幾何畫板實例分析方法

『壹』 如何用幾何畫板進行概念教學

幾何畫板是一個功能強大、操作簡便的教學軟體,在初中數學教學中運用幾何畫板,能夠有效提高教學的直觀性和交互性,提高學生對數學知識的感知能力，使初中數學知識更加直觀地展現在學生面前。巧用幾何畫板,展現函數知識的直觀性 。
函數的教學如果單純地採用公式和數字的教學模式,往往難以直觀地展現函數知識的本質.所以,在函數教學中合理地運用幾何畫板能夠起到很好的教學效果。

藉助幾何畫板，能使抽象數學的概念直觀化

數學中的概念對學生來說往往抽象難懂，是數學教學的一個難點，如能應用幾何畫板教學，可以把一些概念直觀化，使知識簡單、明了，讓學生更易接受。如在學習「軸對稱」概念時，使用幾何畫板作演示，既能吸引學生的注意力，又能掌握該學習知識。

『貳』 幾何畫板正三角形在正方形內滑動怎樣做 要方法和作出的實例

你沒有說清楚，如果是滑動，我理解為一個等長的線段在正方形的內部滑動，然後，以這條線段為等邊三角形的一條邊，製作出正三角形就可以了。請追問你的詳細要求。我製作一個。

『叄』 如何使用幾何畫板求函數最值

利用幾何畫板繪制函數時，往往只繪制出了函數圖象而沒有分析函數的值域問題。如何用幾何畫板計算函數圖象在某一區間內的最大值最小值呢?下面就介紹求幾何畫板函數最值的方法。
幾何畫板官方版下載
如何使用幾何畫板求函數最值
例如：求函數f(x)=x4-3x3+2x-2在區間[-1，3]的最大值與最小值。
具體操作如下：
1.選擇「繪圖」——「繪制新函數」，在函數編輯器中輸入函數表達式，點擊確定後出現函數圖象。
使用「繪圖」——「繪制新函數「命令繪制函數圖象
2.選擇自定義工具中——函數工具——極大/極小值。單擊函數f(x)的表達式，將滑鼠移動到函數圖象上，出現極限點標示時松開滑鼠，一個極大值或極小值就記錄下來。下圖顯示的是一個極小值坐標。
利用自定義工具中的「極小/極大值」命令得到一個極小值點
3.反復這樣操作，可以求出另兩個極值點坐標。這樣，所有的三個極值點都已經求出來了。
利用自定義工具中的「極小/極大值」命令得到所有的極值點
4.選擇「數據」——「計算」，單擊函數表達式，在編輯框內就自動輸入f()，在括弧內輸入-1，單擊確定左側出現函數值。同樣方法計算出函數在x=3處的函數值。
分別計算出區間左端點和右端點的函數值
5.對五個y值進行比較，結論是：函數在[-1,3]區間上的最大值為4，最小值為-6.14830。
提示：我們還可以調整精確度。選中數值，右擊選擇屬性，單擊值標簽，在精確度下拉列表中選擇一個精度，單擊確定。
以上內容向大家介紹了幾何畫板求函數最值問題的解決方法，此過程中幾何畫板自定義工具的使用很重要，否則無法實現此過程。利用自定義工具可以簡化很多圖形的繪制，我們還可以對幾何畫板自定義工具添加常用圖形，比如箭頭，具體的教程可以參考如何在自定義工具中添加箭頭工具。

『肆』 怎麼用幾何畫板畫出這個解析式的圖像

在幾何畫板中，繪制函數圖象有幾種方法，最簡單的方法就是知道解析式，畫板自動繪制。已知圖象不知道解析式，至少可以有兩種方法繪制出函數圖象，一種是根據圖象製作沿著圖象路徑行走的動點，構造動點的軌跡來表示圖象；另一種是使用標識筆，沿著圖象做手繪線，然後，右鍵手繪線，定義繪圖函數，再右鍵繪圖函數表達式，繪制函數，則畫出了圖象。最後的方法使用數位板等手寫輸入手繪線，圖象才能比較光滑。

『伍』 如何用幾何畫板做課程的演示

傳統的數學課堂教學內容呈現方式單一，課堂容量小，效率低。現代信息技術的教學環境下，教學信息的呈現方式多樣而有趣，在引入新課、突破教學重難點、培養學生的能力、激發學生學習興趣、增加課堂容量等方面提高課堂教學效率，信息技術是首選的教學手段。信息技術畢竟是一種輔助教學手段，並非所有的教學內容都適合用多媒體技術輔助完成，這就需要教師必須把信息技術與傳統教學的優勢、數學課程資源有機地結合起來，充分發揮現代信息技術的優勢，教師和學生才能和諧互動。筆者就如何在教學中尋找信息技術與數學教學的最佳結合點，巧妙地利用現代信息技術的優越性，提高課堂教學效率的做法闡述如下：
一、創設情境，激發學生學習興趣。 把數學知識放在一個生動、活潑、貼近生活實際的情境中去學習，更容易激發學生探索知識、解決問題的興趣，創設的情景要與學生的日常生活密切相關，同時要充分利用視頻、音頻、圖片等多媒體技術來呈現問題，面對眾多的信息呈現形式，學生將表現出強烈的好奇心，一旦這種好奇心發展為學習的興趣和動力，將會表現出旺盛的求知慾，極大地提高課堂教學效率。
在多年的數學課堂教學中，我常利用多媒體等現代教學手段，結合學生實際，創設出與實際生活緊密聯系的情境，從而使學生輕松愉悅地學習，激發學生探求新知的強烈慾望，達到調動學生學習興趣的目的。如在概率的引入過程中，先利用多媒體播放商場中抽獎、體育彩票抽獎以及射擊比賽中命中點數等學生感興趣的視屏，引入概率的學習；又如，等腰三角形三線合一性質的動畫演示；利用多媒體演示太陽和地平線的位置關系，引入圓與直線的位置；利用多媒體演示勾股定理三角形流沙原理，引入勾股定理；利用多媒體演示神州5號火箭升天的畫面，展示第一宇宙速度計算的相關數據及公式，引入平方根的計算，這些情景的設置知情融合、氣氛活躍，引發了學生學習數學的興趣，大大提高了教學效率。
二、藉助動畫等技術突破抽象概念教學的難點。 數學學習的重難點主要是定理、法則、公式、結論等抽象概念。數學概念的學習關鍵是讓學生經歷和參與它們的形成過程，這些概念的建立往往需要嚴密的邏輯推理，多媒體技術能夠把抽象的概念轉化為學生熟悉的形象，把靜態的知識轉化為動態的圖象，幫助學生更加清晰完整的認知概念，已達到提高課堂教學效率的目的。如在圓和直線的位置關系中，利用多媒體演示太陽和地平線的位置關系，通過多媒體的展示，動靜相結合，不僅調動了學生的學習積極性，而且對鼓勵學生主動參與學習、探究知識、動手操作、分析解決問題起到了推動作用。又如在探究「邊邊角」不能證明兩三角形相似時，利用多媒體展示這樣兩個三角形，用不同顏色的線條標記出相等的量，學生通過觀察很容易得出結論。又如，在探索正比例函數中y隨x變化的規律時，可以通過幾何畫板演示正比例函數的函數圖象，k任取不同的數值，觀察圖象的位置；給出圖象上任意一點測量出此點的坐標；拖動此點變換它的位置，觀察此點的橫縱坐標的變化情況；引導學生探究、討論、歸納得出正比例函數的性質。通過幾何畫板的演示，不僅幫助學生在動態中去觀察、探索和發現變數之間的數量變化關系與結構關系，而且幫助學生從感性認識上升到理性認識，變抽象為直觀，使「數」與「形」完美結合。
三、巧用多媒體技術解決生活中的數學問題。 新課程標准要求數學學習內容的素材要貼近學生生活實際，以更好地服務生活。教學中結合生活實際設計教學內容，創設各種情景，提出真實、有思考價值的問題，真正讓數學進入生活，體驗數學在生活中的作用。設計的場景利用多媒體技術呈現，學生看到熟悉的生活情景，就會置身其中，產生濃厚的探索慾望，積極動手操作、合作交流，從而更好地完成教學目標。通過解決一些生活中的實際問題，讓學生體會到數學與實際生活是緊密聯系的，從而增強他們渴求數學知識的慾望。如在矩形的性質中，可以引導學生從矩形的邊、角、對角線三個方面進行探索、討論，教師通過多媒體列舉出實際生活中矩形的例子，演示平行四邊形的活動框架，讓學生觀察角的變化，當一個角變為直角時，這時的平行四邊形是矩形，由上面的探究，學生不難得出矩形的性質，教師進一步引導學生把矩形的性質和平行四邊形的性質進行對比以加深理解。接下來通過多媒體課件給學生提供題型豐富多樣、難度適中、由淺入深的練習題，進行練習。這樣從生活實際出發幫助學生理解知識，不僅增加了課堂的容量，而且提高了課堂教學效率。又如在探究圓錐底面圓上一點A處一隻螞蟻繞圓錐爬一周後回到點A，怎麼爬最近時，利用多媒體動畫將圓錐側面展開，學生利用兩點之間線段最短就會發現怎麼爬才會最近，這個難點突破後，後面的問題就引刃而解；在空間與圖形這章內容中，《課程標准》要求通過實例認識圖形、圖形的變換，藉助圖形的直觀探索軸對稱、平移、旋轉的基本性質，並能利用圖形變換進行設計，強調內容的現實背景，聯系學生生活經驗，使學生理解圖形的概念和性質。軸對稱是生活中常見的圖形的變換，教學中利用多媒體展示一些對稱的自然景觀、物質結構、建築物、藝術品、日常生活用品、窗花等實際例子，讓學生感受對稱變換在生活中很多，離生活很近，通過觀察這些圖形，找出共同特徵，提高課堂效率。
四、搜集資料，拓展學生的知識面，多方面提高學生的能力。 運用網路可以收集各個領域的很多素材，這些素材不僅能拓展學生的知識面，幫助學生更好地理解數學知識，而且為提高學生的多種能力提供豐富的教學資源和空間。在學習統計知識時，傳統的課堂教學，容量小，效率低；運用多媒體不僅可以呈現大量的統計圖表和題目，而且可以快捷、方便的畫出標准、美觀的統計圖。我們可以指導學生用電子表格畫統計圖，如調查某班學生最喜愛節目的人數，並做出扇形統計圖的操作過程是：（1）、問卷調查喜歡各類節目的人數，並作出統計；（2）、打開Excel軟體，按列或行輸入數據並選中它們；（3）、利用軟體圖表功能，打開「圖表向導」窗口；（4）、在「標准類型」的「圖表類型」中選擇「餅圖」，點擊「下一步」，出現窗口；（5）、選擇「列」，點擊「下一步」，出現窗口；（6）、在「數據標志」的「數據標簽包括」中選擇「百分比(P)」，並點擊完成，就可以作出扇形圖。利用電子表格不僅能畫出扇形圖，還可以畫出其他類型的統計圖，還可以幫助我們求平均數、中位數、眾數和方差等統計量。又如在畫一次函數圖象探究性質時，一般採用描點連線法，描出的點越多，畫出的函數圖象越准確。但是，僅靠手工作圖，有時很難畫出准確的圖象，但用幾何畫板就很容易解決這個難題，如畫y=5X-2圖象，啟動幾何畫板繪制函數圖象的功能，輸入函數y=5x-2的解析式，計算機便自動畫出圖象，學生通過觀察能輕松總結得出性質，制圖軟體不但能幫助我們畫出函數圖象，而且能幫助我們研究函數的性質，課堂效率也得到了很大的提高。在探究圓與圓的位置與圓心距的關系時，利用幾何畫板可輕松的畫出5種圓與圓的位置圖，利用測量就可測出圓心距，節省出來的時間就可以讓學生討論圓與圓中量與形的關系。
五、增加課堂容量，提高學生分析問題解決問題的能力。 初中數學新課程中把部分內容刪除了，部分內容進行了整合，但是解答部分題目卻需要這些知識做鋪墊，而常規的課堂教學在板書、引導等過程中耗時過多，教師想讓學生了解這些知識的形成過程，卻苦於沒有時間。利用多媒體成功地突破了難點之後，部分教學程序就會簡化，課堂效率得到了提高，隨之才有可能增加課堂容量。如：相似三角形一節中，課本先安排讓學生畫圖探究平行線分線段成比例定理，之後再學習相似三角形的判定方法，傳統的課堂教學學生畫圖度量後只能得到：上比下等於上比下，上比全等於上比全，下比全等於下比全，這三個比例式，還要去探究判定三角形相似的方法，根本沒有時間深入地探究平行線分線段成比例定理；而利用多媒體教學時，學生畫圖得出數據後，就可以在多媒體上用動態的圖像生動形象地展示這一定理，得到相應的比例式，節約下來的時間就可以更加深入細致地探究比例的性質，讓學生了解合比性質、分比性質、合分比性質、等比性質等相關的知識，讓學生真正理解平行線分線段成比例定理的內涵，並用它們去解決問題。又如圓的切線長定理一節的練習題中有一道習題，題目的圖形就是切割線定理的圖形，證明過程用到了證明切割線定理時添加輔助線的方法，這道題目如果不處理，大多數同學無法准確添加輔助線並完成證明，只能在課堂上利用多媒體讓學生認識切割線，了解證明切割線定理添加輔助線的方法。在學習梯形的性質時，在學習相關概念後就要探究梯形的性質，但性質的證明就形成了難點，利用多媒體教學，在展示認知基本概念後，用多媒體展示證明梯形問題常用的添加輔助線的6種方法，之後證明性質時學生就能輕松添加輔助線，難點輕松被突破。
總之，利用現代教育技術提高數學課堂教學效率要吃透教材，熟知這些教育媒體的長處，找准課程資源與現代教學媒體的結合點，根據實際選好教法，讓數學課堂充滿樂趣、充滿激情、充滿活力、充滿挑戰，以構建高效率的數學課堂。

『陸』 幾何畫板的實例

一、製作效果
如圖，無論是改變兩圓的大小，還是圓心距，直線和圓的關系保持不變，即直線始終是兩圓的外公切線。
二、思路分析
我們在尋求外公切線的作法以前，先看看下圖，是否能想起過圓外一個作圓的切線的的尺規作法
以PO為直徑作圓（先作線段OP的中點，找到圓心）→作兩圓的交點C、D（這一步可省）→作直線PC、PD。是不是很簡單？是不是想起外公切線的尺規作圖（其實質就是把兩圓的外公切線轉化為內公切線），想不起試著分析一下。
如果還不行的話，就看下面的操作步驟吧。
三、操作步驟
1． 任畫兩圓（A,D）（B，C）
2． 度量兩圓的半徑，並計算它們的差
3． 以AB為直徑畫圓
4． 畫圓（A，（半徑⊙AD）－（半徑⊙BC=0.94厘米）），與以AB為直徑畫的圓交於E（其中一個交點）。
5． 作直線BE；作直線（A，E）交圓（A,D）於F
6． 作平行線（F，直線BE）
7． 作直線FG關於線段BA的對稱直線
四、拓展研究
1．這樣尺規作圖外公切線的作法，有缺點，當⊙AD的半徑小於半徑⊙BC時，外公切線不見了（您知道為什麼嗎？），如何完善？
只要在大圓內重復上述步驟，就搞定了，具體如下
(1)、計算兩圓半徑的差（注意是大圓半徑減小圓半徑）
(2)、畫圓（B，（半徑⊙BC）－（半徑⊙AD=0.94厘米）），與以AB為直徑畫的圓交於I（其中一個交點）。
(3)、作直線(A,I)；作直線（B，I）交圓（B,C）於H
(4)、作平行線（H，直線AI）
(5)、作已作切線關於線段BA的對稱直線，即另一條切線。如下圖
就算這樣作，仍不完善，當兩圓半徑相等時，切線會不見了。您能繼續完善嗎？
2．尺規作圖得分三種情況（半徑之間大於、小於、等於），有沒有更簡單的作法，有，下面講一種非尺規作圖的方法
如上圖，分析一下作法。兩圓半徑固定，位置固定→確定∠BAF→確定F→確定G→確定一條切線→另一條切線。具體步驟如下
(1)、度量AB即圓心距
(2)、計算
(3)、B點饒A為中心以計算結果為旋轉角旋轉得到
(4)、作射線（A， ）交圓AD於H
(5)、作平行線（B，射線AH），交圓BC於I
(6)、作直線（H，I）即兩圓的一條外公切線
(7)、作直線HI關於AB對稱的直線，得到另一條切線。
試一試 您能否作圓的內公切線（分別用代數構造和幾何構造） 一、製作結果
如圖：單擊「動畫」按鈕，D點在圓周上運動，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會改變，甚至不是雙曲線。
二、思路分析
如果按尺規作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時外切、內切、一內一外。幾何畫板號稱動態幾何，其構造的思路會復雜嗎？我們先來看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點D，求作一圓和兩已知圓都外切。看看下圖，是如何確定圓心C的？分析分析作圖步驟
三、操作步驟
1． 構造兩已知圓的半徑畫一條水平直線AB，在直線上畫三點C、D、E；隱藏點A、B。→畫線段（D，C）(D，E),並把線段DC和線段DE的標簽分別改為R、r（想一想為什麼在直線上畫點，而不直接畫線段）
2． 構造圓心 畫一條水平直線FG，隱藏點F、G→在直線上畫點H、I（這兩點就是已知圓的圓心）
3． 構造已知圓 畫圓（H，線段R）畫圓（I，線段r）
4． 構造輔助圓 畫直線（I，J），其中J為圓I上任一點J→畫圓（J，線段R）→畫圓J和直線IJ的交點為L。
5． 構造所求圓 作線段（H，L）→作線段HL的中垂線→作直線IJ和中垂線的交點K→作圓（K，J）
6． 作軌跡（K，J）
7． 作J點的動畫
8． 隱藏輔助線，修飾課件。
四、拓展研究
通過移動點C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發現，這種構造方法，竟是一箭三雕－同外切；同內切；一外一內，盡在其中。 一、製作結果
單擊「動畫」按鈕，線段的端點始終在坐標軸上運動，運動過程中線段保持等長。
二、思路分析
我們先思考，構造哪一點運動，從而帶動線段運動？如圖，線段和坐標軸圍成的是直角三角形，線段的長不變，即斜邊的長不變，則斜邊上的中線保持不變。所以線段運動，其中點的軌跡是圓。您不難想到下面的構造：畫圓（A,H）→畫半徑（AG）→畫圓（G,A）→畫線段（E,F）。（這實際上就是就是尺規作圖：已知直角和中線作直角三角形）拖動G點到二、三、四象限，線段沒有了。
此種構造不成功，我們換個思路構造直角三角形EAF，如上左圖，只要能構造等腰三角形AGF，就能構造出直角三角形AEF。想想如何構造△AGF？
作垂線j（G,x軸）→點 （A關於直線j的反射點）→射線（ ，G）→線段（ ，I）
再拖動G點試試，成功！
換個思路我們再思考，當我們看到直角三角形及斜邊上中線的圖形，熟悉初中幾何教學的你不難想到「中線加倍」，如下圖：當線段BD運動時，AC也運動且長度不變，則點C的軌跡是圓（點，線段AC）。並且四邊形ABCD是矩形（為什麼？），您知道如何構造等長線段在坐標軸上的運動了嗎？如不明白，請看操作步驟。
三、操作步驟
1． 建立直角坐標系
2． 畫圓（A,E）
3． 畫點C C為圓上任意一點
4． 作垂線（點C，x軸，y軸）
5． 畫線段（點B，點D）
6． 作點C動畫
7．隱藏不必要對象。
四、拓展研究
1）製作等長線段在坐標軸上的運動，這里講了兩種方法，可能還有其它方法，但幾乎都不如這兩種方法簡潔。
2）坐標軸可用兩條垂直的直線代替。更妙的是第二種構造，坐標軸甚至可用兩條相交直線代替。第二種構造稱為「劉天翼構造」，他是東北育才中學的學生的傑作。
旋轉對象 運行結果：
畫一個正方形，拖動任一頂點改變邊長或改變位置，都能動態地保持圖形是一個正方形。
基本思路：
本例將學習按固定的角度來旋轉對象，
1．畫一條線段，用來做正方形的一邊
2．雙擊左端點，標記為中心，選中線段和右端點，繞標記的中心旋轉900（逆時針方向），得第二條邊
3．雙擊第一條線段的右端點，標記為中心，選擇第一條線段和它的左端點，繞標記的中心旋轉－90度（順時針方向），得第三條邊
4．連結出第四條邊。
操作步驟：
1．畫線段AB。
2．用選擇工具雙擊點A，點A被標記為中心。
3．用選擇工具選取點B和線段AB，由菜單「變換」---「旋轉」，在彈出的「旋轉」對話框中作設置。
4．雙擊點B，標記新的中心。
5．連結上方兩個頂點得第四邊。
拓展應用：
1．本例的方法可以用來作任意的正多邊形，只要計算出正多邊形的內角，旋轉時按內角度數進行即可，但這並不是最方便的方法，具體請參閱深度迭代畫正多邊形。
2．並不是每次用正方形都要從頭來畫，事實上可以把這個畫圖的過程創建成一個自定義工具，請參考相關的章節。
3．畫正方形的方法比較多，本例介紹的是較為簡便的一種，其餘方法請自行嘗試 運行結果：
拖動點F，使∠DEF從00到1800變化，
中間結果
最後結果
基本思路：
本例將在前面學習的基礎上，學習「按標記的角」旋轉對象，同時能通過改變角的大小來動態演示對象的旋轉過程。
1．為了方便觀察，連結對稱中心和各關鍵點間的虛線段，讓研究對象和虛線段繞對稱中心旋轉180度，形成中心對稱，
2．畫一個角並標記這個角
3．再次選擇原來的對象及虛線段，按標記的角旋轉
4．拖動標記的角為0度，觀察到的圖形為中心對稱，拖動標記的角從0度到180度，可以看到旋轉180度後重合的過程。
操作步驟：
1．准備工作。
2．用選擇工具雙擊點O，標記為中心。
3．同時選擇點A、B、C，線段AB、AC、BC、OA、OB、OC，繞點O旋轉180度。
4．用選擇工具確保按順序點D、E、F選中這三點，並注意不要多選其它對象，由菜單「變換」---「標記角」，如果標記成功，會看到一段小動畫。
5．同時選擇點A、B、C，線段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜單「變換」---「旋轉」，在彈出的對話框中作設置。
6．為便於觀察，改按角度旋轉所得的所有對象為紅色。
7．拖動點F，使線段EF與ED重合，可以看到紅色三角形與△ABC重合。
說明：本例中標記的角度是圖形，這種情況要注意選取三個點的順序，按「邊上的點、頂點、邊上的點」來選，如果選擇時按逆時針方向，標記的是正角；按順時針方向，標記的是負角，這將影響對象的旋轉方向。
標記的角也可以是度量角所得的度數（這時只能是正角），還可以是由計算器計算出來的度數（可正可負）。
練習：
1．用旋轉交換的方法畫一個正三角形，並與前面用工具畫正三角形的方法比較，你覺得哪種方法簡便些？
幾何畫板---平移對象
平移是指：對於兩個幾何圖形，如果在它們的所有點與點之間可以建立起一一對應關系，並且以一個圖形上任一點為起點，另一個圖形上的對應點為終點作向量，所得的一切向量都彼此相等，那麼 其中一個圖形到另一個圖形的變換叫做平移。平移是一個保距變換，又是一個保角變換。
幾何畫板中，平移可以按三大類九種方法來進行，其中的有些方法事先要標記角、標記距離或標記向量。
在極坐標系中最多可以組合出四種方法
在直角坐標系中可以組合出四種方法
按標記的向量平移有一種方法 運行結果：
得到一個半徑為 cm的圓，無論如何移動位置，半徑保持不變。
基本思路：
根據勾股定理，讓一個點在直角坐標系中按水平方向、垂直方向都平移1cm，得到的點與原來的點總是相距 cm，然後以圓心和圓周上的點畫圓即可。
操作步驟：
1．畫一個點A。
2．選取點A，由菜單「變換」---「平移」， 在彈出的對話框中作如圖10的設置，平移。
3．選中這兩點，（先選的為圓心），由菜單「構造」---「以圓心和圓周上的點繪圓」。
4．最後，無論如何移動，圓的半徑固定為 cm。 運行結果：
拖動點F在線段DE上移動，可演示兩個三角形重合和分開，可用來說明全等形。
基本思路：
本例學習根據標記的向量平移對象，
1．畫好一個三角形。
2．另畫一條線段（為方便觀察，畫成水平線）。
3．在線段上畫一點。
4．標記線段左端點到線段上一點的向量。
5．將三角形按標記的向量平移。
操作步驟：
1．畫△ABC。
2．畫線段DE，在DE上畫一點F
3．用選擇工具先選取點D，後選取點F，由菜單「變換」---「標記向量」，標記從點D到F的向量。
4．選取△ABC的三邊和三個頂點，由菜單「變換」---「平移」，在彈出的對話框中作如圖14的設置（如果標記好向量，會自動設置為按標記的向量平移）。
5．用文本工具標記新三角形的三個頂點。 前面在學習構造菜單時，我們學習過根據平行四邊形的定義，用構造平行線的方法來畫一個平行四邊形，這種畫法對於一般情況下是沒有問題的，但如果你想用來說明向量加法的平行四邊形法則，你會發現當兩個向量共線時，無法構造平行線的交點，因而就無法正確表示兩個向量的和。
本例介紹根據標記的向量平移的方法來畫平行四邊形，這樣的平行四邊形可以正確演示向量加法的平行四邊形法則。
操作步驟：
1．新建一個幾何畫板文件。
2．用「畫線段」工具和「文本工具」先完成。
3．用「選擇工具」按順序選取點A、B，由菜單「變換」---「標記向量」標記一個從點A指向點B的向量。
4．確保只選中線段AD和點D，由菜單「變換」---「平移」，設置線段AD和點D按向量AB平移。
5．作出第四條邊，改第四頂點標簽為C。 利用幾何畫板驗證勾股定理的方法有很多種，通過當場演示，讓學生體會到動手實踐在解決數學問題中的重要性，同時也讓學生體會到用面積法驗證公式的直觀性、普遍性，從而形成一種等積帶換的思想，為以後的學習奠定基礎。
第1步，啟動幾何畫板，單擊工具箱上的「直尺」工具，按住「shift」不放，在操作區繪制出一條水平線段AB。在其被選中狀態下，依次單擊「構造」→「中點」菜單命令，作出線段AB的中點，並用「文本」工具，修改標簽為O。
第2步，單擊工具箱上的「選擇箭頭」工具，選中點O和點A，依次單擊「構造」→「以圓心和圓周上點繪圓」，作出圓O。單擊工具箱上的「點」工具，移動游標至圓上，當圓呈現高亮度時，單擊滑鼠左鍵，繪制出在圓上的一點，修改標簽為C。按快捷鍵「ctrl+L」，分別作出線段AC和線段BC，繪制出直角三角形ABC。
第3步，單擊工具箱上的「選擇箭頭」工具，單擊操作區空白處，釋放所選擇對象。然後選中圓O，按快捷鍵「ctrl+L」，隱藏圓O。
第4步，移動游標至點B，雙擊點B，標記為中心點，選中點A和線段AB，依次單擊「變換」→「旋轉」菜單命令，彈出對話框，按照圖87所示輸入參數值，按「旋轉」按鈕，繪制出線段BA'，修改標簽「A'」為「E」。同法，以點E為中心點，旋轉BE繪制出EB'，修改標簽為F，單擊工具箱上的「直尺」工具，連接點A和點F，繪制出線段FA。
第5步，單擊工具箱上的「選擇箭頭」工具，同時選中點A、點B、點E和點F，依次單擊「構造」→「多邊形內部」菜單命令，繪制正方形內部。用同樣上述方法，繪制邊AC和邊BC對應的正方形ACGH和正方形BCIJ，並分別繪制正方形內部。
第6步，同時選中3個正方形，依次單擊「度量」→「面積」菜單命令，在操作區顯示3個度量值。選中兩條直角邊對應的正方形的面積度量值，單擊「度量」→「計算」菜單命令，計算兩個度量值的和。選中操作區中顯示的兩直角邊對應的正方形面積的和的度量值和斜邊對應的正方形的面積度量值，單擊「圖表」→「製表」菜單命令，繪制出表格。

『柒』 幾何畫板製作圖形平移和旋轉教程

網上的這方面的東西很多，可以參考
幾何畫板教程
第一章 用工具作圖

第一節 幾何畫板的啟動和繪圖工具的介紹

1、啟動幾何畫板：單擊桌面左下角的【開始】按鈕，選擇【所有程序】|【GSP4.05】應用程序後，啟動幾何畫板。
如圖1所示，是打開一個幾何畫板文件的截圖。


圖1
幾何畫板的窗口是不是和其他Windows應用程序窗口十分類似？有控制菜單、最大/最小化以及標題欄，畫板窗口的左側是畫板工具欄，畫板的右邊和下邊可以有滾動條可以使小畫板處理更大的圖形。
畫板的左側是畫板工具箱，把游標移動到工具的上面，一會兒就會顯示工具的名稱，看看它們分別是什麼？它們分別是【選擇箭頭工具】、【點工具】、【圓規工具】、【直尺工具】、【文本工具】、【自定義畫圖工具】。
和一般的繪圖軟體相比，你會不會感覺它的工具是不是少了點？幾何畫板的主要用途之一是用來繪制幾何圖形。而幾何圖形的繪制，我們通常是用直尺和圓規，它們的配合幾乎可以畫出所有的歐氏幾何圖形。因為任何歐氏幾何圖形最後都可歸結為「點」、「線」、「圓」。這種公里化作圖思想因為「三大作圖難題」曾經吸引無數數學愛好者的極大興趣從而在數學歷史上影響重大，源遠流長。從某種意義上講幾何畫板繪圖是歐氏幾何「尺規作圖」的一種現代延伸。因為這種把所有繪圖建立在基本元素上的做法和數學作圖思維中公里化思想是一脈相承的。
按住工具框的邊緣，可隨意拖動到畫板窗口的任何位置，不同位置形狀不同。試一試，能否拖到某一個地方，工具框變成圖2所示的形狀？

圖2
顧名思義，猜測一下它們都有何功能？
：選擇對象 這是它的主要功能，當然還有其他
：畫點 可以在畫板繪圖區任何空白的地方或「線」上畫點。「線」可以是線段、射線、圓、軌跡、函數圖像
：畫圓 只能畫正圓不能畫橢圓，是不是有點遺憾？（幾何畫板也能畫橢圓，請看第二章）
：畫線 直尺工具當然用於畫線段，還不僅僅如此！
：加標注（即說明性的文字）或給對象標標簽
：自定義工具 如果你覺得上述工具不夠（如：不能直接畫正方形），你可以定義新的工具
選擇某項繪圖工具時，用滑鼠單擊一下該工具即可。
試一試 能否畫出如圖3所示的圖形

圖3
畫點：單擊【點工具】，然後將滑鼠移動到畫板窗口中單擊一下，就會出現一個點。
畫線：單擊【直尺工具】，然後拖動滑鼠，將游標移動到畫板窗口中單擊一下，再拖動滑鼠到另一位置松開滑鼠，就會出現一條線段。
畫圓：單擊【圓規工具】，然後拖動滑鼠，將游標移動到畫板窗口中單擊一下（確定圓心），並按住滑鼠拖動到另一位置（起點和終點間的距離就是半徑）松開滑鼠，就回出現一個圓。
畫交點：單擊【選擇箭頭工具】，然後拖動滑鼠將游標移動到線段和圓相交處（游標由變成橫向 ，狀態欄顯示的是「點擊構造交點」）單擊一下，就會出現交點。如圖4所示：

圖4
交點只能由線段（包括直線、射線）間、圓間、線段（（包括直線、射線））與圓之間點擊構造。
繪圖工具的使用是不是比操作直尺和圓規更容易？
如果你細心的話，你會發現【選擇箭頭工具】，和【直尺工具】的右下角都有一個小三角，用滑鼠按住它約一秒，看看會發生什麼？

【選擇箭頭工具】展開如圖5所示，有三個工具，分別是：「移動」，「旋轉」，「縮放」，其用途鍵下一節。

圖5

【直尺工具】展開，也有三個工具，如圖6所示，分別是：「線段」「射線」「和直線」。線段的畫法，我們知道了，如何用它來畫射線直線呢？

圖6

畫射線：移動游標到【直尺工具】上，按住滑鼠不放，待【直尺工具】展開後，不要松開滑鼠，繼續移動游標到射線工具上，松開滑鼠，直尺工具變為。然後在畫板繪圖區單擊滑鼠並按住滑鼠拖動，到適當位置松開，就畫出一條射線，如圖7所示

圖7

（在幾何畫板里是看不見射線上的箭頭，它向一端是無限延伸的）
畫直線：依樣畫葫蘆，請你畫如圖8所示的一條直線。

圖8
（在幾何畫板里同樣也是看不見直線上的箭頭，它向兩端是無限延伸的）
你還會發現，用幾何畫板畫出的線段、直線、射線和畫圓，分別多了兩點。一方面構造它們只要兩點就夠了，另一方面，它們可以被拖動。如，單擊【選擇箭頭工具】按鈕，移動游標到線段的端點處（注意游標會變水平）拖動滑鼠，線段的長短和方向就會改變；正因為多出了「點」，才使它們有被改變的可能。
移動游標到線段的端點之間任何地方（游標成水平狀）拖動滑鼠，就可以移動線段。分別拖動一下直線、射線的點和線，嘗試改變它們一下。
試一試 畫一個圓，看能否改變圓的大小和位置。
（提示：圓是由兩個點來決定的，滑鼠按下去的點即為圓心，松開滑鼠的點即為圓上的一點。改變這兩個點中的任意一點都可以改變圓。分別拖動圓心和圓周上的點，可改變圓的大小，拖動圓周，可移動圓。）
所以說，你不覺得幾何畫板所畫圖形是動態的圖形？
幾何畫板繪制的圖形也非常容易加上標簽。（你不妨和word的繪圖比較一下）
單擊文本工具，游標由前頭變為手形然後分別移動滑鼠，當游標移到對象處，變為單擊滑鼠，對象顯示出標簽。
請將圖3中的所有對象添上標簽。去掉標簽也容易，只需對上圖的每一個對象，單擊，標簽就沒有了。在幾何畫板中的每個幾何對象都對應一個「標簽」。當您在畫板中構造幾何對象時，系統會自動給您畫的對象配標簽。文本工具就是一個標簽的開關，可以讓幾何畫板中每個幾何對象的標簽顯示和隱藏。

用繪圖工具繪制簡單的組合圖形

下面我們用繪圖工具來畫一些組合圖形，希望通過一下範例的學習，你能夠熟悉繪圖工具的使用，和一些相關技巧。
三角形（一）
一、製作結果 如圖所示，拖動三角形的頂點，可改變三角形的形狀、大小
這個三角形是動態的三角形，它可以被拖成下列三角形之一，如圖9所示。

圖9
二、要點思路 熟悉「直尺工具」的使用，拖動圖中的點改變其形狀。
三、操作步驟 觀察圖10，你能明白三角形就是用【直尺工具】畫三條首尾相接的線段所組成的圖形。

圖10
打開幾何畫板，建立新繪圖
單擊【直尺工具】，將游標移到在繪圖區，單擊並按住滑鼠拖動，畫一條線段，松開滑鼠。
在原處單擊滑鼠並按住拖動，畫出另一條線段，松開滑鼠。（注意游標移動的方向）
在原處單擊滑鼠並按住拖動，畫出第三條線段，游標移到起點處松開滑鼠。（注意起點會變色）
5、將該文件保存為「三角形.gsp」
拓展：你也可以將游標移到在繪圖區，單擊並松開滑鼠拖動，畫一條線段，單擊滑鼠。在原處再單擊滑鼠並松開拖動，畫出另一條線段，單擊滑鼠。在原處單擊滑鼠並松開拖動，畫出第三條線段，游標移到起點處單擊滑鼠。
例2三角形（二）
一、製作結果 三角形三邊所在的線分別是直線、射線和線段，拖動三角形的頂點可以改變三角形的大小和形狀，如圖11所示。在講解三角形的外角時，就可構造此圖形。


圖11
二、知識要點 學會使用【線段工具】、【直線工具】、【射線工具】以及它們相互之間的切換。
三、操作步驟
打開幾何畫板，建立新繪圖。
選擇畫直線工具 將游標移動到【直尺工具】上按住滑鼠鍵不放，移動游標到【直線工具】上，松開滑鼠，如圖12所示。

圖12

畫直線 將滑鼠移動到畫板中，按下滑鼠鍵，向右拖曳滑鼠後松滑鼠鍵。
選擇畫射線工具 用滑鼠對准【直線工具】，按下滑鼠鍵並拖曳到【射線工具】處松滑鼠，如圖13所示。

圖13
畫射線 將滑鼠對準定義直線的左邊一點（在按下滑鼠左鍵之前請注意窗口左下角的提示），按下滑鼠鍵，向右上拖曳滑鼠後松滑鼠鍵。
選擇畫線段工具 用滑鼠對准畫線工具，按下滑鼠鍵並拖曳到線段工具處松滑鼠。如圖14所示。

圖14
畫線段 將滑鼠對準定義射線的右上一點C（注意窗口左下角的提示信息），按下滑鼠鍵，向定義直線的右邊一點B拖動（注意提示），匹配上這一點後松滑鼠。
將該文件保存為「三線三角形.gsp」

例3、圓內接三角形
一、製作結果 如圖15所示所示，拖動三角形的任一個頂點，三角形的形狀會發生改變，但始終與圓內接。

圖15
二、要點思路 學會使用畫線工具在幾何對象上畫線段
三、操作步驟 如圖16所示

圖16
打開幾何畫板，建立新繪圖。
畫圓 單擊【圓規工具】按鈕，然後拖動滑鼠，將游標移動到畫板窗口中單擊一下按住並拖動滑鼠到另一位置，松開滑鼠，就會出現一個圓。
畫三角形 單擊【直尺工具】按鈕，移動游標到圓周上（圓會變淡藍色）單擊並按住滑鼠向右移到圓周上松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向左上方移動到圓周上松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向左下方移動到圓周上線段起點處松開滑鼠。
將該文件保存為「圓內接三角形.gsp」
注意：畫線段時，起點不要與圓周上的點重合；游標移動到圓上時，圓會變淡藍色，注意狀態欄的提示。
試一試：畫一個過同一點的三個圓，並保存文件為「共點的三圓.gsp」（希望你能試一試，後面要用到）
例4、等腰三角形（畫法一）

製作結果 拖動三角形的頂點，三角形形狀和大小會發生改變，但始終是等腰三角形，如圖17所示，這就是幾何的不變規律。

圖17
要點思路 利用「同圓半徑相等」來構造等腰，如圖18所示。

圖18
三、操作步驟
1、打開幾何畫板，建立新繪圖。
2、畫圓
3、畫三角形 單擊【直尺工具】按鈕，移動游標到圓周上的點處（即畫圓時的終點，此時點會變淡藍色），單擊並按住滑鼠向右移動到圓周上松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向左上方移動到圓圓心處松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向左下方移動到起點處松開滑鼠。
4、隱藏圓 按「Esc」鍵（取消畫線段狀態）單擊圓周後，按「Ctrl+H」快捷鍵隱藏圓。
5、將該文件保存為「等腰三角形1.gsp」
線段的垂直平分線
一、製作結果 如圖19所示，無論你怎樣拖動線段，豎直的線為水平線段的垂直平分線。

圖19
要點思路 學會使用【直尺工具】，畫線段和直線，學會等圓的構造技巧，如圖20所示。

圖20
操作步驟
1、打開幾何畫板，建立新繪圖，畫線段 。
2、畫等圓 單擊【圓規工具】，然後拖動滑鼠，將游標移動到畫板線段的左端點單擊一下按住並拖動滑鼠到線段的右端點，松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向左拖動到起點（即開始構造圓的起點）松開滑鼠。
3、畫直線 選擇【直線工具】，移動游標到兩圓相交處單擊並按住滑鼠拖動到另一個兩圓相交處單擊後松開滑鼠。（游標到兩圓相交處，兩圓會同時變為淡藍色）
4、隱藏兩圓及交點 按「Esc」鍵，取消畫線段狀態，單擊圓周和交點後，按「Ctrl+H」
5、保存文件 將該文件保存為「垂直平分線.gsp」
你能否由上述作法聯想到等邊三角形的作法？
拓展：等邊三角形的畫法（一）
要點思路 學會等圓的構造方法，使用「同圓半徑相等」構造等邊，如圖21所示。

圖21
二、操作步驟
1、打開幾何畫板，建立新繪圖。
2、畫等圓 單擊【圓規工具】，然後拖動滑鼠，將游標移動到畫板窗口中單擊一下按住並拖動滑鼠到另一位置，松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向左拖動到起點（即開始構造圓的起點）松開滑鼠。
3、畫三角形 在畫線段時，游標移到兩圓相交處，兩圓同時變淡藍色才可單擊滑鼠。
4、隱藏兩圓 按「Esc」鍵，取消畫線段狀態，單擊圓周後，按「Ctrl+H」快捷鍵隱藏圓。
將該文件保存為「等邊三角形1.gsp」

例6、直角三角形（畫法一）

一、製作結果 拖動左邊和上邊的點可改變三角形的大小和形狀，但始終是直角三角形。拖動右邊的點和三邊可改變直角三角形的位置，如圖22所示。


圖22
二、要點思路 學會使用【畫射線工具】；使用【選擇工具】畫交點；在圓上畫線段；搞清楚畫直角的原理是：直徑所對的圓周角是直角
三、操作步驟
1、打開幾何畫板，建立新繪圖
2、畫射線：移動游標到【直尺工具】上，按住滑鼠不放，待【直尺工具】展開後，不要松開滑鼠，繼續移動游標到射線工具上，松開滑鼠，直尺工具變為。然後在畫板繪圖區單擊滑鼠並按住滑鼠拖動，到適當位置松開，就畫出一條射線，如圖23所示。


圖23
3、畫圓及射線的交點：移動游標到射線和圓的交點處，單擊，如圖24所示。

圖24
注意：游標到射線和圓的交點處，射線和圓都會變為淡藍色，狀態提示欄的提示是：「單擊構造交點」。
4、畫直角邊 單擊【直尺工具】按鈕，移動游標到射線的端點處（端點會變淡藍色）單擊並按住滑鼠向右上移動到圓周上松開滑鼠；在原處單擊並按住滑鼠向右下方移動到圓與射線的交點處松開滑鼠，如圖25所示。

圖25
5、隱藏射線和圓及圓心 連續單擊圓、圓心、射線後按快捷鍵「Ctrl+H」，如圖26所示。


圖26
6、畫斜邊 單擊【直尺工具】，移動游標到左邊點處單擊並按住滑鼠向右移動到右邊點處松開滑鼠。
可能你會說，怎麼這么繁，為什麼不直接用【直尺工具】畫一個直角三角形，但這樣畫出的直角三角形，由於沒有定義幾何關系，拖動任一頂點和邊，不能保證它始終是直角三角形。
7、將該文件保存為「直角三角形.gsp」
從以上幾個實例不知你是否意識到：
1）用幾何畫板繪制幾何圖形，首先得考慮對象間的幾何關系，不是基本元素（點、線、圓）的簡單堆積。
2）點不僅可作在畫板的空白處，也可以作在幾何對象（除「內部」外）上。線段和圓的起點和終點也如此，即不僅可作在畫板的空白處，也可以作在幾何對象上，即構造「點」與「線」的幾何關系。
3）【選擇箭頭工具】不僅用於選擇，還可用來構造交點。
4）在畫點（或畫圓、、直線、線段、射線）時，游標移到幾何對象（點和線）處，幾何對象會變為淡藍色，此時單擊滑鼠才能保證「點」、「點」重合，「點」在「線」上。
5）對於繪制圖形的輔助線，一般情況下不能刪除，要不然相關對象都被刪除了。只能選定按快捷鍵「Ctrl+H」隱藏。

第三節：對象的選取、刪除、拖動

前面的敘述已涉及到對象的選取、拖動。幾何畫板雖然是windows軟體，但它的有些選擇對象的選擇方式，又與一般的windows繪圖軟體又不同，希望你在學習過程中能意識和注意到這一點。也希望通過本節的講解，你對此有比較系統全面的了解
一、選擇
在進行所有選擇（或不選擇）之前，需要先單擊【選擇箭頭工具】按鈕，使滑鼠處於選擇箭頭狀態。
1、選擇一個：用滑鼠對准畫板中的一個點、一條線、一個圓或其它圖形對象，單擊滑鼠就可以選中這個對象。圖形對象被選中時，會加重表示出來。如下圖所示：
選擇對象 過   程   描   述 選前狀態 選後狀態
一個點 用滑鼠對准要選中的點，待游標變成橫向時 ，單擊滑鼠左鍵。
一條線 用滑鼠對准線段的端點之間部分（而不是線段的端點），待滑鼠變成橫向的黑箭頭時，單擊滑鼠左鍵。
一個圓 用滑鼠對准圓周（而不是圓心或圓上的點），待滑鼠變成橫向的黑箭頭時，單擊滑鼠左鍵。

2、再選另一個：當一個對象被選中後，再用滑鼠單擊另一個對象，新的對象被選中而原來被選中的對象仍被選中（選擇另一對象的同時，並不需按住「Shift」鍵，與一般的windows軟體的選擇習慣不同）。
3、選擇多個：連續單擊所要選擇的對象（注意：在單擊過程中，不得在畫板的空白處單擊（或按「Esc」鍵）。
4、取消某一個：當選中多個對象後，想要取消某一個，只需單擊這個對象，就取消了對這個對象的選擇。
都不選中：如果在畫板的空白處單擊一下（或按「Esc」鍵），那麼所有選中的標記就都沒有了，沒有對象被選中了。
選擇所有：如果你選擇了畫板工具箱中的選擇工具，這時在編輯菜單中就會有一個「選擇所有」的項；如果當前工具是畫點工具，這一項就變成選擇「所有點」；如果是畫線工具或畫圖工具，這一項就變成「選擇所有線段（射線、直線）或「選擇所有圓」。它的快捷鍵是「Ctrl+A」（請注意和反復練習這種選擇同類對象的方式）
選擇對象的父母和子女：選中一些對象後，選擇【編輯】|【選擇父對象】命令，如圖27所示，就可以把已選中對象的父母選中。類似地，也可以選擇子對象。如果一個對象沒有父母，那麼幾何畫板認為它自己是自己的父母；同樣，如果一個對象沒有子女，那麼它自己是自己的子女。 所謂「父母」和「子女」，是指對象之間的派生關系。如：線段是由兩點派生出來的，因此這兩點的「子女」就是線段，而線段的「父母」就是兩個點。

圖27
注意：畫板最後構造對象，是處於選擇狀態。在選擇對象之前最好在在畫板的空白處單擊一下（或按「Esc」鍵）
小技巧：選擇多個對象還可以用拖框的方式，（和一般的windows軟體相同）如圖28所示：

圖28
你想要畫圖快捷，最好熟悉這種選擇方式。
選擇對象的目的是為了對這個對象進行操作。這是因為在windows中，所有的操作都只能作用於選中的對象上，也就是說：必須先選擇對象，然後才能進行有關的操作。在幾何畫板中，對選中的對象可以進行的操作有：刪除、拖動、構造、測量、變換等。 在這里，我們先介紹刪除和拖動操作。
二、刪除
刪除就是把對象（點、線或圓）從屏幕中清除出去。方法是：先選中要刪除的對象，然後再選擇「編輯」菜單中的「清除」項，或按鍵盤上的「Delete」鍵。請注意，這時與該對象有關的所有對象均會被刪除，和一般的windows軟體又不同，和數學思想倒很相近，「皮之不存，毛將附焉」。
三、拖動
用滑鼠可以選擇一個或多個對象，當你用滑鼠拖動已經選中的對象在畫板中移動時，這些對象也會跟著移動。由於幾何面板中的幾何對象都是通過幾何定義構造出來的，而且幾何畫板的精髓就在於「在運動中保持幾何關系不變」，所以，一些相關的幾何對象也會相應地移動。
當你拖動畫板中的圖形時，可以感受到幾何畫板的動態功能。請注意：在拖動之前，請按「Esc」鍵，或點擊【選擇箭頭工具】後，選定要移動的對象。
試一試 按下面的步驟進行拖動操作，注意觀察圖形變化的情況。
  拖動前的圖形 拖動操作 拖動後的圖形 解    釋
1  向下拖動點B 線段受點B控制，所以要隨著運動。
2 拖動線段AB 線段的方向不變，位置發生改變，由於點A、B是線段的父母，必須保持相應關系，所以兩點也隨之運動。
3 拖動點B 點B是圓的父母，所以圓的大小隨著點B的移動而變化。由於點A是自由的，不受點B控制，所以點A位置保持不變。
4 拖動點A 點A是圓的父母，所以圓的大小和圓心的位置隨著點A的移動而變化。由於點B是自由的，不受點A控制，所以圓總保持過點B。
5 圓由AB兩點定義，點C為圓上另一點，拖動點C。 由於點C是圓的子女，受圓的控制，所以，這個點只能在圓上運動。
6 畫兩條相交線段，用選擇工具畫出它們的交點（請注意狀態條的提示），之後拖動線段CD。 當兩線段不相交後，交點就不顯示了（此時交點無數學意義）。
在前面學習中，你是不是用畫圓工具畫了三個過同一點的圓，並把它保存為「共點的三圓。gsp」的文件。現在請大家把這個文件調出來（選擇【文件】|【打開】命令，選中文件名後，按【確定】按鈕）。 請大家任意選中一個圓隨意拉動，看這三個圓是否還能「過同一點」？ 拖動結果可能如圖29所示：



圖29
為什麼圖形會「散架」，可能作圖過程是這樣的（下面列出最典型的初學者「畫三個過一點的圓」的方法，可能受傳統作圖方式如黑板上的繪圖或一般繪圖軟體的影響），如圖30所示。

圖30
在拖動過程中，幾何畫板能夠保持所有給定的幾何關系，因為它就是根據幾何關系來設計的！那麼，你思考一下，上述方法在畫圓時，到底給定了什麼樣的幾何關系？
我們知道，圓是由兩個點來決定的，滑鼠按下去的點即為圓心，松開滑鼠的點即為圓上的一點。改變這兩個點中的任意一點都可以改變圓。
而在我們剛才的操作中，我們所給的幾何關系是：每個圓都是由兩個完全自由的點來決定的（請大家觀察一下，圖中共一個圓，六個自由點）。根據這樣的幾何關系，每個圓都可以隨意地改變。這就表明：在幾何畫板中，不能再象在黑板上那樣，隨手畫出圖來，而每時每刻都得考慮幾何關系。
那麼怎麼能保證它們過同一個點呢？你按下面的步驟做做看？
步驟 過  程  描  述 作圖結果
1 選擇畫圓工具。 （無）
2 畫第一個圓：圓心為A，圓上一點為B。
3 畫第二個圓；在任意一點處按下滑鼠鍵即規定了圓心C，拖動滑鼠，對准點B（注意狀態欄的提示），並在B點松開滑鼠，即圓上的點為B。
4 畫第三個圓：在任意一點處按下滑鼠鍵即規定了圓心D，拖動滑鼠，對准點B（注意狀態欄的提示），並在B點松開滑鼠，即圓上的點為B。

『捌』 幾何畫板怎樣畫圓柱展開圖

幾何畫板作為數學老師必備的課件製作工具，可以製作圖形動態變換課件進行演示，下圖就是用幾何畫板製作的圓柱展開動畫；

1.按下「展開」鍵，圓柱側面從左至右依次展開，直至完全伸展開來。

2.按下「回歸」鍵，圓柱側面從右到左像卷軸一樣捲起來，最後回到原來的位置。

3.按下「反復」演示鍵，圓柱側面會反復伸展捲起。

4.圓柱側面展開時可以觀察到當側面完全展開時，圓柱的側面是一個長方形。

以上內容是對幾何畫板圓柱側面展開動畫課件的介紹，這樣讓圓柱的展開形象直觀，避免了抽象地去想像，更易於學生的理解。

『玖』 幾何畫板實際應用

1.1幾何畫板是什麼
The Geometer s Sketchpad是美國優秀的教育軟體，由美國Nicholas Jackiw設計，Nicholas Jackiw和Scott Steketee程序實現, Key Curriculum出版社出版.它的中文名是《幾何畫板——21世紀的動態幾何》.
幾何畫板是一個優秀的專業學科平台軟體，代表了當代專業工具平台類教學軟體的發展方向．它是以數學為根本，以＂動態幾何＂為特色來動態表現設計者的思想，供用戶探索幾何奧秘的一個新的工具．該軟體短小精悍，功能強大，開發的軟體具有精確的數字化描述和動態的參數交互功能，能夠動態表現相關對象的關系，適合教師根據教學需要自編微型課件.
1.電子作圖工具
幾何畫板可以作為一個電子作圖工具，利用它的工具箱提供的工具，模擬直尺、三角板、圓規，做出點、線段、射線、直線、圓等幾何圖形，並可以在各幾何元素旁標注字母，也可以在畫板上任何地方注釋文字.
由於計算機的快速精確計算和圖形處理功能，使幾何畫板軟體作作圖既快又精確.但它又與一般圖形軟體不同，在大部分幾何圖形中，一些幾何元素之間是有一定關系的，例如垂直、平行、相交等.在幾何畫板中，可以利用「作圖」菜單中提供的各種功能，由系統自動產生出交點、平行線、垂直線、圓弧、拋物線等幾何圖形.
2.動態演示工具
幾何畫板能夠准確的、動態地表現幾何問題，為充分發展幾何元素在運動狀態下保持幾何關系的不變性，提供了方便的動態演示.使傳統教學中只能在黑板上靜態表現的結果變成動態的展示過程，從而使學生對一些幾何性質和定理理解得更快、更深刻。例如「任意三角形」這一概念，過去教師只能在黑板上畫幾個三角形，再用語言補充，但是畫得再多也是有限的。而用幾何畫板可以拖動三角形的任意一頂點，動態地演示出「任意三角形」這一概念真實情況.
例如任意三角形三條中線交於一點，這個性質我們可以在課前製作一個課件存檔.課堂上把這文件調出、運行即可（文件：三角形中線.gsp）.可以手動也可以自動.
3.顯示和探求軌跡的工具
軌跡是幾何中一個重要知識點，且又是一個難點.難就難在需要用動態的觀點來看幾何圖形.但過去的課堂教學一般是藉助於靜態的圖形或簡單的教具進行講解，學生只能根據對問題的分析和最終的結果去想像出軌跡生成的過程，如果學生的想像能力差一些，理解這部分的內容就更難.而利用幾何畫板的動態功能，可直觀地演示出軌跡生成過程，不僅使分析、過程、結果都一目瞭然，而且便於整體把握數學內在規律，還可以由此發現許多新的規律.
例如斜邊為定長的直角三角形直角頂點的軌跡是圓.
例如當一條線段的一個端點在圓上運動時，其垂直平分線的軌跡是什麼？這是個比較難的問題.但利用幾何畫板這個問題就很容易解決了，如圖1.1所示.
4.課件開發工具
幾何畫板又可以作為課件開發工具，幫助教師大大擴展幾何教學的能力.在備課時，用這個軟體事先編制好要講的內容，以文件形式存在磁碟中.講課時，調出該文件就可以自動進行演示.
但它與一般的CAI寫作工具軟體不同.一般的CAI寫作工具，需要有一定的編程能力，一些幾何關系編程者自己必須在程序中定義.而幾何畫板不需要教師有程序設計知識，她所需要的僅僅是一定的數學知識，特別是幾何構建思想.只要教師在「畫板」上畫出和定義課堂上要講解的實際內容，系統自動記錄繪制的過程和內容，然後把它們存在文件，上課時調出，系統就會自動重復教室製作的過程。
特別是，利用系統的動畫功能可以製作動態的教學過程，使有些原本抽象、枯燥的內容變得具體、生動、活潑，充分展現數學的美。
5.良好的學具
幾何畫板為學生提供了一個自由的、開闊的、十分理想的「做數學」的環境。幾何畫板本身就是一個很好的幾何情景，它可以作為學生研究幾何關系，猜測、發現和驗證幾何方法，探索幾何規律的一個電子「實驗室」。在這個「實驗室」中，學生可以在畫板上畫出各種幾何圖形，系統利用它所在存儲的幾何定理和公式，自動顯示出這些圖形之間的關系，學生從中舊可以驗證有關的幾何性質，接受並理解相關的知識。
如「n等分線段」這一命題，教科書上一般都是用比例線段作平行線的方法。是否還有其他方法？美國兩個初中學生用幾何畫板發現了新的方法。

『拾』 幾何畫板

幾何畫板是一個通用的數學、物理教學環境，提供豐富而方便的創造功能使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學課件。軟體提供充分的手段幫助用戶實現其教學思想，只需要熟悉軟體的簡單的使用技巧即可自行設計和編寫應用範例，範例所體現的並不是編者的計算機軟體技術水平，而是教學思想和教學水平。可以說幾何畫板是最出色的教學軟體之一。系統要求很低：PC486以上兼容機、4M以上內存、Windows3.X或Windows95簡體中文版。
一、幾何畫板簡介
《幾何畫板》軟體是由美國Key Curriculum Press公司製作並出版的優秀教育軟體，1996年該公司授權人民教育出版社在中國發行該軟體的中文版。正如其名「21世紀動態幾何」，它能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、運行變化規律，是數學與物理教師製作課件的「利劍」！
1.窗口組成
由題標欄、菜單欄、工具欄、狀態欄、繪圖窗口和記錄窗口等組成。
2.工具欄組成
工具欄依次是選擇工具（實現選擇，及對象的平移、旋轉、縮放功能）、畫點工具、畫線工具、畫圓工具、文本工具和對象信息工具。在選擇工具和畫線工具按鈕上按住滑鼠左鍵停留片刻，會彈出更多的類型工具；選擇對象的方法可以選擇點按、按Shift點按或拖動等方式選中對象。
3.對象之間的關系
幾何畫板中對象之間的關系如同生活中父母與子女關系。如果改變「父母」的位置或大小，為了保持與父母的幾何關系，作為「子女」對象也隨之變化。例如，我們先作出兩個點，再作線段，那麼作出的線段就是那兩個點的「子女」。又如，先作一個幾何對象，再基於這個對象用某種幾何關系（平行、垂直等）或變換（旋轉、平移等）作出另一個對象，那麼後面作出的幾何圖形就是前面的「子女」。
4.了解對象信息
選擇「信息工具」，然後在某個對象上單擊或雙擊，即可顯示有關信息或彈出該對象信息對話框。
二、基本操作
1.點的生成與作用
例1 畫三角形
先畫三個點（可按住Shift鍵連續畫點）；然後利用「作圖」菜單中的「線段」命令畫出三角形。
註：用按住Shift鍵的方法，最大的好處是三個頂點都被選中。
例2 畫多邊形
先畫多個點（可按住Shift鍵連續畫點）；然後利用「作圖」菜單中的「線段」命令（或直接按CtrL+L）畫出多邊形。
註：選取頂點的順序是十分重要的，不同的順序會得出不同的多邊形。
2.線的作法
「畫線工具」有三種線段、直線和射線，選中後在繪圖窗口中進行畫圖即。
例3 製作驗證三角形的三邊的垂直平分線相交於一點的課件（初步進行作圖練習）
3.畫圓的方法
畫圓有3種方法
用畫圓工具作圓；通過兩點作圓；用圓心與半徑畫圓（這種方法作的圓定長不變，除非改變定長時，否則半徑不變）
4.畫圓弧的方法
畫圓弧也有3種方法
按一定順序選定三點然後作弧（按逆時針方向從起點到終點畫弧）；選取圓及圓上2點作弧（從第一點逆時針方向到第二點之間的一段弧）；選取圓上三點作弧（與法2相似，只是無需選中圓，作完弧後，可以隱藏原來的圓，可見新作的弧）
5.扇形和弓形
與三角形內部相似（先選中三個頂點），扇形和弓形含有「面」，而不僅僅只有「邊界」。扇形和弓形的畫法類似：
用上述方法作圓弧，選擇該弧，用「作圖」菜單中的「扇形內部」（或「弓形內部」）命令作出扇形或弓形（陰影部分）。
6.度量、計算與製表
[度量] 選中三角形內部後，在「度量」菜單中「面積」和「周長」命令，度量三角形面積與周長。利用「顯示」菜單中「參數選擇」命令，可以進行「對象參數」設置。
[計算] 「度量」菜單的「計算」命令可以對對象的值進行運算，求得所需要的結果，我們以「相交弦定理」驗證為例進行說明。
①畫一個圓及兩條相交的弦；②度量出四條線段的長度（距離）；③分別選擇同一直線上的兩條線段的距離值，利用「度量」菜單中的計算命令，依次計算出兩者之積④拖動動點，觀察規律：相交弦定理。
[製表] 在「度量」菜單中「製表」命令。選擇上例中「四條線段的長度」，利用「製表」命令，制出表格。變化圖形，增加表格項的方法有3種：選中表格菜單中「加項」命令；選中表格利用CtrL+E快捷鍵；雙擊表格。
7.變換
「變換」包括平移、旋轉、縮放、反射等命令。各標記命令允許指定決定變換的幾何對象、幾何關系，或度量值。也可以通過組合平移、旋轉、縮放、反射等變換定義自己的變換。
標記中心和標記鏡面命令確定了幾何變換的類型。旋轉和縮放需要一個中心點，所以在實施這兩種變換前要先確定一個中心點。同樣，反射需要一個鏡面，在反射前要先確定一個鏡面。
8.標簽
所謂標簽，也就是給作出的點、線、圓、圓弧等幾何圖形起個名字。用幾何畫板作出的幾何對象，一般都由系統自動配置好標簽。利用「標簽」工具雙擊標簽文本可以進行重命名操作。
三、提高操作
1.如何快速完成幾何圖形的繪制
①利用快捷鍵
如繪制多邊形時，可先利用畫點工具，畫若干個點（頂點）。畫點時按住Shift鍵，使之均處於選中狀態，然後利用作線段快捷鍵命令CtrL+L，來快速完成多邊形的繪制。
②直接使用鍵盤命令創建圖形對象
其實《幾何畫板》中提供了通過鍵盤命令（幾個標點符號鍵）直接輸入幾何圖形的方法。
句號( • ) —— 繪制點
逗號( ， ) —— 繪制圓
斜杠( / ) —— 繪制線（包括線段、射線和直線，它們各類型之間可通過重復點擊來切換）
分號( ；) —— 繪制圓弧
撇號( 』） —— 繪制多邊形
下面以繪制多邊形（4邊形）為例來說明：
按下撇號( ')鍵，此時位於《幾何畫板》窗口左下角的工具狀態框中，顯示「繪出多邊形」；
輸入「A B C D」，每個字母間加入一個空格，狀態框中顯示「繪出多邊形A，B，C，D」；最後回車，多邊形（四邊形）繪制完畢。可以拖動各頂點，進行調整。
2.如何導入外部圖片
製作課件時，往往需要導入《幾何畫板》以外的美麗圖片，來提高課件的質量。下面介紹兩種導入外部圖片的方法。
①插入的方法
「編輯」菜單中「插入對象」命令 —>選中「BMP圖象」類型—> 自動啟動《畫圖》程序—>利用《畫圖》程序「編輯」菜單中的「粘貼自」命令，讀入所需圖片文件，最後利用「文件」菜單中的「退出並返回……」命令，回到《幾何畫板》編輯窗口。
②粘貼的方法
把所需的圖片復制到Windows的「剪貼板」上，再利用《幾何畫板》中的「粘貼」命令直接導入一幅圖片到課件中。這種方法看來比較簡單，但製作課件中若用到多個圖片時，此方法的優勢就顯現不出來了。
註：若要使導入的圖片參與動畫運動，可以先選中一點，然後利用上述方法導入圖片。這樣導入的圖片就被固定在指定點的位置，該點運行軌跡就是此圖片的運動路徑。
3.如何輸入數學符號或數學公式
①導入法
象導入外部圖片一樣，將Word或WPS中的數學公式或符號，導入到《幾何畫板》課件中。
②「編輯數學格式文本」法
其實《幾何畫板》中提供了輸入常用數學公式或符號命令（參見下表1），只是初學者不大會用。這里以一個具體的例子來說明這些命令的使用方法。
例如：標識5的算術平方根（根式）
按下[Num Lock]鍵不放開，再雙擊A點的標簽，彈出「編輯數學格式文本」對話框（如圖1）；在「數學格式」欄中輸入{V：5}，確定即可。
註：單獨使用的「文本」工具，創建的「注釋」類型文本，不能進行數學格式編輯。只有對象標簽或度量的文本才可以進行「數學格式編輯」。
四、對象的移動與動畫
幾何畫板畫出的各類對象可以運動，這是它之所以稱為「動態幾何」的原因。幾何畫板中的對象「動」的方法有3種，前面學習過一種是：拖動對象的某一部分（或一點、一線），使得由於各種幾何關系連接起來的圖形整體一起變化。還有兩種就是對象的移動與動畫。
1.對象的移動
[例]製作「兩圓的位置關系」演示課件
製作兩個圓，一個運動的圓，一個靜止的圓，在靜止的圓的外部和內部各畫一個，讓運動的圓的圓心分別向這兩個點移動，達到兩圓相切和相交的效果（當然兩圓的內含、內切也可同樣作出。只是要特別注意：選擇順序，先選運動的點，再選目標點）。具體操作如下：
①用「以圓心與半徑作圓」的方法作兩個相離的圓，可以給它們設置不同的顏色；
②在靜止圓的外部適當位置畫一個點A，在其內部適當位置畫一個點B；
③先運動圓的圓心，再選A點，選擇「編輯」菜單的「操作類按鈕」項的「移動」命令，並選擇「慢速」，然後確定。這時《幾何畫板》窗口出現「移動」按鈕，可以用「標簽」工具把文字改為「外切」；
④同樣方法可以作出「相切」運動效果，雙擊按鈕可以播放動畫，按CtrL+Z使得圓回到原來位置。
註：雙擊某個按鈕，就會產生相應的運動。如果動圓所到的位置不夠准確，可以調整目標點的位置。為了避免使用時誤操作，可以適當隱藏若干對象。
如果用其他兩種畫圓的方法，圓心運動時會改變圓半徑的大小。此法所作的圓的大小，只有作為半徑的線段改變時，圓的大小才會改變。
2.動畫
移動雖有比較好的運動效果，但移動一次後便需恢復到原位，而《幾何畫板》中的動畫功能卻能很生動地連續表現運動效果。用動畫可以非常方便地描畫出運動物體的運動軌跡，而且軌跡的生成是動態的、逐步的，表現出軌跡產生的全過程。
[例]製作「同底等高的三角形面積相等」課件
①作一個三角形ABC；
②依次選中A、B、C三點，利用「作圖」菜單中的「多邊形內部」命令，選擇三角形內部；
③選擇「度量」菜單中的「面積」命令，度量出三角形的面積；
④過頂點A作BC的平行線，再在該直線上取一點D，作三角形DBC；
⑤選中點D和BC的平行線，作D點在該線上運動動畫。
五、記錄
「記錄」可以把你做的每一步記錄在一個文件里，以後如果需要就可以調出相應的記錄文件，自動做出以前的工作。記錄的最大好處也許是可以合給人看到作圖的每一步過程，這不但對不了解作圖過程的人是一個啟示，而且對作者本人，在時間長久遺忘的情況下也好比救命的菩薩。一般來說，啟用一個記錄必須有前提高條件。
1.用已存在的作圖生成記錄
在上例「同底等高的三角形面積相等」課件中，進行了一系列的作圖操作，如果需要把它記錄下來，也是完全可以的。
①選中所有對象；用「工作」菜單的「生成記錄」命令，生成記錄；
②新建一個繪圖窗口，繪出三個點（滿足前提條件），執行「播放」命令，在新的繪圖窗口中，便會依次重復我們以往的操作。
註：如果選擇記錄窗口中的「快進」按鈕，所作圖形會一步作出，而不是逐步作出。如果記錄文件需要保存，可按一般的文件存檔方法進行。記錄文件的擴展名是.gss；繪圖文件的擴展名是.gsp。
2.先打開記錄再作圖
利用「文件」菜單的「新記錄」命令，出現「記錄」窗口，點擊「記錄」窗口中的「錄制」按鈕，然後按部就班作圖，作圖結束，按「記錄」窗口中的「停止」按鈕停止錄制，可以將記錄文件存檔。
3.循環記錄
《幾何畫板》中的「循環」概念與數學里的極限是非常類似的，而且它完全可以用來演示數學里的極限問題，比如記錄得出三角形里的三角形，再選定小三角形，再用一次記錄……
簡言之，《幾何畫板》的循環就是「圖畫」中的「圖畫」，循環記錄可以用無限循環來定義，但是當你播放這些記錄時，先要指定循環的深度，以確定有多少次重復，否則，記錄文件的播放將不會停止。
[例]作「以三角形三邊中點為頂點的三角形」的課件
新建「記錄」與「繪圖」——錄制記錄——畫三點，並組成三角形，作三邊的中點，連接三邊頂點成新三角形——此時（「記錄」窗口中多出一個「循環」按鈕）——先選中新三角形三個頂點再按「循環」按鈕——結束錄制。
播放時，前提是繪制三個點；給定「深度」——循環次數。《幾何畫板》將按指定的次數循環地畫出「以三角形三邊中點為頂點的三角形」的圖形。
六、坐標與函數
作為一個有力的幾何作圖工具，自然要有坐標和坐標系，自然也就可以把各類函數的圖形在坐標系中准確地描畫出來。《幾何畫板》中的常用函數在用「度量」菜單的「計算」命令打開的「計算器」中。
[例]作一個反比例函數Y=2/X 的圖像
①在「圖表」菜單中利用「建立坐標軸」命令建立坐標系；
②在橫軸上任取一點，「度量」出它的「坐標」，「計算」出它的橫坐標；
③先選中該點的橫坐標，利用「計算」命令輸入解析式2/X ，計算出它對應的縱坐標；
④選中橫縱坐標值，利用「圖表」菜單中「繪出（x,y）」命令，繪出該；
⑤選中X軸上的點與剛繪出的點，利用「作圖」中的「軌跡」命令作出所求作的反比例函數圖像——雙曲線。
兩圓的外公切線
一、製作效果
如圖，無論是改變兩圓的大小，還是圓心距，直線和圓的關系保持不變，即直線始終是兩圓的外公切線。
二、思路分析
我們在尋求外公切線的作法以前，先看看下圖，是否能想起過圓外一個作圓的切線的的尺規作法
以PO為直徑作圓（先作線段OP的中點，找到圓心）→作兩圓的交點C、D（這一步可省）→作直線PC、PD。是不是很簡單？是不是想起外公切線的尺規作圖（其實質就是把兩圓的外公切線轉化為內公切線），想不起試著分析一下。
如果還不行的話，就看下面的操作步驟吧。
三、操作步驟
1、 任畫兩圓（A,D）（B，C）
2、 度量兩圓的半徑，並計算它們的差
3、 以AB為直徑畫圓
4、 畫圓（A，（半徑⊙AD）－（半徑⊙BC＝0.94厘米）），與以AB為直徑畫的圓交於E（其中一個交點）。
5、 作直線BE；作直線（A，E）交圓（A,D）於F
6、 作平行線（F，直線BE）
7、 作直線FG關於線段BA的對稱直線
四、拓展研究
1、這樣尺規作圖外公切線的作法，有缺點，當⊙AD的半徑小於半徑⊙BC時，外公切線不見了（您知道為什麼嗎？），如何完善？
只要在大圓內重復上述步驟，就搞定了，具體如下
(1)、計算兩圓半徑的差（注意是大圓半徑減小圓半徑）
(2)、畫圓（B，（半徑⊙BC）－（半徑⊙AD＝0.94厘米）），與以AB為直徑畫的圓交於I（其中一個交點）。
(3)、作直線(A,I)；作直線（B，I）交圓（B,C）於H
(4)、作平行線（H，直線AI）
(5)、作已作切線關於線段BA的對稱直線，即另一條切線。如下圖
就算這樣作，仍不完善，當兩圓半徑相等時，切線會不見了。您能繼續完善嗎？
2、尺規作圖得分三種情況（半徑之間大於、小於、等於），有沒有更簡單的作法，有，下面講一種非尺規作圖的方法
如上圖，分析一下作法。兩圓半徑固定，位置固定→確定∠BAF→確定F→確定G→確定一條切線→另一條切線。具體步驟如下
(1)、度量AB即圓心距
(2)、計算
(3)、B點饒A為中心以計算結果為旋轉角旋轉得到
(4)、作射線（A， ）交圓AD於H
(5)、作平行線（B，射線AH），交圓BC於I
(6)、作直線（H，I）即兩圓的一條外公切線
(7)、作直線HI關於AB對稱的直線，得到另一條切線。
試一試 您能否作圓的內公切線（分別用代數構造和幾何構造）
和兩圓都相切的圓心的軌跡
一、製作結果
如圖：單擊「動畫」按鈕，D點在圓周上運動，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會改變，甚至不是雙曲線。
二、思路分析
如果按尺規作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時外切、內切、一內一外。幾何畫板號稱動態幾何，其構造的思路會復雜嗎？我們先來看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點D，求作一圓和兩已知圓都外切。看看下圖，是如何確定圓心C的？分析分析作圖步驟
三、操作步驟
1、 構造兩已知圓的半徑 畫一條水平直線AB，在直線上畫三點C、D、E；隱藏點A、B。→畫線段（D，C）(D，E),並把線段DC和線段DE的標簽分別改為R、r（想一想為什麼在直線上畫點，而不直接畫線段）
2、 構造圓心 畫一條水平直線FG，隱藏點F、G→在直線上畫點H、I（這兩點就是已知圓的圓心）
3、 構造已知圓 畫圓（H，線段R）畫圓（I，線段r）
4、 構造輔助圓 畫直線（I，J），其中J為圓I上任一點J→畫圓（J，線段R）→畫圓J和直線IJ的交點為L。
5、 構造所求圓 作線段（H，L）→作線段HL的中垂線→作直線IJ和中垂線的交點K→作圓（K，J）
6、 作軌跡（K，J）
7、 作J點的動畫
8、 隱藏輔助線，修飾課件。
四、拓展研究
通過移動點C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發現，這種構造方法，竟是一箭三雕－同外切；同內切；一外一內，盡在其中。
等長線段在坐標軸上的運動
一、製作結果
單擊「動畫」按鈕，線段的端點始終在坐標軸上運動，運動過程中線段保持等長。
二、思路分析
我們先思考，構造哪一點運動，從而帶動線段運動？如圖，線段和坐標軸圍成的是直角三角形，線段的長不變，即斜邊的長不變，則斜邊上的中線保持不變。所以線段運動，其中點的軌跡是圓。您不難想到下面的構造：畫圓（A,H）→畫半徑（AG）→畫圓（G,A）→畫線段（E,F）。（這實際上就是就是尺規作圖：已知直角和中線作直角三角形）拖動G點到二、三、四象限，線段沒有了。
此種構造不成功，我們換個思路構造直角三角形EAF，如上左圖，只要能構造等腰三角形AGF，就能構造出直角三角形AEF。想想如何構造△AGF？
作垂線j（G,x軸）→點 （A關於直線j的反射點）→射線（ ，G）→線段（ ，I）
再拖動G點試試，成功！
換個思路我們再思考，當我們看到直角三角形及斜邊上中線的圖形，熟悉初中幾何教學的你不難想到「中線加倍」，如下圖：當線段BD運動時，AC也運動且長度不變，則點C的軌跡是圓（點，線段AC）。並且四邊形ABCD是矩形（為什麼？），現在您知道如何構造等長線段在坐標軸上的運動了嗎？如不明白，請看操作步驟。
三、操作步驟
1、 建立直角坐標系
2、 畫圓（A,E）
3、 畫點C C為圓上任意一點
4、 作垂線（點C，x軸，y軸）
5、 畫線段（點B，點D）
6、 作點C動畫
7、隱藏不必要對象。
四、拓展研究
1）製作等長線段在坐標軸上的運動，這里講了兩種方法，可能還有其它方法，但幾乎都不如這兩種方法簡潔。
2）坐標軸可用兩條垂直的直線代替。更妙的是第二種構造，坐標軸甚至可用兩條相交直線代替。第二種構造稱為「劉天翼構造」，他是東北育才中學的學生的傑作。
旋轉對象
例1 畫一個正方形
運行結果：
畫一個正方形，拖動任一頂點改變邊長或改變位置，都能動態地保持圖形是一個正方形。
基本思路：
本例將學習按固定的角度來旋轉對象，
1、畫一條線段，用來做正方形的一邊；
2、雙擊左端點，標記為中心，選中線段和右端點，繞標記的中心旋轉900（逆時針方向），得第二條邊；
3、雙擊第一條線段的右端點，標記為中心，選擇第一條線段和它的左端點，繞標記的中心旋轉－900（順時針方向），得第三條邊；
4、連結出第四條邊。
操作步驟：
1、畫線段AB。
2、用選擇工具雙擊點A，點A被標記為中心。
3、用選擇工具選取點B和線段AB，由菜單「變換」---「旋轉」，在彈出的「旋轉」對話框中作設置。
4、雙擊點B，標記新的中心。
5、用選擇工具選取點A和線段AB，由菜單「變換」---「旋轉」，在彈出的「旋轉」對話框中作設置。
6、連結上方兩個頂點得第四邊。
拓展應用：
1、本例的方法可以用來作任意的正多邊形，只要計算出正多邊形的內角，旋轉時按內角度數進行即可，但這並不是最方便的方法，具體請參閱深度迭代畫正多邊形。
2、並不是每次用正方形都要從頭來畫，事實上可以把這個畫圖的過程創建成一個自定義工具，請參考相關的章節。
3、畫正方形的方法比較多，本例介紹的是較為簡便的一種，其餘方法請自行嘗試
例2 中心對稱
運行結果：
拖動點F，使∠DEF從00到1800變化，
中間結果
最後結果
基本思路：
本例將在前面學習的基礎上，學習「按標記的角」旋轉對象，同時能通過改變角的大小來動態演示對象的旋轉過程。
1、為了方便觀察，連結對稱中心和各關鍵點間的虛線段，讓研究對象和虛線段繞對稱中心旋轉1800，形成中心對稱，；
2、畫一個角並標記這個角；
3、再次選擇原來的對象及虛線段，按標記的角旋轉；
4、拖動標記的角為00，觀察到的圖形為中心對稱，拖動標記的角從00到1800，可以看到旋轉1800後重合的過程。
操作步驟：
1、准備工作。
2、用選擇工具雙擊點O，標記為中心。
3、同時選擇點A、B、C，線段AB、AC、BC、OA、OB、OC，繞點O旋轉1800。
4、用選擇工具確保按順序點D、E、F選中這三點，並注意不要多選其它對象，由菜單「變換」---「標記角」，如果標記成功，會看到一段小動畫。
5、同時選擇點A、B、C，線段AB、AC、BC、OA、OB、OC，由菜單「變換」---「旋轉」，在彈出的對話框中作設置。
6、為便於觀察，改按角度旋轉所得的所有對象為紅色。
7、拖動點F，使線段EF與ED重合，可以看到紅色三角形與△ABC重合。
說明：本例中標記的角度是圖形，這種情況要注意選取三個點的順序，按「邊上的點、頂點、邊上的點」來選，如果選擇時按逆時針方向，標記的是正角；按順時針方向，標記的是負角，這將影響對象的旋轉方向。
標記的角也可以是度量角所得的度數（這時只能是正角），還可以是由計算器計算出來的度數（可正可負）。