求最值常用方法八年級

⑴ 中學數學最值題的常用解法

中學數學最值題的常用解法

在中學數學題中，最值題是常見題型，圍繞最大（小）值所出的數學題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：
一. 二次函數的最值公式
二次函數 （a、b、c為常數且 ）其性質中有①若 當 時，y有最小值。 ；②若 當 時，y有最大值。 。利用二次函數的這個性質，將具有二次函數關系的兩個變數建立二次函數，再利用二次函數性質進行計算，從而達到解決實際問題之目的。
例1. 某玩具廠計劃生產一種玩具熊貓，每日最高產量為40隻，且每日產出的產品全部售出，已知生產x只玩具熊貓的成本為R（元），售價每隻為P（元），且R、P與x的關系式分別為 ， 。
（1）當日產量為多少時，每日獲得的利潤為1750元；
（2）當日產量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
解：（1）根據題意得

整理得
解得 ， （不合題意，捨去）
（2）由題意知，利潤為

所以當 時，最大利潤為1950元。

二. 一次函數的增減性
一次函數 的自變數x的取值范圍是全體實數，圖象是一條直線，因而沒有最大（小）值；但當 時，則一次函數的圖象是一條線段，根據一次函數的增減性，就有最大（小）值。
例2. 某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元，現要求乙種工種的人數不少於甲種工種人數的2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少？
解：設招聘甲種工種的工人為x人，則乙種工種的工人為 人，由題意得：

所以
設所招聘的工人共需付月工資y元，則有：
（ ）
因為y隨x的增大而減小
所以當 時， （元）

三. 判別式法
例3. 求 的最大值與最小值。
分析：此題要求出最大值與最小值，直接求則較困難，若根據題意構造一個關於未知數x的一元二次方程；再根據x是實數，推得 ，進而求出y的取值范圍，並由此得出y的最值。
解：設 ，整理得
即
因為x是實數，所以
即
解得
所以 的最大值是3，最小值是 。

四. 構造函數法
「最值」問題中一般都存在某些變數變化的過程，因此它們的解往往離不開函數。
例4. 求代數式 的最大值和最小值。
解：設 ， ，再令 ， ，則有

所以得y的最大值為 ，最小值為

五. 利用非負數的性質
在實數范圍內，顯然有 ，當且僅當 時，等號成立，即 的最小值為k。
例5. 設a、b為實數，那麼 的最小值為_______。
解：

當 ， ，即 時，上式等號成立。故所求的最小值為－1。

六. 零點區間討論法
例6. 求函數 的最大值。
分析：本題先用「零點區間討論法」消去函數y中絕對值符號，然後求出y在各個區間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個定義域上的最大值。
解：易知該函數有兩個零點 、
當 時

當 時

當 得

當 時，
綜上所述，當 時，y有最大值為

七. 利用不等式與判別式求解
在不等式 中， 是最大值，在不等式 中， 是最小值。
例7. 已知x、y為實數，且滿足 ， ，求實數m最大值與最小值。
解：由題意得
所以x、y是關於t的方程 的兩實數根，所以

即
解得
m的最大值是 ，m的最小值是－1。

八. 「夾逼法」求最值
在解某些數學問題時，通過轉化、變形和估計，將有關的量限制在某一數值范圍內，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為「夾逼法」。
例8. 不等邊三角形 的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數，那麼此高的最大值可能為________。
解：設a、b、c三邊上高分別為4、12、h
因為 ，所以
又因為 ，代入
得 ，所以
又因為 ，代入
得 ，所以
所以3<h<6，故整數h的最大值為5。

⑵ 求函數的最值有哪些方法

函數值域最值常用的方法
1） 利用基本函數求值域法：有的函數結構並不復雜，可以通過基本函數的值域及不等式的性質直接觀察出函數的值域 例1：y=1/(2+)
2） 反函數法：用函數和它的反函數的定義域和值域的關系，可以通過求反函數的定義域而得到原函數的值域. 對形如y=(cx+d)/(ax+b) (a=!0)的函數可用此法 例2：y=(2x-1)/(2x+1) ; y=(5x-1)/(4x+2) , x屬於[-3,-1].
3） 配方法：配方法是求「二次函數類」值域的基本方法，形如F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c]的值域問題，均使用配方法。
4） 換元法運用代數或三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而給出原函數的值域，形如y=ax+b(cx+d)(1/2) (a,b,c,d均為常數，且a=!0)的函數常用此方法求解(注意1新元的取值范圍，即換元後的等價性2換元後的可操作性) 例4已知函數f(x)=2x(1/2)+(4-x)(1/2),則函數f(x)的值域_________
5） 判別式法將函數轉化為x 的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實根，判別式>=0,從而求得函數的值域，形如 (a1,a2不同時為0)的函數的值域常用此法求解。（分子，分母沒有公因式；此時函數的定義域是全體實數）例5：;
6） 不等式法：利用基本不等式： 應用此法注意條件「一正二定三相等」例6：若函數f(x)的值域為[1/2,3],則函數F(x)=f(x)+的值域為_____
7） 數形結合法：若函數的解析式的幾何意義較明顯，諸如距離，斜率等，可用數形結合的方法。 例7:對a,bR.設max{a,b}=求函數f(x)=max{},的最小值
8） 導數法：
9） 已知函數的值域，求函數中待定字母的取值范圍 9例9：已知函數f(x)=的定義域，值域是[0,2],求m,n的值域。

函數的圖像
1：函數圖像的基本做法：1）描點法
2） 圖像變換法
3） 做圖像的一般步驟：a求出函數的定義域；b討論函數的性質（奇偶性，周期性）以及函數上的特殊點（如漸近線，對稱軸）c利用基本函數的圖像畫出所給函數的圖像
2：函數變換的四種形式：
1)平移變換左加右減
2)對稱變換 a：y=f(x)和y=f(-x); y=-f(x)和y=f(x); y=-f(-x)和y=f(x); y=和y=f(x)分別關於y軸，x軸，原點，直線y=x對稱。
b:若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(m-x),則y=f(x)的圖像關於x=m對稱；
c:y=f(x)與y=2b-f(2a-x)關於點（a,b）成中心對稱
3)伸縮變換:y=af(x) y=f(ax)
4)翻折變換 y= y=f()
3函數圖像的對稱性
1） f(-x)=-f(x) 圖像關於原點對稱
2） f(-x)=f(x) 圖像關於y軸對稱
3） y=和y=f(x) 圖像關於y=x對稱
4） f(a+x)=f(a-x) 圖像關於x=a對稱
5） f(a+x)=-f(a-x) 圖像關於(a,0)對稱

函數單調性
判斷函數單調性的常用方法：
1） 定義法
2） 兩增（減）函數的和還增（減）；增（減）函數與減（增）函數的差還是增（減）函數；
3） 減函數在對稱的兩個區間上具有相同的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上具有相反的單調性、
4） y=f(x)在D上單調則y=f(x)在D的子區間上也單調，並且具有相同的單調性。
5） y=f(u),u=g(x)單調性相同，則y=f(g(x))是增函數；單調性相反，則y=f(g(x))是減函數（同增異減）；
6） 互為反函數的兩個函數具有相同的單調性
7） 利用導數判斷函數的單調性
8） 抽象函數的單調性：做差；做商（注意分母不為零且同號）。
9） 關於函數f(x)=x+a/x(a>0)單調性及應用

例1：函數在定義域上是減函數
例2： 已知函數f(x)=+a/x在[2,+）單調增，求a的取值范圍
例3：函數f(x)=,g(x)=x(2-x)的單調區間
例4：函數f(x)對任意的 都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,並且當 x>0是，f(x)>1,求證f(x)是R上的增函數。
例5：某食品廠定期購買麵粉，已知該廠每天需要麵粉6噸，每噸麵粉的價格為1800元，麵粉的保管及其他費用為平均每噸每天三元，購買麵粉每次需要支付運費900元。
（1） 求該廠每隔多少天購買一次麵粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
（2）若提供麵粉的公司規定：當一次購買的麵粉不少於210噸時，其價格可享受9折優惠，問該廠是否考慮利用此優惠條件？說明原因。
例6：已知f(x)為R上的減函數，求滿足< f(1)的實數x的取值范圍。
例7：是否存在實數a是函數f(x)= 在[2,4]上市增函數？如果存在，說明a可取哪些值；如果不存在，請說明理由。

函數的奇偶性
1：定義:y=f(x), 定義域關於原點對稱
偶函數：f(-x)=f(x)
奇函數：f(-x)=-f(x) （原點有定義有f(0)=0）
2奇函數，偶函數的圖像的性質：
奇函數圖像關於原點對稱；
偶函數圖像關於y軸對稱。
3判斷奇偶性方法
1） 定義
2） 定義變形：f(-x)+f(x)=0（）為奇函數； f(-x)-f(x)=0（）為偶函數。
3） 函數奇偶性滿足下列性質：奇+奇=奇；偶+偶+偶；
奇*奇=偶；偶*偶=偶；奇*偶=奇。
4）奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性； 偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性。

周期公式：
1：若函數關於直線x=a和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
2:若函數關於點（a，0）和（b，0）對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
3若函數關於點（a，0）和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，4是它的一個周期；

例1：f(x)=lg()
例2：
例3：
例4：
例5：在R上定義的函數f(x)是偶函數，且f(x)=f(2-x),若f(x)在區間[1,2]是減函數，討論f(x)[-2,-1]和[3,4]上的單調性。
例6：已知f(x)是偶函數，且在[）是增函數，如果f(ax+1)f(x-2)在x[1/2,1]恆成立，求實數a的取值范圍
例7：已知 其中a,b,c,d為常數，若f(-7)=-7.求f(7).

周期公式：
1：若函數關於直線x=a和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
2:若函數關於點（a，0）和（b，0）對稱。則函數f(x)為周期函數，2是它的一個周期；
3若函數關於點（a，0）和直線x=b對稱。則函數f(x)為周期函數，4是它的一個周期；
求函數解析式常用方法：
（1）定義法：有已知條件f[g(x)]=F(x),可將F(x),改寫成g(x)的表達式，然後以x代替g(x), 使得f(x)的表達式常需「湊配」。
例1：f（(1-x）/(1+x)）=(1-x2)/(1+x2).求f(x)的解析表達式。
（2）變數代換法：有已知條件f[g(x)]=F(x)，令t=g(x),然後反解出x=g-1(t).帶入F(x),即可得f(x)的表達式。
例2：f(e x-1)=2x2-1.求f(x)的解析表達式
（3）待定系數法：又是給定函數特徵求函數的解析式，可用待定系數法。例3：函數是二次函數可設為f(x)=ax2+bx+c(a不等於零)。期中a,b,c是待定系數，根據題設條件列出方程組，解出a.b.c
.例3；設二次方程f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2)。且圖像在y軸上的截距為1，被x軸截得的線段長為2*2（1/2），求f(x)的解析式。
（4）函數方程法：將f(x)作為一個未知量來考慮，建立方程組。消去另外的未知量便得f(x)的表達式。 例4::已知f(x)-f(1/x)lnx=1,求解f(x)的表達式
（5） 參數法：引入某個參數，然後寫出用這個參數表示變數的式子（即參數方程），再消去參數就得f(x)表達式。 例5：已知 f(3sinx)=cot(2)x求f(x)的表達式
（6）賦值法:對於抽象函數f(x),如果滿足條件中對一切實屬成立。那麼對於特殊值仍然成立。我們就可以賦予特殊值。 例6：已知f(x)滿足：f(0)=1,且對任意的x,y屬於R都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)+x-2求f(x).
（7） 根據某實際問題建立一種函數關系式，這種情況須引入合適的變數，根據數學的有關知識找出函數關系式。
一次二次函數
1 一次函數
a形如y=kx+b 叫做一次函數值域R；b=0,y=kx叫做正比例函數
b一次函數的k叫做直線y=kx+b的斜率，b叫做y=kx+b的截距。
c函數圖像（性質）：

1已知函數y=(2m-1)x+1-3m,求m為何值時：
這個函數為正比例函數；
（2）這個函數為奇函數
（3）函數值y隨x的增大而減小
2一次函數y=(3a-7)x+a-2的圖像與y軸的交點在x軸上方，且y隨x的增大而減小，則a的取值范圍______.
3已知函數f(x)=2mx+4,若在[-2,1]上存在，使得f()=0,求實數m的取值范圍。
4關於x的方程ax+1=|x|有兩個不同的實根，求實數a的取值范圍

2 二次函數
a形如 叫做二次函數
值域 a>0 ; a<0
b二次函數有三種形式 A: 一般式
B :頂點式
C 兩根式
c二次函數的基本概念： 1對稱軸
2頂點坐標 3零點（根）
4韋達定理 5
d 一元二次方程的判別式
e函數圖像：（性質）

1已知二次函數f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,f(x)的最大值是8，試確定二次函數
2二次函數的頂點坐標（2，3）且經過點（3,1）求這個二次函數的解析式
3已知拋物線與x軸交與點A(-1,0),B(1,0)，並經過點(0,1),求拋物線的解析式
4已知二次函數f(x),當x=2時有最大值16,他的圖像截x軸所得的線段長為8,求解析式
5二次函數的圖像如圖所示，則點P（a, ）第幾象限_____
6以為自變數的二次函數,m為不小於0的整數，它的圖像與x軸交與點A和點B，A在原點的左邊，B在原點的右邊。求這個函數的解析式畫出這個二次函數的草圖
7如圖，拋物線與x軸交與A,B兩點且線段OA:OB=3:1則m=_______
8已知函數
（1） 求對一切x，f(x)的值恆為非負實數時a的取值范圍；
（2） 在（1）的條件下，求方程的根的取值范圍
9正方形CDEF的邊長為4，截取一個角得五邊形ABCDE，已知AF=2,BF=1,在AB上求一點P.使矩形PNDM有最大面積

函數的應用
1將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售時，每天可賣100個，若這種商品價格每上漲一元，日銷售量就減少10個，為了獲得最大利潤，此商品的銷售單價應定為多少元？
2一次時裝表演會預算中票價每張100元，容納觀眾人數不超過2000元，毛利潤y（百元）關於觀眾人數x（百人）之間的函數圖像如右圖所示，當觀眾人數超過1000人時，表演會組織者需向保險公司繳納定額平安保險費5000元（不列入成本費用）：
（1）當觀眾人數不超過1000人時，毛利潤y關於觀眾人數的函數解析式和成本費用 S（百元）關於觀眾人數x的函數解析式
（2）若要使這次表演會獲得36000元的毛利潤。那麼需要售出多少張門票？需付成本費多少元？

3某蔬菜基地種植西紅柿，有有歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿的市場售價與上市時間的關系用下圖（1）的一條折線表示。西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖（2）的拋物線表示。
（1）寫出圖（1）表示的市場售價與時間的函數關系P=f(t);寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數關系Q= g(t);
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？
2函數的零點
函數的零點就是方程f(x)=0的實數根，也是函數的圖像與x軸的交點的橫坐標。零點概念體現了函數和方程之間的密切聯系
勘根定理：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，並且有f(a)f(b)<0,那麼，函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點，即存在，使得f(c)=0,這個c就是方程的f(x)=0 根

1函數f(x)=的零點是______
2函數的零點所在的大致區間是______
3已知函數的圖像如右圖所示，求b的取值范圍______
4方程的兩根分別在區間（2,3）（3，4）之間，求的取值范圍

5方程有一非零根，方程有一非零根，求證方程必有一根介於之間
6求證方程在（0,1）內必有一個實數根

7函數的零點大致區間在_________
8已知函數恆有零點，求a的取值范圍

9關於x的方程的一根比1大，一根比1小，求a的取值范圍

10根據函數的性質，指出函數的零點所在的大致區間
二分法：不講

A函數的性質應用
1已知定義域為R的函數是奇函數
(1)求a,b的值

1函數奇偶，單調性解決問題2脫掉f利用函數單調性3注意函數定義域的限制
(2)若對任意的不等式恆成立，求k的取值范圍

2函數f(x)( )是奇函數，且當

時是增函數，若f（1）=0,求不等
式<0的解集

B待定系數法的應用
3已知二次函數f(x)二次項系數為a且不等式f(x)>-2x的解集為（1,3）
（1） 若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式
（2） 若f(x)的最大值為正數，求a的取值范圍
4已知f(x)是二次函數，且不等式f(x)<0的解集是（0,5）且f(x)在區間[-1,4]上的最大值是12，求f(x) 的解析式
C有關恆成立問題
5設,且為方程f(x)=0的兩個實根，若,不等式對任意實數恆成立，求m的值
6已知函數，
（1） 當a=,求f(x)的最小值、
（2） 若對任意恆成立，試求實數a的取值范圍
7我國是一個水資源比較缺乏的國家之一，各地採用價格控制手段來達到節約用水的目的，某市用水收費的方法是：水費=基本費+超額費+損耗費
若每月用水量不超過最低限量a()，只付基本費8元和每月定額損耗費c元:若用水量超過a()時，除了付以上的基本費和損耗費外，超過部分每立方米付b元的超額費，已知每戶每月的定額損耗費不超過5元；

⑶ 初二求最小值

做對稱求最小值問題常見的三種提問方式：①直接求一條線段AB的最小值②求兩條線段AB+AC和的最小值③求三條線段構成的三角形ABC的周長的最小值
接下來我們用幾道例題來分析一下這幾種類型。
方法總結（以例1為例）：①將C,F,E三點分為動點和定點（其中c為定點，E,F為動點）
②找到動點運動的軌跡（F在AD上運動，E在AC上運動）
③將定點沿著動點的運動軌跡對對稱（將點C沿著AD做對稱至B點）
④從對稱點出發做一條與另一運動軌跡相垂直的直線（從點B做BE⊥AC）
⑤算出所作出的直線的長度即為最小值（算出BE的長度）
一、求兩條線段AB+AC和的最小值
例1、如圖，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC邊上的中線且AD＝12，F是AD上的動點，E是AC邊上的動點，則CF+EF的最小值為___________．
二、直接求一條線段AB的最小值
例2、如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，O是BC的中點，如果在AB和AC上分別有一個動點M、N在移動，且在移動時保持AN＝BM．
（1）請你判斷△OMN的形狀，並說明理由．
（2）若BC＝2√2，則MN的最小值為__________.
三、三條線段構成的三角形ABC的周長的最小值．
常考的題型解法：將 △ABC的周長拆成AB+AC+BC,其中一定會有一條邊的長度是已知的，若AB的長為3，那麼△ABC的周長的最小值就是在求3+AC+BC的最小值，接下來的步驟與例題1相同。

⑷ 初中最大值最小值求法

初中數學競賽中最值問題求法應用舉例
最值問題是數學競賽中考試的重要內容之一，任何一級、任何一年的競考都是必考內容。現根據我在輔導學生過程中的體會歸納整理如下：
（一）根據非負數的性質求最值。
1、若M =（X±a）2 +b ，則當X±a = 0時M有最小值b 。
2、若M = －（X±a）2 + b ,則當X±a = 0 時M有最大值b 。
3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0,a≥0的方法解題。
【說明：這里用到的很重要的思想方法是配方法和整體代換思想。】
2 22例題（1）、若實數a ，b ，c 滿足a+ b + c = 9，則代數式 （a － b）2 +
（b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ）
A．27 B、 18 C、15 D、 12
解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca)
=3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 . ∵a2+b2+c2 = 9 , ∴ a,b,c 不全為0 。當且僅當a + b + c = 0 時原式的最大值為 27 。
222【說明，本例的關鍵是劃線部份的變換，採用加減(a＋b＋c)後用完全平
方式。】
例題（2）、如果對於不小於8的自然數N ，當3N+1是一個完全平方數時，N +
1都能表示成K個完全平方數的和，那麼K的最小值是 （ ）
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
解：設 ∵ 3N+1是完全平方數，∴ 設 3N+1 = X2 （N≥ 8），則3不能整
2除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）= 9P2±6P+1=3X2
±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能夠表示成三個完全平方數的和。所以K的最小值為 3 。選 C 。
【說明，本例的關鍵是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然後配方求解。】 例題（3）、設a、b為實數，那麼a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
b?12解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2
331b?123＋b2－b－ =(a＋)＋(b－1)2－1 ≥ －1 。只有當a＋42424
b?1= 0且b－1= 0 時，即a=0，b=1時取等號。所以原式的最小值是－1。 2
【注意：做這一類題的關鍵是先按一個字母降冪排列，然後配方。】 例題（4）、已知實數a、b滿足a2＋ab＋b2=1 ，則a2－ab＋b2的最小值和最大
值的和是———————— 。
1222222 解：設a－ab＋b = K,與a＋ab＋b =1聯立方程組,解得：a＋b = (12
1＋K),ab = (1－K)。 2
11∵(a＋b)2≥0, ∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0, ∴K≤3 . 22
1

⑸ 初中數學求最值問題的方法

二次函數法
分離參變數
數形結合
單調性
基本不等式法
初中也可以按照高中的來，高中還有一餓三角求最值和初中沒關系，就不講了

⑹ 初二求最小值的方法

初二求最小值的方法，一般找對稱把不在一條線上的點通過對稱點而共線，再根據兩點之間線段最短來求最值，另外通過不等式的關系式來求最小值。

⑺ 初中函數求最值模型

三角函數是重要的數學運算工具，三角函數最值問題是三角函數中的基本內容，也是高中數學中經常涉及的問題。這部分內容是一個難點，它對三角函數的恆等變形能力及綜合應用要求較高。解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數最值一樣，一方面應充分利用三角函數自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數最值問題轉化為求一些我們所熟知的函數（二次函數等）最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數最值的方法：
一 配方法
若函數表達式中只含有正弦函數或餘弦函數，切它們次數是2時，一般就需要通過配方或換元將給定的函數化歸為二次函數的最值問題來處理。
例1函數的最小值為（ ）.
A． 2 B . 0 C . D . 6
[分析]本題可通過公式將函數表達式化為，因含有cosx的二次式，可換元，令cosx=t，則配方，得, 當t=1時,即cosx=1時，,選B.
例2 求函數y=5sinx+cos2x的最值
[分 析]：觀察三角函數名和角，其中一個為正弦，一個為餘弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數的名和角達到統一。
二 引入輔助角法
例3已知函數當函數y取得最大值時，求自變數x的集合。
[分析] 此類問題為的三角函數求最值問題，它可通過降次化簡整理為型求解。
解：
三 利用三角函數的有界性
在三角函數中，正弦函數與餘弦函數具有一個最基本也是最重要的特徵——有界性，利用正弦函數與餘弦函數的有界性是求解三角函數最值的最基本方法。
例4求函數的值域
[分析] 此為型的三角函數求最值問題，分子、分母的三角函數同名、同角，這類三角函數一般先化為部分分式，再利用三角函數的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函數的有界性去解。
解法一：原函數變形為，可直接得到：或
解法一：原函數變形為或
例5（2003年高考題）已知函數，求函數f(x)的最小正周期和最大值。
[分析] 在本題的函數表達式中，既含有正弦函數，又有餘弦函數，並且含有它們的二次式，故需設法通過降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數或餘弦函數的表達式。
解：
f(x)的最小正周期為，最大值為。
四 引入參數法（換元法）
對於表達式中同時含有sinx+cosx，與sinxcosx的函數，運用關系式 一般都可採用換元法轉化為t的二次函數去求最值，但必須要注意換元後新變數的取值范圍。
例6 求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。
[分析]解：令sinx+cosx=t，則，其中
當
五利用基本不等式法
利用基本不等式求函數的最值，要合理的拆添項，湊常數，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區。
例7 求函數的最值。
解：=
當且僅當即時，等號成立，故。
六利用函數在區間內的單調性
例8已知，求函數的最小值。
[分析] 此題為型三角函數求最值問題，當sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數在區間內的單調性來求解。
設，在（0，1）上為減函數，當t=1時，。
七數形結合
由於，所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數，又含有餘弦函數的三角函數的最值問題可考慮用幾何方法求得。
例9 求函數的最小值。
[分析] 法一：將表達式改寫成y可看成連接兩點A(2,0)與點(cosx,sinx)的直線的斜率。由於點(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求y的最小值就是在這個半圓上求一點，使得相應的直線斜率最小。
設過點A的切線與半圓相切與點B,則
可求得
所以y的最小值為（此時）.
法二：該題也可利用關系式asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來求解。
八判別式法
例10求函數的最值。
[分析] 同一變數分子、分母最高次數齊次，常用判別式法和常數分離法。
解：
時此時一元二次方程總有實數解
由y=3，tanx=-1，
由
九 分類討論法
含參數的三角函數的值域問題，需要對參數進行討論。
例 11設，用a表示f(x)的最大值M(a).
解：令sinx=t,則
（1） 當，即在[0，1]上遞增，
（2） 當即時，在[0，1]上先增後減，
（3） 當即在[0，1]上遞減，
以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數的有界性解題最為常見。解決這類問題最關鍵的在於對三角函數的靈活應用及抓住題目關鍵和本質所在。

⑻ 函數求最值的方法有那些

常見的求最值方法有:
1.配方法:
形如的函數,根據二次函數的極值點或邊界點的取值確定函數的最值.
2.判別式法:
形如的分式函數,
將其化成系數含有y的關於x的二次方程.由於,
0,
求出y的最值,
此種方法易產生增根,
因而要對取得最值時對應的x值是否有解檢驗.
3.利用函數的單調性 首先明確函數的定義域和單調性,
再求最值.
4.利用均值不等式,
形如的函數,
及,
注意正,定,等的應用條件,
即:
a,
b均為正數,
是定值,
a=b的等號是否成立.
5.換元法:
形如的函數,
令,反解出x,
代入上式,
得出關於t的函數,
注意t的定義域范圍,
再求關於t的函數的最值.
還有三角換元法,
參數換元法.
6.數形結合法
形如將式子左邊看成一個函數,
右邊看成一個函數,
在同一坐標系作出它們的圖象,
觀察其位置關系,
利用解析幾何知識求最值.
求利用直線的斜率公式求形如的最值.
7.利用導數求函數最值.

⑼ 初中階段涉及求最值的方法有哪些

最值與極值的區別就是,極大值可能是最大值,可能不是最大值,與誰比較?-------端點函數值
極小值可能是最小值,也可能不是最小值,與誰比較?------端點函數值
所以,知識點要掌握兩個問題：1、所在區間?區間端點處的函數值；
2、如何求極值?
方法有二：圖形法、函數法,圖形法比較簡單易懂,建議你多熟悉各種函數的圖形繪制方法
1、 對於拋物線 f(x)=ax²+bx+c 端點函數值為f(t1)=at1²+bt1+c f(t2)=at2²+bt2+c
繪制出拋物線的圖形,根據其開口方向,即可判斷函數有最大值還是最小值
a>0時,圖形開口向下,圖形有最大值,最大值點為頂點,最小值點在區間端點處取得
a

⑽ 求函數的最大值和最小值的方法。

常見的求最值方法有:

1、配方法: 形如的函數,根據二次函數的極值點或邊界點的取值確定函數的最值.

2、判別式法: 形如的分式函數, 將其化成系數含有y的關於x的二次方程.由於, ∴≥0, 求出y的最值, 此種方法易產生增根, 因而要對取得最值時對應的x值是否有解檢驗.

3、利用函數的單調性 首先明確函數的定義域和單調性, 再求最值.

4、利用均值不等式, 形如的函數, 及≥≤, 注意正,定,等的應用條件, 即: a, b均為正數, 是定值, a=b的等號是否成立.

5、換元法: 形如的函數, 令,反解出x, 代入上式, 得出關於t的函數, 注意t的定義域范圍, 再求關於t的函數的最值.還有三角換元法, 參數換元法.

6、數形結合法 形如將式子左邊看成一個函數, 右邊看成一個函數, 在同一坐標系作出它們的圖象, 觀察其位置關系, 利用解析幾何知識求最值.求利用直線的斜率公式求形如的最值.

7、利用導數求函數最值2.首先要求定義域關於原點對稱然後判斷f(x)和f(-x)的關系：若f(x)=f(-x),偶函數；若f(x)=-f(-x),奇函數。

如：函數f(x)=x^3,定義域為R,關於原點對稱；而f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x),所以f(x)=x^3是奇函數.又如：函數f(x)=x^2,定義域為R,關於原點對稱；而f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x),所以f(x)=x^3是偶函數.

(10)求最值常用方法八年級擴展閱讀：

一般的，函數最值分為函數最小值與函數最大值。簡單來說，最小值即定義域中函數值的最小值，最大值即定義域中函數值的最大值。

函數最大（小)值的幾何意義——函數圖像的最高（低）點的縱坐標即為該函數的最大（小）值。

最小值

設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對於任意實數x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那麼，我們稱實數M 是函數y=f(x)的最小值。

最大值

設函數y=f（x）的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對於任意實數x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。使得f (x0)=M，那麼，我們稱實數M 是函數y=f(x)的最大值。

一次函數

一次函數（linear function），也作線性函數，在x,y坐標軸中可以用一條直線表示，當一次函數中的一個變數的值確定時，可以用一元一次方程確定另一個變數的值。

所以，無論是正比例函數，即：y=ax（a≠0） 。還是普通的一次函數，即：y=kx+b （k為任意不為0的常數，b為任意實數），只要x有范圍，即z<或≤x<≤m（要有意義），那麼該一次函數就有最大或者最小或者最大最小都有的值。而且與a的取值范圍有關系

當a<0時

當a<0時，則y隨x的增大而減小，即y與x成反比。則當x取值為最大時，y最小，當x最小時，y最大。例：

2≤x≤3 則當x=3時，y最小，x=2時，y最大

當a>0時

當a>0時，則y隨x的增大而增大，即y與x成正比。則當x取值為最大時，y最大，當x最小時，y最小。例：

2≤x≤3 則當x=3時，y最大，x=2時，y最小[3]

二次函數

一般地，我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數（quadratic function），其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。x為自變數，y為因變數。等號右邊自變數的最高次數是2。

注意：「變數」不同於「未知數」，不能說「二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數」。

「未知數」只是一個數（具體值未知，但是只取一個值），「變數」可在一定范圍內任意取值。在方程中適用「未知數」的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況），

但是函數中的字母表示的是變數，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別.如同函數不等於函數關系。

而二次函數的最值，也和一次函數一樣，與a扯上了關系。

當a<0時，則圖像開口於y=2x&sup2; y=&frac12;x&sup2;一樣，則此時y 有最大值，且y只有最大值（聯系圖像和二次函數即可得出結論）

此時y值等於頂點坐標的y值

當a>0時，則圖像開口於y=-2x&sup2; y=-&frac12;x&sup2;一樣，則此時y 有最小值，且y只有最小值（聯系圖像和二次函數即可得出結論）

此時y值等於頂點坐標的y值

參考資料：網路-函數最值