歐氏幾何研究方法

A. 非歐幾何與歐氏幾何區別，適用范圍有什麼不同

一、歐式幾何和非歐幾何的主要區別如下：

1、歐氏幾何的幾何結構是平坦的空間結構背景下考察，而非歐幾何關注彎曲空間下的幾何結構。

2、歐式幾何起源於公元前，而非歐幾何是幾何學發展到新的時代的產物，產生於19世紀20年代。

3、非歐幾何產生於非歐空間，而非歐空間可以理解成扭曲了的歐式空間，它的坐標軸不再是直線，或者坐標軸之間並不正交（即不成90度）。而歐式幾何的坐標軸是直線，坐標軸之間成90度。

4、非歐幾何與歐氏幾何最主要的區別在於公理體系中採用了不同的平行定理。歐式幾何提出平行公理又稱「第五公設」，非歐幾何認為第五公設是不可證明的，並由否定第五公設的其他公理代替第五公設。

二、歐式幾何與非歐幾何的適用范圍

歐氏幾何主要研究平面結構的幾何及立體幾何，非歐幾何是在一個不規則曲面上進行研究。

歐式幾何可以用於研究平面上的幾何，即平面幾何；研究三維空間的歐幾里得幾何，通常叫做立體幾何。

非歐幾何適用於抽象空間的研究，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象為特徵的嶄新階段。非歐幾何學還應用在愛因斯坦發展的廣義相對論。

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非歐幾何是對傳統歐式幾何的補充和完善，具有非常重大的意義。

其一，隨著非歐幾何的產生，引起了數學家們對幾何基礎的研究，從而從根本上改變了人們的幾何觀念，擴大了幾何學的研究對象，使幾何學的研究對象由圖形的性質進入到抽象空間，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象為特徵的嶄新階段。

可以說，非歐幾何的產生是數學以直觀為基礎的時代進入以理性為基礎的時代的重要標志。

其二，非歐幾何的產生，引起了一些重要數學分支的產生。數學家們圍繞著幾何的基礎問題、幾何的真實性問題或者說幾何的應用可靠性問題等的討論，在完善數學基礎的過程中，相繼出現了一些新的數學分支，如數的概念、分析基礎、數學基礎、數理邏輯等，公理化方法也獲得了進一步的完善。

其三，非歐幾何學的創立為愛因斯坦發展廣義相對論提供了思想基礎和有力工具，而相對論給物理學帶來了一場深刻的革命，動搖了牛頓力學在物理學中的統治地位，使人們對客觀世界的認識產生了質的飛躍。

其四，非歐幾何學使數學哲學的研究進入了一個嶄新的歷史時期。18世紀和19世紀前半期最具影響的康德哲學，它的自然科學基礎支柱之一是歐幾里得空間。康德曾經說過：「歐幾里得幾何是人類心靈內在固有的，因而對於『現實』空間客觀上是合理的。」

非歐幾何的創立，沖破了傳統觀念並破除了千百年來的思想習慣，給康德的唯心主義哲學以有力一擊，使數學從傳統的形而上學的束縛下解放出來。用康托爾的話說「數學的本質在於其自由」。

B. 歐幾里得幾何

歐幾里得幾何簡稱「歐氏幾何」，是幾何學的一門分科。數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。
歐氏幾何源於公元前3世紀。古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理(公設)，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為「平面幾何」與「立體幾何」。
其中公理五又稱之為平行公設（Parallel Postulate），敘述比較復雜，並不像其他公理那麼顯然。這個公設衍生出「三角形內角和等於一百八十度」的定理。在高斯（F. Gauss）的時代，公設五就備受質疑，俄羅斯數學家羅巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波爾約（Bolyai）闡明第五公設只是公理系統的一種可能選擇，並非必然的幾何真理，也就是「三角形內角和不一定等於一百八十度」，從而發現非歐幾里得的幾何學，即「非歐幾何」（non-Euclidean geometry）。
另一方面，歐幾里得幾何的五條公理並未具有完備性。例如，該幾何中有定理：在任意直線段上可作一等邊三角形。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。 因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。

C. 歐幾里德幾何學是什麼樣的

幾何」這個詞在漢語里是「多少？」的意思，但在數學里「幾何」的涵義就完全不同了。「幾何」這個詞的詞義來源於希臘文，原意是土地測量，或叫測地術。 幾何學和算術一樣產生於實踐，也可以說幾何產生的歷史和算術是相似的。在遠古時代，人們在實踐中積累了十分豐富的各種平面、直線、方、圓、長、短、款、窄、厚、薄等概念，並且逐步認識了這些概念之間、它們以及它們之間位置關系跟數量關系之間的關系，這些後來就成了幾何學的基本概念。 正是生產實踐的需要，原始的幾何概念便逐步形成了比較粗淺的幾何知識。雖然這些知識是零散的，而且大多數是經驗性的，但是幾何學就是建立在這些零散、經驗性的、粗淺的幾何知識之上的。 幾何學是數學中最古老的分支之一，也是在數學這個領域里最基礎的分支之一。古代中國、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發源地。 大量出土文物證明，在我國的史前時期，人們已經掌握了許多幾何的基本知識，看一看遠古時期人們使用過的物品中那許許多多精巧的、對稱的圖案的繪制，一些簡單設計但是講究體積和容積比例的器皿，都足以說明當時人們掌握的幾何知識是多麼豐富了。 幾何之所以能成為一門系統的學科，希臘學者的工作曾起了十分關鍵的作用。兩千多年前的古希臘商業繁榮，生產比較發達，一批學者熱心追求科學知識，研究幾何就是最感興趣的內容，在這里應當提及的是哲學家、幾何學家柏拉圖和哲學家亞里士多德對發展幾何學的貢獻。 柏拉圖把邏輯學的思想方法引入了幾何，使原始的幾何知識受邏輯學的指導逐步趨向於系統和嚴密的方向發展。柏拉圖在雅典給他的學生講授幾何學，已經運用邏輯推理的方法對幾何中的一些命題作了論證。亞里士多德被公認是邏輯學的創始人，他所提出的「三段論」的演繹推理的方法，對於幾何學的發展，影響更是巨大的。到今天，在初等幾何學中，仍是運用三段論的形式來進行推理。 但是，盡管那時候已經有了十分豐富的幾何知識，這些知識仍然是零散的、孤立的、不系統的。真正把幾何總結成一門具有比較嚴密理論的學科的，是希臘傑出的數學家歐幾里得。 歐幾里得在公元前300年左右，曾經到亞歷山大城教學，是一位受人尊敬的、溫良敦厚的教育家。他酷愛數學，深知柏拉圖的一些幾何原理。他非常詳盡的搜集了當時所能知道的一切幾何事實，按照柏拉圖和亞里士多德提出的關於邏輯推理的方法，整理成一門有著嚴密系統的理論，寫成了數學史上早期的巨著——《幾何原本》。 《幾何原本》的偉大歷史意義在於，它是用公理法建立起演繹的數學體系的最早典範。在這部著作里，全部幾何知識都是從最初的幾個假設除法、運用邏輯推理的方法展開和敘述的。也就是說，從《幾何原本》發表開始，幾何才真正成為了一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。 歐幾里得的《幾何原本》 歐幾里得的《幾何原本》共有十三卷，其中第一卷講三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關系，平行線理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件；第二卷講如何把三角形變成等積的正方形；第三卷講圓；第四卷討論內接和外切多邊形；第六卷講相似多邊形理論；第五、第七、第八、第九、第十卷講述比例和算術得里論；最後講述立體幾何的內容。 從這些內容可以看出，目前屬於中學課程里的初等幾何的主要內容已經完全包含在《幾何原本》里了。因此長期以來，人們都認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標准教科書。屬於《幾何原本》內容的幾何學，人們把它叫做歐幾里得幾何學，或簡稱為歐式幾何。 《幾何原本》最主要的特色是建立了比較嚴格的幾何體系，在這個體系中有四方面主要內容，定義、公理、公設、命題（包括作圖和定理）。《幾何原本》第一卷列有23個定義，5條公理，5條公設。（其中最後一條公設就是著名的平行公設，或者叫做第五公設。它引發了幾何史上最著名的長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論，並最終誕生了非歐幾何。） 這些定義、公理、公設就是《幾何原本》全書的基礎。全書以這些定義、公理、公設為依據邏輯地展開他的各個部分的。比如後面出現的每一個定理都寫明什麼是已知、什麼是求證。都要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理給予仔細證明。 關於幾何論證的方法，歐幾里得提出了分析法、綜合法和歸謬法。所謂分析法就是先假設所要求的已經得到了，分析這時候成立的條件，由此達到證明的步驟；綜合法是從以前證明過的事實開始，逐步的導出要證明的事項；歸謬法是在保留命題的假設下，否定結論，從結論的反面出發，由此導出和已證明過的事實相矛盾或和已知條件相矛盾的結果，從而證實原來命題的結論是正確的，也稱作反證法。 歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學發展的歷史中具有重要意義。它標志著幾何學已成為一個有著比較嚴密的理論系統和科學方法的學科。 從歐幾里得發表《幾何原本》到現在，已經過去了兩千多年，盡管科學技術日新月異，但是歐幾里得幾何學仍舊是中學生學習數學基礎知識的好教材。 由於歐氏幾何具有鮮明的直觀性和有著嚴密的邏輯演繹方法相結合的特點，在長期的實踐中表明，它巳成為培養、提高青、少年邏輯思維能力的好教材。歷史上不知有多少科學家從學習幾何中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。 少年時代的牛頓在劍橋大學附近的夜店裡買了一本《幾何原本》，開始他認為這本書的內容沒有超出常識范圍，因而並沒有認真地去讀它，而對笛卡兒的「坐標幾何」很感興趣而專心攻讀。後來，牛頓於1664年4月在參加特列台獎學金考試的時候遭到落選，當時的考官巴羅博士對他說：「因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。」這席談話對牛頓的震動很大。於是，牛頓又重新把《幾何原本》從頭到尾地反復進行了深入鑽研，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。 近代物理學的科學巨星愛因斯坦也是精通幾何學，並且應用幾何學的思想方法，開創自己研究工作的一位科學家。愛因斯坦在回憶自己曾走過的道路時，特別提到在十二歲的時候「幾何學的這種明晰性和可靠性給我留下了一種難以形容的印象」。後來，幾何學的思想方法對他的研究工作確實有很大的啟示。他多次提出在物理學研究工作中也應當在邏輯上從少數幾個所謂公理的基本假定開始。在狹義相對論中，愛因斯坦就是運用這種思想方法，把整個理論建立在兩條公理上：相對原理和光速不變原理。 在幾何學發展的歷史中，歐幾里得的《幾何原本》起了重大的歷史作用。這種作用歸結到一點，就是提出了幾何學的「根據」和它的邏輯結構的問題。在他寫的《幾何原本》中，就是用邏輯的鏈子由此及彼的展開全部幾何學，這項工作，前人未曾作到。 但是，在人類認識的長河中，無論怎樣高明的前輩和名家，都不可能把問題全部解決。由於歷史條件的限制，歐幾里得在《幾何原本》中提出幾何學的「根據」問題並沒有得到徹底的解決，他的理論體系並不是完美無缺的。比如，對直線的定義實際上是用一個未知的定義來解釋另一個未知的定義，這樣的定義不可能在邏輯推理中起什麼作用。又如，歐幾里得在邏輯推理中使用了「連續」的概念，但是在《幾何原本》中從未提到過這個概念。 現代幾何公理體系 人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最後德國數學家希爾伯特在總結前人工作的基礎上，在他1899年發表的《幾何基礎》一書中提出了一個比較完善的幾何學的公理體系。這個公理體系就被叫做希爾伯特公理體。 希爾伯特不僅提出了—個完善的幾何體系，並且還提出了建立一個公理系統的原則。就是在一個幾何公理系統中，採取哪些公理，應該包含多少條公理，應當考慮如下三個方面的問題： 第一，共存性(和諧性)，就是在一個公理系統中，各條公理應該是不矛盾的，它們和諧而共存在同一系統中。 第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引伸出來的。 第三，完備性，公理體系中所包含的公理應該是足夠能證明本學科的任何新命題。 這種用公理系統來定義幾何學中的基本對象和它的關系的研究方法，成了數學中所謂的「公理化方法」，而把歐幾里得在《幾何原本》提出的體系叫做古典公理法。 公理化的方法給幾何學的研究帶來了一個新穎的觀點，在公理法理論中，由於基本對象不予定義，因此就不必探究對象的直觀形象是什麼，只專門研究抽象的對象之間的關系、性質。從公理法的角度看，我們可以任意地用點、線、面代表具體的事物，只要這些具體事物之間滿足公理中的結合關系、順序關系、合同關系等，使這些關系滿足公理系統中所規定的要求，這就構成了幾何學。 因此，凡是符合公理系統的元素都能構成幾何學，每一個幾何學的直觀形象不止只有—個，而是可能有無窮多個，每一種直觀形象我們把它叫做幾何學的解釋，或者叫做某種幾何學的模型。平常我們所熟悉的幾何圖形，在研究幾何學的時候，並不是必須的，它不過是一種直觀形象而已。 就此，幾何學研究的對象更加廣泛了，幾何學的含義比歐幾里得時代更為抽象。這些，都對近代幾何學的發展帶來了深遠的影響

D. 什麼是歐氏幾何，黎曼幾何，羅氏幾何拜託各位大神

歐氏幾何 一、歐氏幾何的建立 歐氏幾何是歐幾里德幾何學的簡稱， 其創始人是公元前三世紀的古希臘偉大數學家歐幾里德。在他以前， 古希臘人已經積累了大量的幾何知識， 並開始用邏輯推理的方法去證明一些幾何命題的結論。 歐幾里德這位偉大的幾何建築師在前人准備的「木石磚瓦」 材料的基礎上，天才般地按照邏輯系統把幾何命題整理起來， 建成了一座巍峨的幾何大廈，完成了數學史上的光輝著作《 幾何原本》。這本書的問世，標志著歐氏幾何學的建立。 這部科學著作是發行最廣而且使用時間最長的書。 後又被譯成多種文字，共有二千多種版本。 它的問世是整個數學發展史上意義極其深遠的大事， 也是整個人類文明史上的里程碑。兩千多年來， 這部著作在幾何教學中一直占據著統治地位， 至今其地位也沒有被動搖， 包括我國在內的許多國家仍以它為基礎作為幾何教材。 二、一座不朽的豐碑 歐幾里德將早期許多沒有聯系和未予嚴謹證明的定理加以整理， 寫下《幾何原本》一書， 使幾何學變成為一座建立在邏輯推理基礎上的不朽豐碑。 這部劃時代的著作共分13卷，465個命題。 其中有八卷講述幾何學， 包含了現在中學所學的平面幾何和立體幾何的內容。但《幾何原本》 的意義卻絕不限於其內容的重要，或者其對定理出色的證明。 真正重要的是歐幾里德在書中創造的一種被稱為公理化的方法。 在證明幾何命題時，每一個命題總是從再前一個命題推導出來的， 而前一個命題又是從再前一個命題推導出來的。 我們不能這樣無限地推導下去，應有一些命題作為起點。 這些作為論證起點，具有自明性並被公認下來的命題稱為公理， 如同學們所學的「兩點確定一條直線」等即是。 同樣對於概念來講也有些不加定義的原始概念，如點、線等。 在一個數學理論系統中， 我們盡可能少地先取原始概念和不加證明的若干公理， 以此為出發點，利用純邏輯推理的方法， 把該系統建立成一個演繹系統，這樣的方法就是公理化方法。 歐幾里德採用的正是這種方法。他先擺出公理、公設、定義， 然後有條不紊地由簡單到復雜地證明一系列命題。他以公理、公設、 定義為要素，作為已知，先證明了第一個命題。然後又以此為基礎， 來證明第二個命題，如此下去，證明了大量的命題。其論證之精彩， 邏輯之周密，結構之嚴謹，令人嘆為觀止。 零散的數學理論被他成功地編織為一個從基本假定到最復雜結論的系 統。因而在數學發展史上， 歐幾里德被認為是成功而系統地應用公理化方法的第一人， 他的工作被公認為是最早用公理法建立起演繹的數學體系的典範。 正是從這層意義上，歐幾里德的《幾何原本》 對數學的發展起到了巨大而深遠的影響， 在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。 三、歐氏幾何的完善 公理化方法已經幾乎滲透於數學的每一個領域， 對數學的發展產生了不可估量的影響， 公理化結構已成為現代數學的主要特徵。 而作為完成公理化結構的最早典範的《幾何原本》， 用現代的標准來衡量，在邏輯的嚴謹性上還存在著不少缺點。 如一個公理系統都有若干原始概念(或稱不定義概念)，如點、線、 面就屬於這一類。歐幾里德對這些都做了定義， 但定義本身含混不清。另外，其公理系統也不完備， 許多證明不得不藉助於直觀來完成。此外，個別公理不是獨立的， 即可以由其他公理推出。 這些缺陷直到1899年德國數學家希爾伯特的在其《幾何基礎》 出版時得到了完善。在這部名著中， 希爾伯特成功地建立了歐幾里德幾何的完整、嚴謹的公理體系， 即所謂的希爾伯特公理體系。 這一體系的建立使歐氏幾何成為一個邏輯結構非常完善而嚴謹的幾何 體系。也標志著歐氏幾何完善工作的終結。 ------------------------------ ------------------------------ -------- 黎曼幾何 黎曼流形上的幾何學。德國數學家G.F.B. 黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。 1854年黎曼在格丁根大學發表的題為《 論作為幾何學基礎的假設》的就職演說， 通常被認為是黎曼幾何學的源頭。在這篇演說中， 黎曼將曲面本身看成一個獨立的幾何實體， 而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個幾何實體。 他首先發展了空間的概念， 提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量 ，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為坐標來描述。 這是現代n維微分流形的原始形式， 為用抽象空間描述自然現象奠定了基礎。 這種空間上的幾何學應基於無限鄰近兩點（x1，x2，……xn） 與（x1＋dx1，……xn＋dxn）之間的距離， 用微分弧長度平方所確定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函數構成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。 賦予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼認識到度量只是加到流形上的一種結構， 並且在同一流形上可以有許多不同的度量。 黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾里得空間E3中的曲面S上存在誘 導度量ds2＝E2＋2Fdv＋Gdv2， 即第一基本形式， 而並未認識到S還可以有獨立於三維歐幾里得幾何賦予的度量結構。 黎曼意識到區分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性， 從而擺脫了經典微分幾何曲面論中局限於誘導度量的束縛， 創立了黎曼幾何學，為近代數學和物理學的發展作出了傑出貢獻。 黎曼幾何以歐幾里得幾何和種種非歐幾何作為其特例。例如： 定義度量（a是常數），則當a＝0時是普通的歐幾里得幾何， 當a＞0時 ，就是橢圓幾何 ，而當a＜0時為雙曲幾何。 黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。 該問題大約在1869年前後由E.B.克里斯托費爾和R. 李普希茨等人解決。 前者的解包含了以他的姓命名的兩類克里斯托費爾記號和協變微分概 念。在此基礎上G.里奇發展了張量分析方法， 這在廣義相對論中起了基本數學工具的作用。 他們進一步發展了黎曼幾何學。 但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來， 因此黎曼幾何只限於小范圍的理論。大約在1925年H. 霍普夫才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關系進行了研究。 隨著微分流形精確概念的確立，特別是E. 嘉當在20世紀20年代開創並發展了外微分形式與活動標架法， 建立了李群與黎曼幾何之間的聯系， 從而為黎曼幾何的發展奠定重要基礎，並開辟了廣闊的園地， 影響極其深遠。並由此發展了線性聯絡及纖維叢的研究。 1915年，A. 愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論—— 廣義相對論。使黎曼幾何（嚴格地說洛倫茨幾何）及其運算方法（ 里奇演算法）成為廣義相對論研究的有效數學工具。 而相對論近年的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。 例如矢量叢和聯絡論構成規范場（楊-米爾斯場）的數學基礎。 1944年陳省身給出n維黎曼流形高斯-博內公式的內蘊證明， 以及他關於埃爾米特流形的示性類的研究， 引進了後來通稱的陳示性類， 為大范圍微分幾何提供了不可缺少的工具並為復流形的微分幾何與拓 撲研究開創了先河。半個多世紀， 黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的結果。 黎曼幾何與偏微分方程、多復變函數論、 代數拓撲學等學科互相滲透，相互影響， 在現代數學和理論物理學中有重大作用。 ------------------------------ ------------------------------ -------- 羅氏幾何 羅式幾何學的公理系統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式一對分 散直線在其唯一公垂線兩側無限遠離幾何平行公理用「 從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行」來代替， 其他公理基本相同。由於平行公理不同， 經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。 我們知道， 羅式幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此， 凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的， 在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中， 凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立， 他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明： 歐式幾何: 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直於同一直線的兩條直線或向平行。 存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。 羅式幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直於同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。 不存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。 從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到， 這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。 所以羅式幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。 但是，數學家們經過研究， 提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀「模型」 來解釋羅式幾何是正確的。 1868年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《 非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（ 例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」 成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾， 非歐幾何也就自然沒有矛盾。 人們既然承認歐幾里是沒有矛盾的， 所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時， 長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究， 羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊 美，他本人則被人們贊譽為「幾何學中的哥白尼」。

E. 古希臘人是如何發明了幾何學

相傳四千年前，埃及的尼羅河，每年洪水泛濫會淹沒很多土地。

為了重新測量土地以便於征稅收，埃及人對幾何圖形的面積、角度的計算和測量研究得越來越深入。

在古籍《萊因德紙草書》中就記載了各種平面圖形、立體面積和體積的計算方法。

隨著歷史的發展，古希臘人整理了歷年來積累的知識和經驗，逐漸將知識抽象化，建立了幾何的基本理論和定理。

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幾何學的發展史

1、歐氏幾何的創始

公認的幾何學的確立源自公元300多年前，希臘數學家歐幾里得著作《原本》。歐幾里得在
《原本》中創造性地用公理法對當時所了解的數學知識作了總結。歐幾里得的《原本》是數學史上的一座里程碑,在數學中確立了推理的範式。他的思想被稱作「公理化思想」。

2、解析幾何的誕生

解析幾何是變數數學最重要的體現。解析幾何的基本思想是在平面上引入「坐標」的概念，並藉助這種坐標在平面上的點和有序實數對（x，y）建立一一對應的關系，於是幾何問題就轉化為代數問題。
解析幾何的真正創立者應該是法國數學家迪卡兒和費馬。

3、非歐幾何的誕生與發展

非歐幾何的誕生源於人們長久以來對歐幾里得《原本》中第五公設即平行公設的探討，直到數學家高斯、波約和俄國數學家羅巴切夫斯基進行推理而得出的新的一套幾何學定理，並將它命名為非歐幾何，一般稱為「羅氏幾何」。

1854年德國數學家黎曼發展了羅巴切夫斯基的幾何思想，從而
建立了一種更為一般化的幾何，稱為「黎曼幾何」。直到19世紀後期，數學家貝爾特拉米、克萊因、龐加萊在歐氏空間建立了非歐幾何的模型，非歐幾何才得到理解和承認。

4、射影幾何的發展

文藝復興時期的幾何發展源於對宗教繪畫的更高追求。

5、幾何學的統一

非歐幾何的創立打破了長久以來人們認為只有歐氏幾何的觀念。希爾伯特為統一幾何學的提出了實施方法，即公理化方法。這種公理系統透徹的闡述了幾何學的邏輯關系和包含內容，完整的統一了幾何學。

F. 歐幾里得幾何學的理論體系使用什麼樣的科學方法建立起來的

答案：歐幾里得幾何學的理論體系使用（演繹）的科學方法建立起來的
歐幾里得幾何簡稱「歐氏幾何」，是幾何學的一門分科。數學上，歐幾里得幾何是平面和三維空間中常見的幾何，基於點線面假設。數學家也用這一術語表示具有相似性質的高維幾何。
歐氏幾何源於公元前3世紀。古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理(公設)，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為「平面幾何」與「立體幾何」。