——探究——应用”这一课堂基本模式设计，结合新课程理念让学生在自主探究的氛围下学习，以求在理想的教学过程中产生理想的学习效果。