鏈式法則求導的簡單方法

1. 關於偏導數的鏈式法則

這裡面∂w/∂u表示w對變數u求偏導數，然後∂u/∂x表示變數u對變數x求偏導數。∂w/∂v同理。這個分數線其實不是寫在一起的，∂w/∂u是一個整體，是一個函數，∂u/∂x是一個整體，是另外一個函數。所以兩個是不能約掉的。再說了你約掉不就沒辦法求未知的∂w/∂x了= =

2. 鏈式法則求復合函數導數

【解】
復合函數求導步驟：
①先簡化函數，令u=x^2，則y=sin
u。y對u求導得dy/=cos
u
②再u對x求導得
/dx=2x
總的導數就等於上述各步的導數的乘積，就是
dy/dx=dy/
*
/dx=cosu
*
2x=cosx^2
*
2x

3. 鏈式法則是什麼意思

微積分中的求導法則，用於求一個復合函數的導數，在微積分的求導運算中一種常用的方法。復合函數的導數將為構成復合這有限個函數在相應點的導數的乘積，稱鏈式法則。

鏈式法則在積分中的應用：

鏈式法則：

(3)鏈式法則求導的簡單方法擴展閱讀

例題

求導y=sin（x²+1）鏈式求導：令f（x）=sinx，g（x）=x²+1

則（f（g（x）））』=f』（g（x））g』（x）=[sin（x²+1）]』·2x=2cos（x²+1）x即可求得。

在實際應用中，可將dy/dx=（dy/dz）·（dz/dx）看作為分數的約分過程，這種用法在求不定積分中會更廣泛地使用。這個結論可推廣到任意有限個函數復合到情形，於是復合函數的導數將是構成復合這有限個函數在相應點的 導數的乘積，就像鎖鏈一樣一環套一環，故稱鏈式法則。

4. 什麼是鏈式法則

鏈式法則是微積分中的求導法則，用於求一個復合函數的導數，是在微積分的求導運算中一種常用的方法。

具體形式是這樣：f(g(x))其實這個表達形式應該都不會陌生，然而此類函數的導數則變成了這樣：(f(g(x)))』那麼這個小撇就是要求導的意思也等於dy/dx，y』，或者Dxy。那麼巴朗書上的公式是這樣表述的，

(f(g(x)))』=f』(g(x))*g』(x)=f』(u)*g』(x)=(dy/)*(/dx)

其實以上是用了三種不同的形式表達出了鏈式法則，第一個比較好理解就是對外面的函數先求導，求出結果再與裡面的函數的導數相乘，需要注意的是在對外面函數求導的過程中我們不需要改變其裡面函數(g(x))的形式。

第二個則是用了u-substitution將中間的g(x)替換成了u。最後一個看起來比較復雜，但是如果知道dy/dx是y對於x求導，那麼根據形式第三條就是y先對u求導，所得結果再乘以u對於x求導的值。

(4)鏈式法則求導的簡單方法擴展閱讀

例題：

f(x)=cos^3(2x),findf』(x).

把它換成(cos(2X))^3，接下來把cos(2x)替換為u，則設u=cos(2x)，那麼原方程變成了u^3，新的結果變成了(u^3)』*u』注意這里的』是對於x求導的。那麼所得結果就是(3*u^2)*u』由於是對於x求導因此最後需要把u換回成x：

f』（x）=(3*(cos(2x))^2)*(cos(2x))』 =(3*(cos(2x))^2)*(-sin(2x))

原表達式中的u=cos(2x)，在cos的裡面其實又有一次鏈式法則的運用，所以需要再設u=2x，然後求cos(u)的導數。

因此(cos(2x))』=(cos(u))』*u』=-sin(u)*u』

替換為x的形式

=-sin(2x)*(2x)』

=-sin(2x)*2

所以最後的f』(x)其實是等於

f』(x)=(3*cos(2x))^2)*(-sin(2x)*2)

5. 鏈式法則的證明

下面介紹一種最簡單的證明方法：
鏈式法則的最簡單的證明方法是用積法則和歸納法進行證明。
微積分的求導積法則：
剩下只需要把原函數代入積法則即可求證。
以下再介紹兩種較為復雜的方法：
證法一：先證明個引理
f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內，存在一個在點x0連續的函數H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)
證明：設f(x)在x0可導，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)
所以H(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
反之，設存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)
因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=H(x0)
所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)
引理證畢。
設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則復合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)
於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)
因為φ，G在x0連續，H在u0=φ(x0)連續，因此H(φ(x))G(x)在x0連續，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導，且
F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則復合函數y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/)*(/dx)
證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α*lim(Δu->0),(α=0)
當Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu
但當Δu=0時，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因為Δx≠0,用Δx除等式兩邊，且求Δx->0的極限，得
dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx
又g(x)在x處連續(因為它可導),故當Δx->0時，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0
則lim(Δx->0)α=0
最終有dy/dx=(dy/)*(/dx)

6. 求導的鏈式法則

鏈式法則是微積分中的求導法則，用以求一個復合函數的導數。
所謂的復合函數，是指以一個函數作為另一個函數的自變數。
如f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一個復合函數，並且g(f(x))=3x+3

鏈式法則(chain rule)：

若h(x)=f(g(x))，則h'(x)=f'(g(x))g'(x)
鏈式法則用文字描述，就是「由兩個函數湊起來的復合函數，其導數等於里邊函數代入外邊函數的值之導數，乘以里邊函數的導數。

舉例：

f(x)=x²,g(x)=2x＋1, 則

{f[g(x)]}'

=2[g(x)]×g'(x)

=2[2x＋1]×2

=8x＋4

7. 鏈式求導法則

鏈式法則（英文chain rule）是微積分中的求導法則，用以求一個復合函數的導數，是在微積分的求導運算中最常用的方法。

向左轉|向右轉

8. 極限鏈式法則公式

f'(x)=f'(u）g'(x)，這里設u=g(x)為中間變數。

如設f(x)=3x，g(x)=x+3，g(f(x))就是一個復合函數，並且g(f(x))=3x+3 鏈式法則(chain rule)

若h(x)=f(g(x))

則h'(x)=f'(g(x))g'(x)

f'（x）=df/dx，這里d表示增量，並且這個增量趨向於零，也就是：函數f（x）對x的導數，等於f的增量與x的增量的比值的極限。

f'（x）=df/dx（導數定義）

=（df/）*（/dx）

=f'（u）u'（x）（導數定義）

=f'（u）u'（x）（因為u=g（x））

鏈式法則

是微積分中的求導法則，用於求一個復合函數的導數，是在微積分的求導運算中一種常用的方法。復合函數的導數將是構成復合這有限個函數在相應點的 導數的乘積，就像鎖鏈一樣一環套一環，故稱鏈式法則。

若對於上面考察的這些函數，令𝐠=（g1，g2，gp），𝒇=（f1，f2，fm），於是，𝐠是p維向量值函數（定義與𝑹m的子集上），𝒇是m維向量值函數（定義於𝑹n的子集上），按照定義，它們的導數是相應的雅可比矩陣。

9. 鏈式法則簡單的問題

f'(g(x))相當於f'(x)在x=g(x)時的值
df(g(x))/dx相當於dz/dx，其中z=f(g(x))
需要注意f'(x)是導函數，是f(x)對x求導後的函數，它是一個函數
而df(g(x))/dx
則是f(g(x))對x求導後的函數
兩者的求導對象就不一樣