一元三次方程公式解決方法

① 如何解一元三次方程 解一元三次方程的方法

1、一元三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」。一元三次方程的一般形式是x3+sx2+tx+u=0。

2、如作一個橫坐標平移y=x+s/3，那麼就可以把方程的二次項消去。所以只要考慮形如x3=px+q的三次方程。

3、例子：假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數。

代入方程：a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到：a3-b3=(a-b)(p+3ab)+q；由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時，3ab+p=0。這樣上式就成為a3-b3=q兩邊各乘以27a3，就得到27a6-27a3b3=27qa3。由p=-3ab可知，27a6+p=27qa3這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。

② 解一元三次方程的其他方法

除了上文中的卡爾丹公式解法，一元三次方程還有其它解法，列舉如下： 因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些簡單的三次方程適用．對於大多數的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。當然，對一些簡單的三次方程能用因式分解求解的，當然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0
對左邊作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三個根：x1=0；x2=1；x3=-1。 對於一般形式的三次方程，先將方程化為x^3+px+q=0的特殊型。
令x=z-p/3z，代入並化簡，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．這實際上是關於w的二次方程。解出w，再順次解出z，x。 利用導數，求的函數的極大極小值，單調遞增及遞減區間，畫出函數圖像，有利於方程的大致解答，並且能快速得到方程解的個數，此法十分適用於高中數學題的解答。
如f(x）=x^3+x+1,移項得x^3+x=-1,設y1=x^3+x,y2=-1,
y1的導數y1'=3x^2+1,得y1'恆大於0，y1在R上單調遞增，所以方程僅一個解，且當y1=-1時x在-1與-2之間，可根據f(x1)f(x2)<0的公式，無限逼近，求得較精確的解。 三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復雜，缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式——盛金公式，並建立了新判別法——盛金判別法。
當b=0，c=0時，盛金公式1無意義；當A=0時，盛金公式3無意義；當A≤0時，盛金公式4無意義；當T<－1或T>1時，盛金公式4無意義。
當b=0，c=0時，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理給出如下回答：
盛金定理1：當A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：當A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時，適用盛金公式1解題）。
盛金定理3：當A=B=0時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）。
盛金定理4：當A=0時，若B≠0，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。
盛金定理5：當A<0時，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。
盛金定理6：當Δ=0時，若A=0，則必定有B=0（此時，適用盛金公式1解題）。
盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式3解題）。
盛金定理8：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式4解題）。
盛金定理9：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現的值必定是-1<T<1。
顯然，當A≤0時，都有相應的盛金公式解題。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當Δ>0時，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實系數的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。
當Δ=0時，盛金公式3不存在開方；當Δ=0(d≠0)時，卡爾丹公式仍存在開立方。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b^2-3ac；B=bc-9ad；C=c^2-3bd是最簡明的式子，由A、B、C構成的總判別式Δ=B^2－4AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式2中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達形式體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美。
以上盛金公式解法的結論，發表在《海南師范學院學報（自然科學版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中國海南。國內統一刊號：CN46-1014），第91—98頁。范盛金，一元三次方程的新求根公式與新判別法。

③ 一元三次方程的解法是怎麼樣的

一元三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」，一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 ，如作一個橫坐標平移y=x+s/3，那麼就可以把方程的二次項消去。所以只要考慮形如 x3=px+q的三次方程。

例子：假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數。

代入方程：

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到：

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時， 3ab+p=0。這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3。

由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3，這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。

解方程依據

1、移項變號：把方程中的某些項帶著前面的符號從方程的一邊移到另一邊，並且加變減，減變加，乘變除以，除以變乘。

2、等式的基本性質：

（1）等式兩邊同時加(或減)同一個數或同一個代數式，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式。

（2）等式的兩邊同時乘或除以同一個不為0的數，所得的結果仍是等式。用字母表示為：若a=b，c為一個數或一個代數式（不為0）。

④ 一元三次方程怎麼解決

一元三次方程的標准形式為ax^3+bx^2+cx+d=0，將方程兩邊同時除以最高項系數a,三次方程變為x^3+bx^2/a+cx/a+d/a=0,所以三次方程又可簡寫為x^3+bx^2+cx+d=0．

一元三次方程解法思想是：通過配方和換元，使三次方程降次為二次方程求解．

拓展資料:

只 含有一個 未知數（即「元」），並且未知數的最高次數為3（即「次」）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：one variable cubic equation）。

一元三次方程的標准形式（即所有一元三次方程經整理都能得到的形式）是 ax 3+ bx 2+ cx+ d=0（ a， b， c， d為 常數， x為未知數，且 a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡爾丹公式法與盛金公式法。兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。由於用卡爾丹公式解題存在復雜性，相比之下，盛金公式解題更為直觀， 效率更高。

⑤ 一元三次方程配方公式是什麼

一元三次方程萬能化簡公式：ax3+bx2+cx+d=0，而且一元三次方程只含有一個未知數（即「元」），並且未知數的最高次數為3次的整式方程。

一般的三次方程不能用配方法求解，但四次方程可以。四次方程的標准解法就是引入參數後等式兩邊配平方，然後兩邊開方求解，參數通過解一個三次方程得到。得到的四次方程的求根公式裡面只有平方根和立方根，沒有四次方根，所以通過筆算開平方和開立方，也能直接筆算出四次方程的解。

方程解法：

1、義大利學者卡爾丹於1545年發表的卡爾丹公式法。

2、中國學者范盛金於1989年發表的盛金公式法。

兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。用卡爾丹公式解題方便，相比之下，盛金公式雖然形式簡單，但是整體較為冗長，不方便記憶，但是實際解題更為直觀。

⑥ 一元三次方程求解步驟是什麼

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d=0的標准型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型.
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式.歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和.歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方裡面的內容,也就是用p和q表示A和B.方法如下：
（1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
（3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3),所以（2）可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q,化簡得
（6）A+B＝－q,AB＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8）,可令A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為
(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A＝y1,B＝y2,q＝b/a,-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一個實根解,按韋達定理一元三次方程應該有三個根,不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了
ax3+bx2+cx+d=0 記：p=（27a2d+9abc-2b3）/(54a3) q=(3ac-b2）/（9a2） X1=-b/（3a）+（-p+（p2+q3）^(1/2))^(1/3)+ （-p-（p2+q3）^(1/2))^(1/3)

⑦ 一元三次方程怎麼解

一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標准型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方裡面的內容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由於x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化為 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移項可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化簡得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)對比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 將(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)將A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得式 (14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了

⑧ 怎麼解一元三次方程

一元三次方程的求根公式稱為「卡爾丹諾公式」。 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 。

如作一個橫坐標平移y=x+s/3，那麼就可以把方程的二次項消去。所以只要考慮形如 x3=px+q
的三次方程。

例子：

假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這里a和b是待定的參數。
代入方程

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時， 3ab+p=0。這樣上式就成為 a3-b3=q 兩邊各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 。

由p=-3ab可知 ，27a6 + p = 27qa3 這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a。

(8)一元三次方程公式解決方法擴展閱讀

含有二次項但不含有一次項的一元三次方程，經過代換後可以消掉二次項，但是卻會冒出一次項出來。

對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。一個自然的想法就是如何將一般的三次方程化為不帶二次項的三次方程。

⑨ 解一元三次方程的一般步驟是什麼

一般的一元三次方程

(9)一元三次方程公式解決方法擴展閱讀：

我們知道，對於任意一個n次多項式，我們總可以只藉助最高次項和（n-1）次項，根據二項式定理，湊出完全n次方項，其結果除了完全n次方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項、二次項、三次項等，直到（n-2）次項。

由於二次以上的多項式，在配n次方之後，並不能總保證在完全n次方項之後僅有常數項。於是，對於二次以上的多項式方程，我們無法簡單地像一元二次方程那樣，只需配出關於x的完全平方式，然後將後面僅剩的常數項移到等號另一側，再開平方，就可以推出通用的求根公式。

特別地，對於三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。一個自然的想法就是如何將一般的三次方程化為不帶二次項的三次方程。