奇偶性的鑒別方法

⑴ 如何判斷奇偶性

奇偶性
1．定義

一般地，對於函數f(x)

（1）如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數。

（2）如果對於函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。

（3）如果對於函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

（4）如果對於函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言

②奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱，如果一個函數的定義域不關於原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論）

③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

2．奇偶函數圖像的特徵：

定理 奇函數的圖像關於原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關於y軸或軸對稱圖形。
f(x)為奇函數《＝＝》f(x)的圖像關於原點對稱
點（x,y）→（-x,-y）

奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
單調函數
一般地，設函數f(x)的定義域為I：

如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2,當x1<x2時都有f(x1)< f(x2).那麼就說f(x)在這個區間上是增函數。

如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1f(x2).那麼就是f(x)在這個區間上是減函數。

如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數。那麼就說函說y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做y= f(x)的單調區間，在單調區間上增函數的圖像是上升的，減函數的圖像是下降的。

注意：（1）函數的單調性也叫函數的增減性；

（2）函數的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念；

（3）判定函數在某個區間上的單調性的方法步驟有兩種主要方法：
1）定義法
a.設x1、x2∈給定區間，且x1<x2.

b.計算f(x1)- f(x2)至最簡。

c.判斷上述差的符號。
2）求導法
利用導數公式進行求導，然後判斷導函數和0的大小關系，從而判斷增減性，導函數值大於0，說明是增函數，導函數值小於0，說明是減函數，前提是原函數必須是連續的。

⑵ 怎麼判斷函數的奇偶性

判斷函數的奇偶性方法介紹如下：

1、根據奇函數和偶函數的定義進行判斷

滿足f(-x) = f(x)，則為偶函數；滿足f(-x) = -f(x)，則為奇函數。

2、根據函數的圖像進行判斷

函數的圖像關於y軸軸對稱（函數的定義域一定是關於原點對稱的），則為偶函數；函數的圖像關於原點中心對稱（函數的定義域一定是關於原點對稱的），則為奇函數。

奇偶函數在對稱區間上的單調性、值域特點

1、奇函數在對稱區間上的單調性相同，偶函數在對稱區間上的單調性相反。

2、奇函數在對稱區間上的值域關於原點對稱，偶函數在對稱區間上的值域相同。

特別的，如果一個奇函數的定義域中含有0，則必有f(0)=0。

⑶ 奇偶性的判斷方法是什麼

1、利用奇偶函數的定義來判斷（這是最基本，最常用的方法）定義：如果對於函數y=f（x）的定義域A內的任意一個值x，都有f（-x）=-f（x）則這個函數叫做奇函數f（-x）=f（x），則這個函數叫做偶函數。

2、用求和（差）法判斷：若f（x）-f（-x）=2f（x），則f（x）為奇函數。若f（x）+f（-x）=2f（x），則f（x）為偶函數。

(3)奇偶性的鑒別方法擴展閱讀

如果對於函數定義域D內的任意一個x，f（-x）=-f（x）與f（-x）=f（x）同時成立，那麼函數f（x）既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

如果對於函數定義域內的任意一個x，f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）都不能成立，那麼函數f（x）既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱，如果一個函數的定義域不關於原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

⑷ 判斷奇偶性的方法有幾種

1、奇函數、偶函數的定義中,首先函數定義域D關於原點對稱.它們的圖像特點是：奇函數的圖像關於原點對稱,偶函數的圖像關於X軸對稱.即f（-x）＝-f（x）為奇函數,f（-x）＝f（x）為偶函數
2、判斷函數的奇偶性大致有下列二種方法：
(1)用奇、偶函數的定義,主要考察f(-x)是否與-f(x) ,f(x) ,相等.
(2)利用一些已知函數的奇偶性及下列准則：兩個奇函數的代數和是奇函數；兩個偶函數的代數和是偶函數；奇函數與偶函數的和既非奇函數,也非偶函數；兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；奇函數與偶函數的乘積是奇函數.
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⑸ 函數奇偶性的判定方法

主要是利用定義，先求定義域，看是否關於原點對稱。f(-x)=f(x)偶函數，f(-x)=-f(x)奇函數。

⑹ 奇偶性的判斷方法奇+奇

判定奇偶性四法：

（1）定義法

用定義來判斷函數奇偶性，是主要方法 . 首先求出函數的定義域，觀察驗證是否關於原點對稱. 其次化簡函數式，然後計算f(-x)，最後根據f(-x)與f(x)之間的關系，確定f(x)的奇偶性.

（2）用必要條件.

具有奇偶性函數的定義域必關於原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要條件.

例如，函數y=的定義域(-∞，1)∪(1，+∞)，定義域關於原點不對稱，所以這個函數不具有奇偶性.

（3）用對稱性.

若f(x)的圖象關於原點對稱，則 f(x)是奇函數.

若f(x)的圖象關於y軸對稱，則 f(x)是偶函數.

（4）用函數運算.

如果f(x)、g(x)是定義在D上的奇函數，那麼在D上，f(x)+g(x)是奇函數，f(x)•g(x)是偶函數. 簡單地，「奇+奇=奇，奇×奇=偶」.

類似地，「偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇」.

(6)奇偶性的鑒別方法擴展閱讀：

奇函數在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函數，它在區間[a,b]上是增函數（減函數），則在區間[-b，-a]上也是增函數（減函數）；偶函數在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性。

即已知是偶函數且在區間[a,b]上是增函數（減函數），則在區間[-b，-a]上是減函數（增函數）。但由單調性不能倒導其奇偶性。驗證奇偶性的前提要求函數的定義域必須關於原點對稱。

說明：

①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言。

②奇、偶函數的定義域一定關於原點對稱，如果一個函數的定義域不關於原點對稱，則這個函數一定不具有奇偶性。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與 比較得出結論）

③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。

④如果一個奇函數 在x=0處有意義，則這個函數在x=0處的函數值一定為0。並且關於原點對稱。

⑤如果函數定義域不是關於原點對稱或不符合奇函數、偶函數的條件則叫做非奇非偶函數。例如 [ ]或[ ]（定義域不關於原點對稱）

⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數，則叫做既奇又偶函數。例如

⑺ 判斷奇偶性的方法有幾種

有一些技巧可以無需經過定義證明，就能目測某些種類的函數的奇偶性。這對於選擇題，判斷題很有幫助。
首先、定義域對原點對稱的函數，才可能是奇函數或偶函數，定義域不對原點對稱的，必然是非奇非偶函數。例如y=x²（x-1）/（x-1）=x²（x≠1），定義域不對原點對稱，所以是非奇非偶函數。
第二、先必須熟記一些常見的奇偶函數，例如x的奇數次冪（含-1、-3這樣的負奇數）是奇函數，x的偶數次冪（含-2、-4這樣的負偶數）是偶函數，常數函數是偶函數，x的偶數次方根是非奇非偶函數，x的奇數次方根是奇函數，正弦函數是奇函數，餘弦函數是偶函數，常數函數是偶函數，恆等於0的常數函數既是偶函數，也是奇函數等等。
第三、記住一些從已知函數推論出新函數的奇偶性的方法。有這樣幾種情況。
1、新函數有幾個函數加減形成，每個加減的函數都是偶函數，則新函數是偶函數，例如x^4+x²+3，x^4、x²、3都是偶函數，所以新函數x^4+x²+3可以直接判斷是偶函數；
每個相加的函數都是奇函數，則新函數是奇函數，例如x^5+x^3+x，x^5、x^3、x都是奇函數，所以可以直接判斷x^5+x^3+x是奇函數。
如果相加減的函數中，部分是奇函數，部分是偶函數，則新函數是非奇非偶函數。例如x²+x+4，x²和4是偶函數，x是奇函數，所以x²+x+4是非奇非偶函數。
2、新函數是幾個函數相乘除形成的，每個相乘除的函數都是奇函數或偶函數（因式中不能有非奇非偶函數），那麼相乘除的函數中有奇數個奇函數，新函數就是奇函數；有偶數個奇函數，新函數就是奇函數。
例如xsinx，其中x和sinx都是奇函數，是兩個奇函數相乘，所以xsinx是偶數；xcosx，x是奇函數，cos是偶數，有1個奇函數，所以xcosx是奇函數；x²cosx，沒有奇函數，所以x²cosx是偶函數。
3、復合函數，這個比較復雜，一般還是用定義推導比較靠譜。