函數在一點可導的常用方法

Ⅰ 怎樣判斷函數在某個點是否可導

這一點函數左右極限是否相等，相等即為可導。

函數連續且函數在某點的左極限=右極限=該點的函數值

可導首先必須連續，其次此點必須必須存在極限（左右極限相等）另外必須是平滑曲線不能有角（轉折點）比如f(x)=x的絕對值 在x=0那一點是不可導的。

(1)函數在一點可導的常用方法擴展閱讀：

對於可導的函數f(x)，x↦f'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數（簡稱導數）。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則也來源於極限的四則運演算法則。

反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

Ⅱ 怎樣判斷一個函數在某一點處可導

首先判斷函數在這個點x0是否有定義，即f(x0)是否存在；其次判斷f(x0)是否連續，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判斷函數在x0的左右導數是否存在且相等，即f『(x0-)=f'(x0+)，只有以上都滿足了，則函數在x0處才可導。
函數可導的條件：
如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在其上都有定義，那麼該函數是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件：函數在該點的左右兩側導數都存在且相等。這實際上是按照極限存在的一個充要條件（極限存在，它的左右極限存在且相等）推導而來。
可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
可導，即設y=f(x)是一個單變數函數， 如果y在x=x0處存在導數y′=f′(x),則稱y在x=x[0]處可導。
如果一個函數在x0處可導，那麼它一定在x0處是連續函數。
函數可導定義：（1）設f(x)在x0及其附近有定義,則當a趨向於0時,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的極限存在, 則稱f(x)在x0處可導。
（2）若對於區間(a,b)上任意一點(m，f(m))均可導，則稱f(x)在(a，b)上可導。

Ⅲ 函數求導數的方法

利用導數定義求函數的導數是學習導數的第一步，其中涉及極限的相關運算。小編就帶大家看看如何利用導數定義求一些基本函數的導數。

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操作方法
01
使用導數定義求解導數的步驟主要分為三個步驟。這里以冪函數y=x^n為例說明。

02
第一步，求出因變數的增量Δy=f(x+Δ)-f(x)。

03
第二步，計算Δy與Δx的比值。

04
第三步，求極限，令Δx趨近於0，可以求得極限。

05
冪函數的求解比較簡單。對於一些其他較復雜的函數，還需要借=藉助一些數學公式以及極限運算。例如對於y=sin（x）的求解，就需要利用和差化積公式與
lim(x->0){sin（x）/x}=1這兩個公式。

06
同樣，首先計算增量Δy=f(x+Δ)-f(x)。

07
接下來的兩步可以一同進行。

08
以下是常用的一些導數公式，大家可以試著去推導一下。導數公式的計算，需要使用大量極限計算的技巧，希望大家多多訓練。
導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。小編整理了求導數的方法，供參考！

一、總論

一般來說，導數的大題有兩到三問。每一個小問的具體題目雖然並不固定，但有相當的規律可循，所以在此我進行了一個答題方法的總結。

二、主流題型及其方法

（1）求函數中某參數的值或給定參數的值求導數或切線

一般來說，一到比較溫和的導數題的會在第一問設置這樣的問題：若f(x)在x=k時取得極值，試求所給函數中參數的值；或者是f(x)在(a,f(a))處的切線與某已知直線垂直，試求所給函數中參數的值等等很多條件。雖然會有很多的花樣，但只要明白他們的本質是考察大家求導數的能力，就會輕松解決。這一般都是用來送分的，所以遇到這樣的題，一定要淡定，方法是：

先求出所給函數的導函數，然後利用題目所給的已知條件，以上述第一種情形為例：令x=k，f(x)的導數為零，求解出函數中所含的參數的值，然後檢驗此時是否為函數的極值。

注意：

①導函數一定不能求錯，否則不只第一問會掛，整個題目會一並掛掉。保證自己求導不會求錯的最好方法就是求導時不要光圖快，一定要小心謹慎，另外就是要將導數公式記牢，不能有馬虎之處。

②遇到例子中的情況，一道要記得檢驗，尤其是在求解出來兩個解的情況下，更要檢驗，否則有可能會多解，造成扣分，得不償失。所以做兩個字來概括這一類型題的方法就是：淡定。別人送分，就不要客氣。

③求切線時，要看清所給的點是否在函數上，若不在，要設出切點，再進行求解。切線要寫成一般式。

（2）求函數的單調性或單調區間以及極值點和最值

一般這一類題都是在函數的第二問，有時也有可能在第一問，依照題目的難易來定。這一類題問法都比較的簡單，一般是求f(x)的單調（增減）區間或函數的單調性，以及函數的極大（小）值或是籠統的函數極值。一般來說，由於北京市高考不要求二階導數的計算，所以這類題目也是送分題，所以做這類題也要淡定。這類問題的方法是：

首先寫定義域，求函數的導函數，並且進行通分，變為假分式形式。往下一般有兩類思路，一是走一步看一步型，在行進的過程中，一點點發現參數應該討論的范圍，一步步解題。這種方法個人認為比較累，而且容易丟掉一些情況沒有進行討論，所以比較推薦第二種方法，就是所謂的一步到位型，先通過觀察看出我們要討論的參數的幾個必要的臨介值，然後以這些值為分界點，分別就這些臨界點所分割開的區間進行討論，這樣不僅不會漏掉一些對參數必要的討論，而且還會是自己做題更有條理，更為高效。

極值的求法比較簡單，就是在上述步驟的基礎上，令導函數為零，求出符合條件的根，然後進行列表，判斷其是否為極值點並且判斷出該極值點左右的單調性，進而確定該點為極大值還是極小值，最後進行答題。

最值問題是建立在極值的基礎之上的，只是有些題要比較極值點與邊界點的大小，不能忘記邊界點。

注意：

①要注意問題，看題干問的是單調區間還是單調性，極大值還是極小值，這決定著你最後如何答題。還有最關鍵的，要注意定義域，有時題目不會給出定義域，這時就需要你自己寫出來。沒有注意定義域問題很嚴重。

②分類要准，不要慌張。

③求極值一定要列表，不能使用二階導數，否則只有做對但不得分的下場。

（3）恆成立或在一定條件下成立時求參數范圍

這類問題一般都設置在導數題的第三問，也就是最後一問，屬於有一定難度的問題。這就需要我們一定的綜合能力。不僅要對導數有一定的理解，而且對於一些不等式、函數等的知識要有比較好的掌握。這一類題目不是送分題，屬於扣分題，但掌握好了方法，也可以百發百中。方法如下：

做這類恆成立類型題目或者一定范圍內成立的題目的核心的四個字就是：分離變數。一定要將所求的參數分離出來，否則後患無窮。有些人總是認為不分離變數也可以做。一些簡單的題目誠然可以做，但到了真正的難題，分離變數的優勢立刻體現，它可以規避掉一些極為繁瑣的討論，只用一些簡單的代數變形可以搞定，而不分離變數就要面臨著極為麻煩的討論，不僅浪費時間，而且還容易出差錯。所以面對這樣的問題，分離變數是首選之法。當然有的題確實不能分離變數，那麼這時就需要我們的觀察能力，如果還是沒有簡便方法，那麼才會進入到討論階段。

Ⅳ 怎麼證明一個函數在某一點可導且連續

在一個點可導的證明方法是
第一步：那個點的
左導數=右導數
第二步：在那個點，函數有定義
函數就在那個點可導
連續的證明方法是
第一步：函數在那個點，左極限=右極限
第二步：函數在那個點有定義，且函數值等於左右極限值
函數就在那個點連續

Ⅳ 函數求導公式是什麼

高數常見函數求導公式如下圖：

求導是數學計算中的一個計算方法，它的定義就是，當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。

在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。不連續的函數一定不可導。

一階導數的變化

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在實數域上都有定義。函數在定義域中一點可導需要一定的條件。

首先，要使函數f在一點可導，那麼函數一定要在這一點處連續。換言之，函數若在某點可導，則必然在該點處連續。可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導。

Ⅵ 如何判斷函數可導和不可導

1、函數在定義域中一點可導需要一定的條件：只有左右導數存在且相等，並且在該點連續，才能證明該點可導。

2、可導的函數一定連續；連續的函數不一定可導，不連續的函數一定不可導。

3、單側導數：

極限

左導數和右導數統稱為單側導數。

(6)函數在一點可導的常用方法擴展閱讀：

由基本函數的和、差、積、商或相互復合構成的函數的導函數則可以通過函數的求導法則來推導。基本的求導法則如下：

1、求導的線性：對函數的線性組合求導，等於先對其中每個部分求導後再取線性組合（即①式）。

2、兩個函數的乘積的導函數：一導乘二+一乘二導（即②式）。

3、兩個函數的商的導函數也是一個分式：（子導乘母-子乘母導）除以母平方（即③式）。

4、如果有復合函數，則用鏈式法則求導。

Ⅶ 高數可導, 用什麼方法判斷函數在某一點是否是可導,連續的,可導和連續的條件分別是什麼

函數在某一點是否是可導的條件是：在該點的左、右導數相等；
函數在某一點是否連續的條件是：在該點左、右極限相等且等於該點的函數值.

Ⅷ 如何判斷函數在某點是否可導和連續

判斷如下：

1、如果對於任意不論多麼小的正數e，總能找到一個正數o（依賴於e），使得對滿足不等式|x-x0|<e的所有x都有|f(x)-f(x0)|<e，那麼就說函數f(x)在x=x0是連續的。

依賴於的意思是通過e得到o，例如o=e^3，注意這種關系不能倒過來。形象地說就是沒有斷點。

2、如果差商[f(x0+d)-f(x0)]/d，當d不論從哪邊趨於0時，都有唯一的極限f'(x0)，那麼就說函數f(x)在x=x0是可微的。形象地說就是光滑。

3、連續是可導的必要不充分條件：

要判斷函數在一點是否連續，要用極限的方法，就是這點左極限和右極限是否相等，相等就是連續的。要判斷是否可導，是可導必定連續，如果不是連續，就不可導，如果連續，求這點的左導數和右導數，相等就是可導，不相等不可導。

(8)函數在一點可導的常用方法擴展閱讀：

1、連續點：如果函數在某一鄰域內有定義，且x->x0時limf(x)=f(x0)，就稱x0為f(x)的連續點。

一個推論，即y=f(x)在x0處連續等價於y=f(x)在x0處既左連續又右連續，也等價於y=f(x)在x0處的左、右極限都等於f(x0)。

這就包括了函數連續必須同時滿足三個條件：

1）函數在x0處有定義；

2）x-> x0時，limf(x)存在；

3）x-> x0時，limf(x)=f(x0)。

初等函數在其定義域內是連續的。

2、連續函數：函數f(x)在其定義域內的每一點都連續，則稱函數f(x)為連續函數。

3、連續性與可導性關系：連續是可導的必要條件，即函數可導必然連續；不連續必然不可 導；連續不一定可導。典型例子：含尖點的連續函數。

如果f是在x0處可導的函數，則f一定在x0處連續，特別地，任何可導函數一定在其定義域內每一點都連續。反過來並不一定。事實上，存在一個在其定義域上處處連續函數，但處處不可導。

Ⅸ 什麼方法判斷函數在某一點是否是可導,連續的,可導和連續的條件

函數在某點連續：f（x）+=f（x）-=f（x），形象點說就是函數的圖像是可以一筆畫出來的，中間沒有跳躍，但可以有尖銳的拐角比如f（x）=|x|在x=0時連續。
函數在某點可導：f'（x）+=f'（x）-=f'（x），形象點說就是函數圖像在這點需要很圓滑的畫出來，不能有尖銳的拐角跟跳躍，f（x）=|x|在x=0時，有個90度尖銳拐角那他就不是可導的

Ⅹ 如何判斷函數在一點是否連續和可導

一個函數在某一區間上連續（可導）指的是該函數在此區間的任意一點上連續（可導）。

至於判斷在某一點上函數是否連續或可導，即判斷某個極限是否存在。

判斷函數f在點x0處是否連續，即判斷極限lim(x--x0)f(x)是否存在且等於f(x0)。

判斷函數f在點x0處是否可導，即判斷極限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在。

對於連續性，在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函數關繫上的反映，就是函數的連續性。

設函數（分段函數在x=0處的左右極限都存在，但不等於f(0)）。