1. 線性方程組有唯一解，無解，有無窮多解
假定對於一個含有n個未知數m個方程的線性方程組而言，若n<=m, 則有：
1、當方程組的系數矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等且均等於方程組中未知數個數n的時候，方程組有唯一解；
2、當方程組的系數矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等且均小於方程組中未知數個數n的時候，方程組有無窮多解；
3、當方程組的系數矩陣的秩小於方程組增廣矩陣的秩的時候，方程組無解；
4、若n>m時，當方程組的系數矩陣的秩與方程組增廣矩陣的秩相等的時候，方程組有無窮多解；
5、當方程組的系數矩陣的秩小於方程組增廣矩陣的秩的時候，方程組無解。
線性方程組解題法則：
1、克萊姆法則：用克萊姆法則求解方程組 有兩個前提，一是方程的個數要等於未知量的個數，二是系數矩陣的行列式要不等於零。用克萊姆法則求解方程組實際上相當於用逆矩陣的方法求解線性方程組，它建立線性方程組的解與其系數和常數間的關系。
2、矩陣消元法：將線性方程組的增廣矩陣通過行的初等變換化為行簡化階梯形矩陣 ，則以行簡化階梯形矩陣為增廣矩陣的線性方程組與原方程組同解。當方程組有解時，將其中單位列向量對應的未知量取為非自由未知量，其餘的未知量取為自由未知量，即可找出線性方程組的解。