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幾何體如何用最簡方法證明

發布時間:2024-04-03 00:25:07

1. 怎麼證明立體幾何!該如何表達好多定理我都忘記了。

立體幾何在歷年的高考中有兩到三道小題,必有一道大題。雖然分值比重不是特別大,但是起著舉足輕重的作用。下面就如何學好立體幾何談幾點建議。

一 立足課本,夯實基礎
直線和平面這些內容,是立體幾何的基礎,學好這部分的一個捷徑就是認真學習定理的證明,尤其是一些很關鍵的定理的證明。例如:三垂線定理。定理的內容都很簡單,就是線與線,線與面,面與面之間的關系的闡述。但定理的證明在出學的時候一般都很復雜,甚至很抽象。掌握好定理有以下三點好處:
(1) 深刻掌握定理的內容,明確定理的作用是什麼,多用在那些地方,怎麼用。
(2) 培養空間想像力。
(3) 得出一些解題方面的啟示。
在學習這些內容的時候,可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架,用以幫助提高空間想像力。對後面的學習也打下了很好的基礎。

二 培養空間想像力
為了培養空間想像力,可以在剛開始學習時,動手製作一些簡單的模型用以幫助想像。例如:正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關系。通過模型中的點、線、面之間的位置關系的觀察,逐步培養自己對空間圖形的想像能力和識別能力。其次,要培養自己的畫圖能力。可以從簡單的圖形(如:直線和平面)、簡單的幾何體(如:正方體)開始畫起。最後要做的就是樹立起立體觀念,做到能想像出空間圖形並把它畫在一個平面(如:紙、黑板)上,還要能根據畫在平面上的「立體」圖形,想像出原來空間圖形的真實形狀。空間想像力並不是漫無邊際的胡思亂想,而是以提設為根據,以幾何體為依託,這樣就會給空間想像力插上翱翔的翅膀。

三 逐漸提高邏輯論證能力
立體幾何的證明是數學學科中任一分之也替代不了的。因此,歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時,首先要保持嚴密性,對任何一個定義、定理及推論的理解要做到准確無誤。符號表示與定理完全一致,定理的所有條件都具備了,才能推出相關結論。切忌條件不全就下結論。其次,在論證問題時,思考應多用分析法,即逐步地找到結論成立的充分條件,向已知靠攏,然後用綜合法(「推出法」)形式寫出

四 「轉化」思想的應用
我個人覺得,解立體幾何的問題,主要是充分運用「轉化」這種數學思想,要明確在轉化過程中什麼變了,什麼沒變,有什麼聯系,這是非常關鍵的。例如:
1. 兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內的射影所成的角。
2. 異面直線的距離可以轉化為直線和與它平行的平面間的距離,也可以轉化為兩平行平面的距離,即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉化。而面面距離可以轉化為線面距離,再轉化為點面距離,點面距離又可轉化為點線距離。
3. 面和面平行可以轉化為線面平行,線面平行又可轉化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到,它們之間可以相互轉化。同樣面面垂直可以轉化為線面垂直,進而轉化為線線垂直。
4. 三垂線定理可以把平面內的兩條直線垂直轉化為空間的兩條直線垂直,而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉化為平面內的兩條直線垂直。
以上這些都是數學思想中轉化思想的應用,通過轉化可以使問題得以大大簡化。

五 總結規律,規范訓練
立體幾何解題過程中,常有明顯的規律性。例如:求角先定平面角、三角形去解決,正餘弦定理、三角定義常用,若是餘弦值為負值,異面、線面取銳角。對距離可歸納為:距離多是垂線段,放到三角形中去計算,經常用正餘弦定理、勾股定理,若是垂線難做出,用等積等高來轉換。不斷總結,才能不斷高。
還要注重規范訓練,高考中反映的這方面的問題十分嚴重,不少考生對作、證、求三個環節交待不清,表達不夠規范、嚴謹,因果關系不充分,圖形中各元素關系理解錯誤,符號語言不會運用等。這就要求我們在平時養成良好的答題習慣,具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規范性在數學的每一部分考試中都很重要,在立體幾何中尤為重要,因為它更注重邏輯推理。對於即將參加高考的同學來說,考試的每一分都是重要的,在「按步給分」的原則下,從平時的每一道題開始培養這種規范性的好處是很明顯的,而且很多情況下,本來很難答出來的題,一步步寫下來,思維也逐漸打開了。

六 典型結論的應用
在平時的學習過程中,對於證明過的一些典型命題,可以把其作為結論記下來。利用這些結論可以很快地求出一些運算起來很繁瑣的題目,尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對於一些解答題雖然不能直接應用這些結論,但其也會幫助我們打開解題思路,進而求解出答案。

我相信,如果在學習過程中做到了以上六點,那麼任何題目也會迎刃而解。第一:要建立空間觀念,提高空間想像力。

從認識平面圖形到認識立體圖形是一次飛躍,要有一個過程。有的同學自製一些空間幾何模型並反復觀察,這有益於建立空間觀念,是個好辦法。有的同學有空就對一些立體圖形進行觀察、揣摩,並且判斷其中的線線、線面、面面位置關系,探索各種角、各種垂線作法,這對於建立空間觀念也是好方法。
此外,多用圖表示概念和定理,多在頭腦中「證明」定理和構造定理的「圖」,對於建立空間觀念也是很有幫助的。

第二:要學好《立體幾何》的基礎知識和基本技能。

要用圖形、文字、符號三種形式表達概念、定理、公式,要及時不斷地復習前面學過的內容。這是因為《立體幾何》內容前後聯系緊密,前面內容是後面內容的根據,後面內容既鞏固了前面的內容,又發展和推廣了前面內容。在解題中,要書寫規范,如用平行四邊形ABCD表示平面時,可以寫成平面AC,但不可以把平面兩字省略掉;要寫出解題根據,不論對於計算題還是證明題都應該如此,不能想當然或全憑直觀;對於文字證明題,要寫已知和求證,要畫圖;用定理時,必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚,自己心中有數而不把它寫出來是不行的。要學會用圖(畫圖、分解圖、變換圖)幫助解決問題;要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法———分析法、綜合法、反證法。

第三要不斷提高各方面能力。

通過聯系實際、觀察模型或類比平面幾何的結論來提出命題;對於提出的命題,不要輕易肯定或否定它,要多用幾個特例進行檢驗,最好做到否定舉出反面例子,肯定給出證明。歐拉公式的內容是以研究性課題的形式給出的,要從中體驗創造數學知識。要不斷地將所學的內容結構化、系統化。所謂結構化,是指從整體到局部、從高層到低層來認識、組織所學知識,並領會其中隱含的思想、方法。所謂系統化,是指將同類問題如平行的問題、垂直的問題、角的問題、距離的問題、惟一性的問題集中起來,比較它們的異同,形成對它們的整體認識。牢固地把握一些能統攝全局、組織整體的概念,用這些概念統攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關系的已知知識間的聯系,提高整體觀念。要注意積累解決問題的策略。如將立體幾何問題轉化為平面問題,又如將求點到平面距離的問題,或轉化為求直線到平面距離的問題,再繼而轉化為求點到平面距離的問題;或轉化為體積的問題。要不斷提高分析問題、解決問題的水平:一方面從已知到未知,另方面從未知到已知,尋求正反兩個方面的知識銜接點———一個固有的或確定的數學關系。

要不斷提高反省認知水平,積極反思自己的學習活動,從經驗上升到自動化,從感性上升到理性,加深對理論的認識水平,提高解決問題的能力和創造性。

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