㈠ 用配方法化二次型為標准型怎麼作線性變換
1、先將二次型配方,然後化簡(合並同類項)。
2、使用變數替換,將向量x替換為向量y。
3、根據向量y與x之間的關系,寫成變換矩陣。
4、具體,可參看下列例子:

(1)配方法變換矩陣如何求擴展閱讀:
線性變換的性質:
線性空間V上的一個變換A稱為線性變換,對於V中任意的元素α,β和數域P中任意k,都有
A(α+β)=A(α)+A(β)
A (kα)=kA(α)
線性變換是線性代數研究的一個對象,即向量空間到自身的保運算的映射。例如,對任意線性空間V,位似是V上的線性變換,平移則不是V上的線性變換。
對線性變換的討論可藉助矩陣實現。σ關於不同基的矩陣是相似的。Kerσ={a∈V|σ(a)=θ}(式中θ指零向量)稱為σ的核,Imσ={σ(a)|a∈V}稱為σ的象,是刻畫σ的兩個重要概念。
對於歐幾里得空間,若σ關於標准正交基的矩陣是正交(對稱)矩陣,則稱σ為正交(對稱)變換。正交變換具有保內積、保長、保角等性質,對稱變換具有性質:〈σ(a),β〉=〈a,σ(β)〉。
在數學中,線性映射(也叫做線性變換或線性運算元)是在兩個向量空間之間的函數,它保持向量加法和標量乘法的運算。術語「線性變換」特別常用,尤其是對從向量空間到自身的線性映射(自同態)。
在抽象代數中,線性映射是向量空間的同態,或在給定的域上的向量空間所構成的范疇中的態射。
特徵:
(1)設A是V的線性變換,則A(0)=0,A(-α)=-A(α);
(2)線性變換保持線性組合與線性關系式不變;
(3)線性變換把線性相關的向量組變成線性相關的向量組。
注意:線性變換可能把線性無關的向量組變成線性相關的向量組。
㈡ 用配方法化二次型為規范型。並求所用的變換矩陣

㈢ 用配方法將二次型化為標准形並求出所用的可逆變換矩陣f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2x_1 x_2-2x_1 x_4-2x
f=x1^2+x2^2+x3^2+x4^2+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4
= (x1+x2-x4)^2+x3^2-2x2x3+2x2x4+2x3x4
= (x1+x2-x4)^2+(x3-x2+x4)^2-x2^2-x4^2+4x2x4
= (x1+x2-x4)^2+(x3-x2+x4)^2-(x2-2x4)^2+3x4^2
= y1^2+y2^2-y3^2+3y4^2
y1=x1+x2-x4
y2=x3-x2+x4
y3=x2-2x4
y4=x4
即
x4=y4
x2=y3+2y4
x3=y2+y3+y4
x1=-y3-y4
所以 C=
1 0 -1 -1
0 0 1 2
0 1 1 1
0 0 0 1
㈣ 化二次型f=2x1x2+2x1x3-6x2x3成標准型 並求所用的變換矩陣 請問這個怎麼做
這是同濟第五版線性代數,P132頁例16
規范形里只有平方項,現在沒有平方項,自然要想方設法構造了.可根據x1x2或x1x3或x2x3構造,用平方差公式.
只要能夠出現平方項,線性變換可以任意,只要可逆就行.比如假設x1=y1+2y2,x2=y1-2y2或x1=2y1+y2,x2=2y1-y2.最後的答案不唯一.一般考試不會出現這種配方法,都是讓你求正交變換,結果唯一
把線性變換寫成矩陣的形式X=CY,矩陣C可逆
令 x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3
則 f = 2(y1+y2)(y1-y2)+2(y1+y2)y3-6(y1-y2)y3
= 2y1^2-4y3y1-2y2^2+8y3y2
= 2(y1-y3)^2-2y2^2-2y3^2+8y3y2
= 2(y1-y3)^2-2(y2-2y3)^2+6y3^2
= 2z1^2 -2z2^2 +6z3^2 -- 標准形
= w1^2 + w2^2 - w3^2 -- 規范型
標准形不是唯一的
規范型唯一,由正負慣性指數唯一確定(不考慮順序)
㈤ 配方法求矩陣的標准型
x1 = y1+y2
x2 = y1-y2
x3 = y3
代入得
f = -4y1^2+4y2^2+2y1y3+2y2y3+2y1y3-2y2y3
= -4y1^2+4y2^2+4y1y3
= -4(y1-(1/2)y3)^2 + 4y2^2 + y3^2
= -4z1^2 + 4z2^2 + z3^2
答案是對的
㈥ 【線性代數】用配方法將二次型f(X1,X2,X3)=X1^2+2X3^2+2X1X3化為標准型,並寫出變換矩陣
簡單計算一下即可,答案如圖所示

㈦ 線代,為什麼配方法化二次型為標准型求出變換矩陣以後要特意寫它的行列式不為零
配方法所得變換 X=CY 必須是可逆變換
所以要求矩陣C是可逆矩陣
行列式|C|≠0即表示是可逆變換
㈧ 用配方法求標准二次型時,如何求出 變換矩陣
求出標准型後,比如標准型用zi來表示,很容易得Z=CX,C是非退化的,一定可逆,直接求C的逆矩陣就好了
㈨ 用配方法將二次型 f=x1^2+2x1x2+2x2x3-4x1x3化為標准型,並求出所用的變換矩陣
f=x1^2+2x1x2+2x2x3-4x1x3
= (x1+x2-2x3)^2-x2^2-4x3^2+6x2x3
= (x1+x2-2x3)^2-(x2-3x3)^2+5x3^2
= y1^2-y2^2+5y3^2
Y=CX, C=
1 1 -2
0 1 -3
0 0 1
C^-1=
1 -1 -1
0 1 3
0 0 1
所用變換為 X=C^-1Y