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求曲線方程常用的四種方法

發布時間:2023-10-01 22:46:13

Ⅰ 求曲線方程的一般步驟是什麼

現在新課標都教矩陣了吧,請允許我用相關知識解釋一下。圓錐曲線是二次曲線,教材上的圓錐曲線方程,只是標准方程。
二次曲線的一般方程是:ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0
這個方程表示什麼呢?——表示所有的二次曲線,包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線、點、雙直線圖形和無軌跡。這些圖形可以是任意平移旋轉過的。
如果給定方程ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0,要判斷曲線類型,這時候直接看是不容易看出來的,就需要做一些處理。
(1)先考慮退化的曲線——雙直線和點,當且僅當行列式det3=
|a
c/2
d/2|
|c/2
b
e/2
|
=
0
時,
|d/2
e/2
f
|
二次曲線是退化的。這時,如果det2=ab-c^2/4=0則是橢圓退化成了一點;如果不等於0,就是直線。
如果是直線,先把a化成正的,
①平行或重合直線,由(ax+by+c)(ax+by+d)=0展開對比得,ab是同號的。
當d/e=√(a/b)或者是d√b=e√a,且c=2√(ab)時,兩直線斜率一樣,此時,若2f=d/√a或2f=e/√b,則重合,否則平行。如果要求直線,則a=√a,b=√b,c+d=d/√a=e/√b,cd=f
②相交直線,不符合①的雙直線就是相交直線,如果a=-b,則分解因式驗證其是否垂直。
(2)對於非退化的二次曲線,det3≠0,這時看
det2=
|a
c/2|
|c/2
b
|
即det2=ab-c^2/4
det2>0,橢圓,如果a=b則是圓;如果det1=a+b>0(先把a化成正的)、且det3>0,則是無軌跡的圖形(不算退化)。
det2<0,雙曲線;
det2=0,拋物線。
----------------------
再說一下退化,對於標准形式,
橢圓左右各除以無窮大,就有x^2/a^2+y^2/b^2=0,就退化成了一點。
雙曲線退化,x^2/a^2-y^2/b^2=0,退化為相交雙直線,也就是她的漸近線。
拋物線退化,y^2=a,退化成了平行或重合的雙直線。
三種曲線和他們的退化形式,經過旋轉和平移,上文det1、det2、det3的符號特徵是不變的,所以可以這樣判斷,這三個值,稱為二次曲線的不變數。

Ⅱ 曲線擬合一般有哪些方法

曲線擬合一般方法包括:

1、用解析表達式逼近離散數據的方法

2、最小二乘法

拓展資料:

實際工作中,變數間未必都有線性關系,如服葯後血葯濃度與時間的關系;疾病療效與療程長短的關系;毒物劑量與致死率的關系等常呈曲線關系。曲線擬合(curve fitting)是指選擇適當的曲線類型來擬合觀測數據,並用擬合的曲線方程分析兩變數間的關系。

最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數學優化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數據的最佳函數匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數據,並使得這些求得的數據與實際數據之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用於曲線擬合。其他一些優化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。

Ⅲ 求雙曲線方程有幾種方法 例如 待定系數法 定義法 相關點法 還有什麼

一、直接法由題設所給的動點滿足的幾何條件列出等式,再把坐標代入並化簡,得到所求軌跡方程,這種方法叫做直接法.
二、定義法由題設所給的動點滿足的幾何條件,經過化簡變形,可以看出動點滿足二次曲線的定義,進而求軌跡方程,這種方法叫做定義法.
三、待定系數法由題意可知曲線類型,將方程設成該曲線方程的一般形式,利用題設所給條件求得所需的待定系數,進而求得軌跡方程,這種方法叫做待定系數法.
四、參數法選取適當的參數,分別用參數表示動點坐標,得到動點軌跡的參數方程,再消去參數,從而得到動點軌跡的普通方程,這種方法叫做參數法.
五、數形結合,由幾何學的定理找到中間變數,進行替換,
我只有這五種,應付高中數學足夠了,

Ⅳ 求曲線方程的一般步驟順口溜

當時老師給總結的是「建設限代化」。即1根據題目要求建立適當的坐標系。2設出方程。3注意寫出限制條件。4代入。5化簡。
求曲線方程的步驟如下:
(1)建立適當的坐標系,用有序實數對(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)寫出適合條件的p(M)的集合P={M|p(M)};
(3)用坐標表示條件p(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)驗證(審查)所得到的曲線方程是否保證純粹性和完備性。
這五個步驟可簡稱為:建系、設點、列式、化簡、驗證 [2] 。

Ⅳ 高中數學 圓錐曲線部分有四種解題方法 求這四種方法 具體點 求學霸指點

1、牢記核心知識

核心的知識點是基礎,好多同學在做圓錐曲線題時,特別是小題,比如橢圓,雙曲線離心率公式和范圍記不清,焦點分別在x軸,y軸上的雙曲線的漸近線方程也傻傻分不清,在做題時自然做不對。

2、計算能力與速度

計算能力強的同學學圓錐曲線相對輕松一些,計算能力是可以通過多做題來提升的。後期可以嘗試訓練自己口算得到聯立後的二次方程,然後得到判別式,兩根之和,兩根之積的整式。

當然也要掌握一些解題的小技巧,加快運算速度。

3、思維套路

拿到圓錐曲線的題,很多同學說無從下手,從表面感覺很難。老師建議:山重水復疑無路,沒事你就算兩步。大部分的圓錐曲線大題,都有共同的三部曲:一設二聯立三韋達定理。

一設:設直線與圓錐曲線 的兩個交點,坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),直線方程為y=kx+b。

二聯立:通過快速計算或者口算得到聯立的二次方程。

三韋達定理:得到二次方程後立馬得出判別式,兩根之和,兩根之積。

走完三部曲之後,在看題目給出了什麼條件,要求什麼。例如涉及弦長問題,常用「根與系數的關系」設而不求計算弦長(即應用弦長公式);涉及弦的中點問題,常用「點差法」設而不求,將弦所在直線的 斜率、弦的中點坐標聯系起來,相互轉化.總結起來:找值列等量關系,找范圍列不等關系,通常結合判別式,基本不等式求解。

4、圓錐曲線解題方法技巧歸納

Ⅵ 求曲線方程的幾種常見方法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一,求符合某種條件的動點的軌跡方程,實質就是利用題設中的已知條件,用「坐標化」將其轉化為尋求變數間的關系。

這類問題除了考查學生對圓錐曲線的定義、性質等基礎知識的掌握,還充分考查了各種數學思想方法及一定的推理能力和運算能力,因此這類問題成為高考命題的熱點,也是一大難點。

下面我們就用一道例題,來感受分析不同方法的異同。

【經典例題】

由圓x²+y²=9外一點P(5,12)引圓的割線交圓於A、B兩點,求弦AB的中點M的軌跡方程。

【方法一:直接法】

根據題設條件列出幾何等式,從而求出曲線方程。

這里考慮在圓中有關弦中點的一些性質,圓心和弦中點垂直於弦,可得下面解法。



【方法二:定義法】

判斷並確定軌跡的曲線類型,運用待定系數法求出曲線方程。

這里我們可以得出垂直關系,在解析幾何中,「垂直意味著圓」,這是需要各位有效積累的。



【方法三:交軌法】

將問題轉化為求兩直線的交點軌跡問題。

在本題中,因為動點M可看作直線OM與PM的交點,而由於它們的垂直關系,從而獲得解法。



【方法四:點差法】

設而不求,代點運算,這是點差法的精髓。通過中點公式聯系起來,點差法通常是涉及弦中點問題的重要解題法寶。

根據共點的斜率相等,可求得軌跡方程。






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