不等式常用的證明方法及例題

⑴ 不等式的證明方法有哪些

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 (1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。 (2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。 2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。 3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。 4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。 5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。 6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 1、比較法（作差法） 在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求證： 。 證明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。 例2、求證： 。 證明：要證 ，即證 ，即，，，， ，由此逆推即得 。 3、綜合法 證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。 例3、已知： ， 同號，求證： 。 證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即。 4、作商法（作比法） 在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。 例4、設 ，求證： 。 證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故。 5、反證法 先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。 例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。 證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。 例6、已知： ， ，求證： 。 證明：因為 ，， 所以， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式獲證。 7、放縮法（增減法、加強不等式法） 在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。 例7、求證： 。 證明：令 ，則 ， 所以。 8、數學歸納法 對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。 例8、已知： ，， ，求證： 。 證明：（1）當時， ，不等式成立； （2）若時， 成立，則 =， 即 成立。 根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。 9、換元法 在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。 例9、已知： ，求證： 。 證明：設， ，則， （因為 ，）， 所以。

⑵ 不等式的證明方法都有哪些，請舉例說明。

不等式的證明
1.比較法
作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.
作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1
例1 求證:x2+3>3x
證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,b R+,並且a≠b,求證
a5+b5>a3b2+a2b3
證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,b R+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因為a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,b R+,求證:aabb≥abba
證明: =
∵a,b R+,當a>b時,>1,a-b>0,>1;
當a≤b時,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
綜合法
了解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1 如果a,b R,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號)
證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號.所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號).
定理2 如果a,b,c R+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號)
證明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明顯,當且僅當a=b=c時取等號.
例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放縮法
這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了.
例,證明當k是大於1的整數時,,
我們可以用放縮法的一支——"逐步放大法",證明如下:

分析法
從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.分析法的證明過程表現為一連串的"要證……,只要證……",最後推至已知條件或真命題
例 求證:
證明:
構造圖形證明不等式
例:已知a,b,c都是正數,求證:
+>
分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2ab CosC,為了得到a2+b2+ab的形式,只要C=120°,
這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下,
AB=,
BC=,
AC=
顯然AB+BC>AC,故原不等式成立.
數形結合法
數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關系如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關系直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關系的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,通過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性.通過數形結合,可以使復雜問題簡單化,抽象問題具體化.
例.證明,當x>5時,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函數y1>y2的x的取值范圍.在同一坐標系中分別作出兩個函數的圖象.設它們交點的橫坐標是x0, 則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立.
反證法
先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.
窮舉法
對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重復或遺漏某一可能情況).
注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可通過運用多種方法來提高自己的思維能力.

⑶ 不等式求證有哪幾種方法,舉例說明

證明不等式的基本方法是比較法、綜合法、分析法，有時也採用反證法、數學歸納法。有時也要涉及一點放縮法，但不要追求那些特殊的放縮技巧。

（1）比較法

證明不等式的比較法，有求差比較法（比較與0大小的關系）和求商比較法（比較與1的大小關系）兩種基本途徑。其依據是：

1）由於 ，因此，證明 ，可轉化為證明與之等價的 ，這就是求差比較法。

2)由於當 時， ，因此，證明 （ ）可轉化為證明與之等價的 （ ），這種證明方法就是求商比較法。使用求商比較法要注意 的前提條件。若 ，則有： 。即：

（2）綜合法

依據題設的條件與基本不等式，以及不等式的性質，運用不等式的變換，證明指定不等式是成立的，這種證明方法就是綜合法。綜合法的思路是「由因導果」：從已知的不等式出發，通過一系列的推出變換，證明指定不等式是成立的。

綜合法的重點是正確運用有關不等式的平均值定理，即

，則 ；

，則 ；

，則 ；

以及它們的變形形式： ；

還有含絕對值符號的不等式的性質：

（3）分析法

從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法。分析法的思路是「執果索因」：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充足條件，直至已成立的不等式。

採用綜合法證明不等式時，常用「 」的符合表示由因導果的推理方式；採用分析法證明不等式時，常用「 」的符號表示執果索因的推理方式。

分析法和綜合法不僅是不等式證明中常用的方法，也是十分重要的邏輯思維方法。它對於指導我們認識條件和結論之間的聯系，設計適當的推演步驟、運算方案，使問題得到解決，起著很大的作用。

（4）反證法

先假定結論不成立，並由此出發，推出與題設條件或正確理論相矛盾的結果，從而說明命題正確，這種證明方法就是反證法。反證法的思路是「假設—矛盾—肯定」，採用反證法證明不等式時，從否定結論出發，推出矛盾的過程，每一步推理都必須是正確的。

（5）數學歸納法的證明方法

數學歸納法只適用於一類特殊不等式的證明。

⑷ 不等式的證明方法

作差比較法：根據a-b>0↔a>b，欲證a>b，只需證a-b>0； 作商比較法：根據a/b=1，
當b>0時，得a>b，
當b>0時，欲證a>b，只需證a/b>1，
當b<0時，得a<b。 證明與自然數n有關的不等式時，可用數學歸納法證之.
用數學歸納法證明不等式，要注意兩步一結論。
在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。 柯西不等式的幾種變形形式
1.設xi∈R,yi>0 (i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)時取等號
2.設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等
證法
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2. 我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2) 則我們知道恆有 f(x) ≥ 0. 用二次函數無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0. 於是移項得到結論。
②用向量來證. m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX． 因為cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2 ，這就證明了不等式． 柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法．
柯西不等式的應用
柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
例（巧拆常數）：設a、b、c 為正數且各不相等。 求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數 ∴為證結論正確只需證：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]>9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]=[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9 又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立 ∴原不等式成立。 排序不等式又稱排序原理。
對於兩組有序的實數x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設yi1，yi2，…，yin是後一組的任意一個排列，記S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xnyn，那麼恆有S≤M≤L。
當且僅當x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn時，等號成立。
即反序和≤亂序和≤順序和。

⑸ 高數，證明不等式都有哪些方法

一：假設證明fx<gx
解：令Fx=fx-gx，對Fx求導，得到Fx的單調性，再求一次極限得到Fx的符號，就證明完畢了。（如果一階導看不出來，就求二階導，然後得到一階導的單調性，通過極限得知一階導的符號。）

二：構造函數 ，例如證明a的b次<b的a次
解：原式=b*lna<a*lnb=a/lna<b/lnb，構造函數fx=lnx/x

⑹ 不等式的證明的好例題

三角形內角的嵌入不等式
三角形內角的嵌入不等式，在不至於引起歧義的情況下簡稱嵌入不等式。該不等式指出，若A、B、C是一個三角形的三個內角，則對任意實數 x、y、z，有：

算術-幾何平均值不等式
在數學中，算術-幾何平均值不等式是一個常見而基本的不等式，表現了兩類平均數：算術平均數和幾何平均數之間恆定的不等關系。設為 n 個正實數，它們的算術平均數是，它們的幾何平均數是 。算術-幾何平均值不等式表明，對任意的正實數，總有：

等號成立當且僅當 。
算術-幾何平均值不等式僅適用於正實數，是對數函數之凹性的體現，在數學、自然科學、工程科學以及經濟學等其它學科都有應用。
算術-幾何平均值不等式經常被簡稱為平均值不等式（或均值不等式），盡管後者是一組包括它的不等式的合稱。

例子
在 n = 4 的情況，設: ， 那麼
.
可見。
歷史上的證明
歷史上，算術-幾何平均值不等式擁有眾多證明。n = 2的情況很早就為人所知，但對於一般的 n，不等式並不容易證明。1729年，英國數學家麥克勞林最早給出了一般情況的證明，用的是調整法，然而這個證明並不嚴謹，是錯誤的。
柯西的證明
1821年，法國數學家柯西在他的著作《分析教程》中給出了一個使用逆向歸納法的證明[1]：
命題Pn：對任意的 n 個正實數，
1. 當 n=2 時，P2 顯然成立。
2. 假設 Pn 成立，那麼 P2n 成立。證明：對於2n 個正實數，

3. 假設Pn成立，那麼Pn − 1成立。證明：對於n - 1 個正實數，設，，那麼由於Pn成立， 。
但是 ， ，因此上式正好變成

綜合以上三點，就可以得到結論：對任意的自然數 ，命題 Pn 都成立。這是因為由前兩條可以得到：對任意的自然數 k，命題 都成立。因此對任意的 ，可以先找 k 使得 ，再結合第三條就可以得到命題 Pn 成立了。
歸納法的證明
使用常規數學歸納法的證明則有喬治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代數論》（algebra）的第二卷中給出的[2]：
由對稱性不妨設 xn + 1 是 中最大的，由於 ，設 ，則 ，並且有 。
根據二項式定理，

於是完成了從 n 到 n + 1 的證明。
此外還有更簡潔的歸納法證明[3]：
在 n 的情況下有不等式 和 成立，於是：

所以 ，從而有。
基於琴生不等式的證明
注意到幾何平均數 實際上等於 ，因此算術-幾何平均不等式等價於：
。
由於對數函數是一個凹函數，由琴生不等式可知上式成立。

此外還有基於排序不等式、伯努利不等式或藉助調整法、輔助函數求導和加強命題的證明。
推廣
算術-幾何平均不等式有很多不同形式的推廣。
加權算術-幾何平均不等式
不僅「均勻」的算術平均數和幾何平均數之間有不等式，加權的算術平均數和幾何平均數之間也有不等式。設 和 為正實數，並且 ，那麼：
。
加權算術-幾何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩陣形式
算術-幾何平均不等式可以看成是一維向量的系數的平均數不等式。對於二維的矩陣，一樣有類似的不等式： 對於系數都是正實數的矩陣

設 ，，那麼有：

也就是說：對 k 個縱列取算術平均數，它們的幾何平均大於等於對 n 個橫行取的 n 個幾何平均數的算術平均。
極限形式
也稱為積分形式：對任意在區間[0,1]上可積的正值函數 f，都有

這實際上是在算術-幾何平均值不等式取成 後，將兩邊的黎曼和中的 n 趨於無窮大後得到的形式。
伯努利不等式
數學中的伯努利不等式是說：對任意整數，和任意實數，
；
如果是偶數，則不等式對任意實數x成立。
可以看到在n = 0,1，或x = 0時等號成立，而對任意正整數和任意實數，，有嚴格不等式：
。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
[編輯] 證明和推廣
伯努利不等式可以用數學歸納法證明：當n = 0,1，不等式明顯成立。假設不等式對正整數n，實數時成立，那麼

。
下面是推廣到實數冪的版本：如果x > − 1，那麼：
若或，有；
若，有。
這不等式可以用導數比較來證明：
當r = 0,1時，等式顯然成立。
在上定義f(x) = (1 + x)r − (1 + rx)，其中， 對x微分得f'(x) = r(1 + x)r − 1 − r， 則f'(x) = 0當且僅當x = 0。分情況討論：
0 < r < 1，則對x > 0，f'(x) < 0；對 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0時取最大值0，故得。
r < 0或r > 1，則對x > 0，f'(x) > 0；對 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0時取最小值0，故得。
在這兩種情況，等號成立當且僅當x = 0。
[編輯] 相關不等式
下述不等式從另一邊估計(1 + x)r：對任意x, r > 0，都有
。
佩多不等式
幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那麼：
，
等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；也就是a / A = b / B = c / C。
[編輯] 證明
由海倫公式，兩個三角形的面積可用邊長表示為
16f2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(b + c − a) = (a2 + b2 + c2)2 − 2(a4 + b4 + c4)
16F2 = (A + B + C)(A + B − C)(A − B + C)(B + C − A) = (A2 + B2 + C2)2 − 2(A4 + B4 + C4),
再由柯西不等式，
16Ff + 2a2A2 + 2b2B2 + 2c2C2

= (a2 + b2 + c2)(A2 + B2 + C2)
於是，

= A2(b2 + c2 − a2) + B2(a2 + c2 − b2) + C2(a2 + b2 − c2) ，命題得證。
等號成立當且僅當,也就是說兩個三角形相似。

ABC是第一個三角形，A'B'C'是取相似後的第二個三角形，BC與B'C'重合
幾何證法
三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個系數λ2，使得λA = a，幾何意義是將第二個三角形取相似（如右圖）。
設這時A、B、C變成x、y、z，F變成F'。
考慮 AA' 的長度。由餘弦公式，

將,代入就變成：

兩邊化簡後同時乘以，並注意到a=x，就可得到原不等式。
等號成立當且僅當A與A'重合，即兩個三角形相似。

內斯比特不等式
內斯比特不等式是數學的一條不等式，它說對任何正實數a，b，c，都有：

[編輯] 證明
此不等式證明方法很多，例如從平均數不等式我們有：
，
移項得出：
，
整理左式：
，
。
因而不等式得證。

埃爾德什－莫德爾不等式

如圖，埃爾德什-莫德爾不等式說明點O到三個頂點的距離之和（綠色線段）大於到三邊距離之和（藍色線段）的兩倍
在幾何學中，埃爾德什-莫德爾不等式是一個二十世紀初期發現的不等式。埃爾德什-莫德爾不等式說明了：對於任何三角形ABC和其內部的一點O，點O到三角形三條邊的距離之和總是小於或等於點O到三角形的三個頂點的距離之和的一半。
埃爾德什-莫德爾不等式可以認為是幾何學中的歐拉定理的一個推廣。歐拉定理聲稱三角形外接圓的半徑總是大於等於內切圓半徑的兩倍。
[編輯] 歷史
該不等式最早由埃爾德什在1935年在《美國數學月刊》上提出，作為第3740號問題。兩年之後，由路易斯·莫德爾和D.F.巴羅證明。1957年，卡扎里諾夫提出了一個更簡捷的證明[1]。之後不斷有更簡潔、更基本的證明出現。1958年班考夫（Bankoff）給出了運用正交投影和相似三角形的證明，1997年和2004年出現了使用面積不等式的證明，1993年和2001年發現了根據托勒密定理的證明。
[編輯] 證明
如右圖，O為三角形ABC中的一個點。O到三角形三邊的垂線分別交三條邊於D、E、F。設線段OA、OB、OC的長度分別是x、y、z，線段OD、OE、OF的長度分別是p、q、r，那麼埃爾德什-莫德爾不等式為：

一個初等的證明方式是使用三角函數以及均值不等式。
首先，由於OF垂直於AF，OE垂直於AE，A、F、O、E四點共圓且OA為直徑，因此線段（角A為頂點A對應的內角）。
過點F、E作關於BC的垂線交BC於X、Y。過O作BC的平行線分別交FX、EY於U、V。由於OF垂直於AF，OE垂直於AE，，。於是：

另一方面，注意到在直角梯形中FUVE中，斜腰EF的長度大於等於直角腰UV。因此：

類似地，還有：
，
三式相加，得到：

根據均值不等式，，等等，於是最終得到：

這就是埃爾德什-莫德爾不等式。
外森比克不等式
設三角形的邊長為a,b,c，面積為A，則外森比克不等式（Weitzenböck's inequality）成立。當且僅當三角形為等邊三角形，等號成立。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。
[編輯] 證明一
除了「所有平方數非負」以外，這個證明不用到其它任何不等式。

兩邊取平方根，即得證。
舒爾不等式
舒爾不等式說明，對於所有的非負實數x、y、z和正數t，都有：

當且僅當x = y = z，或其中兩個數相等而另外一個為零時，等號「=」成立。當t是正的偶數時，不等式對所有的實數x、y和z都成立。
[編輯] 證明
由於不等式是對稱的，我們不妨設。則不等式

顯然成立，這是因為左邊的每一項都是非負的。把它整理，即得舒爾不等式。
[編輯] 推廣
舒爾不等式有一個推廣：
假設a、b、c是正的實數。如果（a，b，c）和（x，y，z）是順序的，則以下的不等式成立：

2007年，羅馬尼亞數學家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式：
考慮，其中，而且要麼，要麼。設，並設要麼是凸函數，要麼是單調函數。那麼：

當x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = mr時，即化為舒爾不等式。[1]

⑺ 高中數學不等式證明的八種方法

不等式證明知識概要

河北/趙春祥

不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。

一、要點精析

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。

二、難點突破

1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。

2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。

4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。

5.在三角換元中，由於已知條件的限製作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。

6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。

（摘自：《考試報·高二數學版》2004年/07月/20日）

1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則

= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，

（因為 ， ），
所以 。
10、三角代換法
藉助三角變換，在證題中可使某些問題變易。
例10、已知： ， ，求證： 。
證明：設 ，則 ；設 ，則
所以 。
11、判別式法
通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。
例11、設 ，且 ，求證： 。
證明：設 ，則
代入 中得 ，即
因為 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、標准化法
形如 的函數，其中 ，且
為常數，則當 的值之間越接近時， 的值越大（或不變）；當 時， 取最大值，即
。
標准化定理：當A+B為常數時，有 。
證明：記A+B=C，則
，
求導得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的極大值點必在A=B時取得
由於當A=B時， ，故得不等式。
同理，可推廣到關於 個變元的情形。
例12、設A，B，C為三角形的三內角，求證： 。
證明：由標准化定理得，當A=B=C時， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。
例13（1956年波蘭數學競賽題）、 為 的三邊長，求證：
。
證明：由海倫公式 ，
其中 。
兩邊平方，移項整理得

而 ，所以 。
14、函數極值法
通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的。
例14、設 ，求證： 。
證明：
當 時， 取最大值 ；
當 時， 取最小值－4。
故 。
15、單調函數法
當 屬於某區間，有 ，則 單調上升；若 ，則 單調下降。推廣之，若證 ，只須證 及 即可， 。
例15、 ，求證： 。
證明：當 時， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在區間 上有定義的連續函數，且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式，達到簡便的目的。
例16、求證： 。
證明：設 ，則
故 。
17、分解法
按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求證： 。
證明：因為

所以 。
18、構造法
在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恆等式、復數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。
例18、已知： ， ，求證： 。
證明：依題設，構造復數 ， ，則 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式來證明某些不等式。
排序不等式：設 ， ，則有
，其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。
簡記作：反序和 亂序和 同序和。
例19、求證： 。
證明：因為 有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 。
20、幾何法
藉助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。
例20、已知： ，且 ，求證： 。
證明：以 為斜邊， 為直角邊作
延長AB至D，使 ，延長AC至E，使 ，過C作AD的平行線交DE於F，則 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。
在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。

參考文獻
[1]李玉琪主編•初等代數研究•北京：中國礦業大學出版社，1993
[2]方初寶等編•數學猜想法淺談•重慶：科技文獻出版社重慶分社，1988
[3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京：科學普及出版社，1983

⑻ 高中解各種不等式的方法有那些

不等式證明方法 1.比較法： 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 (1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。 (2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。 2.綜合法 ： 利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。 3.分析法 ： 分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。 4.反證法： 有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。 5.換元法： 換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。 6.放縮法 ： 放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 [1]

⑼ 用導數證明不等式7種方法

內容來自用戶:天道酬勤能補拙
利用導數證明不等式問題—4大解題技巧
趣題引入
已知函數設，
證明：
分析：主要考查利用導數證明不等式的能力。
證明：，設當時，當時，
即在上為減函數，在上為增函數
∴，又∴，
即設當時，，因此在區間上為減函數；
因為，又∴，
即故
綜上可知，當時，
本題在設輔助函數時，考慮到不等式涉及的變數是區間的兩個端點，因此，設輔助函數時就把其中一個端點設為自變數，範例中選用右端點，讀者不妨設為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。
技巧精髓
一、利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，也是近幾年高考的熱點。
二、解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特徵構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵。
1、利用題目所給函數證明
【例1】已知函數，求證：當時，
恆有
分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數
，從其導數入手即可證明。
【綠色通道】∴當時，，即在上為增函數
當時，，即在上為減函數
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間
於是函數在上的最大值為3於是

⑽ 證明不等式的方法總結

不等式證明方法的歸納小結
教學目的：分類地歸納小結不等式的證明方法
教學重點：通過不等式的證明，提高推理證明能力
教學難點：根據不等式的特徵恰當地使用不等式的證明方法
教學過程：
（一）不等式的內容
1．不等式的性質；2．不等式的證明；3．不等式的解法
（二）證明不等式是解不等式的理論基礎——不等式的性質（基本 ）
（三）證明不等式常用的基本方法
1.比較法
（1）作差法
a>b a－b>0
理論根據 a=b a－b=0
a<b a－b<0
一般步驟：作差——變形——判斷符號
常常用之證明較高的不等式或分式不等式
例：已知：a,b∈R+,且a≠b
求證：a5+b5>a3b2+a2b3
(2)作商法
2.綜合法——「由因導果」（實質）
理論根據 a2≥0即a2∈{0}∪R+
此種方法常用到的重要不等式
a2+b2≥2ab (a,b∈R)
(a,b∈R+)
a3+b3+c3≥3abc (a,b,c∈R+)
(a,b,c∈R+)
例如：證明：a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da
要根據不等式的特徵，運用重要不等式，注意條件是否具備
3.分析法——「執果索因」（實質）
思想方法解題格式
為了證明……
只需證明……
……
因為……成立
所以……也成立
例如：證明： （a≥3）
分析法在思考上優於綜合法易於尋找證明的思路，綜合法在證明過程中書寫表達條理，故常將兩法綜合使用，進行記憶較好。
4.反證法
思想方法：為了證明A＞B成立，假設A＜B及A＝B成立，推理可知A＜B及A＝B都不成立，故而必有A＞B成立。
5.放縮法
理論根據 a>b且b>c a>c
例：已知a,b,c,d為正數，
求證：1< <2
證明：由a,b,c,d為正數，則有

＞ ＝1

＜ ＝2
∴原不等式成立
練習：證明： （n∈N*且n≥2）
證明：由k∈N*且2≤k≤n，則有
∴
＝
6.數學歸納法
證明一些與自然數有關的不等式。
作業：解答課堂例練習題

望採納