大学数学分析题型例子及解题方法

‘壹’ 怎么学好工科数学分析第三版{哈工大} 我是林大11新生，开学进半个月学高数太费劲，求指导 怎么学好

工科数学分析与高中数学相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是无限分割逐步逼近，极限等；从形式上讲，学习方式也很不一样，特别是一般都是大班授课，进度快，老师很难个别辅导，故对自学能力的要求很高。具体的学习方法因人而异，但有些基本的规律大家都得遵守。我具体说一下列在下面：
1。书：课本＋习题集（必备），因为学好数学绝对离不开多做题（跟高中有点像，呵呵）；建议习题集最好有本跟考研有关的，这样也有利于你将来可能的考研准备。
2。笔记：尽量有，我说的笔记不是指原封不动的抄板书，那样没意思，而且不必非单独用个小本，
可记在书上。关键是在笔记上一定要有自己对每一章知识的总结，类似于一个提纲，（有时老师或参考书上有，可以参考），最好还有各种题型＋方法＋易错点。
3。上课：建议最好预习后听听。（其实我是从来不听课的，除非习题课），听不懂不要紧，很多大学的课程都是靠课下结合老师的笔记自己重新看。但remember，高数千万别搞考前突击，绝对行不通，所以平时你就要跟上，步步尽量别断层。
4。学好高数＝基本概念透＋基本定理牢＋基本网络有＋基本常识记＋基本题型熟。数学就是一个概念＋定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等，小弟你既要有形象的对它们的
理解，也要熟记它们的数学描述，不用硬背，可以自己对着书举例子，画个图看看（形象理解其实很重要），然后多做题，做题中体会。建议你用一只彩笔专门把所有的概念标出来，这样看书时一目了然（定理用方框框起来）。
基本网络就是上面说的笔记上的总结的知识提纲，也要重视。
基本常识就是高中时老师常说的“准定理”，就是书上没有，在习题中我们总结的可以当定理或推论用的东西，还有一些自己小小的经验。这些东西不正式但很有用的。
题型都明白了，比如各种极限的求法。
好了，这些都做到了，工科数学分析应该学得不会差了，至少应付考试没问题。如果你想提高些，可以做些考研的数学题，体会一下，其实也不过如此
还可以看些关于高数应用的书，其实数学本来就是从应用中来的，你会知道真的很有用（不知你学的什么专业）
最后再说说怎么提高理解能力的问题（一家之言）
1。举例具体化。如理解导数时，自己也举个例子，如f（x）＝820302X2+811211（x的平方）。
2。比喻形象化。就是打比方,比如把一个二元函数的图形想成邻家女孩的头上的草帽。
3。类比初级化。比如把二元函数跟一元函数类比，泰勒公式想成二次函数，好理解。
4。多书参考法。去你们图书管借几本不是一个作者写的高数教材，虽然讲的内容都一样，但不同的作者往往对同一个问题从不同的角度表述，对你来说，从很多不同的角度、例子理解同一个问题，往往就容易多了。Just have a try！
5。不懂暂跳法。对一些定理的证明、推导过程等，如果一时不明白没关系，暂时放过，记下这个疑点待以后解决就可以了。

说了这么多也不知哪些对你有用，对了，还有要不耻上问，问同学老师都行，弄会才是目的。如有什么问题，给我留言。

另外对于你即将要学习的线性代数，则必须树立一个良好的学习态度，在这里的内容相对高数而言比较抽象，有必要多花些时间，而且在这阶段的学习里正是锻炼你的抽象思维和逻辑思维的好时机，对你以后的专业学习是大为有帮助，希望能够好好的把握。
而对于概率与统计，就更注重实际，偏于计算，对于一些数论里的知识和一些数学理论要有个很熟练的把握，而且它也是更贴近你专业的一门数学。
总之，要学好大学数学，最重要的是打好前基础。
最后祝你学业有成！

‘贰’ 常用的数学分析方法有哪些

1．避免“一步到位”
是指解题过程中，省略关键步骤，而直接得到答案，这样扣分是严重的．由于解答题是严格按照步骤给分的，如果解题过程中失去关键步骤，跳过拟考查的知识点、能力点，就意味着失去得分点，自然被扣分.
例1(2000年全国高考题) 已知函数y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(II) 该函数的图像可由y＝sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(I)由题设可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
当 x= ＋k ，k∈Z，函数y取得最大值．
(II) 略．
评注：在(Ⅰ)的解答中犯了“大题小作”中的“一步到位”错误，缺少了化简过程的3个要点与何时取到最大值的1个要点，因而被扣分.
2． 避免“使用升华结论”
在解选择和填空题中，使用升华结论(教材中未给出的正确结论)是允许的，而且还是一种简捷快速的答题技巧．而直接运用(不加说明或证明)在解答题中是不合适的，且是“大题小作”，要适当扣分的.
解答高考解答题的理论根据应该是教材中的定义、定理、公理和公式，而学生使用“升华结论”则达不到考查能力、考查过程的目的，因此不能以题解题，不能直接运用教材以外别的东西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全国高考题) 根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
⑵(2001年全国高考题) 设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
评分标准中指出：
对于⑴：“利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函数的性质，未证明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函数而直接写出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能证明为什么 － ＜0过程，由评分标准知最多得3分．
对于⑵：有些考生证明时，直接运用课本中的引申结论“y1 y2＝p2”而跳过拟考查的知识点、能力点而被扣2分.
对于课本习题、例题的结论，是要通过证明才能直接使用(黑体字结论例外)，否则将被“定性”为解题不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全国高考理科第17(Ⅱ)利用面积射影定理，由于不加证明而直接使用，因而被扣分.
3 避免“答非所问”
是指没有根据题意要求或没有看清题意要求，用其它方法或结论作答，这明显也要被扣分的.
例3(1993年全国高考题)已知数列
Sn为其前n项和．计算得 观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．
解：依据题意，推测出Sn的公式为：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分别取k＝1，2，3，…，n，并将n个式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
评注 以上解法可谓“简单、明了”，但证明时不用数学归纳法，为“答非所问”，不合题意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22题(应用题)，第(Ⅰ)问中求“冷轧机至少需要安装多少对轧辊”，要求是用整数作答，不少考生未能用整数作答，违背题意而被扣分.
(四)了解“评分标准”，把握得分点
掌握解答题的“得分点”就要了解高考的评分标准，解答题评分标准是分步给分，但并非写得越多得分越高，而是踏上得分点就给分，即按所用的数学知识，数学思想方法要点式给分，允许“等价答案”，允许“跳步得分”. 因此解答时，应步骤清，要点明，格式齐. 对于不同题型的给分规律有：
1．立几题得分点
通常分作证，计算两部分给分，各段中间又按要点给分.证明主要写清两点：①空间位置关系的判断推理的依据(课本中的定理、公理)；②什么是空间角和距离及理由(紧扣定义). 特别要注意没有写清角、距离要被扣分. 计算过程的书写：计算一般是解三角形，要写清三角形的条件及解出的结果. 用等积法解题，要找出等积关系并计算. 都是分段得分的，如1998年23题，1999年22题，都有3个小题，每小题4分，其中作证2分，计算2分.
2．分类讨论题得分点
按所分类分别给分，加上归纳的格式(即写为“综上：当××时，结论是××”)分. 如1996年第20题，按a＞1和0＜a＜1两类分别给5分，归纳给1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范围，使函数在区间[0，＋∞)上是单调函数，按 a≥1和0＜a＜1讨论各得2分.
3．应用题得分点
按设列、解答两部分给分. 特别要注意不答和答错都要扣1分，应注意设、列、解、答的完整性，争取步骤阶段分.
4．推理证明题得分点
按推理格式，推理变形步骤给分. 对于用定义证明函数的单调性、奇偶性，用数学归纳法证题，都有严格的格式分，应完整，避免失分. 即使推理证明不出，宁可跳步作答，也要套用格式. 从条件、结论两头往中间靠，这样写完格式，这样可以少扣分.
5．综合题得分点
按解答的过程，分步给分，每个步骤又按要点给分. 尽可能把过程分步写出，尽量不跳步，根据题意
列出关系，译出题设中每一个条件，能演算几步算几步，尚未成功不等于失败，特别是那些解题层次分明的题目，那些已经程序化的方法，每进行一步得分点的演算都可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有算出来，但分数已过半，所以说，“大题拿小分”也是一个好主意. 因此尽量增加分步得分机会，千万别轻易留空白题.
(五)常用的解答题解题技巧
1.较简单的解答题的求解
对于比较容易解答的解答题(一般是前面3道),宜采用一慢一快的方法,就是审题要慢,解题要快,速战速决,为后面3道解答题留下时间.
找到解题方法后，书写要简明扼要，快速规范，不要拖泥带水，罗唆重复，用阅卷老师的话，就是写出“得分点”，一般来讲，一个原理写一步就可以了。至于不是题目直接考查的过渡知识，可以直接写出结论，高考允许合理省略非关键步骤，应详略得当。
例2004北京理科第15题
在 中， ， ， ，求 的值和 的面积.
分析:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力
解：
又 ,

.

2.较难的解答题的求解
对于较难的解答题(后面3道)来说,要想在有限的时间内做全对是不大现实的.当然也不能全部放弃,应该尽可能的争取多拿分.对于绝大多数考生来说，在这里重要的是：如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略，下面谈四个观点。
(1)、缺步解答
如果我们遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个明智的策略是：将它分解成为一个系列的步骤，或者是一个个子问题，能演算几步就演算几步，尚未成功不等于彻底失败，每进行一步得分点的演算就可以得到这一步的满分，最后结论虽然没有得出来，但分数却已过半。因为近几年高考解答题的特点是：入口易完善难，不可轻易放弃任何一题。
例: (2004浙江理科第21题)已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1.
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且 ，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当 时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程.
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
即
因为点M到直线AP的距离为1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为 由
得 .
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此， （不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为 .
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是（2+ ，1+ ），将P点坐标代入 得，

所以所求双曲线方程为
即
(2)、跳步解答
解题卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果得不出，证明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，我们再回过头来，集中力量攻克这个“中途点”。由于高考时间的限制，“中途点”的攻克来不及了，那么可以把前面的写下来，再写上“证明某步之后，继而有……”一定做到底。也许，后来中间步骤又想出来了，这时不要乱七八糟地补上去，可补在后面，可书写为“事实上，某步可证如下”。
有的题目可能设有多问，第一问求不出来，可以把第一问当成已知，先做第二问，这也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18题) 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
(I) 求所选3人都是男生的概率；
(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所选3人都是男生的概率为
(II)所选3人中恰有1名女生的概率为
(III)所选3人中至少有1名女生的概率为
这3道小题可以说是互相独立的,彼此不相干.所以如果第1小题做不来,可以跳过去,直接做第2小题.

(3)、退步解答
“以退求进”是一个重要的解题策略，如果你不能解决题中所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从复杂退到简单，从整体退到局部。总之，退到一个你能够解决的问题，比如，{an}是公比为q的等比数列，Sn为{an}的前n项和，若Sn成等差数列，求公比q=____.
对等比数列问题，我们需考虑到q=1，q≠1两种情况，你可以先对特殊的q=1进行讨论，满足题意，找到解题思路和情绪上的稳定后，再讨论q≠1时是否也满足题意，发现无解，如果对q≠ 1的情况你确实不会解，你还可以开门见山的写上：本题分两种情况：q=1或q≠1.
也许你只能完成一种情况，但你没有用一种情况来代替主体。在概念上、逻辑上是清楚的。另外“难的不会做简单的”还为寻找正确的、一般的解题方法提供了有意义的启发。
4、辅助解答
一道题目的完整解答，即要有主要的实质性的步骤，也要有次要的辅助性的步骤，如：准确的作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题中的未知量，函数中变量的取值范围，轨迹题中的动点坐标，数学归纳法证明时，第一步n的取值等，如果处理得当，也会增分，不要小视它们。
另外，书写也是辅助解答，卷面随意涂改及正确答案的位置不合理，都会造成不必要的失分。
所以，有人说，书写工整，卷面整齐也得分，不无道理。

‘叁’ 定义域怎么求，详细举例说明

求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1）分母不为零。

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1。

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2。

不同函数的定义域求法不同，举例：y=√（x+1）的定义域。

因为√（x+1）是偶次根式，所以（x+1）≥0，即x≥-1。

(3)大学数学分析题型例子及解题方法扩展阅读：

求函数定义域主要包括三种题型：抽象函数，一般函数，函数应用题。含义是指自变量x的取值范围。

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏。

事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。

如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。