數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為「數學思想方法」。
數學四大思想：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合；
函數與方程
函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。
笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。
函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。
函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變數，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變數的數學問題中，選定合適的主變數，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。
等價轉化
等價轉化是把未知解的問題轉化到在已有知識范圍內可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，將有利於強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉化有等價轉化與非等價轉化。等價轉化要求轉化過程中前因後果是充分必要的，才保證轉化後的結果仍為原問題的結果。非等價轉化其過程是充分或必要的，要對結論進行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應用時一定要注意轉化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。
著名的數學家，莫斯科大學教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數學奧林匹克參賽者發表《什麼叫解題》的演講時提出：「解題就是把要解題轉化為已經解過的題」。數學的解題過程，就是從未知向已知、從復雜到簡單的化歸轉換過程。
等價轉化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應用等價轉化的思想方法去解決數學問題時，沒有一個統一的模式去進行。它可以在數與數、形與形、數與形之間進行轉換；它可以在宏觀上進行等價轉化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數學語言的翻譯；它可以在符號系統內部實施轉換，即所說的恆等變形。消去法、換元法、數形結合法、求值求范圍問題等等，都體現了等價轉化思想，我們更是經常在函數、方程、不等式之間進行等價轉化。可以說，等價轉化是將恆等變形在代數式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由於其多樣性和靈活性，我們要合理地設計好轉化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。
在數學操作中實施等價轉化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標准化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數式、從無理式到有理式、從分式到整式…等；或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉化為比較直觀的問題，以便准確把握問題的求解過程，比如數形結合法；或者從非標准型向標准型進行轉化。按照這些原則進行數學操作，轉化過程省時省力，有如順水推舟，經常滲透等價轉化思想，可以提高解題的水平和能力。
分類討論
在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，並逐類求解，然後綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中佔有重要的位置。
引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：
① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a＝0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。
② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q＝1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。
③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a＝0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。
另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。
進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」。
解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標准，正確進行合理分類，即標准統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。
數形結合
中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函數等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是一個數學思想方法，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。「數」與「形」是一對矛盾，宇宙間萬物無不是「數」和「形」的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍。
數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函數的定義是藉助於直角三角形來定義的；任意角的三角函數是藉助於直角坐標系或單位圓來定義的。
2. 論述數學思想方法在小學數學中的應用
摘 要 小學數學教育旨在讓學生掌握和理解基本的數學知識，掌握正確的數學思想和應用方法，從而開拓數學學習的思維模式，提高學習能力。數學思想是一種文化，是數學教育的核心思想。作為數學教育工作者，對於數學思想在小學數學教育教學中的實踐應用做出以下幾點分析。
關鍵詞 數學思想;小學;教學;淺析
數學知識廣泛存在於人們的生產和生活當中。小學數學知識初級簡單，卻離不開數學思想方法的應用。小學數學思想方法有很多種。能夠用不同的方法去解決數學問題，對於培養學生的數學基礎，提高學習能力有很大的幫助。
一、數學思想方法的課堂應用狀況
許多從事小學數學教育的老師，雖然意識到了數學思想方法在教學過程中應用的重要性，但是實際應用起來往往概念模糊，不夠到位。大部分人依賴教材，缺乏變通，沒有將數學思想方法融匯到知識當中，影響了數學知識的有效傳授。學生對數學理論與內容的本質沒有深刻體會，對於知識也不能全部吸收，無法付諸實踐准確解決數學問題。
運用正確的數學思想方法對學生進行教育，使其能夠理解並且運用，需要老師持之以恆的教育影響。這是一個緩慢的滲透過程，也是對於數學教學質量的有效提高過程。
二、數學思想方法課堂應用的分析研究
（一）分類思想方法在數學教學中的應用
數學的分類思想方法體現在對數學對象的分類及其分類標准。例如人教版四年級《三角形的分類》一課，三角形按角分讓學生認識直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。三角形按邊分讓學生認識等腰三角形和等邊三角形的各個部分，以及等腰三角形兩底角關系和等邊三角形的三個內角的關系。通過分類的數學思想方法，使得學生經過觀察、操作、比較、概括，體會每一類三角形角的特點和邊的特點。不同的分類標准有不同的分類結果，從而產生新的概念。
（二）假設思想方法在數學教學中的應用
假設是先對題目中的已知條件或問題做出某種假設，然後按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，加以適當調整，最後找到正確答案的一種思想方法。比如，在人教版小學五年級方程式的教學當中，老師通過等式保持不變的規律來教學生解方程。教學案例：一個盒子里的皮球和外面的皮球加起來一共有九個，求盒子里有幾個皮球。那麼用假設法，假設盒子里有X個皮球，得出方程式X+3=9。這里同時也用到了符號化思想方法，即用X作為符號化的語言來推導演算。那麼利用等式保持不變的等量關系求方程式的解，方程兩邊同時減去一個3，左右兩邊仍然相等，得出：X+3-3=9-3。則最後算出答案X=6。假設思想是一種有意義的想像思維，掌握之後可以使要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。同時小小的字母表示數，以符號的濃縮形式表達了大量的信息，如定律、公式等。
（三）統計思想方法在數學教學中的應用
小學數學統計表是一些基本的統計方法，求平均數應用題是體現數據處理的思想方法。例如，人教版小學六年級教材《扇形統計圖》的教學中，老師給出一組數據，比如，課外活動中不同的運動項目，分別參加的人數不同，佔全班的百分比也不同。乒乓球12人佔30%;足球8人佔20%;跳繩5人12.5%;踢毽子6人15%;其他9人22.5%;可以看出如果用條形統計圖的話，並不能直觀地表示出百分比。老師在黑板上畫出扇形統計圖，告訴學生用扇形統計圖的整個圓表示全班人數，也就是單位「1」，圓內大小不同的扇形表示百分比，引導學生通過直觀的圖標，思考百分比是怎麼算出來的？即各項運動的人數除以全班人數，所有百分比的和是100%。最後總結扇形統計圖的特點：（1）整個圓代表總數量，扇形代表各部分數量。（2）從扇形的大小可以看出各部分數量佔百分比的大小。（3）圓和扇形關系表示出了總數量與部分數量的關系。教師應將統計思想方法應用到數學教學當中，教會學生在生活中有很多問題可以用統計法來解決，並且能夠運用各種統計方法來解決生活中的問題。
（四）類比思想方法在數學教學中的應用
類比思想方法是依據兩類數學對象的相似性，由可能已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象的思想。例如人教版小學四年級教材《加法交換律》中例題：李叔叔准備騎車旅行一個星期，今天上午騎了40千米，下午騎了56千米。一共是多少千米？讓學生用加法交換的方式列式，得出公式a+b=b+a。總結規律：兩個加數交換位置，和不變。這就是數學類比思想的教學應用。另外類比思想在乘法交換律、長方形的面積公式、平行四邊形面積公式和三角形面積公式的教學中都有應用。類比思想不僅使得學生們對於數學課本知識更加容易理解，而且讓枯燥的數學公式在記憶上更加容易和方便。
小學數學思想在數學教育教學中廣泛應用，佔有非常重要的地位。除了今天的幾項實踐研究外，還有很多思想方法，比較思想方法、轉化思想方法、集合思想方法等等很多教學形式。
為了跟上不斷改革的小學教育教學發展的節奏，讓學生們能夠獲得更多的數學思想方法，掌握數學知識，作為教育工作者應該在不斷地教學實踐中研究總結。為學生持續的學習和發展奠定基礎，從而有效提高小學數學教育教學質量。
3. 數學思想方法在數學的運用
所謂方法，是指人們為了達到某種目的而採取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式。人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復運用了多次，並且都達到了預期的目的，便成為數學方法。數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。 數學方法具有以下三個基本特徵：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴密性及結論的確定性；三是應用的普遍性和可操作性。 數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔精確的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現代科學技術特別是電腦的發展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成。 宏觀的數學方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結構方法，實驗方法。微觀的且在中學數學中常用的基本數學方法大致可以分為以下三類： (1)邏輯學中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因運用於數學之中而具有數學的特色。 (2)數學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法。代數中常用圖象法，解析幾何中常用坐標法)、向量法、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應用也很廣泛。 (3)數學中的特殊方法。例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變數法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時起著重要作用，不可等閑視之。 2.方法和招術 如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產物，是包含或體現著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇並實施方法的前期過程中，反映了學習者的能力和技能的高低；而在後期過程中，只反映了學習者的技能的差異。 所謂「招術」「招」字應正為「著」字，本文仍用傳統的「一招一式」的說法。是指解決特殊問題的專用計策或手段，純屬於技能而不屬於能力。「招」的教育價值遠低於「法」(這里的「法」指「通法」)的價值。「法」的可仿效性帶有較為「普適」的意義，而「招」的「普適」要差得多；實施「招」要以能實施管著它的「法」為前提。 例如，待定系數法是一種特別有用的「法」。求二次函數的解析式時，用待定系數法根據圖象上三個點的坐標求出解析式可看作第一「招」；根據頂點和另一點的坐標求出解析式可看作第二「招」；根據與x軸交點和另一點的坐標求出解析式可看作第三「招」。這三「招」各有奇妙之處。哪一「招」更好使用，要看條件和管著它們的「法」而定。教師授予學生「用待定系數法求二次函數的解析式」，最根本、最要緊的「法旨」就在於讓學生明確二次函數的解析式中自變數、函數值和圖象上點的橫、縱坐標的對應關系；對於一般的點和特殊的點(例如頂點及與x軸的交點)，解析式可以有什麼不同的反映。而這樣的「法旨」，恰恰體現了對應思想和數形結合的思想。由此看來，我國古代傳說中經常提到的某些師傅對待弟子「給『招』不給『法』」的現象，在現代的數學教育、教學中應該盡量避免。 3.中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想和方法 (一)中學數學教科書中應該傳授的基本數學思想 中學數學教科書擔負著向學生傳授基本數學思想的責任，在程度上有「滲透」、「介紹」和「突出」之分。 1.滲透。「滲透」就是把某些抽象的數學思想逐漸「融進」具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。要滲透的有集合思想、對應思想、公理化與結構思想、抽樣統計思想、極限思想等。前三種基本數學思想從初中一年級就開始滲透了，並貫徹於整個中學階段；抽樣統計思想可從初中三年級開始滲透，極限思想也可從初中三年級的教科書中安排類似於「關於圓周率π」這樣的閱讀材料開始滲透。至於公理化與結構思想，要注意根據人類的認識規律，一開始就採取擴大的公理體系。例如，教科書既可以把「同位角相等，兩直線平行」和它的逆命題都當作公理，也可以把判定兩個三角形全等的三個命題「邊角邊」、「角邊角」和「邊邊邊」都當作公理。 這種滲透是隨年級逐步深入的。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者並舉，並同時允許用不等式(組)、區間或集合的描述法來表示實數集的某些子集。又如對應思想，初中只用文字、數軸或平面直角坐標系來講對應；高中則在此基礎上引入了使用符號語言的對應法則。至於公理化與結構思想、抽樣統計思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。「滲透」到一定程度，就是「介紹」的前奏了。 2.介紹。「介紹」就是把某些數學思想在適當時候明確「引進」到數學知識中，使學生對這些思想有初步理解，這是理性認識的開始。要介紹的有符號與變元表示的思想、數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想、抽樣統計思想、極限思想等。這種介紹也是隨年級逐步增加的。有的思想從初中一年級起就開始介紹(例如前四種基本數學思想)，有的則是先滲透後介紹(例如後兩種基本數學思想)。「介紹」與「滲透」的基本區別在於：「滲透」只要求學生知道有什麼思想和是什麼思想，而「介紹」則要求學生在此基礎上進而知道為什麼叫做思想(含思想的要素和特徵)、用什麼思想(含思想的用途)並學會運用。作為補充，也可以就問題適時地向學生介紹如何運用一分為二的思想和整體思想。 3.突出。「突出」就是把某些數學思想經常性地予以強調，並通過大量的綜合訓練而達到靈活運用。它是在介紹的基礎上進行的，目的在於最大限度地發揮這些數學思想的功能。要突出的有數形結合的思想、化歸的思想、函數與方程的思想等。這些基本數學思想貫穿於整個中學階段，最重要、最常用，是中學數學的精髓，也最能長久保存在人一生的記憶之中。「介紹」與「突出」的基本區別在於：「介紹」只要求學生知道用什麼和會用，而「突出」則要求學生在此基礎上進而知道選用和善用。作為補充，也可以就數學問題經常向學生突出分類思想的運用。
(一)、整體思想
整體思想是將需解決的問題看作一個整體，由整體入手，通過研究問題的整體形式，洞察命題中的整體與局部的關系，實現等價化歸使問題得到解決。一般情況下，用整體思想解題的途徑為：（1）從整體特性上看問題；（2）從整體到局部看問題。
整體思想可以培養學生思維的靈活性。能使學生開闊眼界，拓寬解題思路，尋找解題捷徑，從而達到快速、簡潔的效果，甚至起到一舉解決問題的作用。
例1.1 (05吉林卷)如果a1,a2,…，a8為各項都大於零的等差數列,公差d≠0,則 ( )
A. a1a8 > a4a5 B. a1a8 < a4a5 C. a1+a8 > a4+a5 D. a1a8 = a4a5
分析：四個選項中，有A，B，D三個是比較a1a8與a4a5的大小，因此，只須從整體上判斷a1a8 - a4a5符號，即進行作差比較。
解：設等差數列的首項為a1，則有a1a8 - a4a5 = a1(a1+7d)- (a1+3d)(a1+4d)=-12d 2 < 0,
∴a1a8 < a4a5 故選B 。
例1.2 （99全國卷）若正數a、b滿足ab = a + b + 3，則ab的取值范圍是 。
解；∵a、b∈R+ ∴a + b ≥2 ，ab = a + b + 3 即( )2 – 2 - 3 ≥ 0
( +1)( -3) ≥ 0 ∵ +1 > 0 ∴ -3 ≥ 0 ∴ ≥ 3 即 ab ≥ 9.
例1.3 已知f（x）= x5 + ax3 + bx + 8，且f（2）=10，求f（-2）。
解： 設g（x）= x5 + ax3 + bx，則g（- x）= - g（x）， g（-2）= - g（2）
∴f（2）=g（2）+ 8 = 10……①；f（-2）= g（-2）+ 8 = - g(2) + 8……②
由 ①得g（2）= 2， ∴- g(2) = -2，代入② 得 f(-2) = -2 + 8 = 6.
本例將x5 + ax3 + bx看作一個整體，並注意到g（x）= x5 + ax3 + bx是一個奇函數。
類似解答題為設f(x)= ax5 + bx3 + x + 15，若f(-3) = 7，試求f(-3)的值，十分簡便。
例1.4 設a1 , a2 … a2005,a2006都是正數，M =（a1 + a2 + … + a2005）（a2+ a3+ …+a2006），
N =（a1 + a2 + … + a2006）（a2+ a3+ …+ a2005），比較M，N的大小。
解：設a2+ … + a2005 = A
則M = ( a1 + A) ( A + a2006 ) = a1 A + a1 a2006 + A2 + A a2006
N = (a1 + A + a2006 ) A = a1 A + A2 + a2006 A 比較M，N的大小，顯見M ＞ N.
(二)、化歸思想
「化歸」是轉化、歸結的簡稱。在數學研究中人們總是把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結為已經能解決或者比較容易解決的問題，從而使問題得到最終的解決。
對於化歸思想，匈牙利女數學家羅莎·彼得 (Rozsa Peter)在她的《無窮的玩藝》中有一個精彩的比喻：擺在你面前的有水龍頭、水壺、煤氣灶和火柴，任務是燒開水。你將怎麼辦？毋庸置疑，答案是打開水龍頭，把水壺注滿水並放到煤氣灶上，然後劃著火柴，點燃煤氣灶燒開即可。羅莎又提出：如果水壺里已經注滿了水，你又將怎麼辦？她說，一般人的回答是把水壺放到煤氣灶上，然後劃著火柴，點燃煤氣灶燒開即可。羅莎說數學家的回答是，把水壺里的水倒掉，並聲稱自己把這一問題化歸為最初提出的問題了。羅莎最後說數學家思維的獨到之處，就是善於運用這種化歸的思想。一個幽默、形象的比喻揭去了數學化歸思想神秘的面紗，巧妙地讓人領悟了化歸思想方法的本質。有學者指出：「數學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是利用了各種轉化。」利用化歸思想，常常可以另闢蹊徑，解決新問題，獲得新知識。
例2.1：已知：f (1-cosx) = sin2x，求f(x)。
解：令1- cosx = t (0 ≤ t ≤ 2)，則cosx = 1- t
∴f(t)=f(1-cosx) = sin2x = 1- cos2x = 1-(1-t)2=-t2-2t 故f(x)= -x2-2x.
例2.2：（同例1.2）已知a，b是正數，且ab = a + b + 3，求ab的取值范圍。
解：設ab = k，則a + b = k - 3，由韋達定理得：x2 -( k–3 )x + k = 0，
則 = ( k–3 )2 - 4k ≥ 0，解得k ≥ 9或k ≤ 1.
∵a > 0 、b > 0，∴ab > 0，即k> 0 , k ≤ 1捨去,∴k ≥ 9， 故ab ≥ 9.
例2.3動點M到定點F(4，0)的距離比它到定直線x + 5 = 0的距離小1.
求：動點M的軌跡方程。
解：「動點M到定點F(4，0)的距離比它到定直線x + 5 = 0的距離小1」可等價轉化為「動點M到定點F(4，0)的距離與它到定直線x + 4 = 0的距離相等」 。
由拋物線的定義知，動點M的軌跡是拋物線，定點F(4，0)是拋物線的焦點，
定直線 x = - 4是拋物線的准線。∴P = 8.
∴ 拋物線方程為 y2 = 16x, 即動M的軌跡方程為y2 = 16x.
例2.4（03文全國卷）已知數列 滿足
（I）求 （II）證明
分析：本題若從原遞推式中迭代易求得 但發現該數列不是特殊數列，難以求出（II）中的 .如果用聯系的觀點看待，可用轉化思想，將證明轉化為求等比數列 的前n項和的問題。
（II）證明：由已知
= .
(三)、分類思想
分類思想是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同類的思想方法。分類是以比較為基礎，它能揭示數學對象之間的規律，所以，分類是近代和現代數學中的一種重要的思想方法。
近幾年關於分類與整體思想是高考命題的熱點之一，因為含有參數的問題逐漸被人們所認可，這對提高學生的思維敏捷性和數學素質，都將成為不可或缺的內容。解答時要正確地確定分類的標准，分清層次、不重不漏地進行分類，從而使學生看問題更加全面。用分類討論解決問題，關鍵是要選定好標准、角度，最後還要注意歸納、總結。
例3.1已知 f(x) = 1 (x ≥ 0),則不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解是 .
f(x) = -1 (x < 0)
分析：因為不等式x+(x+2)f(x + 2) ≤ 5是含有f(x+2)，所以應先求f(x+2)，而求f(x+2) 需對f(x+2)進行分類討論。
解：(1)當x + 2 ≥0時，即x ≥- 2時，f(x+2) = 1，解不等式x+(x+2)·1≤5,
得x ≤ 所以 -2 ≤ x ≤
(2) 當x + 2 ＜0時,即x ＜- 2時，f(x+2)= - 1，解不等式x + (x + 2)·（-1）＜5,
得 – 2 < 5, 所以，x < – 2；由（1）與（2）得{ x| x ≤ }
例3.2解不等式 kx2 - 3( k + 1) + 9 > 0
分析:本例要分k = 0與k ≠ 0兩大類,而當k ≠ 0時又要分k < 0,0 < k <1和
k ≥ 1三種情形進行分類討論，具體解略。
(四)、函數思想
函數是描述自然界中量的依存的關系，是對問題的數量本質特徵和制約關系的一種刻劃。函數思想就是用函數的觀點、方法研究問題，將非函數問題轉化為函數問題，建立函數關系，通過對函數進行研究，使問題得以解決。利用函數思想，中學數學中許多數量關系，都可以用它予以重新認識。
如從函數的觀點看，數列可以看做是一個定義域為正整數集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數,當自變數從小到大依次取值時對應的一列函數值。因此，等差、等比數列的通項an及前n項和sn都可以看作關於n的函數，當然其圖像都是一系列離散的點。
運用函數思想，構造函數解題，能使我們觀察問題時不局限於靜止、孤立的，而是用運動、發展、變化的觀點去研究，不少問題如從函數觀點出發分析解題，常常比較簡明，有時還會收到出奇制勝的效果。
例4.1 數列{an}的前n項和Sn = - n2 + 7n，若對於任給n∈N+ 有a >Sn 恆成立，求a的取值范圍。
解：Sn = - n2 + 7n = - ( n – ) 2 + ，則由二次函數的對稱性及n∈N+ 知：
當n=3或4時，有最大值，即(Sn)max = - 32 + 7×3 = 12，所以當a >12時，
對於給定n∈N+，a >Sn恆成立。
例4.2 （05江西）已知數列{ sn }的各項都是正數，且滿足：a0 = 1，an + 1 = an (4 - an)，
n∈N，求證：an < an+1 < 2，n ∈N.
分析：在an+1 = an ( 4 - an )這個等式中含有兩個變數an和an+1，故不妨構造函數
f(x)= x(4-x)。下面用數學歸納法證明本題結論。
（1）當n = 0時，有a0 = 1,a1 = a0(4-a0) = , a0 < a1 < 2成立，
令f(x) = x ( 4 – x )，f(x) 在[0,2]上單調遞增，且an+1 = f(an)。所以由ak<ak+1<2，
有 f(ak+1) < f(ak+2) < 2，即當n = k + 1時命題也成立。（2）
根據（1）（2）可知，對一切n ∈ N，有an < an+11 <2。
例4.3：若方程x2 - 2x + lg(2a2 – a ) = 0有異號二實根，求a的取值范圍。
解：設f(x) = x2 - 2x + lg(2a2- a)，則由已知得f(0) < 0, 即lg(2a2 - a) < 0，
∴0 < 2a2 – a < 1，解得a ∈( - , 0 )∪( , 1 )
通過以上例子的分析可以看出，運用函數思想解決一些非函數問題，方法新穎，思路獨特，直觀明了，大大簡化了解題過程。
(五)、方程思想
方程是已知量和未知量的對立統一體，在解決數學問題時，先分析未知量的個數，然後把它們當成已知量，再根據題設中各量之間的制約關系，尋找關於這些未知量的相應個數的方程，從而用解方程（組）的方法探求解題途徑所設的未知數，則溝通了變數之間的關系，實現了問題的轉化，求得未知數，或運用方程的有關性質，使問題得以解決。方程思想是初等代數中思想方法的主體，應用十分廣泛，可謂數學大廈基石之一，在眾多的數學思想中顯得十分重要。
例5.1 已知：(z–x)2 - 4(x–y)(y–z)= 0，求證：x，y，z成等差數列。
證明：以x–y，y–z為根作關於t的二次方程 [t -(x–y)][t-(y–z)] = 0
t2 + (z–x)t+ (x–y)(y–z) = 0 有判別式 = (z–x)2-4(x–y)(y–z) = 0，
從而兩根相等x–y = y–z， 按定義，x，y，z成等差數列。
例5.2：函數f(x)與g(x)分別是一個奇函數與一個偶函數，若f(x) - g(x) = ( )x，
則f(1) 、g(0)、g(-2)大小關系為（ ）.
（A）g(-2) < f(1) < g(0); （B）g(0) < f(1) < g(-2);
（C）g(-2) < g(0) < f(1); （D）g(0) < g(-2) < f(1).
分析：構造一方程，令x →-x，得f(-x) - g(-x) = ( )-x, 即 - f(x) - g(x)=( )-x，由此可分別求出f(x)與g(x)，進而求得f(1)、g(0)、g(-2)的值，通過比較，選（C）.
例5.3：已知2 f(x) + f = x ,求f(x).
解:在原式中將x換成 ,再與原式聯立,得 2f + f(x) =
2 2f(x) + f = x
消去 f ,得 f (x) = .
(六)、數形結合思想
在數學中，數與形這兩個基本對象構成了中學數學知識的兩個基本板塊。把數與形有機地結合起來便形成更為有效的知識體系，在更高層次上達到了統一，進而顯示出數學知識內在的聯系，加深了對數學實質的認識。著名數學家拉格朗日曾這樣指出：「代數與幾何在各自的道路上前進時，它們的進展是緩慢的，應用也有限，但當這兩門學科結合起來後，它們各自從對方汲取新鮮的活力，從此，便以很快的速度向著完美的境地飛跑」。如解析幾何、向量數學等。藉助圖形解題以其直觀、形象、簡捷而倍受青睞。
數形結合是一支雙刃劍，通過抽象思維和形象思維相結合，可以培養學生思維的靈活性，形象性和深刻性。數形結合思想，提供了解決問題的一種手段，而且有些數量關系，藉助於圖形的性質，可以使抽象的概念和復雜的關系直觀化、形象化、簡單化，有利於拓寬解題思路，探求解題的途徑，通常稱為以形助數；而圖形的一些性質，藉助於數量的計算和分析，得以嚴謹化，即所謂以數輔形，這是相輔相成的兩個方面，在解題時如有意識考慮數形結合，能較快的找到解決問題的途徑，且可使解法別開生面。
例6.1：（05理全國卷Ⅲ）已知α為第三象限的角，則 所在的象限是（ ）.
（A）第一或第二象限；（B）第二或第三象限； y
（C）第一或第三象限；（D）第二或第四象限。 o
解：由圖示立即可得為第二或第四象限。 x
註：此例用圖像法比通常所用的解析法解要簡捷得多。 α
例6.2：解關於x的方程1+logx (4-x)/10 = (lglgn-1)logx10.
略解：原方程化簡得：x2–4x+lgn = 0，0 < x < 4且x≠1, n>1. 令y1= - x2 + 4x = -(x–2 )2 + 4，y2 = lgn. y ( 2,4 )
作圖如右圖所示
可知n = 104 或者n = 103 時方程有唯一解，
其解分別為x = 2和x = 3.
當1 < n < 104且n ≠103時方程有兩解；當n > 104 時方程無解。0 2 3 x
例6.4 集合S = { x | x ≤ 10且x ∈N+ }，A S，B S，且A B={ 4,5 }，
(CsB) A = { 1,2,3 }，(CsA) (CsB) = { 6, 7, 8 }，求集合A和B。
分析：本題涉及的集合運算較為復雜，可採用Ween圖將已知條件在圖中標出，從圖中找出所求答案。 S
解：如圖所示：∵A B={ 4,5 } ∴將4,5寫在A B中. A 4 B
∵(CsB) A={ 1,2,3 }∴將 1,2,3寫在A中. 123 5 9 10
∵(CsA) (CsB) = { 6, 7, 8 }, ∴將 6,7,8寫在S中A、B之外 6 7 8
∵(CsB) A與(CsA) (CsB)中均無9,10. ∴9,10寫在B中.
故A ={1,2,3,4,5}, B ={4,5,9,10}
(七)、猜想論證思想
數學思維中通過觀察、歸納、類比進而在直覺的基礎上形成猜想也是一種基本的思維形式。它雖然是不嚴格的，但在探索思路、發現結論的過程中卻能發揮巨大的威力。
翻開中外數學史可以發現,前人提出過許多猜想,不少已被後人所證明,著名的歌德巴赫猜想正以百萬美元的懸賞徵求解決，法蘭西科學院的七位數學家提出了新千年的七個數學問題，與一百年前希爾伯特的二十三個數學問題遙相呼應。蔡上鶴先生指出：「在宏觀世界中合情合理推理是必不可少的」。先猜想再證明是一種很好的數學思想。
例7.1波利亞曾出過這樣的一道名題：兩人坐在方桌邊，相繼輪流往桌在上平放一枚同樣大小的硬幣，當最後桌面上只剩下一個位置時，誰放下最後一枚，誰就算勝了。是先放者勝還是後放者勝？
分析：這個問題很容易使解題者把思路限制在硬幣的數量關繫上，我們可從幾何角度進行大膽猜想，首先把問題極端化，如果「桌子小到只能放下一枚硬幣，顯然是先放者必勝。」可初步猜到答案。在執果索因尋找證明時，仍應注意是方桌，考慮到方桌面的對稱性，它有一個對稱中心，如果先放者占據方桌的中心，以後每次都將硬幣放在對方所放硬幣關於方桌中心對稱的位置，先放者必勝。
例7.2 平面內兩兩相交的n條直線，沒有任何三條交於同一點，試求它們將平面分成的塊數。
解: 設它們交點的總數目為an,易知a1 = 2, a2 = 4, a3 = 7, a 4= 11, a5 = 16.
∵a2 - a1 = 2, a3 - a2 = 3, a4 – a3 = 4, a5 - a4 = 5,……. ∴猜想an - an-1 = n.
將以上(n-1)個式子相加，得 ，然後對此結論用數學歸納法加以證明。
(八)、建模思想
著名數學家懷特海曾說：「數學就是對於模式的研究」。數學模型是對現實原型進行數學抽象化的產物，數學建模是一種運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化，建立數學模型並予以「解決」的強有力的數學思想。
例8.1（與例1.1同）如果a1,a2,…，a8為各項都大於零的等差數列,公差d≠0,則 ( )
A. a1a8 > a4a5 ； B. a1a8 < a4a5<
4. 如何認識在中學數學教學中數學思想方法的地位與作用
一、數學思想方法教學與能力的關系
思想方法就是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實踐，一再被證明為正確、可以反復被應用到新的思維活動中，並產生出新的結果。數學思想方法，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論（概念、定理、公式、法則等）的本質認識。所以，數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。數學方法是指從數學角度提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）的過程中所採用的各種方式、手段、途徑等。數學思想和數學方法是緊密聯系的，一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。
數學思想方法是形成學生的良好的認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。中學數學教學大綱中明確指出：數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想方法。數學思想和方法納入基礎知識范疇，足見數學思想方法的教學問題已引起教育部門的重視，也體現了我國數學教育工作者對於數學課程發展的一個共識。這不僅是加強數學素養培養的一項舉措，也是數學基礎教育現代化進程的必然與要求。這是因為數學的現代化教學，是要把數學基礎教育建立在現代數學的思想基礎上，並使用現代數學的方法和語言。因此，探討數學思想方法教學的 一系列問題，已成為數學現代教育研究中的一項重要課題。
從心理發展規律看，初中學生的思維是以形式思維為主向辨證思維過渡，高中學生的思維則是辨證思維的形成。進行數學思想方法教學，不僅有助於學生從形式思維向辯證思維過渡，而且是形成和發展學生辯證思維的重要途徑。
從認知心理學角度看，數學學習過程是一個數學認知結構的發展變化過程，這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的。所謂同化，就是主體把新的數學學習內容納入到自身原有的認知結構中去，把新的數學材料進行加工改造，使之與原教學學習認知結構相適應。所謂順應，是指主體原有的數學認識結構不能有效地同化新的學習材料時，主體調整成改造原來的數學內部結構去適應新的學習材料．在同化中，數學基礎知識不具備思維特點和能動性，不能指導「加工」過程的進行。而心理成份只給主體提供願望和動機，提供主體認知特點，僅憑它也不能實現「加工」過程。數學思想方法不僅提供思維策略(設計思想)，而且還提供實施目標的具體手段(解題方法)。實際上數學中的轉化、化歸就是實現新舊知識的同化。與同化一樣，順應也在數學思想方法的指導下進行。積極進行數學思想方法教學，將極大地促進學生的數學認知結構的發展與完善。
從學習遷移看，數學思想方法有利於學生學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以極大地提高學習質量和數學能力。布魯納認為 「學習基本原理的目的，就在於促進記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來。高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具。」由此可見，數學思想方法作為數學學科的「一般原理」，在教學中是至關重要的，因此，對於中學生，不管他們將來從事什麼工作，唯有深深地銘刻於頭腦中的數學思想方法將隨時隨地發生作用，使他們受益終生。
二、數學思想方法的教學原理
數學思想方法的教學原理是說明數學思想方法的教學規律的。中學數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體，現行數學教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，並沒有明確的揭示和總結。這樣就產生了如何處理數學思想方法教學的問題。進行數學思想方法的教學，必須在實踐中探索規律，以構成數學思想方法教學的指導原則。數學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來說，應以貫徹滲透性原則為主線，結合落實反復性、系統性和明確性的原則．它們相互聯系，相輔相成，共同構成數學思想方法教學的指導思想。（如下圖所示）
1．滲透性原則：在具體知識教學中，一般不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的學習情境與教學過程，著意引導學生領會蘊涵在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。數學思想方法與具體的數學知識雖然是一個有機整體，它們相互關聯，相互依存，協同發展，但是具體數學知識的數學並不能替代數學思想方法的數學。一般來說，數學思想方法的教學總是以具體數學知識為載體，在知識的教學過程中實現的。數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題、體現數學思想的手段和工具。所以，數學思想方法具有高度的抽象性與概括性。如果說數學方法尚具有某種外在形式或模式，那麼作為一類數學方法的概括的數學思想，卻只表現為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數學思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實現的，必須要日積月累，長期滲透才能逐漸為學生所掌握。
數學思想方法的滲透主要是在具體知識的教學過程中實現的。因此，要貫徹好滲透性原則，就要不斷優化教學過程。比如，概念的形成過程；公式、法則、性質、定理等結論的推導過程；解題方法的思考過程；知識的小結過程等，只有在這些過程的教學中，數學思想方法才能充分展現它們的活力。取消或壓縮教學的思維過程，把數學教學看為知識結論的教學，就失去了滲透數學思想方法的機會，使數學思想方法無有用武之地。
2．反復性原則：學生對數學思想方法的領會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認識規律。因此，這個認識過程具有長期性和反復性的特徵．
從一個較長的學習過程看，學生對每種數學方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程．如對同一數學思想方法，應該注意其在不同知識階段的再現，以加強學生對數學思想方法的認識．
另外，由於個體差異的存在，與具體的數學知識相比，學生對數學思想方法的掌握往往表現出更大的不同步性．在教學中，應注意給中差生更多的思考，接受理解的時間，逾越了這個過程，或人為地縮短，會導致學生囫圇吞棗，長此以往，會形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。
3．系統性原則：與具體的數學知識一樣，數學思想方法只有形成具有一定結構的系統，才能更好地發揮其整體功能。數學思想方法有高低層次之別，對於某一種數學思想而言，它所概括的一類數學方法，所串聯的具體數學知識，也必須形成自身的體系，才能為學生理解和掌握，這就是數學思想方法教學的系統性原理。
對於數學思想方法的系統性的研究，一般需要從兩個方面進行：一方面要研究在每一種具體數學知識的教學中可以進行哪些數學思想方法的教學。另一方面，又要研究一些重要的數學思想方法可以在那些知識點的教學中進行滲透，從而在縱橫兩個維度上整理出數學思想方法的系統。例如《數列》這一章，就體現了函數與方程、等價轉化、分類討論等重要的數學思想以及待定系數法、配方法、換元法、消元法、「歸納一猜想一證明」等基本的數學方法。
4．明確性原則：在中學數學各科教材中，數學思想方法的內容顯得薄弱，除了一些具體的數學方法比較明確外，一些重要的數學思想方法都沒有比較明確和系統的闡述，而它們一直蘊含在基礎知識的教學之中。從數學思想方法教學的整個過程來看，只是長期、反復、不明確的滲透，將會影響學生認識從感性到理性的飛躍，妨礙了學生有意識地去掌握和領會。滲透性和明確性是數學思想方法教學辯證的兩個方面。因此，在反復滲透的教學過程中，利用適當時機，對某些數學思想方法進行概括、強化和提高，對它的內容、名稱、規律、使用方法適度明確化，是掌握、運用數學思想方法並轉化為能力的前提，所以數學思想方法的教學應貫徹明確性原則。貫徹數學思想明確化原則，是讓學生理解數學思想的關鍵，是熟練掌握、靈活運用、轉化為能力的前提。
例如在解題教學中，可經常採用一題多解，多題一解的教學方法明確數學思想方法。一題多解是運用不同的數學思想方法，尋求多種解法；多題一解又是運用同一種數學思想方法於多種題目之中。但是在教學中，往往缺乏從數學思想方法的高度去闡明其中的本質和通法。我們在解題教學中，將蘊含其中的數學思想方法明確化，有利於學生掌握其中規律，使學生的認識能力產生飛躍。
三、中學數學中的主要思想方法
1．中學數學中的主要思想：函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。
（1）函數與方程思想：就是用函數的觀點、方法研究問題，將非函數問題轉化為函數問題，通過對函數的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉化為函數問題，建立函數關系，研究這個函數，得出相應的結論。中學數學中，方程、數列、不等式等問題都可利用函數思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函數值域的考察加以解決。例如1990年全國高考題：如果實數x、y滿足（x-2）2 + y2 =3，那麼的最大值是 。分析：為分離出，先給已知等式兩邊同除以x2，得.分離變數與，得==.此式表示是的二次函數，易知當=2即x=時，有最大值3，則有最大值．此題不是函數而看成函數，這不正是函數思想的實質嗎？
（2）數形結合思想:數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學,因而數學研究總是圍繞著數與形進行的。「數」就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；「形」就是圖形、圖象、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以「形」直觀地表達數，以「數」精確地研究形。華羅庚曾說：「數缺形時少直覺，形缺數時難入微。」通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。例如：已知x1是方程x+ lgx =3的根，x2是x+10x =3的根，則x1+x2等於（ ）（A）6（B）3（C）2（D）1 . 分析：構造函數y=lgx，y=10x，y=3－x，由於y=lgx與y=10x互為反函數，圖象關於直線y=x對稱，而直線y=3－x 與y=x互相垂直，所以y=3－x與y=lgx和y=3－x與y=10x的交點P1（x1，y1）P2（x2，y2）是關於直線y=3－x 與y=x的交點M（x0，y0）對稱的，故x1+x2=2 x0=3，選（B），（圖略）．
（3）分類討論思想：就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助於學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。
數學中的分類有現象分類和本質分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特徵、外部關系為根據的，如復數分為實數與虛數等，這種分法看上去一目瞭然，但不能揭示所分對象之間的本質聯系；後一種分類是按對象的本質特徵、內部聯系進行分類的，如函數按單調性或有界性分類，多面體按柱、錐、台分類等。引起分類討論的主要原因有：①由數學概念引起的分類討論；②由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討論；③由數學式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論；④由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；⑤對於含有參數的問題要對參數的允許值進行全面的分類討論。
（4）化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易於解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。化歸與轉化的一般原則是：①化歸目標簡單化原則；②和諧統一性原則（化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨於和諧，在量、形、關系方面趨於統一的方向進行，使問題的條件與結論表現得更均勻和恰當。）；③具體化原則；④標准形式化原則（將待解問題在形式上向該類問題的標准形式化歸。標准形式是指已經建立起來的數學模式。如二次函數y=ax2+bx+c （a≠0）；橢圓方程）；⑤低層次化原則（解決數學問題時，應盡量將高維空間的待解問題化歸成低維空間的問題，高次數的問題化歸成低次數的問題，多元問題化歸為少元問題解決。這是因為低層次問題比高層次問題更直觀、具體、簡單）。化歸與轉化的策略有：①已知與未知的轉化（已知條件常含有豐富的內容，發掘其隱含條件，使已知條件朝著明朗化的方向轉化，如綜合法；對於一個未知的新問題，通過聯想，尋找轉化為已知的途徑，或從結論人手進行轉化，如分析法）。②正面與反面的轉化（在處理某一問題，按照習慣思維方式從正面思考而遇到困難，甚至不可能時，用逆向思維的方法去解決，往往能達到突破性的效果）。③數與形的轉化（數形結合其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，可以使許多概念和關系直觀而形象，有利於解題途徑的探求）。 ④一般與特殊的轉化。⑤復雜與簡單元的轉化（把一個復雜的、陌生的問題轉化為簡單的、熟悉的問題來解決，這是數學解題的一條重要原則）。
高中數學涉及最多的是轉化思想，如超越方程代數化、三維空間平面化、復數問題實數化等，為了實現轉化，相應地產生了許多的數學方法，如消元法、換元法、圖象法、待定系數法、配方法等。通過這些數學方法的使用，使學生充分領略數學思想在數學領域里的地位與作用。
2．中學數學中的基本數學方法
（1）數學中的幾種常用求解方法：配方法、消去法、換元法、待定系數法、數學歸納法、坐標法、參數法、構造法、數學模型法等；
（2）數學中的幾種重要推理方法：綜合法與分析法、完全歸納法與數學歸納法、演繹法、反證法與同一法；
（3）數學中的幾種重要科學思維方法：觀察與試嘗、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、比較與分類、歸納與類比、直覺與頓悟等。
四、數學思想方法教學途徑的探索
1．在基礎知識的教學過程中，適時滲透數學思想方法
在教學過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質、公式的推導過程和例題的求解的過程，基本數學思想和數學方法都是在這個過程中形成和發展的，數學基本技能也是在這個過程學習和發展的，數學的各種能力也是在這個過程中得到培養和鍛煉的，數學思想和數學觀念也是在這個過程中形成的。
（1）重視概念的形成過程
概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結果。而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據數學思想方法的指導。因而概念教學應當完整地體現這一過程，引導學生揭示隱藏於概念之中的思維內核。例如，高一新教材，數學第一冊（上）第二章 函數，有關函數的單調性的知識，是數形結合思想滲透教學的最好材料，教學中要充分抓住這一有利時機。函數f（x）在區間A上是增函數或減函數可直觀地用下圖示意：
通過圖象的直觀性，可使學生深刻理解函數的單調性，也使學生對增函數、減函數的定義有更加明確的認識。
（2）引導學生對定理、公式的探索、發現、推導的過程
在定理、性質、法則、公式、規律等的教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法指導下，弄清每個結論的因果關系，最後再引導學生歸納得出結論。
例如，高一新教材，數學第一冊（上）第三章 數列，教師要不失時機地引導學生觀察發現數列是特殊的函數，關於等差數列，由通項公式和求和公式看出，an和Sn都是n的函數，當d≠0時，an是n的一次函數，Sn是n的二次函數。因此可以用一次、二次函數的有關知識來解決等差數列的通項、前n項和的問題。函數的圖象是函數的靈魂。an =a1 +(n－1)d的圖象是一條直線上的點．Sn =na1 +d的圖象是一條拋物線上的點，藉助圖形的直觀，解決問題。
2．在小結復習的教學過程中，揭示、提煉概括數學思想方法
由於同一內容可蘊含幾種不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常分布在許多不同的基礎知識之中，及時小結、復習以進行強化刺激，讓學生在腦海中留下深刻的印象，這樣有意識、有目的地結合數學基礎知識，揭示、提煉概括數學思想方法，既可避免單純追求數學思想方法教學欲速則不達的問題，又明快地促使學生認識從感性到理性的飛躍。例如，《數列》這一章，體現了函數與方程、等價轉化、分類討論等重要的數學思想以及待定系數法、配方法、換元法、消元法、「歸納一猜想一證明」等基本的數學方法。復習小結時可配合知識點和典型例題強化訓練。
3．抓好運用，不斷鞏固和深化數學思想方法
在抓住學習重點、突破學習難點及解決具體數學問題中，數學思想方法是處理這些問題的精靈，這些問題的解決過程，無一不是數學思想方法反復運用的過程，因此，時時注意數學思想方法的運用既有條件又有可能，這是進行數學思想方法教學行之有效的普遍途徑．數學思想方法也只有在反復運用中，得到鞏固與深化．例如2000年全國高考題：設{}是首項為1的正項數列，且，(n=1，2，3…)，則它的通項公式＝ 。
分析：題設給出了數列相鄰兩項所滿足的關系式（遞推公式）和首項=1 ，由此可求出，，，從而可猜想出=，由特殊到一般，靈活運用「歸納一猜想一證明」這一探究問題的思維方式猜想出結果（填空題可不必證明）。
如果注意到遞推公式是關於和的二次齊次式，也可通過分解因式或解一元二次方程來解決，即靈活運用方程思想求得更簡單的遞推式，進而運用迭乘法迅速求得．
由
①（∵>0） （常數） =
②
===．
5. 數學思想方法在小學數學教學中的應用淺析
數學思想方法在小學數學教學中的應用。 數學思想方法最初以很簡單的數學知識和數學材料的形式滲透給學生，隨著學生年齡增長和學段的上升，數學知識和材料越來豐富，數學思想方法也越來越被用新的內容逐步展開，這些數學思想和方法也組成了數學全部內容的核心。
我們也可以想見，多年以後，學了數學的學生走出校門，踏入社會，大多數的數學知識很快會模糊不清到忘掉，但是因為數學學習而培養起來的一些優秀的品質、習慣、思維方法和著眼點，如求真精神、探索習慣、合情推理能力、邏輯推理能力等卻以工作和學習中新的內容和材料展示出來，深入骨髓。所以米山國藏在《數學的精神、思想和方法》中說，「縱然是把數學知識忘記了，但數學的精神、思想、方法也會深深地銘刻在頭腦里，長久地活躍於日常的業務中」。
6. 淺談數學思想方法在小學數學教學中的滲透
為加強小學生的數學思維邏輯，提高數學課堂的教學效率，教師需採用科學有效的教學方法保證數學思想的有效滲透，從而激發學生的學習熱情，強化學生的數學意識，帶領學生運用數學思維解決實際生活問題。
教師在以往數學課堂內注重學生的數學成績，未將學生在實際學習過程的數學方法進行充沛的指導，使得學生對數學問題具有一定的思想偏頗，加大教師的教學難度，無法全方位培養學生的綜合能力。
因此，教師應結合時代潮流教學方法，根據教材具體內容展開相應的教學手段，充分加強學生的數學素養，進而提高學生對數學抽象性概念的理解，強化學生的數學意識，保證數學教學任務的有效進行。
一、小學生學習特點
由於小學生的年齡較低，對事物具有極強的好奇心，無法在數學課堂上集中注意力，繼而導致自身的學習效率有所下降。所以，教師應結合學生在課上的學習狀態，設計豐富的教學內容，調動學生積極性，激發學生的主觀能動性，加強學生對數學基礎知識的理解。教師應升華自身的教學素養，充分利用專業知識強化對學生數學思想的教育，聯系實際生活內容，活躍課堂氛圍，進而保證數學課堂的實效性[1]。
二、小學數學思想方法介紹
（一）數形結合法
教師要改變傳統教模式中填鴨式教學方法，發揮學生的主觀能動性，加強學生對事物的空間想像能力，培養學生的創新能力，使學生全面了解教師所講的數學知識，從而激發學生的學習熱情。基於此，教師可採取數形結合的教學模式幫助學生更好掌握基礎知識要義，培養學生的良好學習習慣。在講解具體內容時，教師要將抽象化概念轉換為具體形象，加強學生實際的運算能力，提高數學思想在課堂上的滲透。
（二）總結法
總結法是教師常用的教學手段，通過課上最後的時間帶領學生復習鞏固相應的知識內容，增強學生的數學素養。因此，數學教師可將此方法融入課堂教學，加強學生對數學知識的運用能力，幫助學生建立相應的數學體系，使其能夠正確解答有關數學問題，逐步培養學生的自主學習能力。由於小學階段是學生學習的黃金時期，教師要從多方面加強對學生綜合能力的培養，實現數學課堂的有效教學，保證教學進度。
（三）轉化法
學生作為獨立個體聽取教師講解的數學內容會產生不同的學習效果。教師要改變傳統教學氛圍，創設科學有效的教學環境，保持學生整節課的充沛精力，激發學生的學習興趣。利用轉化的教學方法增強學生對抽象概念的理解能力，時刻與學生溝通交流，根據學生的具體學習情況設計豐富的教學內容，繼而增強學生對數學知識後的實際運用。
三、在小學數學教學中滲透數學思想方法的途徑
（一）在課後總結中提煉數學思想
小學數學教材將學生所學的重點知識內容進行充分的整理，使得學生在每章完結之後都能有效復習相應概念，因此，教師應注重小學教材的布置內容，靈活運用課後知識增強學生的數學意識，完善學生的學習方法，逐步加強對學生數學問題的靈活運用。
比如在學習《圖形的運動（二）》內容時，教師就要逐步引導學生對數學公式的理解能力，通過課後復習強化學生對數學問題的計算。首先教師要通過激趣導入吸引學生注意力，帶領學生觀察多媒體課件，明確抽對稱的定義及性質，帶領學生回顧相應的數學問題後，教師要讓學生進行動手實踐，將教材附頁上的圖形剪下，先折一折，再畫出圖形的對稱軸，並讓學生觀察每個圖形可以畫多少對稱軸，在學生實踐過程中增強學生的數學思想。通過課後總結帶領學生明確長方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等邊三角形、線段、菱形等圖形的對稱軸具有多少條，加強學生的學習效果，逐步培養學生的理性思維模式。
（二）在課堂教學中挖掘可利用的數學思想
為加強學生對數學思想的理解能力，教師應緊跟時代潮流發展，改變教學理念，摒棄傳統教學思想，根據教材的具體內容與學生上課的實際情況，逐步挖掘可利用的數學思想，強化學生的邏輯思維，使得學生的學習效率不斷增強[2]。
比如在學習《可能性》內容時，教師就要摒棄傳統教學手法，採用科學有效的教學手段加強對學生的數學思想教育。首先通過問題引導引發學生的思考能力「拋硬幣決定誰先開球公平嗎？」帶領學生初步體驗事件發生的確定性與不確定性，並讓學生列出簡單的隨機現象中所有可能發生的結果。其次教師要創設相應的問題情景，帶領學生發現實際生活問題，如：哥哥弟弟都很想去電影院看電影，但是爸爸只有一張兒童票，只能給其中一個人，這時就要讓學生充分思考課題採取什麼樣的方法保證公平，從而加深學生的可能性知識概念的運用能力，保證數學課堂的教學質量，加強學生對實際問題的數學思想。
（三）活躍數學思想氛圍，調動學生積極性。
教師應明確數學思想存在於教材與學生的方方面面，需帶領學生不斷進行數學實踐活動，側面提高學生的數學思維邏輯，強化學生的學習方法，從多角度激發學生的學習積極性。教師要結合教材具體內容，發揮學生的主觀意識，營造良好的數學思想學習氛圍，採用循序漸進的教學方法，根據教材重難點知識內容，合理設計教學過程，加強學生的數學教育，發散學生的創新思維，全方位培養學生綜合能力[3]。
比如在學習《百分數（一）》內容時，教師不應根據教材體現的內容進行教學，應以學生的數學思想為中心，發揮學生的創新能力。首先借用多媒體技術讓學生觀察每個人的不同情況，並思考如何派遣隊員進行足球運動，加強學生的思考邏輯。其次，教師應讓學生針對具體問題進行小組間的合作交流，強化學生的語言表達能力，活躍課堂氛圍，營造良好的學習環境，激發學生對數學的學習興趣。教師應及時了解學生所提的數學問題時刻與學生溝通交流。優化師生之間的關系，加強對學生邏輯思維的培養，實現數學思想的深度教學作用，從而提高小學數學課堂的教學質量，全面落實數學思想教育，利用豐富的教學資源提高學生自主學習意識。
結束語:
綜上所述，為強化學生的數學意識，教師應全方位認識數學教材內容，利用抽象性知識體系提高學生的自主學習能力，從而實現小學課堂的有效教學。通過在課後、課時挖掘數學思想，不斷加強學生對數學的認知能力，培養學生良好的學習習慣。教師應以學生為主體地位，升華自身的教學素質，使用專業的知識水平保證小學數學課堂的教學進度。
7. 數學思想方法在解題中的作用是什麼
數學思想方法在解題中的作用
在數學教學中，」問題是數學的心臟「已成為數學界的共識,而問題的解決，實際上是數學思想方法的體現。
五大」數學思想「在解題中的運用
1．換元思想
換元法又稱變數替換法，即根據所要求解的式子的結構特徵，巧妙地設置新的變數來替代原來表達式中的某些式子或變數，對新的變數求出結果後,返回去再求出原變數的結果。換元法通過引入新的變數，將分散的條件聯系起來，使超越式化為有理式、高次式化為低次式、隱性關系式化為顯性關系式，從而達到化繁為簡、變未知為已知的目的。
2．數形結合思想
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合，通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可以培養思維的靈活性，形象性，使問題化難為易，化抽象為具體. 通過」形「往往可以解決用「數」很難解決的問題。
3．轉化與化歸思想
所謂轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時，採用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過轉化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉化為容易的問題，將未解決的問題變換轉化為已解決的問題。轉化與化歸的思想方法是數學中最基本的思想方法。數學中一切問題的解決都離不開轉化與化歸，數形結合思想體現了數與形的相互轉化；函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化，以上三種思想方法都是轉化與化歸思想的具體體現。各種變換法、分析法、反證法、待定系數法、構造法等都是轉化的手段。所以說轉化與化歸是數學思想方法的靈魂。
4．函數與方程思想
函數思想指運用函數的概念和性質，通過類比、聯想、轉化、合理地構造函數，然後去分析、研究問題，轉化問題和解決問題。方程思想是通過對問題的觀察、分析、判斷等一系列的思維過程中，具備標新立異、獨樹一幟的深刻性、獨創性思維，將問題化歸為方程的問，利用方程的性質、定理，實現問題與方程的互相轉化接軌，達到解決問題的目的。
5．分類討論思想
所謂分類討論，就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，我們就需要對研究的對象進行分類，然後對每一類分別研究，得出每一類的結論，最後綜合各類的結果得到整個問題的解答。實質上分類討論是「化整為零，各個擊破，再積零為整」的策略。分類討論時應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到「確定對象的全體，明確分類的標准，分層別類不重復、不遺漏的分析討論。」
8. 如何在課堂教學中進行數學思想方法的教學
作為一名小學教師，每天的課堂教學我們總是在有意或無意的滲透著數學思想方法。美國教育心理家布魯納指出：掌握基本的數學思想方法，能使數學更易於理解和更利於記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的「光明之路」。在人的一生中，最有用的不僅是數學知識，更重要的是數學的思想方法和數學的意識，因此數學的思想方法是數學的靈魂和精髓。掌握科學的數學思想方法對提升學生的思維品質，對數學學科的後繼學習，對其它學科的學習，乃至對學生的終身發展都具有十分重要的意義。在小學數學教學中，教師有計劃、有意識地滲透一些數學思想方法非常重要。下面我就談談在小學數學教學中，我是如何滲透數學思想方法：
一、改變應試教育觀念,創新數學思想方法。
數學思想方法隱含在數學知識體系裡，是無「形」的，而數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有「形」的。作為教師首先要改變應試教育觀念，從思想上不斷提高對滲透數學思想方法重要性的認識，把掌握數學知識和滲透數學思想方法同時納入教學目的，把數學思想方法教學的要求融入備課環節。其次要深入鑽研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法滲透的各種因素，對於每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行數學思想方法滲透，滲透哪些數學思想方法，怎麼滲透，滲透到什麼程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。在小學數學教學中，教師不能僅僅滿足於學生獲得正確知識的結論，而應該著力於引導學生對知識形成過程的理解。讓學生逐步領會蘊涵其中的數學思想方法。也就是說，對於數學教學重視過程與重視結果同樣重要。教師要站在數學思想方面的高度，對其教學內容，用恰當的語言進行深入淺出的分析，把隱蔽在知識內容背後的思想方法提示出來。例如，長方體和正方體的認識概念教學，可以按下列程序進行：（1）由實物抽象為幾何圖形，建立長方體和正方體的表象；（2）在表象的基礎上，指出長方體和正方體特點，使學生對長方體和正方體有一個更深層次的認識；（3）利用長方體和正方體的各種表象，分析其本質特徵，抽象概括為用文字語言表達的長方體和正方體的概念；（4）使長方體和正方體的有關概念符號化。顯然，這一數學過程，既符合學生由感知到表象，再到概念的認知規律，又能讓學生從中體會到教師是如何應用數學思想方法，對有聯系的材料進行對比的，對空間形式進行抽象概括的，對教學概念進行形式化的。
二、課堂教學中及時滲透數學思想方法。
為了更好地在小學數學教學中滲透數學思想方法，教師不僅要對教材進行研究，潛心挖掘，而且還要講究思想滲透的手段和方法。在教學過程中，我經常通過以下途徑及時向學生滲透數學思想方法：（1）在知識的形成過程中滲透。如概念的形成過程，結論的推導過程等，這些都是向學生滲透數學思想和方法的極好機會。例如量的計量教學，首要問題是要合理引入計量單位。作為課本不可能花大氣力去闡述這個過程。但是作為教師根據教學的實際情況，適當地展示它的簡單過程和所運用的思想方法，有利於培養學生的創造性思維品質和為追求真理而勇於探索的精神。例如，在「面積與面積單位」一課教學中，當學生無法直接比較兩個圖形面積的大小時，引進「小方塊」，並把它一個一個地鋪在被比較的兩個圖形上，這樣，不僅比較出了兩個圖形的大小，而且，使兩個圖形的面積都得到了「量化」。使形的問題轉化為數的問題。在這一過程中，學生親身體驗到「小方塊」所起的作用。接著又通過「小方塊」大小必須統一的教學過程，使學生深刻地認識到：任何量的量化都必須有一個標准，而且標准要統一。很自然地滲透了「單位」思想。（2）在問題的解決過程中滲透。如：教學「雞兔同籠」 這一課時，在解決問題的過程中，用圖表、課件展示的方法讓學生逐步領會「假設」這種策略的奧妙所在。（3）在復習小結中滲透。在章節小結、復習的數學教學中，我們要注意從縱橫兩個方面，總結復習數學思想與方法，使師生都能體驗到領悟數學思想，運用數學方法，提高訓練效果，減輕師生負擔，走出題海誤區的輕松愉悅之感。如教學 「梯形面積」這一單元之後，我及時幫助學生依靠梯形面積的推導過程回憶平行四邊形的面積、三角形的面積公式的推導方法，使學生能清楚地意識到：「轉化」是解決問題的有效方法。
三、讓學生學會自覺運用數學思想方法。
數學思想方法的教學，不僅是為了指導學生有效地運用數學知識、探尋解題的方向和入口，更是對培養人的思維素質有著特殊不可替代的意義。它在新授中屬於「隱含、滲透」階段，在練習與復習中進入明確、系統的階段，也是數學思想方法的獲得過程和應用過程。這是一個從模糊到清晰的飛躍。而這樣的飛躍，依靠著系統的分析與解題練習來實現。學生做練習，不僅對已經掌握的數學知識以及數學思想方法會起到鞏固和深化的作用，而且還會從中歸納和提煉出新的數學思想方法。數學思想方法的教學過程首先是從模仿開始的。學生按照例題師范的程序與格式解答和例題相同類型的習題，實際上是數學思想方法的機械運用。此時，並不能肯定學生已領會了所用的數學思想方法，只當學生將它用於新的情景，解決其他有關的問題並有創意時，才能肯定學生對這一教學本質、數學規律有了深刻的認識。
我們知道，最好的學習效果是主動參與，親自發現，數學思想方法的學習也不例外。在教學中，通過數學思想方法的廣泛應用，讓學生從主觀上重視數學思想方法的學習，進而增強自覺提煉數學思想方法的意識。教師對習題的設計也應該從數學思想方法的角度加以考慮，盡量多安排一些能使各種學習水平的學生深入淺出地作出解答的習題，它既有具體的方法或步驟，又能從一類問題的解法去思考或從思想觀點上去把握，形成解題方法，進而深化為數學思想。例如；在教學完多邊形面積的計算以後，可以由易到難，出幾題運用移動、割補等方法解決的實際問題，這樣做不僅可以讓學生領會到轉化的數學思想方法，對提高學生的學習興趣也大有好處。讓學生在操作中掌握，在掌握後領悟，使數學思想方法在知識能力的形成過程中共同生成。
我們小學數學教師只有重視對數學思想方法的學習研究，探討其教學規律，才能適應新課改的需要。數學思想方法的滲透具有長期性、反復性。對學生進行數學思想方法的滲透必定要經歷一個循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種思想方法交織在一起，在教學過程中教師要依據具體情況，有效進行數學思想方法的滲透。
9. 論述數學思想方法在小學教學中的應用
1轉化思想
在小學數學教學中，轉化思想是一種常見的數學運用方法，其主要功能是將不同類型的元素轉化為相同類型的元素。轉化思想的運用能夠將數學題型化繁為簡、化難為易，使學生快速解答題型。在小學數學中，轉化思想被經常應用，如:異分母加減法。14+23，教師應引入轉化思想，教育學生異分母轉化法，將數學題轉化為同分母加減法:312+812，使答案一目瞭然。除此外，分數與小數的加減法也需要滲透轉化思想，如:0．5+14就可轉化為0．5+0.25，使問題更加容易解決，提高學生問題解答能力。
2．分類思想
分類思想主要是將某問題視為整體，並在一定分類標准上將整體劃分為相應部分，以此達到快速解答問題的目的。如:在小學幾何教學中的三角形教學中，將所有三角形分為銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形，此三類三角形直接囊括了所有三角形的特徵。分類方法是小學數學中的重要數學思想方法，為確保分類方法的合理性，教學應教育學生在採用此方法解題時遵循以下幾項原則:統一性原則、不重復與遺漏原則、層次性原則等。
3數形結合
數形結合是將抽象的知識轉化為直觀概念，提高學生理解能力，實現解決問題的目標。小學思維正處於過度其，形象思維較強而邏輯思維較差，數形結合能夠巧妙引導學生結合形象思維與抽象邏輯，提高學生的思維能力。如分數的算式14×15可借用圖形達到結果直觀的目的。將矩形分為數個1×1cm的格子，並用\表示整個矩形的14，用/表示整個矩形的15，可直觀看出兩者間的公共部分，即為兩者之積。
10. 數學思想方法如何在教學中運用
運用主題圖滲透數學思想方法的教學研究 一以二年級人教版教材為例 摘要 數學思想方法是數學知識的靈魂和核心。教師在引導學生發現數學問題， 探索數學方法，解決數學問題的過程中，要將掌握數學思想方法作為最重要的 教學目標。數學思想方法因其抽象性的特點，需要通過具體的數學知識和內容 來承載。在新課程改革的理念下，編者通過精心設計，將改革後很多新的教育 理念和數學思想方法隱藏在主題圖中。主題圖將現實生活和數學思想方法緊密 結合，通過生動活潑的圖片展示，給教師提供了眾多寶貴的數學教學資源。