求橢圓焦點弦的簡便方法

① 求橢圓的弦長

求橢圓弦長方法有：
1、把直線y=kx+b代入曲線方程，化為關於x(或關於y)的一元二次方程，設出交點坐標，利用韋達定理及弦長公式√(1+K²)[(x1+X2)² - 4x1x2]，求出弦長。
2、用極坐標方法：
橢圓極坐標方程是：r(a)=ep/(1-ecosa)
其中e是橢圓離心率，p是焦點到對應准線的距離，a是向徑到x軸的角度。
所求弦長就是：r(a)+r(a+pi)=2ep/(1-e^2cosa*cosa)。

② 橢圓的焦點弦長公式是什麼

橢圓的焦點弦長公式如下圖：

橢圓弦長公式是一個數學公式，關於直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關於x(或關於y)的一元二次方程，設出交點坐標，利用韋達定理及弦長公式求出弦長。

相關信息：

在數學中，橢圓是圍繞兩個焦點的平面中的曲線，使得對於曲線上的每個點，到兩個焦點的距離之和是恆定的。因此，它是圓的概括，其是具有兩個焦點在相同位置處的特殊類型的橢圓。

橢圓的形狀（如何「伸長」）由其偏心度表示，對於橢圓可以是從0（圓的極限情況）到任意接近但小於1的任何數字。

③ 橢圓的焦點弦長有什麼公式嗎

用極坐標方法
橢圓極坐標方程是：r(a)=ep/(1-ecosa)
其中e是橢圓離心率，p是焦點到對應准線的距離，a是向徑到x軸的角度
所以你要求的那個弦長就是：r(a)+r(a+pi)=2ep/(1-e^2cosa*cosa)

④ 橢圓的焦點弦公式多少

⑤ 焦點弦公式是什麼

橢圓：

(1)焦點弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB為橢圓的焦點弦，M(x,y)為AB中點，則L=2a±2ex。

(2)設直線：與橢圓交於P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。

雙曲線：

(1)焦點弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB為雙曲線的焦點弦，M(x,y)為AB中點，則L=-2a±2ex。

(2)設直線：與雙曲線交於P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。

注意：

焦點弦是由兩個在同一條直線上的焦半徑構成的。焦半徑是由一個焦點引出的射線與橢圓或雙曲線相交形成的。而由於橢圓或雙曲線上的點與焦點之間的距離(即焦半徑長)可以用橢圓或雙曲線離心率和該點到對應的准線之間的距離來表示(圓錐曲線第二定義)。

因此，焦半徑長可以用該點的橫坐標來表示，與縱坐標無關。這是一個很好的性質。焦點弦長就是這兩個焦半徑長之和。

此外，由於焦點弦經過焦點，其方程式可以由其斜率唯一確定，很多問題可以轉化為對其斜率范圍或取值的討論。(注意斜率不存在的情況！即垂直於x軸！)

⑥ 橢圓的焦點弦長公式是什麼

橢圓的焦點弦長公式是：L=2a±2ex。焦點弦，A(x1,y1),B(x2,y2),AB為橢圓的焦點弦，M(x,y)為AB中點，則L=2a±2ex。橢圓弦長公式是一個數學公式，關於直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關於x(或關於y)的一元二次方程，設出交點坐標，利用韋達定理及弦長公式求出弦長 。

設而不求的思想方法對於求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對於過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關定理導出各種曲線的焦點弦長公式就更為簡捷。

橢圓焦點應用：

橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其內表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明）。

以上內容參考：網路-橢圓弦長公式

⑦ 橢圓焦點弦長公式

公式：
d
=
√(1+k^2)|x1-x2|
=
√(1+k^2)[(x1+x2)^2
-
4x1x2]
=
√(1+1/k^2)|y1-y2|
=
√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2
-
4y1y2]
釋義：
關於直線與圓錐曲線相交求弦長，通用方法是將直線y=kx+b代入曲線方程，化為關於x(或關於y)的一元二次方程，設出交點坐標，利用韋達定理及弦長公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2
-
4x1x2]求出弦長，這種整體代換，設而不求的思想方法對於求直線與曲線相交弦長是十分有效的，然而對於過焦點的圓錐曲線弦長求解利用這種方法相比較而言有點繁瑣，利用圓錐曲線定義及有關定理導出各種曲線的焦點弦長公式就更為簡捷。
另外：
此公式適用於所有圓錐曲線
包括
圓
橢圓
雙曲線和拋物線
什麼是二次曲線的極線？
設S：Ax+2Bxy+Cy+2Dx+2Ey+F=0為常態二次曲線，P(x0,y0)為不在S上的點(有心二次曲線的中心也除外，下同)，我們把直線P：Ax0x+B(x0y+y0x)+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0叫做點P關於S的極線，點P則叫做直線P關於S的極點。
在這樣的定義下，有心二次曲線的中心沒有極線，並且
定理1
（配極理論的原則）.
若點P的極線通過點Q，則點Q的極線也通過點P.
定理2
通過一點P而且與一個常態二次曲線相切的直線它的切點在點P的極線上。
定理3
橢圓、雙曲線、拋物線焦點的極線是相應的准線。
定理4
如果橢圓、雙曲線、拋物線的兩條切線的交點在准線上，則過切點的直線必過焦點。
這是因為，焦點的極線是相應准線（定理3），又交點在准線上，准線上的點的極線就必過焦點（定理1），而定理2又告訴我們這條過焦點的極線恰好經過兩切點。
由於在射影平面內，圓的焦點是圓心，准線是無窮遠直線，故定理4又可推廣為：
定理5
如果常態二次曲線的兩條切線的交點在准線上，則過切點的直線必過焦點。
（特別：如果圓的兩條切線平行，則切點弦是圓的直徑）。
不言而喻，更一般還有
定理6
(1)點E是常態二次曲線內部一點，但不是有心二次曲線的中心，如果該曲線的兩條切線的交點在點E的極線上，則過切點的直線必過點E.
(2)如果有心二次曲線的兩條切線平行，則過切點的直線必過中心。
望採納！

⑧ 橢圓和雙曲線的焦點弦長公式是什麼

准線：橢圓和雙曲線：x=(a^2)/c
拋物線：x=p/2（以y^2=2px為例）
焦半徑：
橢圓和雙曲線：a±ex（e為離心率。x為該點的橫坐標，小於0取加號，大於0取減號）
拋物線：p/2+x（以y^2=2px為例）
以上橢圓和雙曲線以焦點在x軸上為例。
弦長公式：設弦所在直線的斜率為k,則弦長=根號[（1+k^2）*(x1-x2)^2]=根號[（1+k^2）*((x1+x2)^2-4*x1*x2)]用直線的方程與圓錐曲線的方程聯立，消去y即得到關於x的一元二次方程，x1，x2為方程的兩根，用韋達定理即可知x1+x2和x1*x2，再代入公式即可求得弦長。
拋物線通徑=2p
拋物線焦點弦長=x1+x2+p用焦點弦的方程與圓錐曲線的方程聯立，消去y即得到關於x的一元二次方程，x1，x2為方程的兩根

⑨ 橢圓焦點弦長公式是什麼

|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或｜P1P2|=|y1-y2|√（1+1/K²）。

橢圓焦點弦長公式：

1、焦點弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB為橢圓的焦點弦，M(x,y)為AB中點，則L=2a±2ex。

2、設直線：與橢圓交於P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率為K，則｜P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或｜P1P2|=|y1-y2|√（1+1/K²）。

橢圓焦點應用：

橢圓的面鏡（以橢圓的長軸為軸，把橢圓轉動180度形成的立體圖形，其內表面全部做成反射面，中空）可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處；橢圓的透鏡（某些截面為橢圓）有匯聚光線的作用（也叫凸透鏡），老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片（這些光學性質可以通過反證法證明）。

⑩ 橢圓的焦點弦公式怎麼推倒

設焦點弦端點為A，B，A，B橫坐標分別為x1，x2，A，B到與焦點對應的准線的距離分別為d1，d2，焦點弦過焦點F，

則離心率e=AF/d1=BF/d2=(AF+BF)/(d1+d2)=AB/(d1+d2)=AB/[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]

若F為右焦點，則d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=(a^2)/c-x1+(a^2)/c-x2=2(a^2)/c-(x1+x2)

焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[2(a^2)/c-(x1+x2)]=2(c/a)(a^2)/c-e(x1+x2)

=2a-e(x1+x2)

若F為左焦點，則d1+d2=|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|=x1-(a^2)/c+x2-(a^2)/c=(x1+x2)-2(a^2)/c

焦點弦長AB=e[|x1-(a^2)/c|+|x2-(a^2)/c|]=e[(x1+x2)-2(a^2)/c]=e(x1+x2)-2(c/a)(a^2)/c

=e(x1+x2)-2a

(10)求橢圓焦點弦的簡便方法擴展閱讀：

平面內到定點F1、F2的距離之和等於常數（大於|F1F2|）的動點P的軌跡，F1、F2稱為橢圓的兩個焦點。其數學表達式為：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。

由錐體與平面相交的平面曲線。橢圓與其他兩種形式的圓錐截面有很多相似之處：拋物線和雙曲線，兩者都是開放的和無界的。圓柱體的橫截面為橢圓形，除非該截面平行於圓柱體的軸線。

如果中心在原點，但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時，方程可設為mx²+ny²=1（m>0，n>0，m≠n）。即標准方程的統一形式。

橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸，它的參數方程是：x=acosθ ， y=bsinθ

標准形式的橢圓在（x0，y0）點的切線就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。橢圓切線的斜率是：-b²x0/a²y0，這個可以通過復雜的代數計算得到。