研究有限差分方法的稳定性论文

Ⅰ 有限差分法的概述

微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。
定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。
有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。

Ⅱ 各向异性介质中弹性波方程的有限差分格式及其稳定性条件

杨顶辉

（石油大学地球科学系，北京100083）

滕吉文张中杰

（中国科学院地球物理所，北京100101）

摘要快速有效地模拟地震波在各向异性介质中的传播在现今勘探地震学中具有重要的意义。一种算法的稳定性分析对于加快计算速度非常必要。本文首先利用矩阵和向量来描述波传播方程，针对二维和三维一般各向异性介质中的弹性波方程，提出了一种快速且占用内存少的有限差分方法；然后系统地研究了二维均匀、非均匀各向异性情况下波动方程有限差分格式的稳定性条件；进一步给出了某些特殊各向异性情况下有限差分方法的稳定性具体公式。最后，本文也对三维有限差分格式的稳定性问题进行了研究。

关键词弹性波方程有限差分稳定性各向异性介质

1引言

地震波传播的数值模拟在地球科学中具有重要的意义。在各向异性地震模拟的各种方法中，基于Kennett研究工作^[11,12]的反射率方法是最流行的数值技术之一。基于走时方程渐近解的射线追踪方法是模拟地震各向异性的另一种有效方法^[5,6]。Kosloff等^[13]利用Fourier方法模拟了地震各向异性。而Chen^[7]则使用有限元方法模拟非均匀各向异性问题。虽然有限差分方法已被广泛应用于各向同性介质中的弹性波模拟，但是利用这种方法来模拟地震各向异性问题并不普遍。Tsingas等^[16]利用有限差分算子发展了一种模拟算法以求解横向各向同性介质中的偏微分方程，这种算法是基于MacCormack型的分离格式^[2]。Faria等^[8]基于交错网格格式^[17]，利用有限差分算法模拟了二维横向各向同性问题。最近，Igel等^[9]基于褶积算法给出了一种模拟一般地震各向异性的有限差分算法。

快速和少存贮量是有限差分方法的优点。随着大尺度波场模拟的需要和大规模并行计算的发展，复杂介质或高维（二维和三维）模型的有限差分地震模拟不可避免。虚谱法因其空间算子准确地达到Nyquist频率而深受欢迎，然而虚谱法需要富利叶变换，从而对于三维各向异性模拟非常耗时。同时，采用富利叶变换意味着每一个网格点与其它的点相互影响。在某种意义上，这与动力学的局部弹性性质不一致。因此当我们为地震模拟设计有限差分格式时，考虑差分算子的局部性是必要的。另一方面，考虑差分算子的局部性对于提高算法的并行性非常重要。因为最邻近网格点间的信息交换最快，因而对于各向异性大尺度模型波场的模拟是可行的。

基于上述原因，本文针对一般各向异性介质中的地震波传播问题，给出了一种快速且占用内存少的有限差分方法。事实上，这是算法^[10,18]的一种推广。

通常地，时间推进算法被使用于地震波传播的数值模拟中，为了保证算法稳定，时间增量受算法稳定性条件的限制。选择合适的时间步长不仅能保证数值计算稳定，而且能加快计算速度。否则的话，不但会产生非物理数值振荡，甚至会导致错误的结果。合理时间增量的选取决定于差分格式和描述介质特征的介质参数或速度，换句话说，决定于差分格式的稳定性条件。因此有限差分格式的稳定性问题在数值计算中十分重要。尽管这一问题在文献^[10,18]中针对某些特殊情况作过研究，但他们并没有对一般各向异性问题的有限差分格式及其稳定性做过详细、系统的研究。我们的目的就是针对这一问题给出一般的有限差分格式及其稳定性条件，进一步地给出某些特殊各向异性情况下的稳定性公式。结果表明在各向同性情况下我们的结果与Aboudi^[1]的结果是一致的。

2有限差分格式

2.1三维各向异性

各向异性介质中的运动平衡方程可成如下形式：

岩石圈构造和深部作用

其中：ρ是介质密度；f_x,f_y和f_z分别表示力源在x,y和z方向上的分量；u_x,u_y和u_z分别表示x,y和z方向上的位移分量。

应力应变关系为

，其中弹性参数矩阵

，并且c_i,j=c_j,i,i,j=1,2，…，6；

应力矩阵σ＝（σ_xx，σ_yy，σ_zz，σ_yz，σ_xz，σ_xy）T；

应变矩阵ε＝（ε_xx，ε_yy，ε_zz，ε_yz，ε_xz，ε_xy）T；

且应力与位移的关系为：

岩石圈构造和深部作用

令

岩石圈构造和深部作用

岩石圈构造和深部作用

那么方程（1）可写为：

岩石圈构造和深部作用

显然，A,E,Q,B+D,C+G和F+H是实的对称矩阵。在不考虑源项

的前提下，采用有限差分逼近方程（2），可得下列有限差分格式：

岩石圈构造和深部作用

其中：Δx，△y和△z分别表示x,y和z方向的空间步长，△t表示时间步长，并且，

岩石圈构造和深部作用

2.2二维各向异性

类似地，二维各向异性介质中的波动方程可写为：

岩石圈构造和深部作用

并且有下列差分格式：

岩石圈构造和深部作用

3稳定性条件

3.1均匀介质中二维有限差分格式的稳定性条件

均匀介质情况下格式（5）可简化为：

岩石圈构造和深部作用

根据Richtmyer和Morton的稳定性理论分析，我们令

岩石圈构造和深部作用

其中U₀是一常数向量，方程（6）变为：]]

2I—2Pλ＋I）U₀=0

其中I表示一单位矩阵，

岩石圈构造和深部作用

其中：

，

，

，

，

若系数行列式为0，则满足：

岩石圈构造和深部作用

定理1差分格式（6）稳定的条件是：

岩石圈构造和深部作用

其中函数F（α，β）和α，β为：

岩石圈构造和深部作用

岩石圈构造和深部作用

其中k=Δz/Δx

证明：据差分格式（6）的稳定性，方程（7）中的λ满足‖λ‖≤1。

根据（7）和引理2（见附录），有下列不等式：

岩石圈构造和深部作用

由A、Q和C+G的对称性，可知矩阵

也为对称的，则由引理3（见附录）和不等式（8），有

岩石圈构造和深部作用

由矩阵A，Q和C+G的元素的非负性，可令0≤α，

，则要使（9）成立，只须

岩石圈构造和深部作用

令

岩石圈构造和深部作用

并令偏导数

岩石圈构造和深部作用

根据波动方程的特性，有

‖A‖＞0,‖Q‖＞0,‖C+G‖＞0

所以（0，0）和（

，

）可能为函数的极值点。显然，

f(0,0)=0

岩石圈构造和深部作用

下面我们讨论（α，β）≠（0，0）或（

，

）的情况：

由（11）和（12）式，如果

，那么

岩石圈构造和深部作用

其中α，β可能是f（α，β）的极值点，故稳定性条件为：

岩石圈构造和深部作用

否则

是函数的最大值点，且稳定性条件为：

岩石圈构造和深部作用

特别地，当Δx﹦Δz时，有下列简化的稳定性条件：

岩石圈构造和深部作用

其中α和β由（13）和（14）决定，且k=1。

3.2非均匀情况下的稳定性条件

在非均匀情况下，对于差分格式（5）的稳定性条件是难以确定的。然而根据偏微分方程的数值方法理论^[15]，我们可以采用“冻结系数”法^[14]来分析其稳定性。进一步地，我们给出非均匀介质情况下差分格式（5）的稳定性条件。

事实上，如果介质参数函数为连续有界的，则通常我们可以近似地将一个小的计算区域看成是均匀的，那么差分格式（5）可以退化成格式（6），这样在小区域范围内，我们可以像均匀情况一样获得稳定性条件。进一步根据介质参数函数的连续有界特性，我们可以获得差分格式（5）的稳定性条件为：

如果

那么

岩石圈构造和深部作用

否则，

岩石圈构造和深部作用

其中H（α，β）、α和β为：

岩石圈构造和深部作用

3.3某些特殊介质中差分格式的稳定性条件

显然，通过计算格式（6）中矩阵A、Q和C+G的范数，可以分别地获得各向同性和横向各向同性情况下的稳定性条件为：

各向同性

岩石圈构造和深部作用

或

岩石圈构造和深部作用

其中λ，μ为拉梅常数，

是P波速度。

显然，稳定性条件（15）与Aboudi^[1]的结果一致。

横向各向同性

如果

那么

≤p，否则

岩石圈构造和深部作用

其中，

岩石圈构造和深部作用

其中A,N,L,F和C为弹性常数。

类似地，我们可以获得非均匀和其它特殊各向异性介质（如：立方体各向异性、正交各向异性等介质）情况下的稳定性条件。

4三维各向异性情况下差分格式的稳定性条件

像前面二维情况一样分析可得如下稳定性条件：

定理2如果

max[k₁·‖A‖＋k₂·‖E‖＋k₂·‖Q‖，f₂（θ₂，θ₂，θ₃）]≤1，那么均匀介质情况下差分格式（3）是稳定的。其中

，函数f₂（θ₁，θ₂，θ₃）被定义为：

岩石圈构造和深部作用

其中：

，

，

，

，

·

，

；

并且θ₁，θ₂，θ₃满足：

岩石圈构造和深部作用

其中：a=4k₁·‖A‖，b=4k₂·‖E‖，d=4k₃·‖Q‖，g=4k₄·‖B+D‖，e＝4k₅·‖C+G‖，f=4k₆·‖F+H‖。

对于三维非均匀介质情况，经由“冻结系数”法可类似地分析其稳定性条件。

5总结和讨论

数值模拟地震波传播的有限差分方法是一种重要的工具，而其稳定性条件是提高计算速度的关键之一。然而对于一般二维和三维各向异性介质情况，系统深入地研究其差分格式和稳定性条件尚少，本文给出了一种快速且占有内存少的有限差分格式，并系统地分析和推导了一般均匀和非均匀各向异性情况下差分格式的稳定性条件。我们相信本文获得的结果有助于各向异性数值模拟的发展，并为有限差分方法的广泛应用提供理论依据。

参考文献

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附录：引理

引理1对于实系数方程λ²—2dλ＋1=0,｜d｜≤1是它的根λ满足∣λ｜≤1的充分必要条件。

引理1的证明参见文献[14]。

引理2若A∈R^n×n且A=A′，I是一个单位矩阵，则对于下列方程

∣λ²I—2Aλ＋I∣＝0，

‖A‖≤1是方程的根λ满足∣λ｜≤1的充分必要条件。

证明：充分性

因为A为实对称矩阵，存在T^-1、T∈R^n×n使得

T^-1AT=diag（d₁,d₂，…，d_n）

根据引理2中的方程及上述等式，可获得

（λ²—2d₁λ＋1）…（λ²—2d_nλ＋1）=0

由‖A‖≤1和ρ（A）≤‖A‖，有‖ρ（A）‖≤1

根据

，有

故对满足方程的任一根λ有∣λ∣≤1。

必要条件：因∣λ∣≤1且A为实对称矩阵，故由引理1可获得：

∣d_i∣≤1,i=1,2，…，n

即ρ（A）≤1。

又因A为正矩阵，所以ρ（A）＝‖A‖，即‖A‖≤1。

引理3如果A∈R^n×n，并且A=A′，那么

（i）如果‖I—A‖≤1，则‖A‖≤2;

（ii）如果‖A‖≥0，则‖A‖≤2是‖I—A‖≤1成立的充分必要条件。

证明：（i）因为A为实对称矩阵，故存在T^-1、T∈R^n×n使得T^-1AT=diag（d₁,d₂，…，d_n）≡D

根据‖I—A‖≤1，有‖T（I—D）T^-1‖≤1

显然，I—D为一正规矩阵，所以‖T（I—D）T^-1‖＝‖I-D‖≤1

即

所以，

，即‖D‖≤2。

又因为A为正规矩阵，所以

‖A‖＝‖TDT^-1‖＝‖D‖，即‖A‖≤2

（ii）必要条件已在（i）中证明，下面证明充分条件。

由（i）的证明过程可知：

‖A‖＝‖D‖

因为‖A‖≤2并且‖A‖≥0，有0≤‖D‖≤2，即max∣d_i｜≤2

所以我们可获得

。

即：‖I—D‖＝‖T^-1（I—A）T‖≤1

由A的对称性可得‖I—A‖≤1。

Ⅲ 什么是有限差分，怎么进行分析

有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.
有限差分法
有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
分类
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式
时域有限差分法在GIS局部放电检测中的应用
1 前言
GIS由于其占地面积小以及高度的可靠性被广泛应用，但也有因为固定微粒、自由微粒以及绝缘子内部缺陷而发生的绝缘故障。一般发生绝缘故障都伴随有局部放电发生，因而局部放电检测是诊断电力设备绝缘状况的有效方法之一。超高频局部放电检测方法因为具有强的抗干扰能力和故障点定位能力而受到制造厂家和研究部门的普遍关注，并且已有部分产品应用于现场。超高频局部放电检测方法一般直接检测出局部放电脉冲的时域信号或者频谱信号，因为不同的研究者所研制的检测用传感器的带宽和检测系统(内部传感器法和外部传感器法)不同，以及传感器和局部放电源的相对位置对检测结果的影响，检测所得结果存在较大差异，缺乏可比性，因此有必要对局部放电信号的传播规律进行研究。
时域有限差分(Finite-Difference Time-Domain)法最早是由KaneS.Yee在1966年提出的，是一种很有效的电磁场的数值计算方法，不需要用到位函数，是一种在时间域中求解的数值计算方法。这种方法被应用于天线技术、微波器件、RCS计算等方面。
本文借助时域有限差分法对252KV GIS内部局部放电所激发的电磁波传播进行仿真，并用外部传感器超高频局部放电检测方法在实验室对252kV GIS固定高压导体上的固定微粒局部放电信号进行实测，仿真结果和实验结果基本一致，为超高频局部放电检测结果提供了有效的理论依据。
2 时域有限差分法
时域有限差分法是一种在时域中求解的数值计算方法，求解电磁场问题的FDTD方法是基于在时间和空间域中对Maxwell旋度方程的有限差分离散化一以具有两阶精度的中心有限差分格式来近似地代替原来微分形式的方程。FDTD方法模拟空间电磁性质的参数是按空间网格给出的，只需给定相应空间点的媒质参数，就可模拟复杂的电磁结构。时域有限差分法是在适当的边界和初始条件下解有限差分方程，使电磁波的时域特性直接反映出来，直接给出非常丰富的电磁场问题的时域信息，用清晰的图像描述复杂的物理过程。网格剖分是FDTD方法的关键问题，Yee提出采用在空间和时间都差半个步长的网格结构，通过类似蛙步跳跃式的步骤用前一时刻的磁、电场值得到当前时刻的电、磁场值，并在每一时刻上将此过程算遍整个空间，于是可得到整个空间域中随时间变化的电、磁场值的解。这些随时间变化的电、磁场值是再用Fourier变换后变到相应频域中的解。
在各向同性媒质中，Maxwell方程中的两个旋度方程具有以下形式(式(1)~(2))。

式中，ε为媒质的介电常数；μ为媒质的磁导率；σ为媒质的电导率；σ*为媒质的等效磁阻率，它们都是空间和时间变量的函数。
在直角坐标系中，矢量式(1)～(2)可以展开成以下六个标量式。

为了用差分离散的代数式恰当地描述电磁场在空间的传播特性，Yee提出了Yee Cell结构，在这种结构中，每一磁场分量总有四个电场分量环绕，同样每一电场分量总有四个磁场分量环绕，Yee对和分量在网格单位上的分布情况如图1所示。为达到精度，Yee计算和时在时间上错开半个步长，用中心差商展开偏微分方程组，得到x轴方向电场和磁场FDTD迭代公式(式(9)~(10))，Y轴和z轴迭代公式与x轴迭代公式成对称形式(略)。

FDTD方法是Maxwell方程的一种近似求解方法，为了保证计算结果的可靠性，必须考虑差分离散所引起的算法稳定性和数值色散问题，时间步长和空间步长应满足(11)~(12)条件。

其中，δ=min(△x，△y，△z)；υmax为电磁波在媒质中传播的最大相速；λmin为电磁波在媒质中的最小波长值。
式中△x，△y和△z分别是在x，y和z坐标方向的空间步长，△t是时间步长，ij和k和n是整数。
3 GIS局部放电电磁仿真和超高频检测
SF6气体绝缘的GIS中局部放电的脉冲持续时间极短，其波头时间仅几个ns。为了简化分析，将局部放电电流看成对称脉冲，一般用如下的Gaussian形状的脉冲模型来表示，根据式13和文献6本文仿真用局部放电源高斯脉冲的峰值电流取30mA，脉冲宽度取5ns，波形如图2所示。

GIS局部放电信号频带较宽，用于接收信号的传感器(天线)应该满足检测要求，本文采用超宽带(300MHz~3000MHz)自补结构的双臂平面等角螺旋天线，天线结构如图3所示。

该天线在一定频率范围内可以近似认为具有非频变天线的特性，因为GIS局放信号的频率是在一个范围内变化，对于不同频率的GIS局放信号，该天线的阻抗不随频率变化，可方便实现天线和传输线的阻抗匹配，避免波形畸变。用HP8753D网络分析仪对天线的驻波比进行测试，结果在300MHz~3000MHz的频率范围内驻波比小于2.0，根据电磁理论当驻波比小于2.0时可以不考虑驻波的影响，表明该平面等角螺旋天线在设计频率具有良好的频响特性，所测结果可靠。
超高频法把GIS看作同轴波导(如图4所示)，局部放电产生的短脉冲沿轴向传播，传感器作为接收天线，接收局部放电所激发的电磁波。

本文针对252KV GIS内高压导体上φ0.05×lcm固定突起发生局部放电进行模拟，GIS内部高压导体外直径为10.2cm，外壳内直径为29.4cm，长度为4米。采用1×l×lcm网格进行剖分，边界用完全匹配层(PML)材料吸收边界，其中绝缘子相对介电常数取3.9。采用IMST Empire电磁仿真软件分别对图4的GIS发生局部放电时内部点1和外部点2处的信号进行仿真，仿真结果如图5所示。
图5(a)和(b)的仿真结果表明在GIS内部发生局部放电时，局部放电脉冲可以激发上升沿很陡的信号，由于其内部为不连续波导结构，电磁波在其内部将引起反射和复杂谐振，频率成分可高达GHz。另外，比较内部点1和外部点2处的仿真结果，内部点1处的信号幅值是外部点2处的两倍，表明信号可以从绝缘缝隙泄漏，但由于绝缘子和缝隙的影响幅值将明显发生衰减，并且信号在绝缘缝隙处发生的折射和散射，外部信号比内部信号复杂。图5(c)表明局部放电频带比较宽，可高达GHz，信号成分较为丰富。

采用外部传感器超高频局部放电检测系统对252KV GIS内高压导体φ0.05×1cm固定突起局部放电进行实测。由于局部放电信号比较微弱，加之高频信号传播过程中衰减较大，在测试系统中采用增益不低于20dB的宽带放大器。在实验过程中对空气中的局部放电高频信号进行衰减特性研究发现该检测系统有效检测范围为17米。在外部点2处(距离GIS外壳绝缘缝隙10cm)的检测结果如图6所示。比较图5(b)和图6表明，仿真结果和实测结果基本一致，这个结论为超高频局部放电检测结果提供了理论支持。

超高频局部放电检测方法已经表明是非常有效的局部放电检测方法，本文借用时域有限差分法从信号的时域特征出发来验证局部放电检测结果，但由于不同电压等级的GIS结构存在差异，以及故障微粒的状态不同，对检测结果都有影响，并且目前还没有找出超高频方法和传统检测方法之间的内在关系，有待进一步深入研究。
4 结论
时域有限差分法对GIS局部放电脉冲所激发的电磁波仿真结果表明，局部放电信号上升沿较陡，频率可达GHz；由于绝缘子以及绝缘缝隙的影响，使得同轴波导结构不连续，将产生很复杂的电磁波。
a.由于绝缘子以及绝缘缝隙的影响，使信号幅值发生明显衰减，外部信号的幅值是内部信号幅值的一半。
b.实验结果和仿真结果基本一致，进一步从理论上论证了超高频局部放电检测方法的有效性。

Ⅳ 有限差分法的差分方法的发展和应用

前面阐述了两个自变量，线性方程的差分法。实际问题常会遇到多个自变量，非线性的方程或方程组；它们还可能是混合型的偏微分方程（如机翼的跨声速绕流），其解包含着各种问断（如激波间断、接触间断等）。非线性问题的差分法求解是十分困难的。随着电子计算机的发展，在解决各种非线性问题中，差分法得到了很快的发展，并且出现了许多新的思想和方法，如守恒差分格式，时间相关法，分步法等。 把定常的微分问题用一个相应的非定常问题来代替，然后用差分法解后者的初值问题，要求当时，它的稳定解为原来问题的解，这类方法叫作时间相关法。实践上，当计算时间足够大时，就能得到满足给定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一边值问题：

可以用热传导方程的初边值问题：来代替。若用显式格式计算（27），可避免解大型代数方程组。特别是当微分方程的类型在定解区域内发生变化时，可只用一种类型来算，而使问题大大化简。这种方法在定常问题中广泛使用。缺点是达到定常解的计算时间较长，有待改进。 把复杂的问题的每一时间步分解成几个中间步，例如把多维问题按坐标分解为几个一维问题，然后用差分法解这些比较简单的各中间步，最后得到原始问题的近似解，这类方法叫作分步法。交替方向法、预估-修正法，时间分裂法、因式分解法等都属此类。以二维抛物型方程定解问题：为例，用显式格式求解，时间步长受稳定性条件：

的限制，用隐式格式，则归结为大型线性代数方程组，解起来比较麻烦。1955年皮斯曼-拉什福德提出交替方向隐式格式：

（i=1，2，…，N－1，j=1，2，…，M－1；n=0，1，2，…）
为中心差分算符，第一步x方向取隐式，y方向取显式，第二步则相反。两步合成无条件稳定的格式。由于每一步可用追赶法求解，大大简化了解法。交替方向法出现后，进一步发展了各种形式的分步格式，并可推广到任何维数的方程或方程组的情形，困难在于边界条件的处理。
有限差分方法已成为解各类数学物理问题的主要数值方法，也是计算力学中的主要数值方法之一。有些解偏微分问题的方法（如特征线法、直线法）实质上也是差分方法的一种形式。在固体力学中，有限元方法出现以前，主要采取差分方法；在流体力学中，差分方法仍然是主要的数值方法。当然，对于某些具有复杂的几何形状及复杂的流动现象的实际问题，差分方法还有待进一步发展。