復平面虛數解決方法

① 求解題步驟 已知i為虛數單位，在復平面內復數2i/1+i對應點的坐標

分子分母同乘1+i的共軛復數1-i，所以結果為1+i。x軸為實軸，y軸為虛軸。所以坐標為(1,1)
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② 虛數解是什麼

虛數是指平方是負數的數。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。
在數學里，將平方是負數的數定義為純虛數。所有的虛數都是復數。定義為i^2=-1。但是虛數是沒有算術根這一說的，所以±√(-1)=±i。對於z=a+bi,也可以表示為e的iA次方的形式，其中e是常數，i為虛數單位，A為虛數的幅角，即可表示為z=cosA+isinA。實數和虛數組成的一對數在復數范圍內看成一個數，起名為復數。虛數沒有正負可言。不是實數的復數，即使是純虛數，也不能比較大小。 這種數有一個專門的符號「i」(imaginary)，它稱為虛數單位。不過在電子等行業中，因為i通常用來表示電流，所以虛數單位用j來表示。
實際意義
我們可以在平面直角坐標系中畫出虛數系統。如果利用橫軸表示全體實數，那麼縱軸即可表示虛數。整個平面上每一點對應著一個復數，稱為復平面。橫軸和縱軸也改稱為實 虛數
軸和虛軸。 不能滿足於上述圖像解釋的同學或學者可參考以下題目和說明： 若存在一個數，它的倒數等於它的相反數（或者它的倒數的相反數為其自身），這個數是什麼形式？ 根據這一要求，可以給出如下方程： -x = (1/x) 不難得知，這個方程的解x=i （虛數單位） 由此，若有代數式 t'=ti，我們將i理解為從t的單位到t'的單位之間的轉換單位，則t'=ti將被理解為 -t' = 1/t 即 t' = - 1/t 這一表達式在幾何空間上的意義不大，但若配合狹義相對論，在時間上理解，則可以解釋若相對運動速度可以大於光速c，相對時間間隔產生的虛數值，實質上是其實數值的負倒數。也就是所謂回到過去的時間間隔數值可以由此計算出來。 虛數成為微晶片和數字壓縮演算法設計中的核心工具，虛數是引發電子學革命的量子力學的理論基礎。
起源
要追溯虛數出現的軌跡，就要聯系與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。 有理數出現的非常早，它是伴隨人們的生產實踐而產生的。 無理數的發現，應該歸功於古希臘畢達哥拉斯學派。無理數的出現，與德謨克利特的「原子論」發生矛盾。根據這一理論，任何兩個線段的比，不過是它們所含原子數目的經。而勾股定理卻說明了存在著不可通約的線段。 不可通約線段的存在，使古希臘的數學家感到左右為難，因為他們的學說中只有整數和分數的概念，他們不能完全表示正方形對角線與邊長的比，也就是說，在他們那裡，正方形對角線與連長的比不能用任何「數」來表示。西亞他們已經發同了無理數這個問題，但是卻又讓它從自己的身邊悄悄溜走了，甚至到了希臘最偉大的代數學家丟番圖那裡，方程的無理數解仍然被稱為是「不可能的」。 「虛數」這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。 人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能長度解決代數方程的求解問題。像x^2+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數范圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。 到了16世紀，義大利數學家卡爾達諾在其著作《大術》（《數學大典》）中，把記為1545R15-15m這是最早的虛數記號。但他認為這僅僅是個形式表示而已。1637年法國數學家笛卡爾，在其《幾何學》中第一次給出「虛數」的名稱，並和「實數」相對應。 1545年義大利米蘭的卡爾達諾發表了文藝復興時期最重要的一部代數學著作，提出了一種求解一般三次方程的求解公式： 形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3) 當卡丹試圖用該公式解方程x^3-15x-4=0時他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3) 在那個年代負數本身就是令人懷疑的，負數的平方根就更加荒謬了。因此卡丹的公式給出x=(2+j)+(2-j)=4。容易證明x=4確實是原方程的根，但卡丹不曾熱心解釋(-121)^(1/2)的出現。認為是「不可捉摸而無用的東西」。 直到19世紀初，高斯系統地使用了i這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bi，稱為復數，虛數才逐步得以通行。 由於虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用復數來表達的量，因此在很長一段時間里，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱「虛數」的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：「虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。」歐拉盡管在許多地方用了虛數，但又說：「一切形如,√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想像的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。」 繼歐拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把復數（a+bi）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了復平面的概念，終於使復數有了立足之地，也為復數的應用開辟了道路。現在，復數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。
i的性質
i 的高次方會不斷作以下的循環： i^1 = i i^2 = - 1 i^3 = - i i^4 = 1 i^5 = i i^6 = - 1... 由於虛數特殊的運算規則，出現了符號i 當ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i時： ω^2 + ω + 1 = 0 ω^3 = 1
有關運算
許多實數的運算都可以推廣到i，例如指數、對數和三角函數。 一個數的ni次方為： x^(ni) = cos(ln(x^n)) + i sin(ln(x^n)). 一個數的ni次方根為： x^(1/ni) = cos(ln(x^(1/n))) - i sin(ln((x^(1/n))). 以i為底的對數為： log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ. i的餘弦是一個實數： cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e^2 + 1) /2e = 1.54308064. i的正弦是虛數： sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i. i,e,π,0和1的奇妙關系： e^(iπ)+1=0 i^I=e^(-π÷2）
符號來歷
1777年瑞士數學家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來,寫成a+bi形式 (a、b為實數，a等於0時叫純虛數，ab都不等於0時叫復數，b等於0時就是實數)。 通常，我們用符號C來表示復數集，用符號R來表示實數集。
相關描述
虛數 原作：勞倫斯·馬克·萊瑟（阿姆斯特朗大西洋州立學院） 翻譯：徐國強 虛文自古向空構，艾字如今可倍乘。所問逢人驚詫甚，生活何處有真能？嗟哉小試調音放，訝矣大為掌夜燈。三極體中知用否，交流電路肯咸恆。憑君漫問荒唐義，負值求根疑竇增。情類當初聽慣耳，事關負數見折肱。幾分繁復融學域，百計聯席悅有朋。但看幾何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。 IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University Imaginary numbers, multiples of iEverybody wonders, "are they used in real life?"Well, try the amplifier I'm using right now -- A.C.!You say it's absurd,this root of minus one.but the same things once were heardAbout the number negative one!Imaginary numbers are a bit complex,But in real mathematics, everything connects:Geometry, trig and call all see "i to i." [①] see "i to i."指可見虛數符號的應用，並諧音雙關see eye to eye 為意見一致引

③ 復平面里的虛數和實數不會重復嗎

復平面上,只有在實軸上的數是實數,其他的點都是虛數.
所以,
復平面上的點和復數是一一對應的.

④ 虛數如何產生的,意義是什麼

復數
開放分類： 數學、數學家、實數、虛數
定義
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復數就是實數和虛數的統稱
復數的基本形式是a+bi,其中a,b是實數,a稱為實部,bi稱為虛部,i是虛數單位,在復平面上,a+bi是點Z(a,b).Z與原點的距離r稱為Z的模|Z|=√a方+b方
a+bi中：a=0為純虛數,b=0為實數,b不等於0為虛數.
復數的三角形式是 Z＝r[cosx+isinx]
中x,r是實數,rcosx稱為實部,irsinx稱為虛部,i是虛數單位.Z與原點的距離r稱為Z的模,x稱為輻角.
起源
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16世紀義大利米蘭學者卡當（Jerome Cardan1501—1576）在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公布了三次方程的一般解法,被後人稱之為「卡當公式」.他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,並且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等於40時,他把答案寫成=40,盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想像的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,並使它們的乘積等於40.給出「虛數」這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650）,他在《幾何學》（1637年發表）中使「虛的數」與「實的數」相對應,從此,虛數才流傳開來.
數系中發現一顆新星——虛數,於是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數.德國數學家萊布尼茨（1646—1716）在1702年說：「虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物」.瑞士數學大師歐拉（1707—1783）說；「一切形如,習的數學武子都是不可能有的,想像的數,因為它們所表示的是負數的平方根.對於這類數,我們只能斷言,它們既不是什麼都不是,也不比什麼都不是多些什麼,更不比什麼都不是少些什麼,它們純屬虛幻.」然而,真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗,最終佔有自己的一席之地.法國數學家達朗貝爾（1717—1783）在1747年指出,如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那麼它的結果總是的形式（a、b都是實數）（說明：現行教科書中沒有使用記號＝－i,而使用=一1）.法國數學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發現公式了,這就是著名的棣莫佛定理.歐拉在1748年發現了有名的關系式,並且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示一1的平方根,首創了用符號i作為虛數的單位.「虛數」實際上不是想像出來的,而它是確實存在的.挪威的測量學家成塞爾（1745—1818）在1779年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋,並首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視.
德國數學家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,虛數也能用一個平面上的點來表示.在直角坐標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,並過這兩點引平行於坐標軸的直線,它們的交點C就表示復數a＋bi.象這樣,由各點都對應復數的平面叫做「復平面」,後來又稱「高斯平面」.高斯在1831年,用實數組（a,b）代表復數a＋bi,並建立了復數的某些運算,使得復數的某些運算也象實數一樣地「代數化」.他又在1832年第一次提出了「復數」這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合.統一於表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中,並把數軸上的點與實數—一對應,擴展為平面上的點與復數—一對應.高斯不僅把復數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,並利用復數與向量之間—一對應的關系,闡述了復數的幾何加法與乘法.至此,復數理論才比較完整和系統地建立起來了.
經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討並發展了復數理論,才使得在數學領域游盪了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不虛呵.虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了復數集.
隨著科學和技術的進步,復數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有著極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據.
具體內容和應用
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形如a＋bi的數 .式中 a,b 為實數 ,i是 一個滿足i^2＝－1的數 ,因為任何實數的平方不等於－1,所以 i不是實數,而是實數以外的新的數.
在復數a＋bi中,a 稱為復數的實部,b稱為復數的虛部 ,復數的實部和虛部分別用Rez和Imz表示,即Rez =a,Imz=b.i稱為虛數單位.當虛部等於零時,這個復數就是實數；當虛部不等於零時,這個復數稱為虛數,虛數的實部如果等於零,則稱為純虛數.
由上可知,復數集包含了實數集,因而是實數集的擴張.復數的產生來自解代數方程的需要.16世紀,義大利數學家G.卡爾達諾首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了負數開方的形式,並把 i＝sqrt(-1) 當作數,與其他數一起參與運算.由於人們無法理解 i的實質,所以在很長時間內不承認負數的平方根也是數,而稱之為虛數.直到19世紀,數學家們對這些虛數參與實數的代數運算作出了科學的解釋,並在解方程和其他領域中使虛數得到了廣泛的應用,人們才認識了這種新的數.
復數的四則運算規定為：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i,
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i,
（a＋bi）?（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i,
（c與d不同時為零）
（a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2）i,
（c+di）不等於0
復數有多種表示形式,常用形式 z＝a＋bi 叫做代數式.
此外有下列形式.
①幾何形式.復數z＝a＋bi 用直角坐標平面上點 Z（a,b ）表示.這種形式使復數的問題可以藉助圖形來研究.也可反過來用復數的理論解決一些幾何問題.
②向量形式.復數z＝a＋bi用一個以原點O為起點,點Z（a,b）為終點的向量OZ表示.這種形式使復數的加、減法運算得到恰當的幾何解釋.
③三角形式.復數z＝a＋bi化為三角形式
z＝r（cosθ＋isinθ）
式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做復數的模（或絕對值）；θ 是以x軸為始邊；向量OZ為終邊的角,叫做復數的輻角.這種形式便於作復數的乘、除、乘方、開方運算.
④指 數形式.將復數的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ換為 exp(iθ),復數就表為指數形式z＝rexp(iθ)
復數三角形式的運算：
設復數z1、z2的三角形式分別為r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那麼z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)],若復數z的三角形式為r(cosθ+isinθ),那麼z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ),n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1,2,3……）必須記住：z的n次方根是n個復數.
復數的乘、除、乘方、開方可以按照冪的運演算法則進行.復數集不同於實數集的幾個特點是：開方運算永遠可行；一元n次復系數方程總有n個根（重根按重數計）；復數不能建立大小順序.
┢柯樂栤┮ 2008-08-24 12:03
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好(2)不好(0) 實數包括有理數和無理數.其中無理數就是無限不循環小數和開根開不盡的數,有理數就包括整數,分數,0.
數學上,實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數.本來實數僅稱作數,後來引入了虛數概念,原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」.
實數可以分為有理數和無理數兩類,或代數數和超越數兩類,或正數,負數和零三類.實數集合通常用字母 R 或 R^n 表示.而 R^n 表示 n 維實數空間.實數是不可數的.實數是實分析的核心研究對象.
實數可以用來測量連續的量.理論上,任何實數都可以用無限小數的方式表示,小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的,也可以是非循環的）.在實際運用中,實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位,n 為正整數）.在計算機領域,由於計算機只能存儲有限的小數位數,實數經常用浮點數來表示.
①相反數（只有符號不同的兩個數,我們就說其中一個是另一個的相反數） 實數a的相反數是-a
②絕對值（在數軸上一個數所對應的點與原點0的距離） 實數a的絕對值是：│a│=①a為正數時,|a|=a
②a為0時, |a|=0
③a為負數時,|a|=-a
③倒數 （兩個實數的乘積是1,則這兩個數互為倒數） 實數a的倒數是：1/a （a≠0）

⑤ 復平面的概念

a+bi為一個虛數，則建立一個平面，這個平面上的所有點都可以用a+bi中的（a,b)表示，則這個平面稱做復平面。 例：4+5i在復平面內的坐標表示為（4，5）

⑥ 在復平面上如何表示虛數

你好 很高興為你解答

這復平面上

每一個點 可能就是一個虛數吧

⑦ 大神們，我只想知道怎麼用復數解決平面幾何問題

注意要謹慎使用「復平面」這個概念，你所說的復平面意義其實只是一個二維坐標平面，其坐標系為實數軸和純虛數軸構成的直角坐標系。

但是一般意義下的復平面則不同了，這里需要引入復分析的內容去了解。我們通常下的幾何其數都是在實數域里取值的，但是復幾何則是在復數域內取值。需要注意的一點是，復平面內的函數我們一般是無法畫出來的，而只能藉助於實數來畫出圖像。舉個簡單的例子;

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，這里u(x,y)為復函數f(z)的實部，v(x,y)為其虛部。f(z)是實數域上的四維函數。對於復平面的點，如下考慮：

⑧ 復平面數學

復數平面即是z=a+bi ,它對應的坐標為（a,b) .其中，a表示的是復平面內的橫坐標，b表示的是復平面內的縱坐標，表示實數a的點都在x軸上，所以x軸又稱為「實軸」；表示純虛數b的點都在y軸上，所以y軸又稱為「虛軸」。y軸上有且僅有一個實點即為原點"0"。

中文名
復數平面
外文名
complex plane
公式
z=a+bi
簡稱
復平面
x軸別稱
實軸