代數式變形解決方法

⑴ 初中數學代數式簡單變形

是a2-b2=（a+b)(a-b),(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2諸如之類嗎？數學書上都有的，再說，再差也不可能差成連書都不會，對吧。可那又是什麼呢？拜託說詳細一點。

⑵ 高一數學 代數式恆等變形

m=6吧
x^-y^2+5x+y+m
→(x^2+5x+25/4)-(y^2-y+1/4)-25/4+1/4+m
→[(x+5/2)^2-(y-1/2)^2]-6+m
→(x+5/2+y-1/2)(x+5/2-y+1/2)-6+m
→(x+y+2)(x-y+3)-6+m
→m=6
這個方法好像比較簡便。。考試時候可以用~

⑶ 有什麼方法將原式子變形且大小不變

可以通過恆等變形實現原式子變形且大小不變。
恆等變形是將一個給定的解析式或者代數式變換成另一個與它恆等的解析式或者代數式的解析式變換方式，因為是通過恆等式來進行代換的，所以即可以實現對原式子進行變形，也不會改變大小。

⑷ 九年級競賽代數式變形的問題！

第一個就是考你直觀猜根的能力吧，你能猜到就好了，有了這種經驗後以後也可以猜到吧
第二個，我不知道是怎麼配出來的。我猜八成是出題人先用更高等的方法算出來，然後又後湊出來的式子（用更高等方法的話，這題很簡單就可以做出來）
第三個，就是分母有理化，常用方法

至於一般的怎麼變，方法就那麼多吧，就是一些套路，需要逐漸積累啦

⑸ 關於代數式變形

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (註：N^2=N的平方)
證明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6

證法一（歸納猜想法）：
1、N＝1時，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2時，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、設N＝x時，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
則當N＝x＋1時，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也滿足公式
4、綜上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得證。
證法二（利用恆等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1）：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把這n個等式兩端分別相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理後得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

⑹ 大學數學九大解題技巧

解題是深化知識、發展智力、提高能力的重要手段。下面我給你分享大學數學九大解題技巧，歡迎閱讀。

大學數學九大解題技巧

1、配法

通過把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式解決數學問題的方法，叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式，它是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c屬於R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。

7、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的.方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

8、幾何變換法

在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。

幾何變換包括：(1)平移;(2)旋轉;(3)對稱。

9、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行於/不平行於;垂直於/不垂直於;等於/不等於;大(小)於/不大(小)於;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩個;唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設矛盾;自相矛盾。

大學數學答題策略

一、學會審題，才會解題

很多考生對審題重視不夠，往往要做的題目都沒有看清楚就急於下筆，審好題是做題的關鍵，審題一一定要逐字逐句的看清楚，通過審題發現題目有無易漏、易錯點，只有仔細審題才能從題目中獲取更多的信息，只有挖掘題目中的隱含條件、啟發解題思路，提醒常見解題誤區和自己易出現的錯誤，才能提高解題能力。只有認真的審題，謹慎的態度，才能准確地揣摩出題者的意圖，發現更多的信息，從而快速找到解題方向。

考前保持頭腦清醒，要摒棄雜念，不斷進行積極的心理暗示，創設寬松的氛圍，創設數學情境，進而醞釀數學思維，靜能生慧，滿懷信心的進行針對性的自我安慰，以平穩自信、積極主動的心態准備應考。這就要求我們要善於觀察。

二、先做簡單題，後做難題

從我們的心理學角度來講，一般拿到試卷以後，心情比較緊張，此時不要急於下手解題，可以先對試題多少、分布、難易程度從頭到尾瀏覽一遍，做題要先易後難，做到心中有數，一般簡單的題目佔全卷60%，這是很重要的一部分分數，見到簡單題要細心解題，盡量使用數學語言，而且要更加嚴謹以振奮精神，養成良好的審題習慣鼓舞信心。

如果順序做題既耗費時間又拿不到分，會做的題又被耽誤了。所以先做簡單題，多年的經驗告訴我們，當你解題不順利時，更要冷靜，靜下心來，沉住氣，根據自己的實際情況，果斷跳過自己不會做的題目，把簡單的都做完，如果我們能把這部分的分數拿到，就已經打了勝仗，再集中精力做比較難的題，有了勝利的信心，面對住偏難的題更要有耐心，不要著急，可以先放棄，但也要注意認真對待每一道題，不能走馬觀花，要相信自己。到應有的分數。最好還有善於把難題轉換成簡單的題目的能力。

三、多做練習，提升能力

整體而言高考數學要想考好，一定要做大量的練習，要有扎實的理論基礎，在此基礎上輔以做題技巧，才不會出現考試時間不夠用，自己會做的題最後沒時間做，得不償失。就要求我們在大量的練習的基礎上，認真總結方程的思想，數形結合的思想，函數的思想等等，掌握各種類型題目的規律。

我們還要求考生不但會做題還要准確快速地解答出來通過練習掌握解題技巧，利用解題技巧快速解題，通過多做練習，做到熟能生巧，這才是我們練習的目的。做題還要集中注意力，這是是考試成功的保證。有時精神緊張，會做的題也會變的不會做，平時要有針對性的訓練一些難題，有益於積極思維，樹立信心。

因此，對於大部分高考生來說，平時加強訓練，養成准確的解題習慣，熟練掌握解題技巧是非常有必要的。

四、會做的題保證做對

這一點很重要，實踐中發現，考試我們會做的題丟分率是百分之十，也就是說由於大意每次考試大家都要丟掉這么多的分，怎麼將你的解題策略轉化為得分點，雖然解題思路正確甚至很巧妙，但是最後可能做不對，這一點往往被一些考生所忽視，但是由於不善於把圖形語言變成自己理解的語言，因此卷面上出現大量會又做不對的情況，我們自己的估分和得分相差甚遠。如立體幾何論證中的跳步，大總分人會丟掉三分之一以上的分數，代數論證中，得分更是少 的可憐。所心我們要邊做邊檢查解題思路正確與否，做完後認真核對。不僅把題目做完，更要保證准確率，會做的一定要保證做對，要能得到分。

⑺ 淺談初中數學常用求代數式值方法

大家通常會認為小學數學只是加減乘除的累積，是一門理性的學科，只重視了表面的數字運算，卻很容易就忽視了數學與其他科目之間的聯系，以及小學數學對孩子邏輯思維能力的訓練。邏輯思維能力並不像人們想像的那樣固化，它是可以通過後期培養的，並且會逐漸成為幫助人們理清思路解決問題的法寶之一。

一、什麼是數學思維能力?

思維是人腦對客觀事物的一般特殊性和規律性的一種間接的、概括的反映過程。數學思維是對數學對象(空間形式、數量關系、結構關系等)的本質屬性和內部規律的間接反映，並按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。

二、培養數學思維能力的各種好處

首先，對孩子來講，良好的數學思維能力可以幫助他們快速獲取新知識、更好地進行創造性學習，也屬於智力發展的核心;對教師來講，培養孩子的數學思維能力能夠有效提高教學效益。為了教師和學生之間實現更加高水平的教、學平衡，提高學生數學思維能力刻不容緩。當然，習慣不是三兩天就能養成的，更何況數學思維習慣，它的養成需要落實到平時的學習生活中去，從思維品質的形成開始。

4、培養思維的廣闊性

思維的廣闊性是指對一個問題能從多方面考慮。具體表現為對一個事實能作多方面的解釋，對一個對象能用多種方式表達，對一個題目能想出各種不同的解法。在數學學習中，注重多方位、多角度的思考方式，拓廣解題思路，可以促進學生思維的廣闊性。

5、培養思維的批判性

思維的批判性是指思維活動中善於嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程。在數學學習的過程中，學生要善於從已有的答案和解題過程中提煉出自己想要的東西，發表自己的見解。不能一味盲從，要學會用批判性的思路去進行各種方式的反思和檢驗。就算思想上完全接受了東西，也要謀改善，提出新的想法和見解。

以上五種思維品質是提高數學思維能力的必要途徑，但大家切勿忽視了一點，就是這五大思維品質之間的緊密聯系，不可分一而行，否則會很被思維定勢所牽制，出現機械套用之前思維模式的傾向，並且同一種方法使用的次數越多，這種傾向就會越明顯。

我們就如何養成學生良好的數學思維習慣，討論了五種主要的思維品質及培養方法。而這五種思維品質是最為重要的。它們之間互相聯系，密不可分。除了嚴謹性、廣闊性、靈活性、批判性，還有探討性、獨創性、目的性等。

⑻ 解方程的方法初中

1、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。
3、換元法
換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。
4、判別式法與韋達定理
一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c屬於R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。
韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

⑼ 初一數學常用的解題方法匯總

學會初一數學的解題方法，能讓你在學習數學的路上事半功倍。下面是我分享的初一數學常用的解題方法，一起來看看吧。

初一數學常用的解題方法

1、配方法

所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬於R，a≠0)根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根;已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。

初中數學的學習方法

首先、課前預習

課前預習很多同學和家長會忽視而寧願花大量時間去輔導班。其實按時做好課前預習，聽課的時候就能有重點。重點聽自己不理解的地方，做好課堂筆記。課後及時溫習。學習就是一個循序漸進的過程，不會一口吃個胖子;與其貪多嚼不爛，不如按照正常的學習規律來，既不耽誤學習又不耽誤玩。

第二、打好數學基礎。

數學學習中，數學概念、基本定理定義和公式是基礎。同學們一定要先理解，需要求證的學會求證，能推導的自己會推導;這樣才能理解記憶;真正學會。如果連基本概念和定理定義、公式都不理解，記不住;怎麼會做題呢?所以，打好基礎是關鍵。

第三、熟悉例題，吃透課本。

數學考試和中考都是以課本為基礎命題的。因此，書上的例題一定要弄懂吃透。把課本上所有的知識點都過一遍;重點記憶。

第四、課後練習及時做

對於課後練習一定要在學完一課後及時做。鞏固所學知識;不懂的及時問老師或者同學。

第五、做同步訓練題。

數學公式和定理的運用，還要考平時做一定的同步訓練題。但是不能貪多，做過的一定要弄會，搞懂。總結別人的方法，找出差距，彌補不足。

第六、多總結對比記憶。

數學中也有很多相似或相近的定理定義，公式。要善於總結他們的區別與聯系。才能記得牢記得快。做題也是，多總結好的解題方法，技巧;才會百尺竿頭更進一步。

學習方法因人而異，同學們要多總結，結合自身找到適合自己的方法。初中數學並不難，相信大家都能學好。

提高初中數學成績的建議

一、要有端正的寫作業的態度。

從思想上要認真對待，如果養成懶散的習慣了，以後問題就會更多，今日不努力，明日就會失去更多，再要改善起來，就更難了。因為一個好習慣的養成是要下決心去堅持的，雖然由於以前的習慣不好或者遺留問題太多導致在堅持的過程中會容易產生抵觸的情緒，甚至有時還容易放棄，但是要知道，一旦好習慣養成之後，原來所經常遇到的問題就會越來越少，成績也自然提高了起來。

二、注意力一定要集中。

不要在寫作業的時候干其他的事或想其他事，一心不能二用。盡快地反作業做完了才能夠去做別的事情。

三、要學會總結。

如果在看到題目後能很快反映出這題目所需要的知識點，那麼做題速度就會提高，在做題之後也要總結一下思路。多總結一下會發現很多題目都有規律可循，這樣可以起到事半功倍的效果，以後再碰到類似問題時，就可以很輕鬆了。

四、營造一個良好的寫作業環境。

孩子寫作業時盡量保持安靜，書桌上除了放書、學慣用品等之外，不要放其他的東西，以免分散他們的注意力。家長也不要過度的嘮叨和訓斥，要多鼓勵孩子。

3加強計算能力

計算一直是數學的一個核心內容，幾乎每一個數學問題都需要通過計算。那麼，計算的准確率就顯得尤為重要了。想要提高數學成績，計算的准確率是一定要提高的。那麼如何提高計算的准確率呢?這里我也同樣給出了幾條建議。

一、強化學生的有意注意和良好的計算習慣

(1)仔細審題的習慣。拿到題目後認真審題，看清題目的要求，想明白過程中應該注意哪些問題。

(2)細心檢查的習慣。先從思路上檢查一遍看是否有遺漏，再將答案代回原來的問題驗算。若為計算題則仔細檢查每一個步驟。

(3)認真書寫的習慣。書寫要干凈整潔，這樣能使自己在做題時看清題目，避免

錯誤的發生。

二、強化口算能力

任何計算都是以口算為基礎的，口算能力的高低，直接影響到學生其它運算能力的提高。要提高口算能力，首先要抓好口算的基本訓練，所以應當經常性的進行一些口算的練習。

三、速算巧算

平時在做計算的時候要注意運算技巧地運用，加快運算速度，特別是在分數計算的部分，有時候數字比較大比較多，通分將會很困難，這時可能把分母寫成乘積的形式將是一種更好的選擇。

四、強化估算能力

很多的問題，特別是應用題，當看到問題後就能夠大概地去估計一下結果大概會是一個什麼范圍的數，有了這種估計能力之後，有時候發生計算錯誤就能夠一下子看出來。所以在做題之前我們也可以估計一下答案的范圍，如果算得的答案不在這個范圍，那就需要我們去檢查了。

五、合理利用一些數的性質

⑽ 因式分解方法

1.因式分解

即和差化積，其最後結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯一，因為：數域F上的次數大於零的多項式f(x),如果不計零次因式的差異，那麼f(x)可以唯一的分解為以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項的系數，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項式，並且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多項式f(x)的典型分解式。證明：可參見《高代》P52-53

初等數學中，把多項式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等

要求為：要分到不能再分為止。

2.方法介紹

2.1提公因式法：

如果多項式各項都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來，進行因式分解，注意要每項都必須有公因式。

例15x3+10x2+5x

解析顯然每項均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來剩下x2+2x+1仍可繼續分解。

解：原式=5x(x2+2x+1)

=5x(x+1)2

2.2公式法

即多項式如果滿足特殊公式的結構特徵，即可採用套公式法，進行多項式的因式分解，故對於一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，數學競賽中常出現的一些基本公式現整理歸納如下：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2±2ab+b2=(a±b)2

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n為奇數)

說明由因式定理，即對一元多項式f(x)，若f(b)=0，則一定含有一次因式x-b。可判斷當n為偶數時，當a=b,a=-b時，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。

例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15

解析各小題均可套用公式

解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)

=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)

②1+x+x2+…+x15=

=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)

注多項式分解時，先構造公式再分解。

2.3分組分解法

當多項式的項數較多時，可將多項式進行合理分組，達到順利分解的目的。當然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根據系數特徵進行分組

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

2.4十字相乘法

對於形如ax2+bx+c結構特徵的二次三項式可以考慮用十字相乘法,

即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)當x2項系數不為1時，同樣也可用十字相乘進行操作。

例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12

解①1x2

1x-3

原式=（x+2）(x-3)

②2x-3

3x4

原式=（2x-3）(3x+4)

註：「ax4+bx2+c」型也可考慮此種方法。

2.5雙十字相乘法

在分解二次三項式時，十字相乘法是常用的基本方法，對於比較復雜的多項式，尤其是某些二次六項式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以運用十字相乘法分解因式，其具體步驟為：

（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次三項式，得到一個十字相乘圖

（2）把常數項分解成兩個因式填在第二個十字的右邊且使這兩個因式在第二個十字中交叉之積的和等於原式中含y的一次項，同時還必須與第一個十字中左端的兩個因式交叉之積的和等於原式中含x的一次項

例5分解因式

①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2

③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)

2x-3y1

2xy-3

②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)

x-5y2

x2y-1

③原式=(b+1)(a+b-2)

0ab1

ab-2

④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)

2x-3yz

3x-y-2z

說明：③式補上oa2,可用雙十字相乘法，當然此題也可用分組分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)

④式三個字母滿足二次六項式，把-2z2看作常數分解即可：

2.6拆法、添項法

對於一些多項式，如果不能直接因式分解時，可以將其中的某項拆成二項之差或之和。再應用分組法，公式法等進行分解因式，其中拆項、添項方法不是唯一，可解有許多不同途徑，對題目一定要具體分析，選擇簡捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4

解析法一：可將-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)

法二：添x4,再減x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)

法三：添4x,再減4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)

法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)

法五：把x3拆為，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等

解（選擇法四）原式=x3-x2+4x2-4

=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)

=(x-1)(x2+4x+4)

=(x-1)(x+2)2

2．7換元法

換元法就是引入新的字母變數，將原式中的字母變數換掉化簡式子。運用此

種方法對於某些特殊的多項式因式分解可以起到簡化的效果。

例7分解因式：

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120

解析若將此展開，將十分繁瑣，但我們注意到

(x+1)(x+4)=x2+5x+4

(x+2)(x+3)=x2+5x+6

故可用換元法分解此題

解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

令y=x2+5x+5則原式=(y-1)(y+1)-120

=y2-121

=(y+11)(y-11)

=(x2+5x+16)(x2+5x-6)

=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)

注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y請認真比較體會哪種換法更簡單？

2．8待定系數法

待定系數法是解決代數式恆等變形中的重要方法,如果能確定代數式變形後的字母框架,只是字母的系數高不能確定,則可先用未知數表示字母系數,然後根據多項式的恆等性質列出n個含有特殊確定系數的方程(組)，解出這個方程(組)求出待定系數。待定系數法應用廣泛,在此只研究它的因式分解中的一些應用。

例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

分析屬於二次六項式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數法

先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)

解設可設原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)

=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………

比較兩個多項式（即原式與*式）的系數

m+2n=14(1)m=4

3m-3n=-3(2)=>

mn=20(3)n=5

∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)

注對於（*）式因為對a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n

令a=1,b=0,m+2n=14m=4

=>

令a=0,b=1,m=n=-1n=5

2.9因式定理、綜合除法分解因式

對於整系數一元多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

由因式定理可先判斷它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互質），p為首項系數an的約數，q為末項系數a0的約數

若f（）=0,則一定會有（x-）再用綜合除法，將多項式分解

例8分解因式x3-4x2+6x-4

解這是一個整系數一元多項式，因為4的正約數為1、2、4

∴可能出現的因式為x±1,x±2,x±4,

∵f(1)≠0,f(1)≠0

但f(2)=0,故(x-2)是這個多項式的因式，再用綜合除法

21-46-4

2-44

1-220

所以原式=(x-2)(x2-2x+2)

當然此題也可拆項分解，如x3-4x2+4x+2x-4

=x(x-2)2+(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)

分解因式的方法是多樣的，且其方法之間相互聯系，一道題很可能要同時運用多種方法才可能完成，故在知曉這些方法之後，一定要注意各種方法靈活運用，牢固掌握!