勾股定理如何證明大小的方法

❶ 最簡單的勾股定理的證明方法是什麼

簡單的勾股定理的證明方法如下：

拓展資料：

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了「勾三股四玄五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。

參考資料：勾股定理_網路

❷ 勾股定理的證明方法有哪些呀

圖一

在圖一中，D ABC 為一直角三角形，其中 Ð A 為直角。我們在邊 AB、BC 和 AC 之上分別畫上三個正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。過 A 點畫一直線 AL 使其垂直於 DE 並交 DE 於 L，交 BC 於 M。不難證明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面積 = 2 ´ D FBC 的面積 = 2 ´ D ABD 的面積 = 長方形 BMLD 的面積。類似地，正方形 ACKH 的面積 = 長方形 MCEL 的面積。即正方形 BCED 的面積 = 正方形 ABFG 的面積 + 正方形 ACKH 的面積，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此證實了勾股定理。

這個證明巧妙地運用了全等三角形和三角形面積與長方形面積的關系來進行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長平方之和」的幾何意義，這就是以 ML 將正方形分成 BMLD 和 MCEL 的兩個部分！

這個證明的另一個重要意義，是在於它的出處。這個證明是出自古希臘大數學歐幾里得之手。

歐幾里得（Euclid of Alexandria）約生於公元前 325 年，卒於約公元前 265 年。他曾經在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，並完成了著作《幾何原本》。《幾何原本》是一部劃時代的著作，它收集了過去人類對數學的知識，並利用公理法建立起演繹體系，對後世數學發展產生深遠的影響。而書中的第一卷命題 47，就記載著以上的一個對勾股定理的證明。

證明二

圖二

圖二中，我們將4個大小相同的直角三角形放在一個大正方形之內，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個正方形。設直角三角形的斜邊長度為 c，其餘兩邊的長度為 a 和 b，則由於大正方形的面積應該等於 4 個直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有

(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
展開得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化簡得 a2 + b2 = c2

由此得知勾股定理成立。

證明二可以算是一個非常直接了當的證明。最有趣的是，如果我們將圖中的直角三角形翻轉，拼成以下的圖三，我們依然可以利用相類似的手法去證明勾股定理，方法如下：

圖三

由面積計算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2
展開得 = 2ab + b2 - 2ab + a2
化簡得 c2 = a2 + b2（定理得證）

圖三的另一個重要意義是，這證明最先是由一個中國人提出的！據記載，這是出自三國時代（即約公元 3 世紀的時候）吳國的趙爽。趙爽為《周髀算經》作注釋時，在書中加入了一幅他稱為「勾股圓方圖」（或「弦圖」）的插圖，亦即是上面圖三的圖形了。

證明三

圖四

圖四一共畫出了兩個綠色的全等的直角三角形和一個淺黃色的等腰直角三角形。不難看出，整個圖就變成一個梯形。利用梯形面積公式，我們得到∶

1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
展開得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
化簡得 a2 + b2 = c2（定理得證）

有一些書本對證明三十分推祟，這是由於這個證明是出自一位美國總統之手！

在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）當選成為美國第 20 任總統，可惜在當選後 5 個月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有關證明，是他在 1876 年提出的。

我個人覺得證明三並沒有甚麼優勝之處，它其實和證明二一樣，只不過它將證明二中的圖形切開一半罷了！更何況，我不覺得梯形面積公式比正方形面積公式簡單！

又，如果從一個老師的角度來看，證明二和證明三都有一個共同的缺點，它就是需要到恆等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。雖然這個恆等式一般都包括在中二的課程之中，但有很多學生都未能完全掌握，由於以上兩個證明都使用了它，往往在教學上會出現學生不明白和跟不上等問題。

證明四

(a) (b) (c)

圖五

證明四是這樣做的：如圖五(a)，我們先畫一個直角三角形，然後在最短的直角邊旁向三角形那一邊加上一個正方形，為了清楚起見，以紅色表示。又在另一條直角邊下面加上另一個正方形，以藍色表示。接著，以斜邊的長度畫一個正方形，如圖五(b)。我們打算證明紅色和藍色兩個正方形面積之和，剛好等於以斜邊畫出來的正方形面積。

留意在圖五(b)中，當加入斜邊的正方形後，紅色和藍色有部分的地方超出了斜邊正方形的范圍。現在我將超出范圍的部分分別以黃色、紫色和綠色表示出來。同時，在斜邊正方形內，卻有一些部分未曾填上顏色。現在依照圖五(c)的方法，將超出范圍的三角形，移入未有填色的地方。我們發現，超出范圍的部分剛好填滿未曾填色的地方！由此我們發現，圖五(a)中，紅色和藍色兩部分面積之和，必定等於圖五(c)中斜邊正方形的面積。由此，我們就證實了勾股定理。

這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年（即公元 263 年），劉徽為古籍《九章算術》作注釋。在注釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖為「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理。

在歷史上，以「出入相補」的原理證明勾股定理的，不只劉徽一人，例如在印度、在阿拉伯世界、甚至乎在歐洲，都有出現過類似的證明，只不過他們所繪的圖，在外表上，或許會和劉徽的圖有些少分別。下面的圖六，就是將圖五(b)和圖五(c)兩圖結合出來的。留意我經已將小正方形重新畫在三角形的外面。看一看圖六，我們曾經見過類似的圖形嗎？

圖六

其實圖六不就是圖一嗎？它只不過是將圖一從另一個角度畫出罷了。當然，當中分割正方形的方法就有所不同。

順帶一提，證明四比之前的證明有一個很明顯的分別，證明四沒有計算的部分，整個證明就是單靠移動幾塊圖形而得出。我不知道大家是否接受這些沒有任何計算步驟的「證明」，不過，我自己就非常喜歡這些「無字證明」了。

圖七

在多種「無字證明」中，我最喜歡的有兩個。圖七是其中之一。做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成 4 分。之後依照圖七中的顏色，將兩個直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。

事實上，以類似的「拼圖」方式所做的證明非常之多，但在這裏就未有打算將它們一一盡錄了。

另一個「無字證明」，可以算是最巧妙和最簡單的，方法如下：

證明五

(a) (b)

圖八

圖八(a)和圖二一樣，都是在一個大正方形中，放置了4個直角三角形。留意圖中淺黃色部分的面積等於 c2。現在我們將圖八(a)中的 4 個直角三角形移位，成為圖八(b)。明顯，圖八(b)中兩個淺黃色正方形的面積之和應該是 a2 + b2。但由於(a)、(b)兩圖中的大正方形不變，4 個直角三角形亦相等，所以餘下兩個淺黃色部的面積亦應該相等，因此我們就得到 a2 + b2 = c2，亦即是證明了勾股定理。

對於這個證明的出處，有很多說法：有人說是出自中國古代的數學書；有人相信當年畢達哥拉斯就是做出了這個證明，因而宰殺了一百頭牛來慶祝。總之，我覺得這是眾多證明之中，最簡單和最快的一個證明了。

不要看輕這個證明，它其實包含著另一個意義，並不是每一個人都容易察覺的。我現在將上面兩個圖「壓扁」，成為圖九：

(a) (b)

圖九

圖九(a)中間的淺黃色部分是一個平行四邊形，它的面積可以用以下算式求得：mn sin(a + b)，其中 m 和 n 分別是兩個直角三角形斜邊的長度。而圖九(b)中的淺黃色部分是兩個長方形，其面積之和是：(m cos a)(n sin b) + (m sin a)(n cos b)。正如上面一樣，(a)、(b)兩圖淺黃色部分的面積是相等的，所以將兩式結合並消去共有的倍數，我們得：sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a，這就是三角學中最重要的復角公式！原來勾股定理和這條復角公式是來自相同的證明的！

在證明二中，當介紹完展開 (a + b)2 的方法之後，我提出了趙爽的「弦圖」，這是一個展開 (a - b)2 的方法。而證明五亦有一個相似的情況，在這裏，我們除了一個類似 (a + b) 的「無字證明」外，我們亦有一個類似 (a - b) 的「無字證明」。這方法是由印度數學家婆什迦羅（Bhaskara; 1114 - 1185）提出的，見圖十。

(a) (b)

圖十

證明六

圖十一

圖十一中， 我們將中間的直角三角形 ABC 以 CD 分成兩部分，其中 Ð C 為直角，D 位於 AB 之上並且 CD ^ AB。設 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意圖中的三個三角形都是互相相似的，並且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以

= 和 =
由此得 a2 = cx 和 b2 = cy

將兩式結合，得 a2 + b2 = cx + cy = c(x + y) = c2。定理得證。

證明六可以說是很特別的，因為它是本文所有證明中，唯一一個證明沒有使用到面積的概念。我相信在一些舊版的教科書中，也曾使用過證明六作為勾股定理的證明。不過由於這個證明需要相似三角形的概念，而且又要將兩個三角形翻來覆去，相當復雜，到今天已很少教科書採用，似乎已被人們日漸淡忘了！

可是，如果大家細心地想想，又會發現這個證明其實和證明一（即歐幾里得的證明）沒有分別！雖然這個證明沒有提及面積，但 a2 = cx 其實就是表示 BC 上正方形的面積等於由 AB 和 BD 兩邊所組成的長方形的面積，這亦即是圖一中黃色的部分。類似地，b2 = cy 亦即是圖一中深綠色的部分。由此看來，兩個證明都是依據相同的原理做出來的！

證明七

(a) (b) (c)

圖十二

在圖十二(a)中，我們暫時未知道三個正方形面積之間有甚麼直接的關系，但由於兩個相似圖形面積之比等於它們對應邊之比的平方，而任何正方形都相似，所以我們知道面積 I : 面積 II : 面積 III = a2 : b2 : c2。

不過，細心地想想就會發現，上面的推論中，「正方形」的要求是多餘的，其實只要是一個相似的圖形，例如圖十二(b)中的半圓，或者是圖十二(c)中的古怪形狀，只要它們互相相似，那麼面積 I : 面積 II : 面積 III 就必等於 a2 : b2 : c2了！

在芸芸眾多的相似圖形中，最有用的，莫過於與原本三角形相似的直角三角形了。

❸ 初二勾股定理的證明方法怎麼證明

以下證明為加菲爾德證法法：

大正方形的面積等於中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

(3)勾股定理如何證明大小的方法擴展閱讀

1、最早記載：

在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋。

2、日常應用：

家裝時,工人為了判斷一個牆角是否標準直角.可以分別在牆角向兩個牆面量出30cm,40cm並標記在一個點,然後量這兩點間距離是否是50cm.如果超出一定誤差,則說明牆角不是直角。

❹ 勾股定理的最簡單的證明方法是什麼

簡單的勾股定理的證明方法如下：

拓展資料：

勾股定理的使用方法：

1、確保三角形是直角三角形。 勾股定理只適用於直角三角形中，所以，在應用定理之前，你需要先確定三角形是否是直角三角形，這一點非常重要。幸好，區分直接三角形和別的三角形的方法只有一個，那就是看一個三角形中是否有一個90度的角。

2、確定變數a，b，c對應的三角形的邊。在勾股定理中，a，b表示直角三角形的兩條直角邊，而c用來表示斜邊，即直角對應的那條最長的邊。所以，先給兩條直角邊分別標註上a，b（具體的對應關系沒有要求），而斜邊標註上c。

3、確定你所要求的邊。使用勾股定理可以求出直角三角形的任意一條邊的長度，但前提是知道另外兩條邊的長度。先確定哪一條邊的長度是未知的——a，b或者c。

4、代入。將兩條已知邊的長度帶入到公式a2 + b2 = c2中，其中a和b對應的是兩直角邊的長度，而c代表斜邊長度。在上面的例子中，我們知道一條直角邊和斜邊的長度（3和5），然後將3和5代入到公式中，有32 + b2 = 2。

5、計算平方。首先，計算兩條已知邊長度的平方值。或者，你也可以先不計算出來，然後保留平方，帶到式子中直接計算平方和。在上述例子中，3和5的平方分別是9和25，所以方程可以改寫為9 + b2 = 25。

6、將未知變數移到等號一邊。如果有必要的話，運用基本的代數操作，將未知變數移動到等號一側，而將已知變數移動到等號的另一側。如果你要求的是斜邊長，那麼就不需要再移動變數了。在上述例子中，方程式是9 + b2 = 25。兩邊同時減去9，等式變為b2= 16。

7、求開方。現在等式兩邊一邊是數字，另一邊是變數，然後同時求兩邊的平方根。在上述例子中b2 = 16，兩邊同時求平方根，有b = 4。因此，未知邊的長度就是4。

❺ 初二勾股定理證明，要帶圖的。三種方法！

勾股定律證明的三種方法如下：

【方法1】

(5)勾股定理如何證明大小的方法擴展閱讀：

在我國數學上，早就有勾3股4弦5的說法，這是勾股定律的一個特例，勾3a，股4a，弦5a都符合勾股定律。

在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長c，存在下面這個關系：a²+b²=c²

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

在中國，商朝時期的商高提出了「勾三股四弦五」的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。

❻ 勾股定理的5種證明方法

1、做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.

從下圖可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等於c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等於c的平方。

❼ 勾股定理的證明方法 帶圖！！！

勾股定理的證明方法如下，共5種方法：

❽ 求勾股定理的多種證明方法，要帶圖帶解釋

勾股定理的證明方法
勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都願意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。
一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）
左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。
在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現並證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。
二、趙爽弦圖的證法（圖2）
第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等於外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。
第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的
角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形「小洞」。
因為邊長為的正方形面積等於4個直角三角形的面積加上正方形「小洞」的面積，所以可以列出等式，化簡得。這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鑽研精神，是我們中華民族的驕傲。
三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3）
這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為
的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等於梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。這種證明方法由於用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。
勾股定理
定理：

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼 a^2+b^2=c^2； 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。

古埃及人利用打結作RT三角形
如果三角形的三條邊a，b，c滿足a^2+b^2=c^2，如：一條直角邊是3，另一條直角邊是4，斜邊就是3×3+4×4=X×X，X=5。那麼這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理） 勾股定理的來源：

畢達哥拉斯樹
畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱「百牛定理」。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明[1]。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。 常用勾股數3 4 5;6 8 10;5 12 13;8 15 17
畢達哥拉斯
有關勾股定理書籍 《數學原理》人民教育出版社 《探究勾股定理》同濟大學出版社 《優因培教數學》北京大學出版社 《勾股書籍》 新世紀出版社 《九章算術一書》 《優因培揭秘勾股定理》江西教育出版社 《幾何原本》 （原著：歐幾里得）人民日報出版社 畢達哥拉斯樹 畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的圖形。又因為重復數次後的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。 直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。 兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。 利用不等式a^2+b^2≥2ab可以證明下面的結論： 三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。
[編輯本段]最早的勾股定理應用

從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現「勾股定理」的，這里只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為「有一根長為5米的木樑（AB）豎直靠在牆上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離牆根（B）多遠？」他們解此題就是用了勾股定理，如圖 設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米 ∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。
[編輯本段]《周髀算經》中勾股定理的公式與證明
《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。 首先，《周髀算經》中明確記載了勾股定理的公式：「若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日」（《周髀算經》上卷二） 而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經》上卷一[2] —— 昔者周公問於商高曰：「竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？」

商高曰：「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。」 周公對古代伏羲（包犧）構造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學知識從何而來。於是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學知識的由來。

《周髀算經》證明步驟
「數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。」：解釋發展脈絡——數之法出於圓（圓周率三）方（四方），圓出於方（圓形面積=外接正方形*圓周率/4），方出於矩（正方形源自兩邊相等的矩），矩出於九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）。 「故折矩①，以為句廣三，股修四，徑隅五。」：開始做圖——選擇一個 勾三（圓周率三）、股四（四方） 的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑隅五）。 「②既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。」：這就是關鍵的證明過程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫一個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將「外半其一矩」得到的三角形剪下環繞復制形成一個大正方形，可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五弦方 三個正方形。 「兩矩共長③二十有五，是謂積矩。」：此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是 大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積後為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出 四個三角形面積 等於 右上、左下兩個長方形面積，所以 勾方+股方=弦方。 注意： ① 矩，又稱曲尺，L型的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代「矩」指L型曲尺，「矩形」才是「矩」衍生的長方形。 ② 「既方之，外半其一矩」此句有爭議。清代四庫全書版定為「既方其外半之一矩」，而之前版本多為「既方之外半其一矩」。經陳良佐[3]、李國偉[4]、李繼閔[5]、曲安京[1]等學者研究，「既方之，外半其一矩」更符合邏輯。 ③ 長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，並沒有發明新的術語，而統稱「長」。趙爽注稱:「兩矩者, 句股各自乘之實。共長者, 並實之數。 由於年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術在漢代才發明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（只是說了一段莫名其妙的話），後來趙爽才給出證明。 其實不然，摘錄趙爽注釋《周髀算經》時所做的《句股圓方圖》[2]——「句股各自乘, 並之為弦實, 開方除之即弦。案: 弦圖又可以句股相乘為朱實二, 倍之為朱實四, 以句股之差自相乘為中黃實, 加差實亦成弦實。」

趙爽弦圖
注意「案」中的「弦圖又可以」、「亦成弦實」，「又」「亦」二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明，於是他給出了新的證明。 下為趙爽證明——

青朱出入圖
三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青方並成弦方。依其面積關系有a^2+b^2=c^2.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。 以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以盈補虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c……2 ）．由此便可證得a^+b^2=c^2;
。 如下: 解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的的正方形面積。 勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方， a的平方+b的平方=c的平方; 說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為「勾」，較長直角邊為「股」，斜邊稱為「弦」，所以把這個定理稱為「勾股定理」。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。 舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5 則說明斜邊為5。
[編輯本段]勾股定理的5種證明方法
這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《畢達哥拉斯命題》）一書中總共提到367種證明方式。 有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。
【證法1】（梅文鼎證明）
作四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P. ∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一個邊長為c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一個邊長為a的正方形. 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設多邊形GHCBE的面積為S，則 , ∴ BDPC的面積也為S，HPFG的面積也為S由此可推出：a^2+b^2=c^2

【證法2】（項明達證明）
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上. 過點Q作QP‖BC，交AC於點P. 過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點 F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90°，QP‖BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
【證法3】（趙浩傑證明）
作兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直線上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直線上， 所以a^2+b^2=c^2
【證法4】（歐幾里得證明）
作三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結 BF、CD. 過C作CL⊥DE， 交AB於點M，交DE於點L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面積等於， ΔGAD的面積等於矩形ADLM 的面積的一半， ∴ 矩形ADLM的面積 =. 同理可證，矩形MLEB的面積 =. ∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積 ∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
【證法5】歐幾里得的證法
《幾何原本》中的證明 在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下： 如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。 其證明如下： 設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
利用相似三角形的證法

利用相似三角形證明
有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。
設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關系衍生出以下的比率關系：
因為

所以

可以寫成

綜合這兩個方程式，我們得到

換句話說:

一、達綱要求：
1、理解餘角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形兩銳角互余等性質，會用它們進行有關論證和計算。
2、了解逆命題和逆命定理的概念，原命題成立它的逆命題不一定成立，會識別兩個互逆命題。
3、掌握勾股定理，會用勾股定理由直角三角形兩邊長求第三邊長；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根據題設和有關定義、公理、定理進行推理論證。
5、通過介紹我國古代數學關於勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育。

二、重點提示
1、重點 勾股定理及其應用
2、難點 勾股定理及其逆定理的證明
3、關鍵點 靈活運用勾股定理及其逆定理進行證題和計算

三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三邊存在的一種特殊關系，它的證明方法很多，用面積法證明比較簡捷，用面積法證題是一種重要的證題方法，涉及到距離或垂線段時運用面積法解題較方便。
2、勾股定理的應用非常廣泛，在進行幾何計算時，常常要用到代數知識的方法，有的幾何題為了應用勾股定理，可以作高（或垂線段）構造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的證明方法比較特殊，這種證題思路和方法值得學習借鑒，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依據，它可以通過邊的長度關系，確定角的大小，因而在應用時，有一定的技巧，解題的思路有時更為特殊。

四、典型考題示範
例1.若ΔABC的三外角的度數之比為3：4：5，最長邊AB與最小邊BC的關系是______。
分析：因為三角形三個外角與三內角互補，三角形的內角和為180°，所以三外角的和為360°，這樣三個外角的度數分別為90°，120°，150°，因而三角形之內角的度數分別為90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，應用直角三角形，應用直角三角形的性質可以找到最長邊與最短邊的關系。
解：設三角形的三個外角分別為3α，4α，5α，則有3α+4α+5α=360°，
∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°
故三角形三個角度數為∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC為含30°的直角三角形。
∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半）
填 AB=2BC
評註：本題應用勾股定理可以找到三邊的關系，若已知一條邊的長，可以求其餘兩邊長。

例2.如圖3-180，ΔABC中∠B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24，在三角形內有一點P到各邊的距離相等，則這個距離是（ ）
A. 1 B.3 C.6 D. 非以上答案
分析：因為P點到各邊的距離都相等，因此可以考慮用面積法求這個距離，由∠B=90°，AB=7，BC=24，由勾股定理可以求出AC的長，所以用面積公式可以求出P點到各邊的距離，為此要連結PA、PB、PC。 圖3-180
解：由勾股定理得，AC2=AB2+BC2=72+242=252, ∴AC=25，設P點到各邊的距離為r，連結PA、PB、PC，依三角形的面積關系有SΔABP+SΔBCP+SΔACP=SΔABC
即
得（7+24+25）r=7×24，∴r=3
評註：涉及到垂線段的問題，常可聯繫到某一三角形的高，從而根據面積關系和面積公式得到關於垂線段的方程，通過解方程，求垂線段的長。用面積法求直角三角形中有關線段的長是各地中考命題的熱點。

例3.如圖在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°，求四邊形ABCD的面積。
分析：要求四邊形的面積可以將四邊形轉化為三角形通過先求三角形的面積，再求四邊形的面積，為了便於利用已知邊和角，在作輔助線時，盡量保持已知邊和已知角，為此連結四邊形的對角線的方法和作AB、DC的延長線均不可取，作BC的延長線與AD的延長線相交於點E，即保留了已知邊和已知角，又得到了兩個含30°角的直角三角形，使問題變得簡單易解。
解：作BC的延長線交AD的延長線於點E
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°
在RtΔCDE中，∠CDE=90°，CD=1
∴CE=2，

在RtΔABE中，∠ABE=90°，AB=2，∠A=60°
∴AE=4，

又∵S四邊形ABCD=SΔABE-SΔCDE

評註：本題解答的關鍵是構造特殊的直線三角形，並且這些特殊三角形以已知線段為邊。

五、錯例剖析
[例1]已知等腰三角形的底角等於15°，腰長等於2a，求腰上的高。
已知如圖3-189，ΔABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，BD是高，求BD的長。
錯解：∵∠BAB=∠ABC+∠ACB
∴∠DAB=15°+15°=30°
又∵BD是高，∴在RtΔABD中，AD=AB=a 圖3-189
由勾股定理得：
剖析：解析幾何問題時，畫圖很重要，畫得准確、規范，可以利用圖形的直觀，對解題有幫助作用，畫得不準則容易造成錯覺，本題就是由於作圖的不準，誤認為∠DBA=30°
改正：如圖3-190
∵∠DAB=∠ABC+∠C，∴DAB=15°×2=30°
∵BD是高，∴RtΔABD中，BD=AB=a 圖3-190

[例2]若直角在角形的兩條邊長為6cm，8cm，則第三邊長為_____cm。
錯解：設第三邊長為xcm，由勾股定理得：
62+82=x2,即第三邊長為10cm。
剖析：題目中沒有已知第三邊是斜邊還是直角邊，需要討論，這里誤認為是斜邊，所以，解答不完全。
改正：設第三邊長為xcm
若第三邊長為斜邊，由勾股定理得
若第三邊長為直角邊，則8cm長的邊必是斜邊，由勾股定理得

[例3]已知在ΔABC中，三條邊長分別為a, b, c，且a=n，,（n為大於2的偶數），
求證：ΔABC是直角三角形。
錯誤：由勾股定理，得a2+b2=c2
a2+b2=

∴ABC是直角三角形。
剖析：根據三角形的邊的關系，判定是否直角三角形，可以用勾股定理的逆定理來解決，這里錯誤地應用了勾股定理，首先就把ΔABC當成了直角三角形。
改正：a2+b2=
∴ΔABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）

[例4]在ΔABC中，已知∠C=90°,AB=10,∠A=45°,求BC的長。
錯解：∵∠C=90°,∠A=45°∴∠B=90°,∠A=45°
∴∠A=∠B ∴BC=AC（等角對等邊）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2
∴2BC=10,∴BC=5
部析：上述解答中，「將2BC2=AB2」中的指數約去，這一步顯然是錯誤的。
改正：∵∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-45°=45°
∴∠A=∠B，AC=BC（等角對等邊）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即2BC2=AB2，

❾ 勾股定理的證明方法

勾股定理的證明方法如下：

求證：勾股定理，即直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

證明：分兩種情況來討論，即兩條直角邊長度不相等與相等。

1. 兩條直角邊長度不相等。

   如圖，分別設直角三角形的邊長為a、b、c，（a<b，c為斜邊）。

將四個同樣大小的三角形拼成右圖形式，則：

則右圖正方形的面積為四個直角三角形的面積之和。

得：c^2=4*(aa/2)=2a^2=a^2+a^2

即a^2+a^2=c^2，原命題得證。

所以，直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

❿ 勾股定理的十六種證明方法

加菲爾德證法、加菲爾德證法變式、青朱出入圖證法、歐幾里得證法、畢達哥拉斯證法、華蘅芳證法、趙爽弦圖證法、百牛定理證法、商高定理證法、商高證法、劉徽證法、縐元智證法、梅文鼎證法、向明達證法、楊作梅證法、李銳證法

例，如下圖：

設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

設△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因為AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因為A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

(10)勾股定理如何證明大小的方法擴展閱讀

性質：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發端；

2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理；

3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值，這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題為「改變世界面貌的十個數學公式」郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。