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如何討論三次方程實根的方法

發布時間:2022-11-30 14:07:19

『壹』 如何計算三次方程求根公式是什麼

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的,用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標准型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到,即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出開立方裡面的內容,也就是用p和q表示A和B。方法如下:
(1)將x=A^(1/3)+B^(1/3)兩邊同時立方可以得到
(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))
(3)由於x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化為
x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移項可得
(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較,可知
(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化簡得
(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3
(7)這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題,因為A和B可以看作是一元二次方程的兩個根,而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理,即
(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a
(9)對比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)
可化為
(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入(11)可得
(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)
(13)將A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得
(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一個實根解,按韋達定理一元三次方程應該有三個根,不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根,另兩個根就容易求出了

『貳』 如何討論三次方程實根的個數(用導數的方式)

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0)。

先用導數確定f(x)是否有極值,若無極值,則f(x)在R遞增,原方程有且只有一個實根;

若有極值(必為一極大一極小),則當f(x)的極大值小於0或f(x)的極小值大於0時,原方程有且只有一個實根,當f(x)的極大值等於0或f(x)的極小值等於0時,原方程有且只有兩個不同的實根,當f(x)的極大值大於0且f(x)的極小值小於0時,原方程有且只有三個實根。

(2)如何討論三次方程實根的方法擴展閱讀:

不是所有的函數都有導數,一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。然而,可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

對於可導的函數f(x),x↦f'(x)也是一個函數,稱作f(x)的導函數(簡稱導數)。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上,求導就是一個求極限的過程,導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。

反之,已知導函數也可以倒過來求原來的函數,即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作,它們都是微積分學中最為基礎的概念。

『叄』 如何討論三次方程實根的個數(用導數的方式)討論方程

一元三次方程通過求導得到一個一元二次方程.一般可解得兩個值.這兩個值就是原方程的極值.根據這極值的符號情況可判定原方程有幾個根.如果兩極值異號,則原方程將會三次穿過X軸,那就是原方程有三個根.如果兩極值同號,則原方程將只有一次穿過X軸,那就是原方程只有一個根.

『肆』 三次方程求根方法

標准型的一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0(a,b,c,d∈R,且a≠0),其解法有:1、義大利學者卡爾丹於1545年發表的卡爾丹公式法;2、中國學者范盛金於1989年發表的盛金公式法。

兩種公式法都可以解標准型的一元三次方程。用卡爾丹公式解題方便,相比之下,盛金公式雖然形式簡單,但是整體較為冗長,不方便記憶,但是實際解題更為直觀。


盛金公式法:

標准型方程中卡爾丹公式的一個實根

『伍』 3次方程怎麼判斷有兩個實數根謝謝

很簡單,假如有ax³+bx²+cx+d=0,我們就設f(x)=ax³+bx²+cx+d,先求出三次函數的導函數f'(x),然後找到f'(x)的兩個零點(如果f'(x)只有一個零點或沒有零點,那三次方程有且只有一個實數根,因為那樣的話函數單調)x1和x2,再看f(x1)和f(x2),也就是兩個極值。如果兩個極值中有一個是0,三次方程就有兩個實數根。

『陸』 如何討論三次方程實根的個數(用導數的方

令f(x) =ax^3+bx^2+cx+d(a>0).
先用導數確定f(x)是否有極值,若無極值,則f(x)在R遞增,原方程有且只有一個實根;
若有極值(必為一極大一極小),則當f(x)的極大

『柒』 怎麼利用極值判斷三次函數有幾個實根

『捌』 如何判斷三次方程有無實數根

按照基本的公式進行即可

首先對於一般的一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0

令y=x+b/3a,代入之後

都可化為x³+px+q=0

顯然後面的x2,x3式子里對應的ω是復數

而判別式為Δ=(q/2)²+(p/3)³

當Δ>0時,有一個實根和兩個復根

而Δ小於等於0時,有三個實根

『玖』 三次方程求根公式

具體演算法如下:

1、ax^3+bx^2+cx+d的標准型。

2、化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0。

3、可以寫成x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0。

4、其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a。

5、令y=x-a1/3。

6、則y^3+px+q=0。

7、其中p=-(a1^2/3)+a2,q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3。

(9)如何討論三次方程實根的方法擴展閱讀:

三次方程的其他解法:

1、因式分解法

因式分解法不是對所有的三次方程都適用,只對一些三次方程適用.對於大多數的三次方程,只有先求出它的根,才能作因式分解.當然,因式分解的解法很簡便,直接把三次方程降次.例如:解方程x3-x=0

對左邊作因式分解,得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三個根:x1=0,x2=1,x3=-1。

2、另一種換元法

對於一般形式的三次方程,先用上文中提到的配方和換元,將方程化為x3+px+q=0的特殊型.令x=z-p/3z代入並化簡,得:z-p/27z+q=0。再令z=w代入,得:w+p/27w+q=0.這實際上是關於w的二次方程.解出w,再順次解出z,x。

3、盛金公式解法

三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程,雖然有著名的卡爾丹公式,並有相應的判別法,但使用卡爾丹公式解題比較復雜,缺乏直觀性。范盛金推導出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,並建立了新判別法.

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