周期函數問題及解決方法

Ⅰ 有關周期函數的一些問題

(1)周期函數的規律或性質是怎麼樣的?
設周期函數f(x)的周期為T,那麼有f(x)=f(x+nT),n∈Z

(2)如何畫圖?畫圖應注意什麼?
先作出一個周期內該周期函數的圖象,其他周期只要復制這個周期內的圖象就能得到該周期函數的完整圖象

(3)如何把y=sin2x+√3cos2x化成f(x)=Asin(ωx+ψ)的形式?
y=sin2x+√3cos2x
=2[(1/2)(sin2x)+(√3/2)(cos2x)]
=2(sin2xcosπ/3+cos2xsinπ/3)
=2sin(2x+π/3)

A=2,ω=2,ψ=π/3
周期T=2π/ω=2π/2=π
2sin(2x+π/3)=2sin[2(x+π/6)]
y=sin2x+√3cos2x的圖象可以由y=sinx的圖象橫坐標縮小一倍,縱坐標擴大一倍,向左平移π/6個單位得到

Ⅱ 函數周期問題怎麼解

函數周期性的概念．教學過程設計師：上節課我們學習了利用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象．今天我們將利用正弦函數圖象，研究三角函數的一個重要性質．請同學們觀察y=sinx，x∈R的圖象：（老師把圖畫在黑板左上方．）師：通過觀察，同學們有什麼發現？生：正弦函數的定義域是全體實數，值域是〔-1，1〕．圖象有規律地不斷重復出現．師：規律是什麼？生：當自變數每隔2π時，函數值都相等．師：正弦函數的這種性質叫周期性．我們將會發現，不但正弦函數具有這種性質，其它的三角函數和不少的函數也都具有這樣的性質，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數的周期性．（老師在黑板左上方寫出課題）師：我們先看函數周期性的定義．（老師板書）定義 對於函數y=f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那麼就把函數y=f（x）叫做周期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期．師：請同學們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點．生：首先T是非零常數，第二是自變數x取定義域內的每一個值時都有f（x+T）=f（x）．師：找得准！那麼為什麼要這樣規定呢？師：如果T=0，那麼f（x+T）=f（x）恆成立，函數值當然不變，沒有研究價值；如果T為變數，就失去了「周期」的意義了．「每一個值」的含義是無一例外．師：除這兩條外，定義中還有一個隱含的條件是什麼？生：如果x屬於y=f（x）的定義域，則T+x也應屬於此定義域．師：對．否則f（x+T）就沒有意義．師：函數周期性的定義有什麼用途？生：它為我們提供判定函數是否具有周期性的理論依據．師：下面我們看例題．（老師板書）例1 證明y=sinx是周期函數．生：因為由誘導公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一個周期．故它就是周期函數．例2師：要想判斷T是不是函數y=f（x）的周期有什麼方法？我們現有的理論依據只有定義，如何使用定義？對於定義域內的每一個x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在著）某一個x，使f（x+T）=f（x）成立．要想證明T不是周期，只要找到一個x0，使得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正確的．師：分析得好！同學對概念的學習應該做到真正能弄清每句話的含義，而不能只停留在字面的意思讀懂了．這樣才可能透徹地理解概念，為進一步的學習打下牢固的基礎．例3 已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求證f（x+2T）=f（x）．師：此題用文字如何敘述？誰能給予證明？生：若不等於零的常數T是f（x）的一個周期，證明2T仍是f（x）的周期．因為T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f〔（x+T）+T〕=f（x+T），即f（x+2T）=f（x）．因此2T是f（x）的周期．師：這個命題推廣可得到什麼結論？生：如果T是f（x）的周期，那麼2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）的周期．師：這說明如果一個函數是周期函數，所有的周期就構成一個無窮集合．這無數個周期中，我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期．這是為什麼？生甲：如果發現一個函數存在最小正周期，就可以確定這個函數的所有周期．生乙：更具有實用性．如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個長度為最小正周期的范圍內對函數進行研究．師：這位同學思考問題有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的實質，還進一步想到我們研究函數周期性的目的，那就是要研究一個周期函數在整個定義域上的性質，只要研究它在一個周期內的性質，然後經過周期延拓即可．如果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內．這無疑給我們研究周期函數的性質帶來方便．（老師在函數的周期性定義下板書）如果在所有的周期中存在著一個最小正周期，就把它叫做最小正周期．例4 證明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．師：例1證明了y=sinx是周期函數，並且找到了一個周期T=2π．例是2π．要想證明這個命題，只要證明什麼？生：只要證明任何比2π小的正數都不是它的周期．師：如何證？能否逐一證明比2π小的正數都不行呢？當然不行．因為比2π小的正數是無限的．那這樣的命題應如何證？生：反證法．假設存在T∈（0，2π）使得y=sinx對於任意的x∈R都成立．推出矛盾即可．師：你能具體的給予證明嗎？生：假設T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那麼根據周期函數的定義，當x為任意值時都有sin（x+T）=sinx．即 cosT=1．這與T∈（0，2π）時，cosT＜1矛盾．這個矛盾證明了y=sinx，x∈R的最小正周期是2π．師：請同學們在課堂練習本上證明y=cosx的最小正周期是2π．師：通過上面的例題和練習我們得出這樣的結論，正弦函數y=sinx（x∈R）和餘弦函數y=cosx（x∈R）都是周期函數，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例5 求y=3cosx的周期．師：以後求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期生：因為y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．師：好．好在他能利用我們總結出的結論，也就是新知識歸結到舊知識上去．你能再具體的證明嗎？生：可以從數和形兩個角度來證明．解（一） 因為對一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2π．解（二） 因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標不變，縱坐標擴大3倍得到的，當自變數x（x∈R）增加到x+2π且必須增加到x+2π時，函數cosx的值才重復出現，因而函數3cosx的值也才重復出現，因此y=3cosx的周期是2π．師：數和形是我們研究數學問題的兩個方面，他都想到了，並且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什麼結論？生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常數）的周期都是2π，也就是說函數周期的變化與系數A無關．例6 求y=sin2x的周期．（請不同解法的三位同學在黑板上板演）生甲：解 因為y=sin（2x＋2π）=sin2x，對於任意x∈R都成立．所以y=sin2x的周期是2π．生乙：解 因為y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的周期是π．生丁：解 設2x＝u，因為y＝sinu的周期是2π，所以y＝sin（u＋2π）=sinu，即 sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，所以y=sin2x的周期是π．師：我們一起來分析三個同學的解法．解法一是錯誤的，錯誤在對於周期函數定義中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本質沒弄清楚，要證明y=sin2x是周期函數，應證明對於任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）．解法（二），（三）是正確的．區別在於解法（三）經過換元，把要研究的新問題y＝sin2x的周期轉化為已有的舊知識y＝sinu的周期．這種轉換的意識、換元的思想是很重要的．師：其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮．我們先看如何由y＝sinx的圖象得到y＝sin2x的圖象．使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標當自變數每增加2π且必須增加2π時，函數值重復出現，現在就是當sin2x的周期是π．師：通過這個例題我們看到，誰對函數的周期有影響？是x的系數．有怎樣的影響？帶著這個問題同學們做下面的題目．例7y＝2sin（u＋2π）=2sinu，師：通過這個例題，進一步驗證了我們的猜想，函數的周期的變化僅與自變數x的系數有關．我們把例7寫成一般式．例8 求y=Asin（ωx+ ）的周期．（其中A，ω， 為常數，且A≠0，ω＞0，x∈R）解 設u＝ωx＋ ．因為y＝sinu的周期是2π，所以sin（u＋2π）=sinu，師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數的周期僅與自變數的系數（老師板書）師：以後再求正弦函數或餘弦函數的周期，可由上面的結論直接寫出它的周期．師：（總結）通過今天的課，同學們應明確以下幾個問題．（一）研究函數周期的意義是什麼？周期函數是反映現實世界中具有周期現象的數學模型．如果能找到函數的最小正周期T，那麼只要在以T為氏度的區間內．就可以研究函數的圖象與性質，然後推斷出函數在整個定義域的圖象和性質．這給我們研究函數帶來了方便．（二）對於函數周期的定義應注意：1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函數本質屬性的條件．對於任意常數T（T≠0），如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，我們就斷言y=f（x）不是周期函數．對於某個確定的常救T≠0．如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我們能斷言T不是函數y=f（x）的周期，但不能說明y＝f（x）不是周期函數．2．定義中的「每一個值」是關鍵詞．此函數對於任意確定的常數T≠0，盡管f（x＋T）=f（x）對函數定義域（-∞，+∞）中幾乎所有x都成立．但僅僅由於x的個別值x=0，x=-T時，等式不成立．因此函數f（x）不是周期函數．（三）周期函數的周期與最小正周期的區別與聯系．1．周期函數的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一．周期函數的周期有無數個．如：f（x）=c（常數），任意非零實數都是它的周期，但由於不存在不等於零的最小正實數，所以f（x）=c沒有最小正周期．這個例子也同時說明不是只有三角函數才具有周期性．2．周期函數的最小正周期一定是這個函數的周期，反之不然．例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函數的周期；4π是函數的周期，但不是最小正周期．作業：課本P178第6題，P132第4題．課堂教學設計說明此教學方案是按照「教師為主導，學生為主體，課本為主線．」的原則而設計的．教師的主導作用在於激發學生的求知慾，為學生創設探索的情境，指引探索的途徑，引導學生不斷地提出新問題，解決新問題．函數周期性概念的教學是本節課的重點．概念教學是中學數學教學的一項重要內容，不能因其易而輕視．也不能因其難而迴避．概念教學應面向全體學生，但由於函數的周期的概念比較抽象，所以學生對它的認識不可能一下子就十分深刻．因此，進行概念教學時，除了逐字逐句分析，還要通過不同的例題，讓學生暴露出問題，通過老師的引導，使學生對概念的理解逐步深入．

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Ⅲ 高中數學關於函數周期性的問題

因為f(x+1)=-f(x)，所以f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x)，
所以f(x)為周期函數，且周期為2.
當1<=x<=2時，-1<=（x-2）<=0
所以f(x)=f[(x-2)+2]=f(x-2)=(x-2)^3-2(x-2)-1=(x-2)^3-2x+3

函數，主要是變換，換元的思想方法很重要
周期函數，主要是定義，變形，好好體會第一行的變形，
又如：f(x+2)=-1/f(x)
則，f(x+4）=。。。=。。。=f(x)

.。。。處作為練習，相信你能行的。

Ⅳ 高中數學中證明奇偶函數、周期函數、含參的等問題（各種方法的思路）

題1：（1）令x=0，有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)
令y=0，有f(x)+f(x)=2f(x)f(0)
注意到x與y是同等關系的(即x與y的位置可以調換）
於是，由上面兩式可以等到f(x)=f(-x),(兩式相減）定義域為R，所以為偶函數。
(2)令y=1/2，則有f(x+1/2)+f(x-1/2)=0，即f(x+1/2)=-f(x-1/2)=f(1/2-x)，（*）
再令x+1/2=t,x=t-1/2,（*）式則為f(t)=f(t+1)
所以 f（x）是周期函數。
（3）令x=1/3,y=1/6,有f(1/2)+f（1/6）=2f(1/3)f（1/6）又f（1/2）=0，
所以f（1/6）[1-2f(1/3)]=0，因為f（x）在[0,1]內是單調函數，所以f(1/6)不為0，所以f(1/3)=1/2，
同樣方法可以求f(1/6)的值。
題2，在[1/2，正無窮]上是增函數，說明函數f（x）=x²+2x+a的對稱軸在1/2的左邊。顯然，f（x）=x²+2x+a對稱軸為x=-1，與a無關，則屬於R。二次函數，配方可以解決單調性，值域等問題。
題3，外函數是增函數，則內涵數也要為增函數（同增異減),所以a＞0，且對稱軸在1的左邊，另外，還要確保當x=1時，ax²+2x+1＞＝0，即-2/a＜＝1，a+3＞＝0，即-3＜＝a＜＝-1/2。
題4最好的方法是求導，然後分離常數，你有學嗎？
f'(x)=2x-a/x^2=(2x^3-a)/x^2,因為f（x）在區間（2，正無窮）上是增函數，所以f'(x)的值＞＝0（x＞2），只要2x^3-a＞＝0即2x^3＞＝a，即a＜＝12（因為當x=2時有意義，當x=2時，2x^3取最小值）
證明奇偶性，首先考慮定義域，其次再考慮其它，像第一題那種抽象函數，一般用賦值法去做。
周期性的題，有些會比較難點想到，很多時候會用換元法。
含參數的題，有分離常數，有分類討論等等。

Ⅳ 請教一下周期函數的解題方法...

!.因為是周期為2的函數,所一f(x)在x∈[-1,1]和x∈[1,3]時完全相等,只是X值增大了2而已~而x∈[-1,1]時f(x)=x^2,所以x∈[1,3]的解析式是
f(x)=(x-2)^2
2.利用周期性:f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=(-1)^2=1
解這種題目,要善於抓住[周期性],它給你求的區間或數值一定是能通過加減周期得到的,只要適當的加以湊合就可以了~

Ⅵ 怎樣求周期函數的周期

令t=x-1;則f(t）=f(t+4）周期為4。

求周期函數的周期，可以直接利用定義來求，也可以利用基本周期函數的周期間接來求。基本周期函數的周期是：y=sinx 、y=cosx的周期是2π，y=tanx的周期是π。

比如： y=sin3x, y=sin3x=sin(3x+2π)=sin[3(x+2π/3)

∴ y=sin3x的周期是 2π/3。

再比如說：y=sin²x y=sin²x =1/2(1-cos2x) cos2x的周期是π，

∴ y=sin²x 的周期是 π。

(6)周期函數問題及解決方法擴展閱讀：

周期函數的性質 共分以下幾個類型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，則-T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f（x）的周期。

（3）若T1與T2都是f（x）的周期，則T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那麼f（x）的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

（5）若T1、T2是f（x）的兩個周期，且T1/T2是無理數，則f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函數f（x）的定義域M必定是至少一方無界的集合。

參考資料：周期函數_網路

Ⅶ 如何求函數的周期，方法是什麼

1、y=sinx/cosx=tanx,T=Pi

2、周期函數的積;商:y=y1y2;y=y1/y2的周期的情況比較復雜,只能夠化成一個角的一個函數以後在來求周期。例如

y=sinxcosx=1/2*sin2x,T=Pi

y=(sinx)^2+(cosx)^2,T∈R。

y=sin3x/sinx=3-4(sinx)^2=2+cos2x,T=Pi。

它的周期似乎與T(sin3x)=2P1/3和T(sinx)=2Pi的關系不大，此外二無理數之間不存在公倍數。

(7)周期函數問題及解決方法擴展閱讀:

函數周期性

函數周期性的關鍵的幾個字「有規律地重復出現」。

當自變數增大任意實數時（自變數有意義），函數值有規律的重復出現

假如函數f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),則說T是函數的一個周期.T的整數倍也是函數的一個周期。

周期函數性質：

（1）若T（≠0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(X)的周期。

（3）若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。

（4）若f(X)有最小正周期T*，那麼f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分別是f(X)的兩個周期，則 (T1+T2)T* Q（Q是有理數集）

（6）若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數，則f(X)不存在最小正周期。

（7）周期函數f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。

Ⅷ 周期函數的問題

記住三角函數sinwx的周期T=2π/w即可。一般來說周期函數的運算及復合仍為周期函數
y=cos(x-2), T=2π
y=cos4x, T=2π/4=π/2
y=1+sin πx, T=2π/π=2
y=xcosx, 此不是周期函數。因為其中的x不是周期函數。

Ⅸ 高中函數周期性的問題

要求f(x)的周期的途徑有幾個:
1.取一個簡單且符合題目要求的圖象解決它
2.根據f(x+T)=f(x)和條件求出T值
從題目可知有兩個條件:
1.f(x)是定義在R上的奇函數
2.f(x+2)＋f(x)＝0
但由2可以求出了,列出兩個關系式:
1.f(x+2)＋f(x)＝0
2.f(x+4)+f(x+2)=0
兩式相減得f(x+4)-f(x)=0即T=4
注:條件1.可繞一個彎子得:
f(x+2)=-f(x)=f(-x)將-x=x
f(-x+2)=f(x) f(-x+4)=f(x+2)=f(-x)
再將-x=x得f(x+4)=f(x)

Ⅹ 周期函數具體做法問題

從0到1的區間，往1到2的區間去變
首先周期是2，所以g（x）=g（x-2）=f（x）
x-2的范圍就是-2到-1了，又因為是偶函數，所以g（x-2）=g（2-x）=f（x），2-x正好是1到2的范圍了。設t=2-x，所以x=2-t，這樣g（t）=f（2-t），
所以g（x）=f（2-x），x是1到2的范圍。