勾股定理證明方法還有哪些

㈠ 勾股定理有多少種證明方法

勾股定理，是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

㈡ 勾股定理的證明方法有多少種

E. S. Loomis博士在他的書<The Pytagorean Proposition>里羅列了256個不同證明，並指出到1940年5月1日，共發現370種不同的證明，那個時候他都快88歲了。

㈢ 勾股定理證明方法有多少種，具體

這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。 有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾 股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。 看這個你到網路上搜索「勾股定理」能看到很多的 希望對你有幫助

㈣ 有哪些證明勾股定理的方法

還有的方法就是等面積法，就是利用圖形的變化來證明;
也可以利用相似三角形來證明勾股定理。
還有傳說中畢達哥拉斯的證法和美國第20任總統茄菲爾德的證法。
勾股定理在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理。數學公式中常寫作a^2+b^2=c^2

㈤ 勾股定理還有哪些證明方法

勾股定理有以下幾種常用的證明方法：

㈥ 勾股定理有幾種證明方法

勾股定理的證明有上百種證明方法，下面例句最經典的中國方法：

畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。
左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是
a^2+b^2=c^2。
這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

㈦ 勾股定理一共有幾種證明方法說的越多越好。。謝啦、

一、這個直角梯形是由2個直角邊分別為 、 ，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為 的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等於梯形的面積，所以可以列出等式 ，化簡得 。這種證明方法由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

二、左邊的正方形是由1個邊長為 的正方形和1個邊長為 的正方形以及4個直角邊分別為 、 ，斜邊為 的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為 的正方形和4個直角邊分別為 、 ，斜邊為 的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是 )，所以可以列出等式 ，化簡得 。

三、第一種方法：邊長為 的正方形可以看作是由4個直角邊分別為 、 ，斜邊為 的直三角形圍在外面形成的。因為邊長為 的正方形面積加上4個直角三角形的面積等於外圍正方形的面積，所以可以列出等式 ，化簡得 。第二種方法：邊長為 的正方形可以看作是由4個直角邊分別為 、 ，斜邊為 的直角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為 的正方形「小洞」。因為邊長為 的正方形面積等於4個直角三角形的面積加上正方形「小洞」的面積，所以可以列出等式 ，化簡得 。

㈧ 勾股定理的證明方法有哪些呀

圖一

在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 Ð A 為直角。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實了勾股定理。

這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！

這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。

歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。而書中的第一卷命題 47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。

證明二

圖二

圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設直角三角形的斜邊長度為 c，其餘兩邊的長度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

證明二可以算是一個非常直接了當的證明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：

圖三

由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化簡得 c2 = a2 + b2（定理得證）

圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提出的！據記載，這是出自三國時代（即約公元 3 世紀的時候）吳國的趙爽。趙爽為《周髀算經》作注釋時，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。

證明三

圖四

圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個圖就變成一個梯形。利用梯形面積公式，我們得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化簡得 a2 + b2 = c2（定理得證）

有一些書本對證明三十分推祟，這是由於這個證明是出自一位美國總統之手！

在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）當選成為美國第 20 任總統，可惜在當選後 5 個月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關證明，是他在 1876 年提出的。

我個人覺得證明三並沒有甚麼優勝之處，它其實和證明二一樣，只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡單！

又，如果從一個老師的角度來看，證明二和證明三都有一個共同的缺點，它就是需要到恆等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。雖然這個恆等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多學生都未能完全掌握，由於以上兩個證明都使用了它，往往在教學上會出現學生不明白和跟不上等問題。

證明四

(a) (b) (c)

圖五

證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫一個直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另一條直角邊下面加上另一個正方形，以藍色表示。接著，以斜邊的長度畫一個正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。

留意在圖五(b)中，當加入斜邊的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍。現在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時，在斜邊正方形內，卻有一些部分未曾填上顏色。現在依照圖五(c)的方法，將超出范圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發現，超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發現，圖五(a)中，紅色和藍色兩部分面積之和，必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實了勾股定理。

這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），劉徽為古籍《九章算術》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理。

在歷史上，以「出入相補」的原理證明勾股定理的，不只劉徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結合出來的。留意我經已將小正方形重新畫在三角形的外面。看一看圖六，我們曾經見過類似的圖形嗎？

圖六

其實圖六不就是圖一嗎？它只不過是將圖一從另一個角度畫出罷了。當然，當中分割正方形的方法就有所不同。

順帶一提，證明四比之前的證明有一個很明顯的分別，證明四沒有計算的部分，整個證明就是單靠移動幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。

圖七

在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個。圖七是其中之一。做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之後依照圖七中的顏色，將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。

事實上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這裏就未有打算將它們一一盡錄了。

另一個「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡單的，方法如下：

證明五

(a) (b)

圖八

圖八(a)和圖二一樣，都是在一個大正方形中，放置了4個直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於 c2。現在我們將圖八(a)中的 4 個直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a2 + b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4 個直角三角形亦相等，所以餘下兩個淺黃色部的面積亦應該相等，因此我們就得到 a2 + b2 = c2，亦即是證明了勾股定理。

對於這個證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國古代的數學書；有人相信當年畢達哥拉斯就是做出了這個證明，因而宰殺了一百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡單和最快的一個證明了。

不要看輕這個證明，它其實包含著另一個意義，並不是每一個人都容易察覺的。我現在將上面兩個圖「壓扁」，成為圖九：

(a) (b)

圖九

圖九(a)中間的淺黃色部分是一個平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個長方形，其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結合並消去共有的倍數，我們得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，這就是三角學中最重要的復角公式！原來勾股定理和這條復角公式是來自相同的證明的！

在證明二中，當介紹完展開 (a + b)2 的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是一個展開 (a - b)2 的方法。而證明五亦有一個相似的情況，在這裏，我們除了一個類似 (a + b) 的「無字證明」外，我們亦有一個類似 (a - b) 的「無字證明」。這方法是由印度數學家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，見圖十。

(a) (b)

圖十

證明六

圖十一

圖十一中， 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分，其中 Ð C 為直角，D 位於 AB 之上並且 CD ^ AB。設 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意圖中的三個三角形都是互相相似的，並且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以

= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

將兩式結合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得證。

證明六可以說是很特別的，因為它是本文所有證明中，唯一一個證明沒有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個三角形翻來覆去，相當復雜，到今天已很少教科書採用，似乎已被人們日漸淡忘了！

可是，如果大家細心地想想，又會發現這個證明其實和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！雖然這個證明沒有提及面積，但 a2 = cx 其實就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD 兩邊所組成的長方形的面積，這亦即是圖一中黃色的部分。類似地，b2 = cy 亦即是圖一中深綠色的部分。由此看來，兩個證明都是依據相同的原理做出來的！

證明七

(a) (b) (c)

圖十二

在圖十二(a)中，我們暫時未知道三個正方形面積之間有甚麼直接的關系，但由於兩個相似圖形面積之比等於它們對應邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2。

不過，細心地想想就會發現，上面的推論中，「正方形」的要求是多餘的，其實只要是一個相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二(c)中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。

㈨ 勾股定理有哪些證明方法

你可以到這個網上去看看。http://ke..com/view/366.htm 1．中國方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。於是 a^2+b^2=c^2。 這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。 2．希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。 容易看出， △ABA』 ≌△AA'C 。 過C向A』』B』』引垂線，交AB於C』，交A』』B』』於C』』。 △ABA』與正方形ACDA』同底等高,前者面積為後者面積的一半，△AA』』C與矩形AA』』C』』C』同底等高，前者的面積也是後者的一半。由△ABA』≌△AA』』C，知正方形ACDA』的面積等於矩形AA』』C』』C』的面積。同理可得正方形BB』EC的面積等於矩形B』』BC』C』』的面積。 於是， S正方形AA』』B』』B=S正方形ACDA』+S正方形BB』EC， 即a2+b2=c2。 至於三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到（請讀者自己證明）。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。 以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等； ⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等於原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。 我國歷代數學家關於勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少，其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附於《周髀算經》之中的論文《勾股圓方圖注》中的證明。採用的是割補法： 如圖，將圖中的四個直角三角形塗上硃色，把中間小正方形塗上黃色，叫做中黃實，以弦為邊的正方形稱為弦實，然後經過拼補搭配，「令出入相補，各從其類」，他肯定了勾股弦三者的關系是符合勾股定理的。即「勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也」。 趙爽對勾股定理的證明，顯示了我國數學家高超的證題思想，較為簡明、直觀。 西方也有很多學者研究了勾股定理，給出了很多證明方法，其中有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為「百牛定理」。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。 下面介紹的是美國第二十任總統伽菲爾德對勾股定理的證明。 如圖， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)，① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。② 比較以上二式，便得 a2+b2=c2。 這一證明由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當簡潔。 1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證明。5年後，伽菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的「總統」證法，這在數學史上被傳為佳話。 在學習了相似三角形以後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個直角三角形與原三角形相似。 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足為D。則 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我們發現，把①、②兩式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。 在對勾股定理為數眾多的證明中，人們也會犯一些錯誤。如有人給出了如下證明勾股定理的方法： 設△ABC中，∠C=90°，由餘弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因為∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 這一證法，看來正確，而且簡單，實際上卻犯了循環證論的錯誤。原因是餘弦定理的證明來自勾股定理。 人們對勾股定理感興趣的原因還在於它可以作推廣。 歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理：「直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和」。 從上面這一定理可以推出下面的定理：「以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑所作圓的面積等於以兩直角邊為直徑所作兩圓的面積和」。 勾股定理還可以推廣到空間：以直角三角形的三邊為對應棱作相似多面體，則斜邊上的多面體的表面積等於直角邊上兩個多面體表面積之和。 若以直角三角形的三邊為直徑分別作球，則斜邊上的球的表面積等於兩直角邊上所作二球表面積之和。

㈩ 勾股定理的證明方法有幾種 還有這么證明

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現並證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。