教學時注意概念的內涵和外延
概念的內涵指的是概念所反映對象的本質特徵；概念的外延指的是概念所反映的本質屬性的對象,概念的內涵是質的方面,概念的外延是概念量的方面,它說明概念所反映的事物有哪些.概念的內涵和外延是對立統一的,內涵明確,則外延清晰；外延清晰則內涵明確.例如在新課程必修4的角的概念的推廣的教學中,角的概念的內涵是平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形,外延就是角的分類：正角,負角和零角.在教學中,可以通過變式來明確概念的外延.
例：函數奇偶性的教學（人教A版）
函數的奇偶性是必修1的內容,是函數單調性之後很重要的一個性質.在教材中,通過具體的函數得到了偶函數的概念,
由,得到了奇函數的概念.教材中通過例5讓學生判斷函數的奇偶性,筆者認為,通過這樣的習題還沒有真正明確函數奇偶性這個概念的外延.
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B. 數學概念教學方法具體是什麼
數學概念是抽象化的空間形式和數量關系,是反映數學對象本質屬性的思維形式。數學概念也是數學基礎知識和基本技能的核心,它是理解、掌握其它數學知識的基礎,對培養學生的邏輯思維和靈活運用知識實現遷移的能力有重要的作用，在數學課堂中如何有效地實施概念教學,直接影響教學效果的提高。現結合數學概念教學的實踐,談幾點自己的認識與做法。
一、重視教學情境創設，實現概念引入的自然化
數學教材多是直接給定概念,教師應遵循高中數學新課標的要求,加強概念的引入,引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程。合理設置情境,使學生積極參與教學,了解知識發生、發展的背景和過程,使學生感受到學習的樂趣,這樣也能使學生加深對概念的記憶和理解。
1.以數學史話引入概念
教學中，適當引入與數學概念相關的故事，並巧妙處理，既可激發學習興趣，又可達到教育之目的。如教曲線方程時講講笛卡爾和費馬；學數列時講數學家高斯故事；講二項式定理時向學生介紹楊輝等。在故事引入的同時鼓勵學生勇於探索，培養他們愛科學、學科學、用科學的科學精神。
2.以實際問題引入概念
數學概念來源於實踐,又服務於實踐。從實際問題出發引入概念,使得抽象的數學概念貼近生活,使學生易於接受,還可以讓學生認識數學概念的實際意義,增強數學的應用意識。例如可從教室內牆面與地面相交,且二面角是直角的實際問題引入「兩個平面互相垂直」的概念。
3.利用學生探究實現概念的自然引入
以概念為基礎，以過程為導向，是概念教學的基本理念。讓學生在學習中發現問題，並通過一定的方式解決問題，這是新課程理念的最好體現。在概念教學過程中，教師應在學生現有的知識背景、能力水平和心理特點的基礎上，給學生提供適當的範例，引導學生對實例進行觀察、比較，對概念進行假設、驗證，從而獲得正確的概念。如在「異面直線距離」的概念教學時，不妨先讓學生回顧學過的有關距離的概念，如兩點間的距離、點到直線的距離、兩平行線間的距離，引導學生發現這些距離的共同特點是最短與垂直。然後啟發學生思考在兩條異面直線上是否也存在這樣的兩點，它們間的距離最短？如果存在，有什麼特徵？經過探索，得出如果這兩點的連線段和兩條異面直線都垂直，則其長是最短的，並通過實物模型演示確認這樣的線段存在。在此基礎上，自然地得到「異面直線距離」的概念。在引入過程中調動了學生積極性，培養了勇於發現，大膽探索的精神。
二、善於解剖概念，實現概念教學的深刻化
數學概念是為了解決數學問題，對概念理解不清，在解題時就會出現錯誤；對概念理解不透徹，常會遇到問題束手無策。要正確深刻地理解概念絕非易事，數學概念具有嚴密的科學性，因此概念教學應讓學生准確把握概念的內涵和外延，教師要根據學生的知識結構和能力特點，從多方面著手，適當引導學生剖析概念，抓住概念的實質。在教學中可以從以下幾個方面解剖概念：
1.強調概念中的關鍵詞語
如對函數概念中的「任何」與「唯一」要重點強調。然後舉例 ，前者可以稱 是 的函數，後者不能稱 是 的函數。因為對於任何一個 ,不是對應唯一 。這樣通過正反實例，強調概念中的關鍵詞語，更能加深概念的理解。
2.注重數學語言的翻譯
數學語言有文字語言、符號語言、圖形語言。符號語言有較強的概括性，更能反映概念的本質。如等差數列的概念可用符號「 」（ 為常數）概括。用定義證明一個數列是等差數列時，就是應用概念的符號語言。圖形語言則能更形象地反映概念的內容。如講「交集」概念時，用文氏圖表示「A B」，可以很容易理解概念。
3.注重相似概念的對比分析
有比較才有鑒別。用對比方法找出容易混淆的概念的異同點，有助於學生區分概念，獲取准確、明晰的認識。比如對分類計數原理與分步計數原理、排列與組合的概念，就可以通過概念對比，並結合實例的方式加深概念理解。
三、精心設計練習，實現概念教學的持續化
數學概念教學的主要目的是讓學生在理解概念的基礎上,運用知識解決數學問題,提高數學能力,全面提高學生素質。所以在練習設計上一定要精、針對性強,便於提高學生的能力。
1.加強應用概念中易錯原因剖析
很多概念本身就是解題方法。如「反函數」概念，就已經體現了反函數求法：「反解 」——「將 與 互換」——「標明反函數的定義域」（要通過原函數的值域來確定）。在反函數的求解中，學生常出現反函數定義域由反函數解析式本身確定而導致的錯誤。如果注意在解題中強化反函數概念以及它的由來，就可以避免這樣的錯誤了。
2.加強概念的逆用、變用，從中獲得解題方法
C. 初中數學概念教學的幾種基本方法
《數學課程標准》指出：有效的數學活動，不能單純地依賴模仿和記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。我在教學中不斷嘗試、探索、總結，學生基本上形成了新的學習方式，促進了學生全面持續發展，培養了學生終身學習的能力，實現了課程改革目標。 數學概念是用簡練的語言對研究對象的本質屬性的高度概括，是學生學習數學、接受新知識的基礎。准確而又徹底地理解和掌握數學課堂學習中的概念是學生學好數學的必備條件。數學概念一般包括定義、定理及推論，其中每一個字、詞，每一句話、每一條註解或注釋都是經過認真而又細致地推敲並有特定的意義，以保證概念的完整性和科學性。 初中數學概念的教學在整個教學階段乃至整個數學學習當中又起到了相當重要的作用。加之初中學生理解能力和閱讀能力較弱，因此，教師在教學過程中應認真講解概念，不能忽視每一個概念，不能認為概念是條條，只要學生記住就行了，而是讓學生徹底理解並在此基礎上去記憶。這樣不僅能使學生記得牢，更重要的是學生能通過概念舉一反三、融會貫通，從而達到教學的要求。因此，教好初中數學概念這一關是非常重要和必要的。 一、情境引導，發現本質 概念是對研究對象的本質屬性的概括。而本質屬性的概括的過程是一個由感性到理性、由特殊到一般的思維過程，要使學生獲得清晰的概念，就要在概念教學中充分開展這樣一個過程。按照初中生的年齡特徵，要盡量聯系學生的實際生活經驗引入概念，讓學生在不知不覺中對概念潛移默化，而不是照本宣科，死記詞句。例如，在教學平面內點的直角坐標的概念時，實質上是建立在平面內點和有序實數對的一一對應關系基礎之上。我們可以藉助於學生們看電影時找座位等一些學生所熟悉的實例來引入課題，讓學生在無意識狀態下進入新的概念學習當中，而不是就書認書，硬背概念。當然，要注意這樣做的本身並不是目的，它只是實現教學目標的一種手段，是為了用形象的實例來探討研究對象的抽象本質屬性，因而應把精力放在如何把感性認識上升到理性認識這一過程上來。另外，生活實例並不等於數學概念，有的包括非本質屬性，而有的遺漏了某些本質屬性，因此教者在舉例時必須切實，防止學生對概念的曲解，走向另一個極端。 此外，在概念的教學過程中，要在概念的系統中形成概念，而不是突如其來地灌給學生。從原有的概念基礎上引入，既要注意從學生已有的知識的基礎上引入新概念，又要充分揭示新知識與舊概念的矛盾，使學生認識到舊概念的局限性，學習新概念的必要性。這就要求我們教者在教學前要很好地分析新概念在概念系統中的位置。例如，算術根在教材中的位置，它的前面是方根，後面是根式。它是為了便於研究根式的性質和進行根式的運算，因為正數的平方根有兩個值，它們互為相反數。因此研究二次根式的性質只要研究算術平方根的性質就可以了。算術根是為了解決實數范圍內方根運算的可行和單值而出現的，從而為研究根式鋪平了道路，它在概念系統中起到了承上啟下的作用。 二、呈現定義，促進理解 概念的定義是我們所研究對象的本質屬性的概括，措辭更是精煉，每個字詞都有其重要的作用。為了深刻領會概念的含義，教師不僅要注意對概念論述時用詞的嚴密性和准確性，同時還要及時糾正某些不當及概念認識上的錯誤，這樣有利於培養學生嚴密的邏輯思維習慣，逐步養成對定義的深入鑽研，逐字逐句加以分析，認真推敲的良好習慣。 例如，在講解等腰三角形概念時，一定要強調概念中的有兩條邊相等的「有」字，而不是只有兩條邊相等的「只有」二字。前面的有兩條邊相等包括了兩種情況：一是只有兩條邊相等的等腰三角形，即腰與底不相等的等腰三角形；二是三條邊相等的等腰三角形又叫等邊三角形，而後面的僅僅涉及到一種情況，排除了等邊三角形也是等腰三角形的這一特殊情況。又如，「a、b、c不全等於零」和「a、b、c全不等於零」，這兩條定義字詞都一樣，只是位置不同，但意義截然不同。再如，不在同一直線上的三點確定一個圓，若改寫成三點確定一個圓，得出一個新命題，它既包括了三點在同一直線上也包括了三點不在同一直線上的兩種情形，而在同一直線上的三點不可能確定一個圓，即圓上任意三點都不在同一直線上。故將不在同一直線上三點確定一個圓寫成三點確定一個圓是不成立的。因此，在講述此概念時應突出「不在同一直線上」這句話。 三、新舊聯系，正反對照 有些概念單純地講學生難以接受，難以掌握。但是把某些相關或相對的概念放在一起進行類比、對照，使學生既了解它們之間的聯系又注意到它們的區別，會使學生茅塞頓開，另闢蹊徑。兩個概念之間的關系，可分為相容和不相容兩種，相容又可分為同一、交叉和從屬三種關系。例如，正整數和自然數是同一關系，平方根和算術平方根是從屬關系，方根和根式是交叉關系，矩形和菱形是交叉關系，平行四邊形和梯形是不相容關系。又如：講「仰角」和「俯角」時，將這兩個概念進行對照比較，就不難區別誰是「仰角」，誰是「俯角」。再如，「圓心角」與「圓周角」，同學們已經知道了「圓心角」是頂點在圓心的角，由此及彼，大部分學生就可以得出「圓周角」的定義：頂點在圓上的角叫「圓周角」這又恰恰錯了。此時教師再將「圓周角」的定義敘述出來，學生就會覺得恍然大悟。這樣通過比較「圓心角」與「圓周角」的概念一目瞭然，清清楚楚。 對數學概念的深刻理解，是提高學生解題能力的基礎；反之，也只有通過解題，學生才能加深對概念的認識，才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延。課本中直接運用概念解題的例子很多，教學中要充分利用。同時，對學生在理解方面易出錯誤的概念，要設計一些有針對性的題目，通過練習、講評，使學生對概念的理解更深刻、更透徹。 四、深入剖析，揭示本質 數學概念是數學思維的基礎，要使學生對數學概念有透徹清晰的理解，教師首先要深入剖析概念的實質，幫助學生弄清一個概念的內涵與外延。也就是從質和量兩個方面來明確概念所反映的對象。如，掌握垂線的概念包括三個方面：①了解引進垂線的背景：兩條相交直線構成的四個角中，有一個是直角時，其餘三個也是直角，這反映了概念的內涵。②知道兩條直線互相垂直是兩條直線相交的一個重要的特殊情形，這反映了概念的外延。③會利用兩條直線互相垂直的定義進行推理，知道定義具有判定和性質兩方面的功能。另外，要讓學生學會運用概念解決問題，加深對概念本質的理解。如。「一般地，式子(a≥0)叫做二次根式」這是一個描述性的概念。式子(a≥0)是一個整體概念，其中a≥0是必不可少的條件。又如，講授函數概念時，為了使學生更好地理解掌握函數概念，我們必須揭示其本質特徵，進行逐層剖析：①「存在某個變化過程」——說明變數的存在性；②「在某個變化過程中有兩個變數x和v」——說明函數是研究兩個變數之間的依存關系；③「對於x在某一范圍內的每一個確定的值」——說明變數x的取值是有范圍限制的，即允許值范圍；④「v有唯一確定的值和它對應」——說明有唯一確定的對應規律。由以上剖析可知，函數概念的本質是對應關系。 總之，數學概念教學對整個數學教學起著至關重要的作用，教師在數學概念教學中應努力通過揭示概念的形成、發展、鞏固和應用的過程，培養學生的辯證唯物主義觀念。完善學生的認知結構，發展學生的思維能力，從而提高數學教學質量。
D. 如何在概念教學中提高學生的認知規律
首先糾正一下，不能叫提高學生的認知規律，你的問題應該是：如何運用認知規律提高概念教學效率。
你是老師嗎？我就當你是老師吧，所以有些大前提我就不多解釋了。作為一個老師，你這問題問的……夠語無倫次的。
先說認知規律，你應該參考安德森改進布盧姆版的《認知目標分類學》和羅伯特·馬扎諾的《新認知目標分類學》。安德森版提出的認知結構是——識記、理解、應用、分析、評價、創新。馬扎諾的認知系統則是：提取、領會、分析、應用。
對知識的定義，兩家描述是一樣的：陳述性知識、心理程序知識和心因性的動作程序知識
一般來說，概念教學屬於陳述性知識，對於陳述性知識的教學，我建議參考馬扎諾的理論，因為他的理論基礎是信息加工論，所以，我建議你的教學過程按照「提取」、「領會」、「分析」、「應用」這四個層次進行。
提取：它所強調的是你要教授的這個概念與學生以往的任何經驗和記憶有關聯嗎？不要交手一個全新的概念，而是要把新概念和舊概念建立聯系，這便於學生迅速接受新概念。
領會：也就是安德森版分類學中的理解，促進學生理解的教學方法包括要求學生轉述概念（切記不要背誦，而是要轉述），要求學生把概念精煉化，要求學生舉出與概念相關的3個以上的例子，要求學生以不同的方式表述概念（例如把數學定理用公式描述，把一個公式用語言來描述，把一段文字概念用圖例描述等）。這些手段都是促進學生對概念理解的。
分析：一定要有這個環節，這是中國教育普遍缺乏的環節。分析就是對所學的概念進行分析，可以拆解概念，可以質疑概念，可以運用反證法、歸謬法等手段，對所學的概念加以分析。這個階段就是要學生懷疑所學的概念，盡信書不如無書，憑什麼書上寫的都是對的？憑什麼老師說的都是對的？這是對概念進行知識深加工的一個環節，不可或缺！
應用：所有的知識和概念都要務求「有用」，如果你不能證明某個概念是有用的，你當然就無法要求學生永遠記住這些無用的知識。而應用所強調的絕非是你去告訴學生，這個概念如何如何有用，而是要給學生設計任務，讓學生用到這些概念。這意味著要讓學生完成問題解決等現實任務，只有如此，才能把知識、概念內化，最終變成一種技能伴隨學生一生。你看美國總會要求小學生寫本書，其實就是在強調操作性的應用。學知識不如用知識，學概念不如用概念。
以上，應該說就是按照認知規律的概念教學過程，這只是個原則，並不等於是具體的教學設計，根據學科不同，你還需要具體設計教學內容。
再說：假如你想問的是如何通過概念教學提高學生的認知能力，那其實與按照認知規律的教學是相同的道理。因為你要提高學生的認知能力，首先需要按照認知規律教學，而按照認知規律的教學設計本身就是在訓練學生認知的單元能力和認知的策略，這個教學過程是隱性的。