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如何求數列方法有哪些

發布時間:2022-05-29 17:13:07

1. 數列解題方法有哪些

這講不清楚的呀,不過方法有很多的,你只能看書呀,你把問題發上來吧
基本數列是等差數列和等比數列

一、等差數列

一個等差數列由兩個因素確定:首項a1和公差d.
得知以下任何一項,就可以確定一個等差數列(即求出數列的通項公式):
1、首項a1和公差d
2、數列前n項和s(n),因為s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意兩項a(n)和a(m),n,m為已知數

等差數列的性質:
1、前N項和為N的二次函數(d不為0時)
2、a(m)-a(n)=(m-n)*d
3、正整數m、n、p為等差數列時,a(m)、a(n)、a(p)也是等差數列

例題1:已知a(5)=8,a(9)=16,求a(25)
解: a(9)-a(5)=4*d=16-8=8
a(25)-a(5)=20*d=5*4*d=40
a(25)=48

例題2:已知a(6)=13,a(9)=19,求a(12)
解:a(6)、a(9)、a(12)成等差數列
a(12)-a(9)=a(9)-a(6)
a(12)=2*a(9)-a(6)=25

二、等比數列

一個等比數列由兩個因素確定:首項a1和公差d.
得知以下任何一項,就可以確定一個等比數列(即求出數列的通項公式):
1、首項a1和公比r
2、數列前n項和s(n),因為s(1)=a1,s(n)-s(n-1)=a(n)
3、任意兩項a(n)和a(m),n,m為已知數

等比數列的性質:
1、a(m)/a(n)=r^(m-n)
2、正整數m、n、p為等差數列時,a(m)、a(n)、a(p)是等比數列
3、等比數列的連續m項和也是等比數列
即b(n)=a(n)+a(n+1)+...+a(n+m-1)構成的數列是等比數列。

三、數列的前N項和與逐項差

1、如果數列的通項公式是關於N的多項式,最高次數為P,則數列的前N項和是關於N的多項式,最高次數為P+1。
(這與積分很相似)

2、逐項差就是數列相鄰兩項的差組成的數列。
如果數列的通項公式是關於N的多項式,最高次數為P,則數列的逐項差的通項公式是關於N的多項式,最高次數為P-1。
(這與微分很相似)
例子:
1,16,81,256,625,1296 (a(n)=n^4)
15,65,175,369,671
50,110,194,302
60,84,108
24,24
從上例看出,四次數列經過四次逐項差後變成常數數列。

等比數列的逐項差還是等比數列

四、已知數列通項公式A(N),求數列的前N項和S(N)。
這個問題等價於求S(N)的通項公式,而S(N)=S(N-1)+A(N),這就成為遞推數列的問題。
解法是尋找一個數列B(N),
使S(N)+B(N)=S(N-1)+B(N-1)
從而S(N)=A(1)+B(1)-B(N)
猜想B(N)的方法:把A(N)當作函數求積分,對得出的函數形式設待定系數,利用B(N)-B(N-1)=-A(N)求出待定系數。

例題1:求S(N)=2+2*2^2+3*2^3+...+N*2^N
解:S(N)=S(N-1)+N*2^N
N*2^N積分得(N*LN2-1)*2^N/(LN2)^2
因此設B(N)=(PN+Q)*2^N
則 (PN+Q)*2^N-[P(N-1)+Q)*2^(N-1)=-N*2^N
(P*N+P+Q)/2*2^N=-N*2^N
因為上式是恆等式,所以P=-2,Q=2
B(N)=(-2N+2)*2^N
A(1)=2,B(1)=0
因此:S(N)=A(1)+B(1)-B(N)
=(2N-2)*2^N+2

例題2:A(N)=N*(N+1)*(N+2),求S(N)
解法1:S(N)為N的四次多項式,
設:S(N)=A*N^4+B*N^3+C*N^2+D*N+E
利用S(N)-S(N-1)=N*(N+1)*(N+2)
解出A、B、C、D、E

解法2:
S(N)/3!=C(3,3)+C(4,3)+...C(N+2,3)
=C(N+3,4)
S(N)=N*(N+1)*(N+2)*(N+3)/4

2. 求關於數列的所有公式和方法

1.等差數列的通項公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d≠0時,an是關於n的一次式;當d=0時,an是一個常數
2.等比數列的通項公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項,an≠0) 3.等差數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數列。4、等比數列{an}的任意連續m項的和構成的數列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數列。
5、兩個等差數列{an}與{bn}的和差的數列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數列。
6、兩個等比數列{an}與{bn}的積、商、倒數組成的數列
{an bn}、 、 仍為等比數列。
7、等差數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等差數列。
8、等比數列{an}的任意等距離的項構成的數列仍為等比數列。
9、三個數成等差的設法:a-d,a,a+d;四個數成等差的設法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三個數成等比的設法:a/q,a,aq;
11、{an}為等差數列,則 (c>0)是等比數列。
12、{bn}(bn>0)是等比數列,則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數列。 二. 數列求和的常用方法:公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。
1、分組法求數列的和:如an=2n+3n
2、錯位相減法求和:如an=(2n-1)2n
3、裂項法求和:如an=1/n(n+1) 4.在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解:
(1)當 >0,d<0時,滿足 的項數m使得 取最大值.
(2)當 <0,d>0時,滿足 的項數m使得 取最小值。

3. 數學:數列的解題方法

直譯法
設元後,視元為已知數,根據題設條件,把數學語言直譯為代數式,即可列出方程。
例1.(2004年山西省)甲、乙兩個建築隊完成某項工程,若兩隊同時開工,12天就可以完成工程;乙隊單獨完成該工程比甲隊單獨完成該工程多用10天。問單獨完成此項工程,乙隊需要多少天?
解:設乙單獨完成工程需x天,則甲單獨完成工程需(x-10)天。根據題意,得

去分母,得x
2
-34x+120=0
解得x
1
=30,x
2
=4
經檢驗,x
1
,x
2
都是原方程的根,但當時x=30,x-10=20,當x=4時,x-10=-6,因時間不能為負數,所以只能取x=30。
答:乙隊單獨完成此項工程需要30天。
點評:設乙單獨完成工程需x天後,視x為已知,則根據題意,原原本本的把語言直譯成代數式,則方程很快列出。
列表法
設出未知數後,視元為已知數,然後綜合已知條件,把握數量關系,分別填入表格中,則等量關系不難得出,進而列出方程(組)。
例2.(2004年海淀區)在某校舉辦的足球比賽中規定:勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分。某班足球隊參加了12場比賽,共得22分,已知這個隊只輸了2場,那麼此隊勝幾場?平幾場?
解:設此隊勝x場,平y場
由列表與題中數量關系,得
解這個方程組,得
答:此隊勝6場,平4場。
點評:通過列表格,將題目中的數量關系顯露出來,使人明白,從勝、平、負的場數之和等於12,總得分22分是勝場、平場、負場得分之和。建立方程組,利用列表法求解使人易懂。

4. 計算數列通項公式有哪些方法

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列,直接用其通項公式。

二,已知數列的前n項和,用公式

三、已知an與sn的關系時,通常用轉化的方法,先求出sn與n的關系,再由上面的(二)方法求通項公式。

四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子,常用累加、累積的方法求通項公式。

5. 數列有關方法名稱共有哪些,如裂項求和法,並寫出求的是什麼東西

有以下四種基本方法:

1
)直接法.就是由已知數列的項直接寫出,或通過對已知數列的項進行代數運算寫出.

2
)觀察分析法.根據數列構成的規律,觀察數列的各項與它所對應的項數之間的內在聯系,經過適當變形,進而寫出第n項a
n
的表達式即通項公式.

3
)待定系數法.求通項公式的問題,就是當n=
1
,
2
,

時求f(n),使f(n)依次等於a
1
,a
2
,

的問題.因此我們可以先設出第n項a
n
關於變數n的表達式,再分別令n=
1
,
2
,

,並取a
n
分別等於a
1
,a
2
,

,然後通過解方程組確定待定系數的值,從而得出符合條件的通項公式.

4
)遞推歸納法.根據已知數列的初始條件及遞推公式,歸納出通項公式.

6. 高中數學數列求解方法

①等差數列和等比數列有通項公式

②累加法:用於遞推公式為

且f(n)可求積

④構造法:將非等差數列、等比數列,轉換成相關的等差等比數列

⑤錯位相減法:用於形如數列由等差×等比構成:如an=n·2^n

7. 求數列所有的方法總結

倒序相加法:當前面的項和最後的項加起來是常數或有規律的數。
錯位相減法:單項數列的表達式是由等比數列和等差數列相乘得到。如:an=n*a^(n+1)
裂項法:用於分數的數列。
分組求和法:數列的項可以拆分成其他典型數列。

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