面的法向量計算方法

『壹』 知道三個點怎麼求那個平面的法向量~

設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3個點

A,B,C可以形成3個向量,向量AB,向量AC和向量BC

則AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)

設平面的法向量坐標是（x,y,z）

有(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0

可以解得x,y,z。

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平面，是指面上任意兩點的連線整個落在此面上，一種二維零曲率廣延，這樣一種面，它與同它相似的面的任何交線是一條直線。

三維平面的法線是垂直於該平面的三維向量。曲面在某點P處的法線為垂直於該點切平面（tangent plane）的向量。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

對於立體表面而言，法線是有方向的：一般來說，由立體的內部指向外部的是法線正方向，反過來的是法線負方向。

曲面法線的法向不具有唯一性；在相反方向的法線也是曲面法線。定向曲面的法線通常按照右手定則來確定。

『貳』 在數學中，「平面的法向量」要怎麼求

平面法向量的具體步驟：（待定系數法）

1、建立恰當的直角坐標系

2、設平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根據法向量的定義建立方程組①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程組，取其中一組解即可。

依據：

①由於空間內有無數個直線垂直於已知平面，因此一個平面都存在無數個法向量（包括兩個單位法向量）。

②如果一條直線與平面內兩條相交直線都垂直，那麼這條直線與這個平面垂直。

(2)面的法向量計算方法擴展閱讀：

一、平面的法向量(normal vector of a plane)確定平面位置的重要向量，指與平面垂直的非零向量，一個平面的法向量可有無限多個，但單位法向量有且僅有兩個。

例如在空間直角坐標系中平面Ax+By+Cz+D=0的法向量為n=(A,B,C)，而它的單位法向量即法向量除以法向量的長度，正負代表方向。

二、對於像三角形這樣的多邊形來說，多邊形兩條相互不平行的邊的叉積就是多邊形的法線。

三、用方程ax+by+cz=d表示的平面，向量(a,b,c)就是其法線。

四、如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

五、待定系數法的一般用法：

設某一多項式的全部或部分系數為未知數，利用兩個多項式恆等式同類項系數相等的原理或其他已知條件確定這些系數，從而得到待求的值。例如，將已知多項式分解因式，可以設某些因式的系數為未知數，利用恆等的條件，求出這些未知數。

『叄』 法向量的計算方法

平面法向量的具體步驟：（待定系數法）

1、建立恰當的直角坐標系

2、設平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面內找出兩個不共線的向量，記為a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根據法向量的定義建立方程組：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程組，取其中一組解即可。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。

例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

(3)面的法向量計算方法擴展閱讀：

法向量的主要應用如下：

1、求斜線與平面所成的角：求出平面法向量和斜線的夾角,這個角和斜線與平面所成的角互余.利用這個原理也可以證明線面平行；

2、求二面角：求出兩個平面的法向量所成的角,這個角與二面角相等或互補；

3、點到面的距離： 任一斜線(平面為一點與平面內的連線)在法向量方向的射影；

如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|（等式右邊全為向量,D為平面內任意一點,向量n為平面α的法向量）。

利用這個原理也可以求異面直線的距離。

『肆』 法向量的求法

法向量的求法：

在空間直角坐標系下

求出法向量所垂直的平面內兩條不平行的直線的方向向量

設為(x1,y1,z1) (x2,y2,z2)

顯然平面的法向量(x,y,z)與兩直線方向向量垂直

即得xx1+yy1+zz1=0,xx2+yy2+zz2=0

將任一未知量取一特殊值，則另外兩個未知量可得

即可求出法向量

(4)面的法向量計算方法擴展閱讀

如果一個非零向量n與平面a垂直，則稱向量n為平面a的法向量。垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。每一個平面存在無數個法向量。

如果曲面在某點沒有切平面，那麼在該點就沒有法線。例如，圓錐的頂點以及底面的邊線處都沒有法線，但是圓錐的法線是幾乎處處存在的。通常一個滿足Lipschitz連續的曲面可以認為法線幾乎處處存在。

在空間直角坐標系中，分別取與x軸、y軸，z軸方向相同的3個單位向量i，j，k作為一組基底。若為該坐標系內的任意向量，以坐標原點O為起點作向量a。

由空間基本定理知，有且只有一組實數(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把實數對(x,y,z)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y,z)。這就是向量a的坐標表示。